2023屆四川省成都市第20中高三年級上冊12月考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷

成都市第20中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月考試

(理科數(shù)學(xué))

滿分：150分12月12日

一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的).

1.已知集合A={x|(x-3)(%+1)<0},B={y|y=x24-1),則4UB等于()

A.(l,+co)B.[-1,+oo)C.(l,3]D.(—1,+oo)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，樣本4和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為專和劃，樣本標(biāo)準(zhǔn)

差分別為&和SB，樣本極差分別為治和犯，則()

B

A.￡j>%B,SA>S，%<ygB.%4<xB,S^>SB,yA>yB

C-xA>xB,SA<SB,yA>yBD.xA<xB,SA<SB,yA<yB

-Esme(l+sin28)..

4.若tan。=-2,則--------------=()

sind+cosO

A-gB-l2

c.—D.-

555

5.若直線l:mx-y-4m+3=0(meR)與曲線(x-2)2+(y-3)2-1有公共點，則的

取值范圍為()

A.[—VB.(—一坐，亨|D.(—亭，孚)

6.如圖，C,D為以AB的直徑的半圓的兩個三等分點,E為線段CO的中點尸為BE的中點，設(shè)

AB=a,AC=b，則方=()

*5T1->5T1->5T15fIT

A.-Q+-faB-Q+-bC-Q+-bD.-a+-b

82428444

7.下列命題中，不正確的是()

1i

A.“若一v-則a>b”的否命題為假命題

ab

B.在銳角△ABC中，不等式si九4>cosB恒成立

C.在△4BC中，若QCOSA=bcosB,則△4BC必是等腰直角三角形

D.在中，若B=60。/2=ac,則△ABC必是等邊三角形

8.函數(shù)f(x)=+0)(/>0,3>0,-兀V9<0),其部分圖像如圖所示，下列說法

正確的有()

①3=2;②租=一告③x=輯函數(shù)/Q)的極值點；

④函數(shù)/(x)在區(qū)間(五，居)上單調(diào)遞增;⑤函數(shù)/(x)的振幅為1.

A.①②④B.②③④C.①②⑤D.③④⑤

9.已知又為數(shù)列{a"的前幾項和，且％=2an+1+l(neN*),%=2,則下列式子正確的是()

32021320213202132020

A-aBa,5

2022_220202022=產(chǎn)21c,s2021=一4+^201902021=1+22020

22

10.設(shè)&,尸2分別為雙曲線三一靠=1(a>0,b>0)的左，右焦點，若雙曲線上存在一點

P使得IPF/+\PF2\=2V2b,且IP&I?IPF2I=ab,則該雙曲線的離心率為()

D.在

A.V2B.2C.V5

2

221

11.已知函數(shù)/'(x)=x+;%.若正實數(shù)滿足/'(m-9)+/(2n)=2,則一+一的最小

1+emn

值為O

12.如圖，在棱長為2的正方體力BCD-&B1GD1中,E、F、G、H、P均為所在棱的中點,

則下列結(jié)論正確的有()

①棱4B上一定存在點Q,使得QC1DiQ

②三棱錐F-EPH的外接球的表面積為87T

③過點民F,G作正方體的截面，則截面面積為38

④設(shè)點M在平面BBiGC內(nèi)，且〃平面AGH,則與力B所成角的余弦值的最大值為

272

3

A.1個B.2個C.3個D.4個

二填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分).

(0<%<1,

13已知實數(shù)x,y滿足「y20,則3x+2y的最大值為.

.x+y<2,

14已知平面向量d=(2,0),h=(一1,2)若向量3=a+(a-b)b，則^=.(其中朗1坐

標(biāo)形式表示)

15己知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c.若A=>=4,△ABC的面積為2倔則

△4BC的外接圓的半徑為.

16已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C:y2=2px(p>0)上一點A到焦點F的距離為4,設(shè)點M為拋

物線C準(zhǔn)線，上的動點，給出以下命題：

①若△AL4F為正三角形時，則拋物線C方程為y2=4x;

②若力M1Z于M,則拋物線在A點處的切線平分NMAF;

③若而=3FA,則拋物線C方程為y2=6x;

④若|OM|+|MA|的最小值為2g,則拋物線C方程為f=8x.

