2023-2024學(xué)年山東省泰安市肥城市高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省泰安市肥城市高三(上)段考數(shù)學(xué)試卷(9

月份)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)全集U={0,123,4,5},集合力={1,2,4},B={x|G<2,x6N},則Bn(Q4)=()

A.{0,3,5}B.{0,1,3}C.{0,3}D.{3,5}

2.若z(l-3i)=2-i,則W=()

A.i+|iB.C.l+iD.1-i

3.己知向量耳，久是平面內(nèi)的一組基底，若向量五=2可+3與與方=4瓦-2宅共線，則4的

值為()

A.1B.-1C.gD.

4.函數(shù)f(x)=J2/二=3的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(一8巾B.(―8,-1]C.康+8)D.良+8)

5.已知橢圓C：務(wù)、=l(a>b>0)的離心率為?，則()

A.a=2b2B.a=2bC.3a2=4b2D.3a=4b

6.已知圓4：/+y2一句,=o與圓B：/+y2-2%=o相交于。，C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)0是坐標(biāo)

原點(diǎn)，點(diǎn)4,B分別是圓4與圓B的圓心，則COSNO/C=()

A-B4C--IDI

7.設(shè)數(shù)列{即}的前n項(xiàng)和為無(wú)，設(shè)甲：{即}是等差數(shù)列；乙：對(duì)于所有的正整數(shù)n,都有%=

迎詈4則()

A.甲是乙的充要條件

B.甲是乙的充分條件但不是必要條件

C.甲是乙的必要條件但不是充分條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.設(shè)a6(0,力。€(0[),且tana則()

zLi—smp

A.2a—p=nB.2a+￡=兀C.2a—]D.2a+￡=]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.一組樣本數(shù)據(jù)由10個(gè)互不相同的數(shù)組成，若去掉其中最小的和最大的兩個(gè)數(shù)得到一組新

樣本數(shù)據(jù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)可能相同

10.在天文學(xué)中，星等是衡量天體光度的量，是表示天體相對(duì)亮度的數(shù)值.天體亮度越強(qiáng)，星

等的數(shù)值越小，星等的數(shù)值越大，天體的亮度就越暗.兩顆星的星等與亮度滿足=

|lg|j,其中星等為山上的星的亮度為a（憶=L2）.已知太陽(yáng)的星等是一26.7,天狼星的星等是

-1.45,南極星的星等是一0.72,則（）

A.天狼星的星等大約是南極星星等的2倍

B.太陽(yáng)的亮度與天狼星的亮度的比值是10.1

C.天狼星的亮度與太陽(yáng)的亮度的比值是io-1?！?/p>

D.天狼星的亮度與南極星的亮度的比值是10-°，292

11.己知函數(shù)/（%）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足/'（2+%）=/（2-%）,當(dāng)0￡X42時(shí)，/（%）=

X2-X,貝1」（）

A.f（x）的最小值是—最大值是2B./（x）的周期為4

C./（2023）=2D.￡晉3/⑷=ioi2

12.下列幾何體中，可完全放入一個(gè)半徑為2的球體內(nèi)的是（）

A.棱長(zhǎng)為2的正方體B.底面半徑為1,高為2，谷的圓錐

C.棱長(zhǎng)為E的正四面體D.底面邊長(zhǎng)為2,高為，的正四棱錐

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.現(xiàn)有6名志愿者報(bào)名參加某項(xiàng)暑期公益活動(dòng)，此項(xiàng)公益活動(dòng)為期兩天，每天從這6人中安

排3人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式有種.

14.將半徑是5,圓心角是系的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處忽略不計(jì)），則該圓錐的體積為

15.已知函數(shù)/（均=2細(xì)（5：+9）,（3>0,|0]<今在區(qū)間（一睛）上單調(diào)遞增，直線x=Y

和x=/函數(shù)y=/（乃的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸，則/慮）=.

J1Z

16.已知雙曲線C：言一，=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是Fi，F(xiàn)2.點(diǎn)M為C左支上的一

點(diǎn)，過(guò)尸2作與x軸垂直的直線I,若M到，的距離d滿足IMF2I=|d,則C的離心率e的取值范圍

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=135。，b=2,c=y/~2.

