矩形和菱形練習或復習用市公開課一等獎省賽課微課金獎課件

特殊平行四邊形

——矩形和菱形第1頁

矩形：一．課內知識回顧：

1．矩形特征：邊：對邊平行且相等；

AB//DC,AB

DC，AD//BC，AD

BC．角：四個角相等，都等于90°；∠A

∠B

∠C

∠D

90°對角線：對角線相互平分且相等；

AO

CO，BO

DO，AC

BD．對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形．ODCBAABCD第2頁2．矩形識別方法：有三個角是直角四邊形是矩形；對角線相等且相互平分四邊形是矩形；有一個角是直角平行四邊形是矩形；對角線相等平行四邊形是矩形．3個條件1個條件2個條件第3頁3．與矩形相關三角形：注意：當邊AB等于對角線AC二分之一時，矩形中出現三角形都是特殊三角形（含30°角直角三角形、等邊三角形、含120°角等腰三角形）．ABCDOABCOBCOBA第4頁

利用矩形對角線特征，能夠得到下面結論：直角三角形斜邊上中線等于斜邊二分之一．如圖：△ABC中，∠ABC

90°，點O是AC中點， 則BO

AC．OACB第5頁二．矩形知識應用舉例：[例1]在矩形ABCD中，直線DE是△DCE與△DFE對稱軸，若矩形與四邊形ECDF周長差是4，且四邊形ECDF周長是8，(1)求矩形ABCD周長與面積;(2)直線FE與矩形ABCD有什么關系？分析:

要想由條件得到圖形中E、F分別是BC、AD中點，先判斷出△DCE與△DFE是等腰直角三角形是處理問題關鍵；矩形與四邊形ECDF周長差實際就是AF與BE和；EF垂直平分AD可發(fā)覺直線EF是矩形一條對稱軸．FEACBD213第6頁解：∵矩形ABCD中，

ADC

C

90

，AB

DC，ADBC又

DCE與DFE關于直線DE對稱∴1

2

3，四邊形ECDF中，∵CD

CE周長為8，EC

CD

DF

FE

2

DFE

90

∴AD

FD

BC

EC即AF

BE矩形ABCD周長四邊形ECDF周長AF

BE

4∴AF

BE

2∴矩形ABCD中，AD

4，AB

2∴矩形ABCD周長2(AD

AB)12矩形ABCD面積AD

AB

4

2

8FEACBD213第7頁[例2]已知：如圖，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE度數．

分析：由矩形特征及條件不難發(fā)覺△OAD是等邊三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用這兩個特殊三角形特征就能夠使問題得以處理．ABCDEO第8頁解∵矩形ABCD∴AC

BD

AD

OD

ADC

90

∵DE平分ADC

BDE

15

∵ADO

ADE

BDE

45

15

60

∴OAD為等邊，

BOC

AOD

60

AD

AO

DAO

60

又DAE

90

∴ADE為等腰Rt

AE

AD∴OAE

90

60

30

AO

AE

ABCDEO第9頁[例3]

已知：如圖，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB延長線交DF于F點．請猜測：BF與AC數量關系，并說明理由．

分析：因為矩形ABCD中，AC

BD，BF與AC數量關系實質就是BF與BD數量關系,由位置可經過角關系得到．讓我們先來分析一組圖形：

ABCDEFo325610Q第10頁BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BF

AC由位置關系可知應經過角關系得到。與之相關Rt

ABC三角形中有斜邊上高和中線，Rt

ADC中有中線和角平分線，這么不論從哪個Rt

入手，利用基本圖形中提供。第11頁[例4]在矩形ABCD中，AB

6，BC4，E是AB上一點，CE5，DF⊥CE于F．求DF．

分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、CF能夠看作是

DEC底和高，因為可求，所以EC邊上高可求。FEDCBA第12頁解答：連DE∵矩形ABCD，且AB

6，BC

4∴S矩形

6

4

24又∵AB//DC∴∵DF

EC于F∴∵EC

5∴FEDCBA第13頁[例5]有一塊方角形鋼板以下列圖所表示，請你用一條直線將其分為面積相等兩部分．（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖中直接畫出）

第14頁分析：因為矩形對角線交點就是它對稱中心，所以經過對稱中心任意一直線都會將矩形分成兩部分仍是關于中心對稱圖形，與面積相等，所以有：只要將圖形化為兩個矩形和或差，作出經過兩個圖形對稱中心直線即可。第15頁[例6]如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，P是AD上任意一點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝。求：PE

