2023-2024學(xué)年四川省成都東部新區(qū)高一年級下冊期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都東部新區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

一、單選題

1.cos20°COS10°-sin20°sin10°=()

A.sin10B.cos10C.5D.—

22

【正確答案】D

【分析】利用兩角和的余弦公式的逆應(yīng)用直接求解即可.

、、行

【詳解】cos20cos100-sin20sin10"=cos(20+10)=cos30=-^-.

故選：D

本題考查了兩角和的余弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知向量。=(1,2)力=(l,0),c=(3,4),若4為實(shí)數(shù)，(b+/la)，c,則一的值為

A.-AB.-UC.1D.鄉(xiāng)

11325

【正確答案】A

［分析］根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】解：由S+/kf)_Lc,得(6+2。)?，=(),

又。=(L2),b=(1,0),c=(3,4),得b+2.a—(\+A,2A),

3

(b+-c—30+彳)+4x24=0)解得4=-~.

故選：A.

3.命題。：”向量”與向量b的夾角夕為銳角”是命題4：“4力>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算分析判斷

【詳解】若向量a與向量b的夾角。為銳角，則a?=WWcos9>0,

當(dāng)心6>0時，向量a與向量b的夾角，可能為0°,

所以命題P是命題4的充分不必要條件，

故選：A

JT7T

4.右3cos2a=2sin(——a),a￡(—,?)則sin2a的值為()

42

A.一逑B.--C.--D.-

9999

【正確答案】C

【分析】先化簡3cos2a=2sin(f-a)得cosa+sina=立，再平方即得解.

43

TT

【詳解】因?yàn)?cos2a=2sin(二一a),

4

所以3cos2a=2(sin-cosa-cos—sina)=&cosa-拒sina,

44

所以3(cos2a-sin2a)=72(cosa-sina),

所以3(cosa+sina)(cosa-sina)=拒(cosa-sina),

因?yàn)閍eg7),所以cosa-sinao。，

所以3(cosa+sina)二上，

所以cosa+sina=,

3

2

兩邊平方得，1+sin2a=§,

7

所以sin2a=-§,

故選：C

本題主要考查三角恒等變換，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的應(yīng)用，意在考

查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

5.已知向量。=。,@,0=(3,tan。)，若向量a,b的夾角為器，則6=()

A.0B.-C.-D.-

632

【正確答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

/i\_a,b_3+V3tan0

【詳解】由題意可知，…=麗=正向.即J，即tan"G

因?yàn)?464兀，所以6=1.

故選：C.

6.在一/lBC中，點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC，MN=xAB+yAC,則x+y=()

A.-B.-C.!D.1

632

【正確答案】B

【分析】由已知得MN=MC+CN=gAC+；CB,由此能求出結(jié)果.

MN=MC+CN=-AC+-CB

32

=gAC+g(AB-AC)

=-AB--AC

26

=xAB+yAC，

11

."=5'『

111

.\x+y=------=-

263

故選：B.

7.函數(shù)/0)=cos(s+e)的部分圖像如圖所示，則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

13

B.Qki——,2&乃+—),2GZ

44

1313

C.(k—,kH—),kwZD.(2左-+1),%￡Z

44

【正確答案】D

171

一0+0=——

4，97T7T

【詳解】由五點(diǎn)作圖知，｛:；,解得0=乃，所以/(元)=以雙門+￡),令

53萬44

—co+(p=—

42

2k兀<7rxH—<2k兀+7T,kGZ,解得2k—<xv2kH—,kwZ,故單調(diào)減區(qū)間為2k—2kH—,

44444

ZeZ,故選D.

三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

8.已知向量”=(x,6),6=(3,4),且d與/，的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為()

A.[-8,+<?)B.[停,+8)C.-8,5M*+8

D.(-8,+oo)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量夾角為銳角，則數(shù)量積為正數(shù)從而求得參數(shù)的初步范圍；再排除向量平行對應(yīng)

的參數(shù)值，即可求得結(jié)果.

9

【詳解】若〃///?，則4x=18,解得尤=萬.

9

因?yàn)?。與b的夾角為銳角，，天工耳.

又a/=3x+24，由。與。的夾角為銳角，

???。力>0，即3x+24>0,解得無>—8.