(1)求sinC的值；

(2)若。是BC上一點(diǎn)，ACLAD,求△ABD的面積.

18.(本小題12.0分)

如圖，四棱柱48co—41當(dāng)6。1中，44]JL平面48C。，AB//CD,AB1AD,AB=2CD=4,

AD=3.

(1)求證：CD1〃平面ABBMi；

(2)若CD1與平面4BCC所成角為60。，求平面AC。1與平面BCG/夾角的余弦值.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=+a&R.

(1)討論函數(shù)/'(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明f(x)2專.

20.(本小題12.0分)

記立為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，已知的=1,----=八二

unan+l八?2

(1)求｛a.｝的通項(xiàng)公式;

(2)令%=表，證明：黨+鋁+...+嚀鏟

21.(本小題12.0分)

甲、乙兩個(gè)不透明的袋子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)袋中各任

取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行n(n€N*)次操作后，記甲袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，甲袋中恰有1個(gè)黑球

的概率為與，恰有2個(gè)黑球的概率為bn.

(1)求％的分布列；

(2)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(3)求X”的數(shù)學(xué)期望E(Xn).

22.(本小題12.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)F(0』)，且與定直線，：y=一［相切，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

(1)求皿的方程；

(2)已知正方形4BCZ)有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，求正方形4BCD面積的最小值.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：因?yàn)槿疷=[0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,4},B={x|C<2,%EN}={0,1,2,3},

所以CM={0,3,5},

貝=[0,3].

故選：c.

由已知結(jié)合集合補(bǔ)集及交集運(yùn)算即可求解.

本題主要考查了集合的補(bǔ)集及交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解:z(l-3i)=2-1,

則Z=-=(2T)(l+3。

7l-3i(l+3t)(l-3i)

故w=A毀

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共朝復(fù)數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共舸復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由題意有,〃石，即存在teR，使得石=tW，

即；I瓦一2石=t(2瓦;+3荔)，又瓦(與孩不共線，

則有2t解得

故選：D.

根據(jù)向量共線定理，列方程求解即可.

本題考查平面向量共線定理，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：對(duì)于函數(shù)f(x)=72x2一%一3,應(yīng)有2--久一320,求得xW-1或x2|,

故函數(shù)的定義域?yàn)?—8,—1]U[1,4-oo).

再根據(jù)二次函數(shù)y=2x2-x-3的性質(zhì)，可得函數(shù)/(無(wú))的增區(qū)間為[|,+00).

故選：c.

由題意，根據(jù)二次函數(shù)、偶次根式的性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查二次函數(shù)、偶次根式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查橢圓中長(zhǎng)半軸與短半軸的關(guān)系，解題時(shí)要注意橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)離心率公式，可得號(hào)=三,再結(jié)合公式=扭+?2,即可求解.

aL4

【解答】

解：由題意可得e=￡=蟲，B嗎=。，

a2a」4

222

va=64-cf

??.a2=b24-即十=4b2,

4

va>6>0,

**?a=2b.

故選：B.

6.【答案】D

【解析】解：圓A：%2+丫2-4丫=0的圓心為4(0,2),半徑為2；圓8：/+-2%=0的圓心為

8(1,0),

半徑為1，

聯(lián)立圓4：%2+y2-4y=0與圓B：%2+y2-2%=0,解得％=0,y=0或％=y=p

所以c(D

所以|40|=14cl=2,|OQ=亨,

所以COSN。4c=四『+|4。12Toe」3

rJcoszf^c-2\AC\\AO\s)

故選：D.

利用余弦定理求解即可.

本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：若數(shù)列｛。九｝是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式，可知sn=迎野成立；

反之，若Syt=幾(。；。7?),則2Sn=九(%+an),

當(dāng)九>2時(shí)，可得2s71T=(n-l)(Qi+Qn_i),兩式相減得2(Sn-Sn_J=%+nan-(n-l)an_i，

即2an=%+nan-(n-l)Qn-i，整理得由+(n-2)an-(n-1)冊(cè)-1=0,

以n+1代換九，得的+(n-l)an+1-nan=0,兩式相減得(九-l)an+1-(2n-2)an4-(n-

1)%-1=

等式的兩邊約去九一1,得an+i-2an+a兀.i=0,即冊(cè)+i-Qn=-Qn-i，可知｛an｝是等差數(shù)

列.

