73高斯型求積公式省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

第七章微積分數(shù)值計算方法NumericalAnalysis1第1頁7.3高斯型求積公式

問題:是否有比等距節(jié)點Newton-Cotes型求積公式更高代數(shù)精度求積公式?最高能到達多大?度2第2頁3第3頁4第4頁為含有普通性，研究帶權(quán)積分求積公式為為不依賴于求積系數(shù).(1)為求積節(jié)點，可適當選取使（1）含有次代數(shù)精度.問題假如求積公式(1)含有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點為高斯點，對應公式(1)稱為高斯求積公式.

定義5第5頁怎樣結(jié)構(gòu)高斯求積公式？

依據(jù)定義要使(1)含有次代數(shù)精度，只要對令(1)準確成立，能夠由上式求出6第6頁試結(jié)構(gòu)以下積分高斯求積公式：例令公式(1)對于準確成立，

因為非線性方程組，通常就極難求解.而從分析高斯點特征來結(jié)構(gòu)高斯求積公式.7第7頁高斯點基本特征盡管高斯點確實定標準上能夠化為代數(shù)問題，不過因為所歸結(jié)方程組是非線性，而它求解存在實質(zhì)性困難，所以我們要從研究高斯點基本特征著手處理高斯公式結(jié)構(gòu)問題。8第8頁高斯點與正交多項式零點9第9頁（2）10第10頁是高斯點，所以，假如因即有故(2)成立.

準確成立，則求積公式(1)對于充分性.用

除，記商為余式為即,其中.對于由(2)可得

證實必要性.設則（3）11第11頁因為求積公式(1)是插值型，它對于是準確，即

再注意到知從而由(3)有12第12頁可見求積公式(1)對一切次數(shù)不超出多項式均精確成立.所以，為高斯點.

定理表明在上帶權(quán)次正交多項式零點就是求積公式(1)高斯點.

有了求積節(jié)點，再利用對成立，解此方程則得

線性方程.則得到一組關(guān)于求積系數(shù)13第13頁Gauss型求積公式結(jié)構(gòu)方法(1)求出區(qū)間[a,b]上權(quán)函數(shù)為正交多項式pn+1(x).(2)求出pn+1(x)n個零點x0,x1,…xn即為Gauss點.

(3)計算積分系數(shù)。14第14頁常見正交多項式及高斯求積公式勒讓德多項式(Legendre)切比雪夫多項式(Chebyshev)拉蓋爾多項式(Laguerre)埃爾米特多項式(Hermite)15第15頁高斯-勒讓德求積公式16第16頁2.Legendre多項式性質(zhì):17第17頁18第18頁令它對準確成立，即可定出

這么結(jié)構(gòu)出一點高斯-勒讓德求積公式是中矩形公式.

若取零點作為節(jié)點結(jié)構(gòu)求積公式

再取兩個零點結(jié)構(gòu)求積公式19第19頁令它對都準確成立，有

由此解出三點高斯-勒讓德公式形式是

列出了高斯-勒讓德求積公式節(jié)點和系數(shù).從而得到兩點高斯-勒讓德求積公式

20第20頁nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.568888888921第21頁高斯-切比雪夫求積公式22第22頁2.Chebyshev多項式性質(zhì):23第23頁24第24頁普通積分區(qū)間[a,b]處理25第25頁高斯積分公式數(shù)值穩(wěn)定性26第26頁Gauss求積公式余項：/*設