XVx^l，所以xe(-8，S以(|,+8).

故選.8

本題考查利用數(shù)量積由夾角的范圍求參數(shù)的范圍，屬基礎(chǔ)題.

二、多選題

9.設(shè)〃、/八C是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是()

rrrrrr、

A.0a=0B.(a?4c=a.?c)

C.a-b=0=>aYbD.(a+b).(a-，)=忖-%

【正確答案】AB

利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對于A選項(xiàng)，0.a=0,A選項(xiàng)錯誤；

對于B選項(xiàng)，(；勺；表示與c共線的向量，力；)表示與a共線的向量，但a與c不一定共線,

B選項(xiàng)錯誤；

對于C選項(xiàng)，a-b=O^alb，C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)，+==忖-卜］,D選項(xiàng)正確.

故選：AB.

本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律，考查計(jì)算能力與推理能

力，屬于基礎(chǔ)題.

10.如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）

該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時運(yùn)動速度為零

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時運(yùn)動速度為零D.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.8s

【正確答案】CD

【分析】由題圖求得質(zhì)點(diǎn)的振動周期可判定A錯，D正確；由簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)，可判定B錯，C

正確.

【詳解】對于A,D,由題圖可知，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為2X（0.7-0.3）=0.8S,所以A錯，D正確;

對于B,C,由簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)知，質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運(yùn)動速

度最大，在0」s和0.5s時運(yùn)動速度為零，故B錯，C正確.

綜上，CD正確.

故選：CD.

7T

11.如圖，YA3c。中，AB=\,AD=2,ZBAD=-,E為C。的中點(diǎn)，AE與DB交于F,則

下列敘述中，一定正確的是（）

AB

numIuun2UUD

A.8F在AB方向上的投影為0B.AF=-AB+-AD

C.法.防=iD.若a=《NEA8,則tana=3

【正確答案】ABC

【分析】由余弦定理以及勾股定理可得3D//W,可判斷A,根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及共線

的性質(zhì)即可判斷B,由數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解C,由向量的夾角公式即可判斷D.

【詳解】對于A,因?yàn)?y]AD2+AB2-2AD-ABcosABAD=Vl+4-2=0,

AD2=AB2+BD2，所以班)143,即〈BF,AB〉=90。，8尸在A8上的投影為I"|cos〈8尸,A8〉=0,

故A正確;

對于B,因?yàn)锳E=AO+OE=AO+^AB,]§：AF=AAE=A(AD+-AB)=AAD+-AAB,

222

1?LILHIiinm7uni

因?yàn)?,F,。三點(diǎn)共線，所以；1+整=1,所以4=3,所以AF=；A3+：A。，所以B正確；

12[，212

對于c,AFAB=(-/4B+-AD)AB=-AB-+-ABAD=-+-xlx2x-1=l,CIF確.；

3333332

Fj24~4J1」

對于D,因?yàn)閨A/q=.—A3-+—AQ-+—AB-AO=三，

丫9993

_AFAB_1_&Tc.

所以3'兩兩=藥=亍，如果tana=正，又因?yàn)閍=："AB=30。，

亍3

所以NE4B=2?=60。，不滿足cos"A8=qi,故D不正確.

故選：ABC

12.將函數(shù)〃x)=2cos[n+?)-l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，

再把所得函數(shù)的圖象向右平移。(*>0)個單位長度，最后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則。的

值可以為()

A.HB,1C.2D.2

6663

【正確答案】AC

【分析】本題首先可以將〃x)=2cos2"+11-1轉(zhuǎn)化為/(x)=cos(2G+g),然后通過圖象變

換得出函數(shù)6(X)=COs"-”+(),最后通過函數(shù)/心)=8$[》-”+?)是奇函數(shù)即可得出結(jié)

果.

【詳解】/(x)=2cos2「x+=cosb乃x+g],

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍后，得到函數(shù)g(x)=cosHx+qJ,

再把所得函數(shù)的圖象向右平移以9>。)個單位長度，得到函數(shù)〃("=8$卜-物+?),

因?yàn)楹瘮?shù)〃(x)=cos(萬尢一0萬+:|)是奇函數(shù),所以//(°)=?)$(一夕乃+。)=0,

即一。萬+生=己+%萬四€Z),解得夕=一［-上，

326

故夕的值可以為U、

66

故選：AC.