綜上所述：設(shè)甲：包工是等差數(shù)列；乙：對(duì)于所有的正整數(shù)人都有&=幽押，則甲是乙的充

要條件.

故選：A.

根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的概念進(jìn)行正反推理，即可得到本題的答案.

本題主要考查了充分條件與必要條件的判斷、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式等知識(shí)，屬于中檔題.

8.【答案】C

zpjsinacosp

【解析】解:得---=

cosal-sin?'

可得：sina—sinasinp=cosacosp.

:.sina=cosacosp+sinasinfi=cos(a—/?),

vaG(0^),/?￡(0,今,

：■cos(a-/?)>0,

a+a-/?=p即2a-/?=/

故選：C.

化切為弦，再由兩角和與差的公式化簡(jiǎn)即可.

本題考查兩角和與差的公式化簡(jiǎn)和計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于AC,設(shè)10個(gè)互不相同的數(shù)分別為Xi，X2>%3，%，%5，x6,x7,x8,x9,x10,

xxxxXXXX

且XI<X2<3<4<5<6<7<8<9<10>

這10個(gè)數(shù)據(jù)的極差為修。一Xi，

去掉Xl，Xi。后，新樣本數(shù)據(jù)的極差為的-犯，

?*,Xx-X2<0<X10-X9,???孫一乃V%10一，故A正確;

這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為福/，

去1掉：%1，%]。后,新的數(shù)據(jù)從小到大為％2，%3，%4，%5，%6，%7，%8,%9,

這8個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為空，

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同，故C正確；

BD選項(xiàng)，設(shè)這10個(gè)數(shù)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

平均數(shù)為擊(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=5.5,

5.5)2+(8-5.5)2+(9-5.5)2+(10-5.5)2]2=8.25,

去掉1,10后，2,3,4,5,6,7,8,9的平均數(shù)為：(2+3+4+5+6+7+8+9)=5.5,

O

方差為J[(2-5.5)2+(3-5.5)2+(4-5.5)2+(5-5.5)2+(6-5.5)2+(7-5.5)2+(8-

O

5.5)2+(9-5.5)2]=5.25,

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同，故。正確，兩組樣本的方差不同，故8錯(cuò)誤.

故選：ACD.

XXXXx

對(duì)于4C,設(shè)10個(gè)互不相同的數(shù)分別為亞，乂3，4>5'6'7>》8，%9>%1O>且/<X2<3<

X4<XS<X6<X7<X8<X9<X10,推導(dǎo)出前后兩組的極差不同，同位數(shù)相同；BD選項(xiàng)，設(shè)這10

個(gè)數(shù)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,計(jì)算出前后兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，方差不同.

本題考查極差、方差、中位數(shù)、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4由天狼星的星等是-1.45,南極星的星等是一0.72,可得-1.45+(-0.72)?2,

所以天狼星的星等大約是南極星星等的2倍，故A正確；

對(duì)于B:由62-巾1=|恒黑，可得恒胃=((巾2-巾1)，

因此察=10施2-叫)，根據(jù)題意得mi=-26.7,m2=-1.45,

七2

2

所以r?=10式T45+2&7),所以太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為101。],故B錯(cuò)誤；

E2

對(duì)于C：由B可知天狼星的亮度與太陽(yáng)的亮度的比值是10-21,故C正確；

對(duì)于0：由瓶2一瓶1=?恒"，可得Ig3=1(ni2—血1)，

z￡；2乙2〉

因此粵=10如2-n),根據(jù)題意南極星的星等是皿2=-0.72,天狼星的星等是一1.45,

七2

"=10t。72+1.45)=100.292,所以天狼星的亮度與南極星的亮度的比值是，故。錯(cuò)誤.

Ez

故選：AC.

