天津市東麗區(qū)華新共同體2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

天津市東麗區(qū)華新共同體2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期

期中數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.x~----=1B.\/3x2—2

x

C.f+y=2D.x+3=（-3）2

【答案】B

【解析】A.分母含有未知數(shù)，不是整式方程，不符合題意；

B.是一元二次方程，符合題意；

C.含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；

D.未知數(shù)的最高次數(shù)為1,不是一元二次方程，不符合題意；

故選：B

2.方程5尤2-1=4x化成一般形式后，二次項系數(shù)為正，其中一次項系數(shù)，常數(shù)項分別是

A.4,-1B.4,1D.-4,1

【答案】C

【解析】5/—l=4x化成一元二次方程一般形式是5x2—4x—1=0,

它的二次項系數(shù)是5,一次項系數(shù)是-4,常數(shù)項是T.

故選C.

3.若％=1是關(guān)于x的方程f-2%+c=0的一個根，則c的值為（)

A.-1B.0D.2

【答案】C

【解析】把1=1代入方程得：l2-2xl+c=8.

***1—2+c=6,

C=1

故選：C.

4.用配方法解方程――i()x+9=0時，配方所得的方程為()

A.(%—5)2=16B.(%—5)2=-16

C.(x+5)2=16D.(%-10)2=-16

【答案】A

【解析】了2—10%+9=0,

x~—lOx=—9,

龍2—10%+25=-9+25，

(x-5)2=16.

故選：A.

1,

5.拋物線y=](x—2)—3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(-2,-3)

【答案】A

19

[解析】拋物線y=-(x-2)--3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-3),

故選A.

6.二次函數(shù)y=ax2+bx-1(存0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),貝1Ja+6+l的值是()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】D

【解析】把(1,1)代入y=ar2+bx-1可得到a+b-i=i,即可得〃+;?=3,故答案選D.

7.已知拋物線>=/+灰+。的部分圖象如圖所示，若y<0,則x的取值范圍是()

A.-1cx<4B.-l<x<3

C.x<-1或x>4D.x<-1或x>3

【答案】B

【解析】根據(jù)圖象可知，拋物線的對稱軸為x=l,拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為(-1,0),

則(-1,0)關(guān)于x=l對稱的點(diǎn)為(3,0),

即拋物線與彳軸另一個交點(diǎn)為(3,0),

所以y<0時，x的取值范圍是

故選：B.

8.將二次函數(shù)丁二/的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)圖象

的表達(dá)式是()

Ay=(x+2)2+3B.y=(x+2)2-3

C.y=(x-2)2-3D.y=(x-2)2+3

【答案】C

【解析】?.?二次函數(shù)丁=必的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

...將二次函數(shù)丁=必的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)圖象

的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),

得到的函數(shù)圖象的表達(dá)式是y=(%—2)2—3,

故選：C.

9.點(diǎn)%),尸2(3,為)，尸3(5,%)均在二次函數(shù)y=—f+2%+c圖象

上，則%，為，%的大小關(guān)系是()

A.%>%>%B.%>%=%

C.%〉%>%D.%=%>%

【答案】D

【解析1y=-%?+2x+c，

對稱軸為X=1,P2(3,%)，尸3(5)內(nèi))在對稱軸的右側(cè)，y隨X的增大而減小，

：3<5,

力〉為，

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，Pi(-1,%)與(3,%)關(guān)于對稱軸對稱，

故%=%〉%，

故選：D.

10.某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元，

設(shè)平均每月降低的百分率為了,根據(jù)題意列出的方程是()

A.2500(1+%)2=3200B.2500(1-%)2=3200

C.3200(1-%)2=2500D.3200(1+%)2=3200

【答案】C

【解析】設(shè)平均每月降低的百分率為x,根據(jù)題意列出的方程是3200(1-x)2=2500,

故選：C

11.已知關(guān)于X的方程區(qū)2+(1—左)x—1=0,下列說法正確的是()

A.當(dāng)左=0時，方程無解

B.當(dāng)左=1時，方程有一個實(shí)數(shù)解

C.當(dāng)左=-1時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解

D.當(dāng)上WO時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)解

【答案】C

【解析】當(dāng)氏=0時，方程為一元一次方程X—1=0有唯一解x=l,.