本題考查余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象變換，考查二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)V=cos2x的

橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍后得到函數(shù)y=cosx,再向右平移。個單位長度得到函數(shù)y=cos(x-e),

考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.

三、填空題

13.函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為.

【正確答案】不

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的有界性求解即可.

【詳解】解：函數(shù)/(x)=2cosx+sinx=石(^y^-cos.r+^-sinx)=>/5sin(x+0),其中tan6=2,

可知函數(shù)的最大值為：亞.

故答案為石.

通過配角公式把三角函數(shù)化為〉=4"11(5+9)+8的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時

注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征.一般可利用|asinx+bcosx|4>/7壽求最值.

14.定義關(guān)于向量的運(yùn)算法則=無(。+勸)，若帆=(1,2),〃=(2,1),貝IJ

(/〃一〃)《(〃?+“)=.

【正確答案】2

【分析】先計(jì)算機(jī)-〃=(-1/)，加-"+2(加+〃)=(5,7),再結(jié)合新定義轉(zhuǎn)化為計(jì)算兩者的數(shù)量積

即可.

【詳解】因?yàn)椤?"=(-1/)，m-n+2^m+n^=3m+n=(5,7),

=-lx5+lx7=2.

故2

15.已知時=5,萬=（2,1知且a"b，則向量°的坐標(biāo)是.

【正確答案】（2技揚(yáng)或（-2底-局

【分析】先設(shè)“=",〉），根據(jù)題中條件，列出方程組，求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)”=（x,y）,

因?yàn)镮a1=5,1=(2,1),且a///?,

x-2y=0x=2#)

所以解得

x2+y2=25)=6

因此向量”的坐標(biāo)是（2行,石）或（-26,-石）.

故答案為（20，右）或（-2石,-石）

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.

16.已知函數(shù)/（x）=sin卜+今），其中xG-y,a,若/（x）的值域是一；/，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

【正確答案】?，萬

【分析】由已知得》+￡右卜1，〃+￡],建立關(guān)于a的不等式可得答案.

6L6o

【詳解】VxE-,.\x+^e~~7,a+T，

3」66o

???/（x）的值域?yàn)椤敢?』，所以gwa+gwg,解得￡為女.

2J2663

?J萬

故石'".

本題考查正弦型函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

四、解答題

17.已知單位向量a,8滿足（2"3。）（2。+/?）=3.

（1）求a.b;

（2）求忸M的值.

【正確答案】a）-g；（2）板.

【分析】（1）利用單位向量的定義、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出;

(2)利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】⑴由條件4a2+24%—6d4—3萬2=3,

即4-4。萬-3=3，

,1

ab=——

2

(2)\2a-b^=4/-44加+62=4+1-4*(_；)=7,

/.\2a-b\=>/l

本題主要考查了求向量的數(shù)量積和向量模，解題關(guān)鍵是掌握向量的基礎(chǔ)知識，考查了分析能力和

計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知函數(shù)/(x)=6cos(2x-1)-2sinXCOSX.

(1)求/(X)的最小正周期；

jrrr

(2)求當(dāng)xe時，/(x)的值域.

【正確答案】(1)乃；(2).

【分析】(1)展開兩角差的正弦，再由輔助角公式化簡，利用周期公式求周期；

(2)由x的范圍求出相位的范圍，再由正弦函數(shù)的有界性求/(x)的值域.

【詳解】(1)/(》)=Geos(2x-()-2sinXCOSX

=A/3—cos2x+sin2x-sin2x

22

\7

6cl.c/

=——cos2x+—sin2x=sin2x+一,

22L3)

_24

T=—=71,

2

\f(x)的最小正周期為萬；

,、「4/r],龍■「454

(2)xe--2x+e,

44J366一

,■.-l<sin^2x+^<l,\f(x)的值域是一；,1.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期性，三角函數(shù)值域等問題，考查三角函數(shù)和差

公式、二倍角公式及圖像與性質(zhì)的應(yīng)用，難度不大，綜合性較強(qiáng)，屬于簡單題.

19.已知點(diǎn)A(L1),B(2,lnf),0為坐標(biāo)原點(diǎn)

(1)若A,B,。無法構(gòu)成三角形，求，；

(2)若一AB。為直角三角形，求r.