利用已知條件結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的條件計(jì)算可判斷其正誤.

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解：由于/(2+x)=f(2-x),所以f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

由于f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以“X)是周期為4的周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確；

當(dāng)0<%<2時(shí)，/(x)=x2-%,

當(dāng)-2〈xW0時(shí)，0W-x<2,所以/'(%)=/(-X)=(-x)2-(-x)=/+%,

當(dāng)時(shí)，/(X)=，一方的開口向上，對(duì)稱軸為x=：,

所以/'COmax=f(2)=2,f(X)min=/(1)=-]

根據(jù)“乃的周期性、對(duì)稱性可知f(x)的最小值是-泉最大值是2,4選項(xiàng)正確；

“2023)=/(2024-1)=/(-I)=/(I)=I2-1=0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

f(l)=0./(2)=2,"3)=/(—1)=/(1)=0,f(4)=/(0)=0,

/⑴+f⑵+/⑶+f(4)=2,

所以￡普3/@)=竿*2+0+2+0=1012,。選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性求得正確答案.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)4棱長(zhǎng)為2的正方體，其外接球的直徑等于體對(duì)角線長(zhǎng)，

即2R=2C，:R=C<2,所以棱長(zhǎng)為2的正方體可以完全放入半徑為2的球內(nèi)，故A正確;

A

對(duì)B,如圖，可得R2=(2/3-R)2+12,解得R2=而<4,...R<2,

所以底面半徑為1,高為的圓錐可以完全放入半徑為2的球內(nèi)，故8正確;

對(duì)C,將正四面體補(bǔ)形成正方體，即正四面體的外接球就是所在正方體的外接球,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則d=Ca,即。=等，

所以外接球的直徑2R=a=律，即/?=竿>2，

所以棱長(zhǎng)為E的正四面體不可以完全放入半徑為2的球內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)0,如圖，設(shè)正四棱錐外接球半徑為R,則有R2=(Q"—R)2+2,

解得R=7第<2,所以底面邊長(zhǎng)為2,高為，的正四棱錐可以完全放入半徑為2的球內(nèi)，故。

正確.

故選：ABD.

根據(jù)題意，分別求出力，B,C,。四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)幾何體的外接球半徑，即可判斷.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查推理論證能力，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

13.【答案】180

【解析】解：有6名志愿者報(bào)名參加某項(xiàng)暑期公益活動(dòng)，此項(xiàng)公益活動(dòng)為期兩天，每天從這6人中

安排3人參加，

則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式有：Cl-Cl-Cl=180（種）.

故答案為：180.

先選出1人在這兩天都參加的分法，然后安排其它志愿者即可.

本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】史尹

【解析】解：扇形的弧長(zhǎng)為票X5=4TT,

設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為八，

則27rr=47r,

???r=2,

???h=V52—r2=V25—4=V21,

?,.圓錐的體積為"xnr2xh=%^兀.

故答案為：罕兀.

根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出圓錐的底面半徑，進(jìn)而求出圓錐的高，再利用圓錐的體積公式求解即可.

本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2sin（3尤+,）在區(qū)間（一睛）上單調(diào)遞增，且直線“一割工建為

函數(shù)y=/（x）圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸，

所以7=2x[＞（_/=心解得3=竿=2,

由出）=2sin（2x/0）=2,得與+@=＞2＞兀,k&Z,

又因?yàn)閨8|所以＜?=一qf（x）=2sin（2x-^）,

所以f聯(lián)）=2sin（2x'一%）=2s譏1-V-3.

