一章線性方程組胡又改

第一章線性方程組1.1線性方程組

1.2矩陣及其初等變換

1.3線性方程組的矩陣解法

1.1線性方程組

一引例解路口A：路口B：路口C：路口D：即1交通問題

2化學(xué)方程式

解適當(dāng)?shù)剡x擇

，使化學(xué)反應(yīng)的方程式

為平衡方程式.令方程式兩邊的碳、氫和氧原子分別相等,得n元線性方程組的一般形式:齊次線性方程組:非齊次線性方程組:線性方程組的解集:方程組解的全體二.基本概念(1)如何判別方程組無解？有唯一解？有無窮多解？(2)如何求方程組的通解？(3)根據(jù)方程組解的判別定理，進(jìn)行理論證明。要解決的問題：(3)去掉，這里并沒有涉及三解法1線性方程組的初等變換

（1）交換任意兩個(gè)方程的位置；（2）任一個(gè)方程的兩邊同乘一個(gè)非零的實(shí)數(shù)；（3）任一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上

【注】線性方程組的初等變換是同解變換2求解舉例例1.1解線性方程組

解

回代

例1.2解引例1.1中的方程組

解

一定義1.2矩陣及其初等變換(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱為n階方陣或n階矩陣。(3)只有一行的矩陣稱為行矩陣或n

維行向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。稱為列矩陣或m

維列向量。(4)只有一列的矩陣【注】幾種特殊矩陣(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O

。(6)矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。(7)矩陣稱為對(duì)角矩陣。記作二兩個(gè)矩陣相等設(shè)，如果則稱A與B相等，記作A=B。問：與相等嗎？(3)把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，矩陣的三種初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換三矩陣的初等變換【注1】線性方程組也由其增廣矩陣表示，方程組的三種變換也可利用矩陣的初等行變換表示。如前例中：【注2】初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變換也有類似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換觀察上面4個(gè)矩陣有什么特點(diǎn)？

形如(1)、(2)的矩陣稱為行階梯形矩陣，形如(3)(4)的矩陣稱為行最簡(階梯)形矩陣.(行最簡形就是所謂的最簡單的“代表”)最后一名話不要下面矩陣也是行階梯形矩陣下面矩陣是行最簡階梯形矩陣定義…定義…【定理1.1】

每個(gè)非零矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣,進(jìn)而化為行最簡階梯形矩陣.

例1【問題】如果可以利用初等列變換，矩陣B可以化簡成的最簡單形式是什么？加注：階梯形不唯一，最簡階梯形唯一此問題可以考慮不要接例1形狀為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的?！窘Y(jié)論】用初等變換必能將矩陣化為如下等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形此頁可以考慮不要1.3線性方程組的矩陣解法

線性方程組系數(shù)矩陣：增廣矩陣：前面已經(jīng)用增廣矩陣求解了？【注】線性方程組與其增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，如系數(shù)矩陣：增廣矩陣：例1.4判斷下列線性方程組是否有解,若有解求其解.解

因?yàn)?，所?duì)應(yīng)的方程組中出現(xiàn)矛盾方程

“0=1”故原方程組無解.例1.5判斷下列線性方程組是否有解,若有解求其解.解對(duì)應(yīng)的同解方程組為：移項(xiàng)并配齊變量令為任意實(shí)數(shù)，則原方程組的通解為【定理1.2】

非齊次線性方程組解的存在性定理

非齊次線性方程組有解的充分必要條件是方程組對(duì)應(yīng)增廣矩陣的階梯形矩陣中沒有形如的行.例1.6求齊次線性方程組的通解解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為最簡階梯形再加上：在有解時(shí)，如果出現(xiàn)自由變量如何？如果沒有如何？同解方程組為移項(xiàng)并配齊變量令為任意實(shí)數(shù)，則原方程組的通解為【定理1.3】如果齊次線性方程組未知量個(gè)數(shù)(系數(shù)矩陣的列數(shù))

大于方程個(gè)數(shù)(系數(shù)矩陣的行數(shù)),則該方程組必