當(dāng)上w0時，方程為一元二次方程，解的情況由根的判別式確定：

:△=（1—左J—4?左?（一1）=（左+爐，

???當(dāng)左=-1時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解，

當(dāng)左w0且左w-1時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解.

綜上所述，說法c正確.

故選：C.

12.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（g,1）,下列

結(jié)論：①〃Z?cVO；②〃+Z?=0；③4〃c-Z?2=4Q；④Q+/?+C〈O.其中正確的有（）個.

【答案】C

【解析】①??,拋物線開口向下，

??,拋物線的對稱軸為x=——b=g1,

2a2

:?b=-。>0,

???拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，

Ac>0,

abc<Of①正確；

②?.7=-a,

,,.Q+/?=0,②正確；

③??,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（^，1），

.4ac-b2?

..--------=1,

4a

4ac-/=4。,③正確；

④：拋物線的對稱軸為尤=/,

與x=0時y值相等，

,當(dāng)尤=0時，j=c>0,

...當(dāng)x=l時，y=a+b+c>0,④錯誤.

綜上所述：正確的結(jié)論為①②③.

故選：C.

二、填空題(本大題共6小題，共18。分)

13.已知一元二次方程/+3%+左=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則上=.

9

【答案】-

4

【解析】根據(jù)題意可得：判別式A=/—4ac=32—4左=0，

9

解得左=—

4

9

故答案為：—

4

14.二次函數(shù)y=爐-4x的最小值為.

【答案】-4

【解析】Vy=x2-4x=x2-4x+4-4=(x-2)2-4,

二次函數(shù)y=f—4x的最小值為T.

故答案為：-4.

15.己知函數(shù)y=2%+1的圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)，則。的值是.

【答案】?；?

【解析】由題意得：

當(dāng)。=0時，則函數(shù)解析式y(tǒng)=-2x+l,滿足與無軸只有一個公共點(diǎn)，

當(dāng)存0時，則函數(shù)y=a%2—2%+1的圖像與x軸只有一個公共點(diǎn)，需滿足廿一4"=0，

即4—4。=0,

,a=1,

綜上所述：當(dāng)函數(shù)>=取2一2x+l的圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)，貝I」。的值是。或1；

故答案為0或1.

16.一個三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊的長是方程(x-2)(x—4)=0的一個根，則

這個三角形的周長是.

【答案】13

【解析】(x-2)(x-4)=0,

x—4=0或x—2=0,

所以占=4,x2=2,

因?yàn)?+3<6,所以尤=2舍去，

所以三角形第三邊的長為4，

所以三角形的周長=3+6+4=13,

故答案為：13.

17.已知拋物線丁=以2一2奴+c與x軸一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(—1,0),則一元二次方程

ax1—2ax+c=0的根為?

【答案】占=—1,4=3

【解析】根據(jù)題意得：

—2cl

拋物線的對稱軸為直線%=-----=1,

2a

拋物線y=ax2-lax+c與九軸一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-L0),

根據(jù)對稱性可知拋物線與X軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),

，一元二次方程℃？—2℃+c=0的根為：%=-1,x2—3,

故答案為：Xj=-1,x2=3.

1,

18.如圖，將拋物線y=-萬/平移得到拋物線根.拋物線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和原點(diǎn)O,它

的頂點(diǎn)為P,它的對稱軸與拋物線丁二-^/交于點(diǎn)0,則圖中陰影部分的面積為.

【解析】連接OROQ,如圖

119Q

???平移后的拋物線機(jī)的函數(shù)解析式為y=—Q(X—6)-=-萬(％—3)一+3，

??.P]3q],拋物線機(jī)的對稱軸為直線x=3,

當(dāng)x=3時，y=-g(x-3)2,則點(diǎn)Q[3,—51,

19

由于拋物線y=--x2向右平移3個單位，在向上平移萬個單位得到拋物線

三、解答題（本大題共7小題，共66.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.解下列關(guān)于x的方程.

