2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題2（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知集合〃={#2=1},則〃的真子集個(gè)數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】A

【分析】首先求集合中的元素個(gè)數(shù)，再根據(jù)集合的真子集個(gè)數(shù)公式求解.

【詳解】因?yàn)閤2=l,所以x=±l,即/={1,-1},集合中有兩個(gè)元素，所以M的真子集個(gè)

數(shù)是22-1=3.

故選：A

2.命題“也6[0,”),/+;^0”的否定是()

A.Vxe[0,-?o),x2+x<0B.VXG(^X>,0),X2+X>0

22

C.3x0e[0,+co),x0+x0<0D.3x0e[0,+co),x0+x0>0

【正確答案】C

【分析】全稱命題的否定形式，V變丁+》20變/2+工。<0即可.

2

【詳解】命題“Vxe[0,+oo),x2+xN0”為全稱命題，則命題的否定為現(xiàn)G[0,+OO),X0+x0<0,

故選：C.

本題考查了含有量詞的命題的否定形式，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

歷1

3.在ABC中，cos/=-苧，tan5=-,則tan(N-8)=()

A.—2B.—C.。D.2

22

【正確答案】A

根據(jù)已知條件計(jì)算出tan/的值，然后根據(jù)兩角差的正切公式結(jié)合tan4tan8的值計(jì)算出

tan(4-3)的值.

【詳解】因?yàn)閏os/=_q且/€(0,萬(wàn))，所以/=手，所以tan/=-l,

tanZ-tan4

所以tan(Z_g)=3=一2,

1+tanZtanB1+(_^xl

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)特殊角的余弦值求出其正切值以及兩角差的正切公式的

熟練運(yùn)用.

4.已知a=2°",b=sin2,c=log031.3,貝ij()

A.c<a<hB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

【正確答案】D

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)把與。和1比較后可得.

【詳解】因?yàn)?gt;1，0<sin2<1,log?31.3<0,所以ccbva.

故選：D.

5.已知函數(shù)“X)的圖象與函數(shù)y=3"的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)

x>0時(shí)，g(x)=/(x)-x,則g(-9)=()

A.-6B.6C.-7D.7

【正確答案】D

【分析】先求出〃x)=log/,再求出g(9)=-7即得解.

【詳解】由已知，函數(shù)尸/(x)與函數(shù)y=3,互為反函數(shù)，則/(x)=bg/.

由題設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=log3x-x,貝！|g(9)=log39-9=2-9=-7.

因?yàn)間(x)為奇函數(shù),所以g(-9)=-g(9)=7.

故選：D.

6.給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②不論是用角度制還是用弧度制度量一

個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無(wú)關(guān)；③若sina=sin￡,則a與尸的終邊相同；④若

cos9<0,。是第二或第三象限的角.其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，對(duì)題目中的命題進(jìn)行分析，判斷正誤即可.

【詳解】對(duì)于①，根據(jù)任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，根據(jù)角的定義知，不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所對(duì)半徑的

大小無(wú)關(guān)，②正確；

對(duì)于③，若sine=sin/,則a與耳的終邊相同，或關(guān)于V軸對(duì)稱，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若cosOvO,則。是第二或第三象限的角，或終邊在x負(fù)半軸上，④錯(cuò)誤；

綜上，其中正確命題是②，只有1個(gè).

故選：A

本題考查真假命題的判斷，考查三角函數(shù)概念，屬于基礎(chǔ)題.

7.函數(shù)/（x）=3llog2x|-l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】C

【分析】所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于N=|log2x|與y=圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象，由數(shù)

形結(jié)合即可判斷.

【詳解】函數(shù)?。?3，|噫*1的零點(diǎn)即3、現(xiàn)2*1=0=>降"]，的解，即

8.若函數(shù)〃》）=而（函-?卜€(wěn)[0,叫0>0）的圖象與x軸有交點(diǎn)，且值域“u—Yl,+oo）,

則。的取值范圍是（）

【正確答案】D

【分析】由函數(shù)“X）有零點(diǎn)，可求得02；,由函數(shù)/（X）的值域Ma［一等,+8）可求得

10

（0<-,綜合二者即可得到0的取值范圍.

12

【詳解】定義在［0,句上的函數(shù)=sin（（yx-；j（0>O）,

則防-寸，由函數(shù)/（x）有零點(diǎn)，所以0乃-120,解得021；

44444

由函數(shù)/（X）的值域例=-q,+8,所以如解得“吟；

「1191

綜上，0的取值范圍是.