PF值．當點P在AD上移動時，其它條件不變，PE

PF值會改變嗎？OPFEDCBAQ第16頁分析：分別求PE、PF困難。由已知得矩形面積，而可知。因為

AOD是等腰

，聯想“等腰

底邊上任意一點到兩腰距離和等于腰上高”這一性質，因為對角線已知，即等腰

可知，由面積就可求出腰高。問題得解。解：過D點作DQ

AC于Q∵矩形ABCD中，AB

3，AD

4∴S矩

3

4

12又∵AC與BD相互平分OPFEDCBAQ第17頁∵連OP∴DQ

PE

PF

∵AC

BD

5

由在其它條件不變情況下,因為不論P點在AD上怎樣移動，它到等腰

AOD兩腰距離之和永遠等于OA上高，所以PE

PF值不會改變。OPFEDCBAQ第18頁[例7]

如圖，在△ABC中，點O是AC上一個動點，過點O作直線MN//BC．設MN交∠BCA平分線于點E，交∠BCA外角平分線于點F．（1）OE與OF相等嗎？為何？（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說明你結論？FENMOCBA第19頁

分析與解答：（1）因為CE、CF分別是角平分線，所以有

ECF為直角，又因為MN//BC，所以

OEC與OFC均為等腰

，即OE

OC，OF

OC，故O是EF中點。（2）因為

ECF為90

，只要四邊形AECF為平行四邊形，則四邊形AECF就為矩形。而（1）已知O是EF中點，只需O是AC中點即可，故點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形。FENMOCBA第20頁菱形一．課內知識回顧：1．菱形特征：邊：對邊平行且四條邊相等；

AB//DC,AD//BC，AB

DC

AD

BC．角：對角相等，鄰角互補；∠A

∠C，∠B

∠D∠A

∠B

180°，……對角線：對角線相互垂直平分；AO

CO，BO

DO，

AC⊥BD．每條對角線平分一組對角∠ADB

∠CDB,……對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形．BDACDACOB第21頁2．菱形識別方法：四條邊相等四邊形是菱形；對角線相互垂直平分四邊形是菱形；有一組鄰邊相等平行四邊形是菱形；對角線相互垂直平行四邊形是菱形．2個條件1個條件3個條件第22頁3．與菱形相關三角形：注意：當邊AB等于對角線BD時，菱形中出現三角形都是特殊三角形（含30°角直角三角形、等邊三角形、含120°角等腰三角形）．BCCADDDOABOCAD第23頁利用菱形對角線特征，能夠得到菱形面積另一個求法：如圖l1、l2分別是菱形兩條對角線，有S菱形=l1l2l2l1第24頁二．菱形知識應用舉例：[例1]已知:菱形兩條對角線差等于3.2cm，它們比為1:2.求:菱形面積．

第25頁[例2]已知：如圖，正△AMN與菱形ABCD有一個公共點A，且邊長相等，M、N在BC、CD上，求∠BAD度數．分析：抓住菱形和正

都是軸對稱圖形且邊長相等這一特征，可得

ABM為等腰

，利用底角與頂點及菱形相鄰兩角數量關系可將問題得以處理。ABCDMN第26頁 解：∵菱形ABCD及等邊

AMN關于AC對稱 ∴

BAM

DAN 又∵菱形和等邊

邊長相等 ∴在

ABM中有AB

AM，設

BAM為x

，則

BAD

2x

60

∵AD//BC∴ 即 解得x

20

∴

BAD

2x

60

100

ABCDMN第27頁[例3]

已知：如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點，AB

AE，∠EAD

2∠BAE．求證：BE

AF．分析：線段BE和AF在位置上沒有特殊關系，應考慮等量代換，所以應從角關系入手找到BF和AF中間量ABCDEF第28頁解答：

∵菱形ABCD∴AD//BC∴

EAD

AEB ∵AB

AE∴

ABE

AEB 又∵

EAD

2

BAE又BD平分

ABC 即

ABF

EBF ∴

BAE

ABF∴AF

BF ∵

BFE

BAF

ABF

2

BAE ∴

BFE

BEF∴BF

BE∴BE

AFABCDEF第29頁[例4]已知：如圖，△ABC中，∠BAC

90°，AG、BD分別是高線和角平分線，且交于E，FD⊥BC于F，連EF．求證：四邊形AEFD為菱形．ABCDGEF第30頁

分析：若要判斷四邊形AEFD為菱形，可先證實四邊形AEFD為 因為AG是

ABC高，DF

BC，故AE//DF，只好再尋找一個條件。ABCDGEF第31頁[例5]已知：如圖，分別以△ABC各邊為邊，在BC邊同側作等邊△ABE、等邊△CBD和等邊△ACF，連結DE、DF．問：當△ABC滿足什么條件時，四邊形DEAF為矩形、菱形．FEDCBA第32頁

分析與解答：從圖形中可分析出：

EBD與

ABC是繞B點旋轉對稱圖形，有ED

AC

AF，同理AE

DF，所以四邊形AFDE為平行四邊形，

ABC形狀對這個四邊形有影響，當

EAF

90

時，AFDE為矩形，此時

BAC

360

90

2

60

150

，即

ABC中