XXiJ.o

故答案為：

由題意求出T和3、W，寫出函數(shù)f(x)的解析式，計(jì)算/的即可.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】(|,+8)

【解析】解：不妨設(shè)m<-a,

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，

又F2c0),

過(guò)F2作與x軸垂直的直線I,若M到，的距離d滿足IMF2］=|d,

22

此時(shí)d=-m+c,\MF2\=y/(m—c)4-n,

即J—c)2+於二|(-m+c),

整理得污=|(m—c)2,

所以b27n2-平(m—c)2=a2b2,

即(4/)2-5a2)m2+10a2cm—5a2c2—4a2b2=。，

222

所以(4墳—5a)m+10acm—5a2c2_4a2b2=0在7n(-8,-a］上有解,

此時(shí)A=144a2M>0,

不妨設(shè)/(m)=(4b2-5a2)m2+10a2cm-5a2c2_4。2b2,

止匕時(shí)f(0)=-5a2c2—4a2b2<0,/(—a)=-5a4—10a3c—5a2c2<0,

要使(4爐—5a2)m2+10a2cm—5a2c2—4a2b2=0在^(-8,-q］上有解,

需滿足4b2-5a2>o,

即4(c?—a2)—5a2>0,

所以4c2>9Q2,

即今>r

解得￡>5，

a2

則離心率e的取值范圍為有+00）.

故答案為：（|,+8）.

由題意，設(shè)M（m,71）,m<-a,將IMF2I=|d用含有rn的式子表示出來(lái)，得到關(guān)于m的一元二次

方程，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的一元二次方程在me（-8,-幻上有解問(wèn)題，結(jié)合根的判別式和特

殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到4b2-5a2>0,進(jìn)而可得離心率的取值范圍.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

17.【答案】解：（1）在AABC中，由余弦定理得，a?=b2+c2-2bccos4=4+2-2X2X，NX

（-詈）=10，

所以Q=7io,

由正弦定理得,

sinA—sinCf

Qx?

所以sinC=M=/To

aOo10

(2)因?yàn)锳C1AD,所以=90°,

由(1)知,sinC=罕,所以tcmC=；,

1U3

在RtAACC中，tanC=緣

所以AD=ACtanC=早

因?yàn)?BAD=/.CAB-乙CAD=135°-90°=45°,

所以SMBO=-AD-sin^BAD=ix7^x|x^=i.

【解析】(1)在△力BC中，利用余弦定理，求得a的值，再由正弦定理，求出sinC,即可；

(2)結(jié)合(1)中所得，可求出tanC和40的值，再由三角形的面積公式，得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正余弦定理，三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明:在四棱錐4BCD-4/iGDi中,

???AB//CD,CDC平面力

48<3平面488出，二CD〃平面488出，

?:AA]〃DD[,DZ)iC平面4BB141，AAt

DO1〃平面4BB14,

又：0CCIDD1=D,二平面〃平面CDD1G，

vCDru平面COOiG，COi〃平面4B8出.

(2)A41平面4BCD,ABA.AD,可得AB,AD兩兩垂直，

以AD,AB,44所在直線分別為％軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

CD1與平面2BCD所成角為zDiCD,???4D〔CD=60°,

???CD=2>DD、—又AB=2CD—4,AD—31

4(0,0,0),B(0,4,0),C(3,2,0),8式0,4,2<3),Q(3,0,2<3),

設(shè)平面AC。1的法向量記=(x,y,z),

vAC=(3,2,0),福=(3,0,2C)，

???m-AC=0>m-ADr~0>

(3x+2y=0,

令z=--3,得x=2,y=-3,可得記=(2,-3,_q).

(3x+2V_3z=0

設(shè)平面BCC1%的法向量記=(a,b,c),

兩一(()/)，2VHj.TF—13.2m.

二眄?里=2Cc=0,令“a,得y=3,z=0,

(jn-BC=3a-2b=0

可得記=(2,3,0)，

|cos(沅汨>|=黯=

~52~,

???平面ACDi與平面BCGBi夾角余弦值為四J.

【解析】(1)由力B〃CD,得CD〃平面ABB14,由44J/CD1，得。。1〃平面4BB遇］，從而平面

48814〃平面CDDiG,由此能證明CD1〃平面4BB14.

(2)以4D,AB,4公所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系力一xyz,利用向量法

能求出平面4CZ\與平面BCG/夾角余弦值.

本題考查線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)、二面角的定義及余弦值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，是中檔題.