其中所有正確的命題序號是.

三.解答題(本題共6小題，共70分，寫清楚必要的文字說明與演算步驟)

17.(本題滿分12分)設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的前n項和,已知a?=7,an=2ati+a2-2(n>2).

(I)證明：｛每+1｝為等比數(shù)列；

(II)求｛an｝的通項公式，并判斷n,an,Sn是否成等差數(shù)列？

18(本題滿分12分)某校高二期中考試后，教務(wù)處計劃對全年級數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，從

男、女生中各隨機抽取100名學(xué)生，分別制成了男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，

如圖所示.

(1)若所得分數(shù)大于等于80分認定為優(yōu)秀，求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人？

(2)在(1)中的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意任取2人，

求至少有1名男生的概率.

19(本題滿分12分)如圖1,在矩形4BC0中,48=4,40=2,E是CO的中點，將△4OE沿4E

折起，得到如圖2所示的四棱錐Oi-ABCE,其中平面OME1平面力BCE.

(I)設(shè)尸為的中點，若M為線段4B上的一點，滿足4M=求證：MF〃平面。ME;

(II)求點B到平面CDiE的距離.

20.(本題滿分12分)已知橢圓C:芻+4=19>6>0)的離心率為之，橢圓C的下頂點和

?bL2

上頂點分別為當(dāng),為,且|B/2l=2,過點P(0,2)且斜率為k的直線I與橢圓C交于M,N兩點.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)當(dāng)k=1時，求4OMN的面積；

(III)求證：直線與直線々N的交點7的縱坐標(biāo)為定值.

21.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=，nx—k久(keR),g(x)=x(e*—2).

(1)求函數(shù)f(x)的極值點；

(2)若g(x)-f(x)>1恒成立，求k的取值范圍.

選做題(多做，做錯均按照第一題計分)

22.(本題滿分10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，極軸所在的直線

為x軸，建立極坐標(biāo)系，曲線G是經(jīng)過極點且圓心在極軸上直徑為2的圓，曲線Cz是著名的

笛卡爾心形曲線，它的極坐標(biāo)方程為p=l-sind^ee[0,27T]).

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程，并求曲線6和曲線C2交點(異于極點)的極徑；

X=tCOS5

九t為參數(shù)).若曲線C3和曲線C2相交于除極點以外的

{y=tsin^

M,N兩點,求線段MN的長度.

23.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-4|+|x-5|的最小值為?n.

(1)求m；

%1

(2)設(shè)看,其2，工36R+,且Xi+x2+x3=m.求證：-—+及一+久3_21

1+%11+%21+%34

成都市第20中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月考試

(理科數(shù)學(xué))

滿分：150分12月12日

參考答案及解析

一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的).

1.【答案】B【解析】集合4={"(久一3)(x+l)40}={x|—l4x43}

B={y\y=x2+1]={y\y1}

則4UB=[—1,+8).故選：B.

2.【答案】D【解析】「z(l+i)=2\二z=七=(1於i)=1-i

??.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限.

故選：D.

3.【答案】B【解析】觀察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在[2.5,10]之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在

[10,15]之間，

由平均數(shù)的計算可知當(dāng)<xB,樣本極差為>功

樣本8的數(shù)據(jù)波動較小，故5>SB，

故選:B

4.【答案】C【解析】由題意可得：s比氏1+s譏2°)

sinO+cosO

sinO(sin'O+cos20+2sin0cosO

sinO+cosO

_sinOsinO4-cos1264-2sin61cos6

sinO+cosOsin'64-cos26

9

tandtanO+2tan0+1

=U+1tar^e+l

=—2

5

5.【答案】C

【解析】由題意，m—y—4m+3=0(m6R)

曲線(％-27+(y—3)2=1表示圓心(2,3),半徑為1的圓，

圓心(2,3)到直線TH%-y-4m+3=0(mGR)的距離應(yīng)小于等于半徑1,

|2m—3—4m+3|________叵5

12

?.?f=^—-\即|一2m\<Vl+m,解得-g<m<華故選:C.