故選：D

二、多選題

9.已知x,yCR,且一<一<0,則（）

xy

VX

A.x-y>0B.sinx-siny>0C.2X-2v>0D.—+—>2

xy

【正確答案】ACD

【分析】由不等式的性質(zhì)得出x>y>（）,再由三角函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及基本

不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)閤,yGR,且一<一<0,

xy

----=----<0且x<0,<0,y<x<0,

xyxy

A,由題意可得x-y>0,故A正確；

B,因?yàn)檎液瘮?shù)是周期函數(shù)，僅有y<x<0,不能得出sinx-siny>0,故B錯(cuò)誤：

C,由y<x<0,則2，<2,，即2、-2，>0,故C正確；

D,因?yàn)閥<x<0,則上>0,土>0,即上+二N2j匕'=2,

xyxy

XV

當(dāng)且僅當(dāng)一=上，即、=夕取等號(hào)，又因?yàn)閥<x<o,

yx

所以）+二>2,故D正確.

xy

故選：ACD

10.下列函數(shù)中，最小正周期為萬(wàn)的有（）

A.y=\cosx|B.?=sin（2x+?）C.y=tan^2x--

D.y=cosIx

【正確答案】AB

【分析】逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】對(duì)于A,y=|cosx|的最小正周期為左，故A正確；

對(duì)于B,尸sin（2x+總的最小正周期為當(dāng)=%，故B正確;

對(duì)于C,y=tan（2x-￡j的最小正周期為故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=cos|x|=cosx的最小正周期為2萬(wàn)，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.下列各式正確的是（）

A.設(shè)a>0,

Q1?

B.已知3。+6=1,則^^=3

3a

2m+n

C.若log?2=clog“5=n,則a=20

11-

D,丁十「名

log?log..

49o53

【正確答案】ABC

［分析］根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可判斷答案.

【詳解】對(duì)于A,故A對(duì);

Q1a2b2*2b

上二二故對(duì);

對(duì)于B,^-=33*=3,B

34

對(duì)于C,am=2,a"=5,a2M+B=(ama"=20,故C對(duì);

.二「■二+J^fogi+logQTogJ+logQMlogJO

對(duì)于a［ogJlog,-嗓”唯$3，故0錯(cuò)?

；9}3

故選：ABC.

12.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政

全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每

一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖2,將筒車抽象為一個(gè)半徑為H的圖，設(shè)筒車按逆時(shí)針

方向每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)f=0,盛水筒M位于點(diǎn)兄（3,-36），經(jīng)過f秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

尸（x,y）,點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)滿足y=/（f）=Asin（<yf+s）（t>0,<a>0,|夕|<］），則下列敘述

正確的是（）

A.筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。=三

B.當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2

C.當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M和初始點(diǎn)4的水平距離為6

D.筒車在（0,60］秒的旋轉(zhuǎn)過程中，盛水筒M最高點(diǎn)到x軸的距離的最大值為6

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知周期為120秒，進(jìn)而可求根據(jù)兄（3,-3石）可求解夕=-1,進(jìn)而

得=根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

1605）

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)橥曹嚢茨鏁r(shí)針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，所以。=三27r=37T，故A正

12060

確；

對(duì)于B,因?yàn)楫?dāng)，=0時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)凡（3,-3石），所以/?=小2+（-3而2=6,

所以有/(O)=6sin0=-36=>sin(p=———,

JrJr

因?yàn)樗詓=-g,

即/⑺=6sin償Y],

VoU37

所以/(100)=6sin(*xl00_T)=6sin與=6x(-*)=-36，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由B可知：盛水筒〃的縱坐標(biāo)為-34，設(shè)它的橫坐標(biāo)為x,

所以有Jx?+(-36了=6nx=±3,

因?yàn)橥曹囆D(zhuǎn)100秒時(shí)，所以此時(shí)盛水筒〃在第三象限，

故》=-3,盛水筒M和初始點(diǎn)Po的水平距離為3-(-3)=6,故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)槎?g=Snx=50e(0,60],

oU32

所以筒車在(0,60]秒的旋轉(zhuǎn)過程中，盛水筒M最高點(diǎn)到X軸的距離的最大值為6,故D正

確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知lx>0,y>o,且x+4y=l,則^+上的最小值是.

xy

【正確答案】9

>

【分析】i+-=|-+-|xl=fl+l](x+4y>5+%再根據(jù)基本不等式求解.

xyyxy)1.xy)xy

【詳解】Qi+-L=|l+-!-xl=1+L(x+4j；)=5+4-

Xyy){xy)xy

又因?yàn)閤>o,y>o/.—>o,—>o

%y

由基本不等式得肛+±N2.隹三=4,當(dāng)且僅當(dāng)至=±并且x+4y=l

xy\xyxy

所以>=!>0,x=：>0,所以5+殳+±N9,即，+工的最小值為9.