19.【答案】解：(1)函數(shù)f(%)的定義域是(0,+8),

f'(y_1a_x-a

f⑺v一丁逗一丁，

當(dāng)aW0時(shí)，f(x)>0,/(x)在(0,+8)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，若x>a,則f'(x)>0,函數(shù)>%)在(a,+8)遞增,

若0<x<a時(shí)，則/(久)<0,函數(shù)<x)在(0,Q)遞減;

(2)由(1)知,當(dāng)a>0時(shí),f(x)min=f(d)=Ina+1>

要證f(%)N等，只需證明仇a+IN審，

即只需證明Ina4--a-1>0,

構(gòu)造函數(shù)g(a)=Ina+，一1,

則d(a)="=9'

故g(a)在(0,1)遞減，在(1,+8)遞增，

故9(a)min=5(1)=0,

SfcZna4---1>0恒成立，

a

故/(X)>等?

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)求出函數(shù)的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明)a+，-120,構(gòu)造函數(shù)g(a)=，na+：-1,根據(jù)函數(shù)

的單調(diào)性證明即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題.

20.【答案】⑴解：由，一9一=擊，得"—廣~=今

0nan+1Z5nanan+i乙

1

2,

.S-+La>+i_SJI___工叩S^+i__工

“n+10n2^n+12

又的=1,*>?含=1,

，數(shù)列｛加｝是以1為首項(xiàng)，￡為公差的等差數(shù)列，

唔=1+如-1）=竽,即％=等即，

可得%+1=與^。九+1，則％1+1=歿^。72+1一等1即，

日nnn+1

NJ2an+l=~~^anf

???篝若…？=1，

因此｛Qj的通項(xiàng)公式為Qn=H;

（2）證明：由（1）得：b“=；

1]

>T~2V_n-(n+l),

1111

,[五.(九+1)V^i-Vn+l-Vn+1Vn+1>J~H7幾+1

=7^+TX(a-7^+T)XY"+；-1-=7=yX(y/n+1+y/~n)X島-^=j)

<2（六一焉），

bbbb

.l-2i^2-3i,n-bn+1

.?二nr+fFT

<q［（言-為）+（力一擊）+…+（六一焉）］=一焉）<

【解析】（1）由已知可得數(shù)列｛*｝是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，即可求｛即｝的

an乙

通項(xiàng)公式；

（2）把（1）中求得的｛即｝的通項(xiàng)公式代入與=/，然后借助于裂項(xiàng)相消法求和證明原不等式.

￡an

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題.

21.【答案】解：（1）甲、乙兩個(gè)不透明的袋子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從

兩個(gè)袋中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行n（n6N*）次操作后，記甲袋中黑球個(gè)數(shù)為X”，

則X］的可能取值為0,1,2,

c、122n/vY、11.225n/v212

P(X1=O)=-x-=->P(X1=l)=-x-+-x-=-,P(X1=2)=-x-=-.

Xi的分布列為：

%012

252

p

999

(2)甲、乙兩個(gè)不透明的袋子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)袋中各任

取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行n(n€N*)次操作后，

由全概率公式可知：

P(Xn+i=1)=P(Xn=l)P(Xn+i=1|X“=1)+P(Xn=2)P(Xn+1=l|Xn=2)+P(Xn=

O)P(Xn+l=1品=0)

112222

=dx|+|x今P(Xn=1)+(|xl)P(Xn=2)+(1X=P(Xrt=0)

S22

=沁X”=1)+|P(Xn=2)+稱P(Xn=0),

甲袋中恰有1個(gè)黑球的概率為斯，

52212

所以Q/i+1=9an+§bn+§(1~an-%)，即的i+l=-+§，

31,3、

an+l.g=一§一g)'

又川1);，

所以數(shù)列a-|｝是以的一卷為首項(xiàng)，以V為公比的等比數(shù)列，

%一I=(一?x(—扔-]=|x(—扔，即｛%｝的通項(xiàng)公式即=|+看x(—扔；

(3)由全概率公式得：

P(X“+i=2)=P(Xn=l)P(Xn+i=2|X“=1)+P(Xn=2)P(Xn+i=2\Xn=2)4-P(Xn=

0)P(Xn+i=2\Xn=0)

711

=(|x|)xP(Xn=1)+?x1)xP(Xn=2)+0xP(Xn=