11+m3J

6.【答案】A【解析】因為C,D為以的直徑的半圓的兩個三等分點，

則且4B=2CD

又E為線段CD的中點,F為8E的中點.?.而=④(荏+確

1—1一

=+7y48

乙乙

1一一1一

=2畫+函+々通

彳一1一彳一

=~^AC+~TCD+TZAB

Z4Z

1一1一1一

=AC+不48+AB

ZoZ

1一5—

=小。+448

乙C_/

51-

=8a+2b

故選A。

7.【答案】C【解析】對于C,在△ABC中，由acos4=bcosB,

利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,

???sin2A=sin2B

vA,Be（0,兀），.??2A=2B或2A—2n—28,

TT

得4=B或4+B=2，

4BC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤;

8.【答案】C【解析】

根據(jù)函數(shù)/'（x）=Asin（a）x+<p）｛A>0,a>>0,-n<q）<0）的部分圖像，可得振幅/=1,故

⑤正確；

12兀Ilir57r

-x-=-----——3=2,故①正確;

20)1212

結(jié)合五點法作圖，2x招+9=0,二9=一胡，故②正確，

/（X）=sin（2x—患），令x=*求得/'（x）=sin（-看）=一去不是極值，故③錯誤;

在區(qū)間（各右）上'2x—（一等5），函數(shù)“X）沒有單調(diào)性，故④錯誤，

故選：c.

9.【答案】D【解析】由%=2an+i+l,得%_1=2冊+1（九）2）,

n

兩式相減得an=2an+1—2an,即+i=-，

2

乂%=2,即=2a2+1,解得@2=矛言=402

3

所以的首項為由=2,從第二項起是以-為公比的等比數(shù)列，

2

1on-2on-2Q2020

n2=2x（2）=2）,go22=^2021,

所以%=a2q-（幾〉故

選項4B不正確；

1

Sn=4-a2+a3H------Fan\=2+②

11-

=2+^x--l+l(n>2)

Q2020

故S2021=(2)+3

選項C錯,D對.

10.【答案】A【解析】由雙曲線的定義可得,|PFI|—|PF2||=2Q,

由|P6I+\PF2\=2y[2b,\PF1\'\PF2\=ab,

2

則有(PFJ+\PF2\Y-4|PFJ?IPF2I=8b2-4ab=4a,

即有(b—a)(2b+a)=0,

222

即有b=a,即/=a=c—a,

則c2=2a2,則e=g=V2-

11.【答案】D【解析】函數(shù)f(%)定義域為R,令g(x)=f(x)—1=%4--—1=x4--―"

1+e1+e

[-riv,1—exe%—](1—e%、/、

因為g(一式)=一％+,-x=一久+.x=-\x+I=一9(久)，

1+e1+e\14-ex)

l+?2%

所以g(x)為奇函數(shù)，又“(%)=----7>°，所以g。)在R上單調(diào)遞增，

(1+。)

由f(m—9)+/(2n)=2,得f(m-9)-1+f(2n)-1=0,

所以g(m-9)+g(27i)=0,即g(?n-9)=-5(2n)=g(-2九)

所以m—9=—2n,即m+2九=9,

211(21\1/m4n\

又m>0,n>0,則一+-=一(m+2n)I-4--I=-(2+2+-+—)>

mn9\mn/9\nmJ

當(dāng)且僅當(dāng)一=—,且in+2n=9時等號成立，此時m=2,n=

nmz4

21o

所以一+一的最小值為2.故選:D.

mn9

12.【答案】C【解析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)Q(2,a,0),其中0<a<2￡(0,2,0),仇(0,0,2),

所以近=(-2,2-a,0),D^Q=(2,a,-2)

若棱4B上存在點Q,使得QC1DrQ,則祝-D^Q=0,

整理得(a-+1=0,此方程無解，①不正確；

設(shè)4B的中點為K,則四邊形PHKE是邊長為魚的正方形，其外接圓的半徑為r=l,

又FK，底面ZBCD,所以三棱錐F-EPH的外接球的半徑為R=VPT1=V2

所以其表面積為8兀，②正確；

過點E,F,G作正方體的截面，截面如圖中六邊形EPG7FR.