63xyxy

故9

14.函數(shù)》=/")的表達(dá)式為〃x)=2，>；，若則實(shí)數(shù)x的取值集合是

【正確答案】{x|x>-2}

【分析】分類討論X。和x>l不同條件下即可得到實(shí)數(shù)x的取值集合.

【詳解】解：由題意

在/(x)=

2\x>]

當(dāng)x41時(shí)，/(x)=3+x,

當(dāng)/(x)>l時(shí)，解得：—2<x41

當(dāng)x>l時(shí)，〃x)=2',

當(dāng)/(x)>l時(shí)，解得：x>l

綜上，x>-2

...滿足/(X)>1的實(shí)數(shù)X的取值集合是{x|X>-2}

故答案為.{x|x>-2}

15.衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為。，經(jīng)過f天后體

4

積/與天數(shù)f的關(guān)系式為：v=a-ck,.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?若一個(gè)新丸

9

e

體積變?yōu)榘?。，則需經(jīng)過的天數(shù)為

27-----

【正確答案】75

【分析】由題意，先算出由此可算出一個(gè)新丸體積變?yōu)?。。需?jīng)過的天數(shù).

【詳解】由已知，得如"5",

4

O

設(shè)經(jīng)過4天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)榘?/p>

Q

則=,

27

.?A=-,4=75.

502

故75.

16.已知產(chǎn)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(x+l)=/(x-2),有下列說法：

①產(chǎn)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

②何(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(別對(duì)稱；

③廣/'(X)在區(qū)間［0,6］上至少有5個(gè)零點(diǎn)；

④若［0,1］上單調(diào)遞增，則在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增.

其中所有正確說法的序號(hào)為.

【正確答案】②③④

【分析】求得函數(shù)片/U)的圖象關(guān)于點(diǎn)(|,0)對(duì)稱判斷①②；求得y=/'(x)在區(qū)間［0,6］上零

點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷③；求得(x)在區(qū)間［2021,2022］上的單調(diào)性判斷④

【詳解】因?yàn)?(x+l)=/(x-2),所以〃x+3)=/(x),

故函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，又y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

則f(x+3)=/(x)=,所以f(3+x)+f(-x)=0,

故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(看o)對(duì)稱，故①錯(cuò)誤，②正確：

由題意可知,/(6)=/(3)=/(0)=0,因?yàn)?(x)=/(x+3)=-〃r),

令可得/「｛Hl｝即/(I1-嗚)

所以=從而/償〉/弓上?！?/p>

故函數(shù)y=Ax)在區(qū)間［0,6］上至少有5個(gè)零點(diǎn)，故③正確：

因?yàn)?021=3x674—1,2022=3x674,

且函數(shù)/(x)在區(qū)間。1］上單調(diào)遞增，則函數(shù)/(x)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞增,

故函數(shù)"X)在區(qū)間［2021,2022］上也單調(diào)遞增，故④正確.

故②③④

四、解答題

},8=|-~0|,C=^<x<a+\,aeR

17.設(shè)U=R,A=卜卜2-4x+340

(1)分別求口(28)

(2)若8nC=C,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【正確答案】(1)/口8=卜|2<'43}；/口令8={幻》43或xW4}

⑵。?2,3)

【分析】(1)解不等式，直接計(jì)算集合的交集并集與補(bǔ)集：

(2)根據(jù)集合間的計(jì)算結(jié)果判斷集合間關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)取值范圍.

【詳解】⑴解：解不等式可得/=卜,-4》+340}={^14x43},

八卜|言<。}={型<、<小

所以4^8={目2<%<3},48=卜,W2或xN4},41)電3={H工43或124}；

(2)解：由80。=?？傻肅q8,且。工0,

[a>2/、

所以〃+1<4'解得2<。<3,即。?2,3).

18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角。以O(shè)x為始邊，點(diǎn)尸(6,-1)位于角。的終邊上.

⑴求sina和cos]?-4的值；

(2)若-鞏))，求函數(shù)/(x)=tan(x-a)的定義域和單調(diào)遞增區(qū)間.

【正確答案】(l)sina二-；，cos[?-a)=娓，近

(2)定義域1x|x左耳％￡zj,單調(diào)遞增區(qū)間1-葛+左肛。+后))aeZ

【分析】(1)利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解sina和cos(?-a

的值;

（2）求解角1，然后利用正切函數(shù)的定義域以及單調(diào)區(qū)間求解即可.

【詳解】⑴???點(diǎn)尸（石,7）位于角a的終邊上，??.sina=~~，cosa=立,

n.7i.66顯1?

=cos—cosa+sin—sina=——X-----——X-=-------------

H4422224

(2),???！?一乃，乃),sina=-^~,cosa=,

22

：.a=--,所以/(x)=tanH+%

?「x+—w—+kjr,kGZ,/.xw—+k7i,keZ

623

所以函數(shù)的定義域?yàn)椴?