【正確答案】(Dye?

⑵r=l或f=±

e-

【分析】(1)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，

(2)由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可列式求解.

【詳解】(1)若A,B,。無法構(gòu)成三角形，則三個點(diǎn)在一條直線上，故04〃08,又

CM=(1,1),03=(2,Inf),所以lnr=2?te2,故

(2)若角。為直角，則OALOB，由。4=(1』),。8=(2,1叫得。4?。82+【nf=0?/

若角A為直角,則04_LA8，由。4=(l,l),AB=(l,ln"1)得OA?AB1+lnr-1=0?t1.

角B為直角,則08AA3，由08=(2,1皿),鉆=(1,血-1)得08?回2+叫1m-1)=0,由于

2

ln2r-lnr+2=-+->0,此時方程無實(shí)數(shù)根,

24

綜上f=1或f=二

e~

20.如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N是單位圓上的兩點(diǎn)，且分別在第一和第三象限;

(1)證明：cos^a-0)=cosacos+sincrsinp；

(提示：設(shè)ON為a的終邊，為夕的終邊，則N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(cosQ,sin⑶和

(cosa,sina))

⑵求|OM+ON|的范圍.

【正確答案】(i)證明見解析；

⑵［。詞

【分析】(1)設(shè)ON為a的終邊，?！盀槭慕K邊，則M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(cos/,sin尸)和

(cosa,sina),令。"與0M的夾角為8,則9=2E+a-￡,keZ,從而利用向量的數(shù)量積結(jié)合誘

導(dǎo)公式即可證明；

⑵令ON與OM的夾角為。，可得l<"兀，利用|OM+CW『=(OM+ON。再結(jié)合余弦函數(shù)

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，設(shè)ON為a的終邊，OM為尸的終邊，則用，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為

(cos/,sin/?)和(cosa,sina)

則ON=(cosa,sina),0M=(cos0,sinp),

ONOM=(cosa,sina)(cosB，sin/?)=cosacos￡+sinasinp

設(shè)ON與。M的夾角為e，則e=2E+a-/?,keZ,

且0N0M=|ON||OM|cose=cos6

/.cos0=cos(cr-(3)=cosacos/?+sincrsin/3,

故cos(a_0)=cosacos/+sinasin/?成立.

(2)令ON與OM的夾角為巴

因?yàn)镸,N是單位圓上的兩點(diǎn)，且分別在第一和第三象限，

所以］<64限

I|2.2.2

|0M+0N［=0M+20M0N+0N=2+2cos6,

TT

—<0<TI,-1<cos6<0,/.0W2+2cos0<2,

2

所以04口知+0叫<0,

故|OM+CW|的范圍為［0,⑹.

21.如圖，在扇形。22中，半徑。尸=1,圓心角NPOQ==，C是扇形弧上的動點(diǎn)，矩形45co

內(nèi)接于扇形，記NPOC=。，求當(dāng)a取何值時，矩形A8CD的面積最大？并求出最大面積.

Q

【正確答案】a=三，矩形ABC。的面積最大，為受二L

【分析】由題意可得A8=cosa-sina,BC=sina,從而可得矩形48co的面積

S="sin(2a+K)-1，再由0<a<:可得：<2c+￡〈學(xué)，由此可得當(dāng)2a+￡=］時，S取得最

242444442

大值.

【詳解】在RIZXO8C中，fiC=sina,OB=cosa,

在RtA/lDO中，=tan—=1,

OA4

所以O(shè)A=A￡>=8C=sina,

所以AB=OB-OA=cosa-sinaf

設(shè)矩形ABC。的面積為S,則

2

S=AB?BC=(cosa-sina)?sina=sinacosa—sina

1.?1c1夜.，c兀、1

=-sin2a+-cos2a——=——sin(2a+—)——,

222242

由Ova〈工，#-<2a+-<—,

4444

所以當(dāng)2a+：q,即"軻，S”舁，

因此，當(dāng)a=［時，矩形ABC。的面積，最大面積為也二1.

82

22.已知向量。=(",cos2x),/?=(sin2x,H),設(shè)函數(shù)=且y=f(x)的圖象過點(diǎn)哈，揚(yáng)

和點(diǎn)-2)