因為邊長均為魚，且對邊平行，所以六邊形EPG7FR為正六邊形，

其面積為S=6x^xV2xV2xs出60。=3V3,③正確；

設(shè)M(x,2,z),貝IJ71^2,0,2),71(2,0,0),G(0,2,2,0),^M=(x-2,2,z-2),AG=

(-2,2,1),而=(LOT)，

設(shè)元=(x,y,z)是平面4GH的一個法向量，則憶.星=°,

m-GH—0

令z=1可得％=1,y=^,即記=(詩,1)

因為〃平面4GH,所以而iT元=0,即x+z=3,

八A7M-AB2

設(shè)與川所成角為仇則郎。=瓦研西=加23+或

當(dāng)X=微時,y=2/—6%+9取最小值

所以與4B所成角的余弦值的最大值為座,④正確；

故選：C.

二填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分).

13.【解析】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立方程組解得4(1,1),

令z=3x+2y,得y=—|x+宗由圖可知，當(dāng)直線y=—|x+孑過A時,直線在y軸上的截距

最大,z有最大值為5故答案為:5.

14.【解析】因為2=(2,0),6=(-1,2),所以/=五+僅=(2,0)+(2,-4)=(4,一4).故答

案為：(4,-4).15.【解析】根據(jù)題意得乙心譏4=2?,把4=棄=4代入得b=2,由余弦

定理得a=Vb2+c2-2bccosA-^22+42—2x2x4x^=2圾，設(shè)△4BC的外接圓的半

徑為R,由正弦定理得'一=2/?,■-R=775=2-故答案為:2.

sinA2X/

16【解析】

對于①，當(dāng)4M4F為正三角形時,|4F|=\AM\,故4W與x軸平行,???|4F|=\AM\=4,.-.F到準(zhǔn)

1

線的距離等于314Ml=2,即p=2,故①正確；

對于②，設(shè)4(%o，yo),不妨設(shè)點4在第一象限，則尢=J2p%o,由y=J2Px.得，=PN所以

y-2Vx

%.____[2p

拋物線在人的切線的斜率k=/,所以拋物線在4處的切線方程為y-J弼=^T=(x-

2殉2x0

Xo)，???F(￡o),M(-g,2pxo),所以MF的中點為%，)顯然點H在直線y-

,___[2p

質(zhì)高=*=(久-殉)上，即力”為△AFM的一條中線,又由拋物線的定義，知|4F|=\AM\,

2眄

所以△?1尸M為等腰三角形，所以4H平分NMAF;故②正確；

1?n

對于③，若而=3FA,則A,M,F三點共線，且|MF|=12,由三角形的相似比可得一=上，得

164

p=3,故③正確；

對于④，設(shè)B(-p,0),則0,8關(guān)于準(zhǔn)線對稱,故=

V\AF\=4,二4點橫坐標(biāo)為4一與不妨設(shè)4在第一象限，則4點縱坐標(biāo)為J8P-p2,故|0M|+

|M川的最小值為|AB|=J(4+號)2+8p-p2=2VH,解得p=4或p=12,由4-芻》

0,p<8,故「=4,故④正確.故答案為:①②③④.

三.解答題(本題共6小題，共70分，寫清楚必要的文字說明與演算步驟)

17.【解析】⑴證明：內(nèi)=7,a3=2a2-2,二a2=3,an=2a71T+1,

的=1,泮4=勺-1上2=N2),+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列?

an-l+1ran-l+i

.,P?九十1

nnn+1

(2)由⑴知，an+1=2,an=2-1,Sn=-—n=2一九一2，

n+1n

n+Sn-2an=n+2-n-2-2(2-1)=0.-?n+Sn=2an,即n,an,S"成等差數(shù)

列.