（1）（2%+1）2-9=0；

（2）Y—5%+2=0.

解：⑴V（2%+1）2-9=0,

.?.（2X+1）2=9,

2x+1=±3,

所以％1=1，%2=-2；

⑵5%+2=0，

Va=l,b=—5,c=2,

???△=/—44=（—5）2—4x1x2=25—8=17>0,

.5±A/175±折

??x=----------=-----------,

22

訴“5+7175-V17

20.已知拋物線丁=2必+云+°過點(diǎn)。,3）和（0,4）,求該拋物線的解析式.

3=2+Z?+c

解：：拋物線丁=2/+法+。過點(diǎn)（1,3）和（0,4）,~'''

4=c.

b——3

解方程組，得《

c=4.

，拋物線的解析式是y=—3x+4.

21.已知關(guān)于X的方程e2—5x+3a+3=0.

（1）若。=1,請你解這個方程；

（2）若方程的一個根為-2,求方程的另一個根.

解：（1）當(dāng)。=1時，原方程得，x2-5x+6=0,

因式分解得，（x—2）（x—3）=0,解得，石=2,々=3,

...原方程的解為：%=2,%=3.

17

（2）依題意得：（-2）9+10+3〃+3=0,解得，a=——,

?,?方程可轉(zhuǎn)化為：X2-5X-14=0,因式分解得，（x+2）（x—7）=0,

%---2,x,-7,

.?.另一根為x=7.

22.某學(xué)校開始有一名同學(xué)患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81名同學(xué)患了流感.

（1）每輪傳染中平均一名同學(xué)傳染了幾名同學(xué)？

（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感？

解：（1）設(shè)每輪傳染中平均一名同學(xué)傳染了x名同學(xué)，

則（1+X）2=81,

解得l+x=9或l+x=-9,

x=8或兀=一10（舍去），

答：每輪傳染中平均一名同學(xué)傳染了8名同學(xué).

（2）三輪傳染后（l+x）3=93=729（人）

答：三輪傳染后共有729人患流感.

23.己知關(guān)于x的一元二次方程以％+3左2=0.

（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若此方程的兩個實(shí)數(shù)根為,巧，滿足（石+超了-2x/2=20,求％的值.

解：（1）A=b2-4ac=（-Aky-4xl-3k2=16k2-12k2=4k2>Q,

該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）.?方程的兩個實(shí)數(shù)根再，x2,

2

由根與系數(shù)關(guān)系可知，為+%=4左，xrx2=3k,

2

（x；+x2）-2XJX2=20,

???16左2—6左2=20，

k=±V2-

24.如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形苗圃園，已知墻長為18米，設(shè)這

個苗圃園垂直于墻的一邊長為無米.

------------18m--------------?

〃〃/{//////〃〃//〃/〃/〃（〃/,

苗圃園

（1）若苗圃園的面積為72平方米，求x的值.

（2）若平行于墻的一邊長不小于8米，當(dāng)x取何值時，這個苗圃園的面積有最大值

解：（1）由題意可得，x（30—2x）=72,

即%2―15%+36=0，解得芭=3,4=12，

當(dāng)％=3時，30—2x=24>18,故舍去；

當(dāng)x=12時，30—7x=6,由上可得，x的值是12；

（2）設(shè)這個苗圃園的面積為S平方米，

由題意可得，S=x（30—2x）=—2（x—+/，

..?平行于墻一邊長不小于8米，且不大于18米，

.??8<30-2x<18,解得

15225

...當(dāng)x=K時，S取得最大值k，

22

答：當(dāng)工=」is時，這個苗圃園的面積有最大值2」25平方米.

22

25.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=依2+公+0（。/0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

c（3,6）,并與y軸交于點(diǎn)8（0,3）

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①所示，尸是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于第一象限，AP=2,求的面

積的最大值；

(3