人)17171—hn/vx21.71*1r

勺------FK7C<XH---<-----b左TT,k￡Z,做^自1-----卜k7TVX<—+k/U,k￡Z

26233

2TT,4，、，~

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間-----FaTT,----\~K7T,KWZ

33J

19.已知函數(shù)/。）=從/（4,6為常數(shù)且〃>0,“二1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)41,8）,8（3,32）

（1）試求。力的值；

（2）若不等式（3"+（5*-加20在'€（-8』］時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

ab

【正確答案】（1）a=2,b=4.（2）1.

【分析】（1）利用函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組，解方程組求得的值.

（2）將原不等式分離常數(shù)加，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出，〃的取值范圍.

/、［a-b=3

【詳解】⑴由于函數(shù)/（X）圖像經(jīng)過川,8）,8（3,32）,所以「6=32'解得。=2力=4,

所以/(x)=42=2z.

（2）原不等式（：）*+，）、-加20為（gj+（1）”_機(jī)20,即在x€（-a）,l］時(shí)

恒成立，而（；）+、）,在xe（F,l］時(shí)單調(diào)遞減，故在x=l時(shí)（￡）'+（；）'有最小值為

故，”4：.所以實(shí)數(shù)”的取值范圍是卜.

本小題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查不等式恒成立問題的求解策略，考查函數(shù)

的單調(diào)性以及最值，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)/(x)=sin(x--)cosx+cos2x--

64

(1)求函數(shù)“X)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;

IT

(2)求函數(shù)/(X)在[o,g上的值域.

【正確答案】⑴7=乃，遞增區(qū)間為體乃―遞減區(qū)間/%+乃+

3663

(2)[--,-]

42

【分析】整理函數(shù)的解析式可得J(x)=gsin(2x+?)

(1)由最小正周期公式和函數(shù)的解析式求解最小正周期和單調(diào)區(qū)間即可.

⑵結(jié)合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域?yàn)?

(百.11216.121

-【詳解】、/(%)=——sinx——cosxcosx+cosx——=——sinxcosx+—cosx——

幣.、1l+cos2x1lfV3..1°〕

=—sin2xd---------------------=——sinzxH—cos2.v

42242(22J

=—sinf2x+—

2I6j

(1)T=7t,

遞增區(qū)間滿足：2kn--<2x+-<2kTt+-(keZ),

262'"

TT7T

據(jù)此可得，單調(diào)遞增區(qū)間為k兀一q,k九+、kwZ,

36

遞減區(qū)間滿足：2kn+—<2x+—<2kn+—(keZ),

262''

據(jù)此可得，單調(diào)遞減區(qū)間為卜乃+￡,公r+M~],%eZ.

71

(2)vxe0,—,2J

_2_

/.，sin(2x+工]￡--,-

2I6；[42

??.〃x)的值域?yàn)镾

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算求解能力.

21.某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降

低物流成本，已知購(gòu)買x臺(tái)機(jī)器人的總成本p（x）=-^-x2+x+150萬(wàn)元.

600

（1）若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺(tái)？

（2）現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購(gòu)買機(jī)器人，需要安排加人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件

送達(dá)指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量

^）=-T5w,（60-/M）,1-m-30（單位：件），己知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為

480,m>30

1200件，問引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)

量最多可減少多少？

【正確答案】（1）300臺(tái)；（2）90人.

（1）每臺(tái)機(jī)器人的平均成本為y=如｝,化簡(jiǎn)后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）

X

可知，引進(jìn)300臺(tái)機(jī)器人，并根據(jù)分段函數(shù)求300臺(tái)機(jī)器人日分揀量的最大值，根據(jù)最大值

求若人工分揀，所需人數(shù)，再與30作差求解.

【詳解】（1）由總成本=+X+150,

600

可得每臺(tái)機(jī)器人的平均成本_P（x）_6、/+x+15°_1.,150,,.

V———'X十+1

xX600x

當(dāng)且僅當(dāng)2=1應(yīng)，即x=300時(shí)，等號(hào)成立.

600x

.??若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，則應(yīng)買300臺(tái).

（2）引進(jìn)機(jī)器人后，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為:

當(dāng)145430時(shí)，300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為160加（60-m）=-160m2+9600m

二當(dāng)機(jī)=30時(shí)，日平均分揀量有最大值.

當(dāng)m>30時(shí)，日平均分揀量為480x300=144000

.?.300臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為件.

若傳統(tǒng)人工分揀件，則需要人數(shù)為一翳=120（人）.

日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，

用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少120-30=90（人）.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)關(guān)系，并會(huì)求最值，本題最

關(guān)鍵的一點(diǎn)時(shí)會(huì)求300q(，")的最大值.

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