18.【解析】

(1)由題可得,男生優(yōu)秀人數(shù)為100x(0.01+0.02)x10=30人，

女生優(yōu)秀人數(shù)為100X(0.015+0.03)x10=45人；

51

(2)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是------=—,

30+4515

所以樣本中包含男生人數(shù)為30x白=2人，女生人數(shù)為45xJ=3人.

設(shè)兩名男生為4,42,三名女生為名,之,當(dāng).

則從5人中任意選取2人構(gòu)成的所有基本事件為：

，共

{4,4}{&,BJ,{AM，MpB3),{A2,B1},{A2,B2},{A2IB3},{B1,B3},{B2IB3}10

個，

記事件C:“選取的2人中至少有一名男生”，則事件C包含的基本事件有：

(AltA2),Mi，M1(B2},{AltB3),{A2,Fi),{A2,B2},[A2,B3}^7個.

所以P(C)=4

19.【解析】(1)證明:取?；ǖ闹悬cN,連4N、NF,則NE=4EC,NE//EC

VEC=^AB=2,當(dāng)4M=^AB=1時SM=^EC,AM//EC

則NF=AM且NF//4M,則4MFN是平行四邊形,4N〃MF.

又MF/u平面Z)iAE,ANu平面QAE,則MF〃平面。/E

(2)如圖，取4E的中點O,Q,連接EF,D]O.

易證EF1DQOQ1CB.

因為DiA=DXE,AO=EO,

所以5。1AE.平面MEn平面4ECB=AE,

平面OiAE1平面AECB,DiOU平面4。送，

所以％。1平面4ECB

設(shè)點B到平面CD】E的距離為d.

在Rt△。1。(:中,|0C|=VlO.lDjOI=V2,得|D]C|=2V3.

在^QEC中,|EC|=|DiE|=2,|D]C|=273,\EF\=1.

由于％T-BCE=VB-CED,,貝勺--\CB\■\CE\?\0^\=----\CE\\EF\'d.

所以d=^.

20.【解析】

解:(1)因為出$2|=2,所以2b=2,即b=1,

因為離心率為虛，所以￡=立，

2a2

設(shè)c=m,則Q=y/2m,m>0,

22

又=a—b,即tn?=27n2_爐，解得7n=1或—1(舍去),

所以a=V2,b=l,c=1,

2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y二+/=1.

2,

X22_1

(2)由區(qū)+'=1得/+2(%+2)2-2=0

、y=%+2

3%2+8%+6=0

△=82-4X3X6<0

所以直線與桶圓無交點，

故AOMN的面積不存在.

(y=kx+2

(3)由題意知，直線[的方程為y=依+2,設(shè)“(3月)”％加)，則,

(2+y=1

幺=(8.)2-4x6(1+2k2)>0

=8fc

整理得(21+I)/+8依+6=0,</*22k2+1,

6

xlx2=2

2kz+l

因為直線和橢圓有兩個交點，所以A=(8fc)2-24(21+1)>0,則/>|,

設(shè)7(6,九)，因為當(dāng),7,M在同一條直線上，

n+1yi+1/cX1+33

則——fc+—

mX1X1%1

因為為,T,N在同一條直線上,

H—1、2-1々々+11

則——

m%2%2%2

8k

3)=0，所以n=

.^n+1n-13(%i+x2)'.2k2+1

由于——+3-------4k+--~~=4fc+—6

mm%1%2

2k2+l

則交點T恒在一條直線y=1±,

1

故交點F的縱坐標(biāo)為定值-

2

21.【解析】解:⑴函數(shù)的定義域為(0,+8),

由f(x)-6x-kx、得/(X)=k=

當(dāng)kW0時J'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點，

當(dāng)k>0時，由尸⑶=0,得％=2當(dāng)0<%<附/⑶>0,當(dāng)x>1時，/⑺<0,

KKK

所以/(X)在(0,￡)上單調(diào)遞增，在G,+8)上單調(diào)遞減，

1

所以/(X)有極大值點一，無極小值點，

1

綜上，當(dāng)kwo口寸,f(x)無極值