高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第4節(jié) 復(fù)數(shù)

第4節(jié)復(fù)數(shù)

考試要求1.理解復(fù)數(shù)的基本概念2理解復(fù)數(shù)相等的充要條件3了解復(fù)數(shù)的代

數(shù)表示法及其幾何意義.4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算5了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式

的加、減運(yùn)算的幾何意義.

【知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

I知識(shí)梳理

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)定義:我們把集合殳={a+bi|m06R}中的數(shù)，即形如a+歷(a,b￡R)的數(shù)

叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).

⑵分類：

滿足條件(a，8為實(shí)數(shù))

a+歷為實(shí)數(shù)Q"=O

復(fù)數(shù)的

a+bi為虛數(shù)Q8WO

分類

a+b\為純虛數(shù)Qa=0且/?數(shù)0

(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di<=>a=cfLb=d(a,b,c,d@R).

(4)共鮑復(fù)數(shù)：a+歷與c+小共軌ioa=c,b=—d(a,b,c,deR).

(5)模：向量應(yīng)的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作地土園或團(tuán)，即|z|=|a+歷尸

\la2+b2(a,OdR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+4與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,切及平面向量或=(a,b)(a,8WR)是一一對(duì)

應(yīng)關(guān)系.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)運(yùn)算法則：設(shè)zi=a+Z?i,Z2=c+di,a,b,c,JGR.

p_JZ\±Z2K(a+1i)±(c+di)=(a±c)+(6±d)i

二!K(a+1i)(c+di)=@c-1/)+(6c+ad)i

_/z---7a+bia藝c+Abdbb'c-a人d.,小)

(2)幾何意義:

復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZiZZz可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減

法的幾何意義，即歸=國(guó)±屋，zTz2=dZ2-ozi.

I常用結(jié)論

Li的乘方具有周期性

i"=l,i4n+l=i,i4?+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4"+l+i4"+2+j4”+3=0,“GN*

91+i.1—i.

2.(l±i)=±2i,口=1；幣~L

3.復(fù)數(shù)的模與共舸復(fù)數(shù)的關(guān)系

Z?Z=|z『=|z|2.

Ij診斷自測(cè)

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

⑴復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bGR)中,虛部為歷.()

(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()

(3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()

(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)

的向量的模.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)虛部為b;(2)虛數(shù)不可以比較大小.

2.(2021?北京卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(l—i>z=2,則z=()

A.lB.iC.l-iD.l+i

答案D

解析由題意可得2=72—=772-：，；=一=1+1.

1—1(1—1)(1+1)

3.(2021.新高考n卷)復(fù)數(shù)m在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

2-i(2-i)(l+3i)=寄=手，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

解析=

l-3i(l-3i)(l+3i)

4.(2021?上海卷)己知z=l—3i,則|z-i|=.

答案小

解析Vz=l-3i,/.z=l+3i,.*.z-i=l+3i-i=l+2i,.*.|z-i|=^/l*12+22=

小.

1-i

5.已知。+"(a,bGR)是幣的共枕復(fù)數(shù)，則“+/?=.

答案1

..1-i(1-i)(1-i).

斛析由在］=(1+i)—(1二i)-=f得a+bi=\,即?=0,b=l,則a+b

=1.

6.(易錯(cuò)題)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1+疝)(i+2)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)相等于.

答案2

解析因?yàn)?l+mi)(i+2)=2—機(jī)+(l+2〃z)i是純虛數(shù)，所以2—機(jī)=0,且1+

2〃iW0,解得加=2.

」考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念

1.(2022.北京朝陽(yáng)區(qū)一模)如果復(fù)數(shù)幺產(chǎn)(bdR)的實(shí)部與虛部相等，那么h=

()

A.-2B.lC.2D.4

答案A

解析半=°+,)—［二1)-=》一方,所以實(shí)部為虛部為一2,故。的值

11(—1)

為一2,故選A.

2

2.(多選)若復(fù)數(shù)z=含，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()

A.z的虛部為一1

B.|z|=V2

C.z2為純虛數(shù)

D.z的共聊復(fù)數(shù)為一l-i

答案ABC

解析z=*=…=、^=l-i，對(duì)于A,z的虛部為一1,正確;

1+1(1+1)(1—1)2

對(duì)于B,模長(zhǎng)|z[=6，正確；

對(duì)于C,因?yàn)閆?=(l—i)2=-2i,故z2為純虛數(shù)，正確；

對(duì)于D,z的共扼復(fù)數(shù)為1+i,錯(cuò)誤.

3.(多選)設(shè)Zl,Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是()

A.若|zi—Z2|=0,則Z1=Z2

B.若Z1=Z2,則Z1=Z2

C若|zi|=|Z2|,則Z1-Z1=Z2?Z2

D.若|zi|=|Z2|,則z￥=z3

答案ABC

解析對(duì)于A,若|zi—Z2|=0,則Z]—Z2=0,Z1=Z2,所以Z1=Z2為真；

對(duì)于B,若ZI=Z2,則Zl和Z2互為共朝復(fù)數(shù)，所以ZI=Z2為真；

對(duì)于C,設(shè)zi=m+bii,Z2=s+b2i,a\,b\,ai,歷WR,

若|zi|=|Z2|,則+后操,

即a++尻=a3+比，

所以z]-z\=a^+bi=al+bi—Z2-Z2,

所以Z1-Z1=Z2-Z2為真；

對(duì)于D,若Z1=I,Z2=i,

則|zi|=|Z2|,而Z?=l,z3=-1,

所以z?=遙為假.故選ABC.

4.若復(fù)數(shù)z=(f—l)+(x—l)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為.

答案T

f—1=0

解析為純虛數(shù)，....一—

X—1^0,

?'?X——1.

感悟提升1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,Z?eR),其中a,匕分別是它的實(shí)部和虛部.若z為

實(shí)數(shù)，則虛部方=0,與實(shí)部a無(wú)關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部8W0,與實(shí)部a無(wú)關(guān);

若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且bWO.

2.復(fù)數(shù)z=a+Ai(a,Z?GR)的模記作區(qū)或|a+/?i|,即團(tuán)=|“+如=聲”.

3.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,/?GR)的共軻復(fù)數(shù)為z=a—bi,則z-z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=

~\lZ-Z,若ZCR,則2=2.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1—i

例1(1)(2021?遼寧百校聯(lián)盟質(zhì)檢)*石=()

A145.R15；

A+

-13131B13131

1,515

C--T3+I31D,13131

答案D

名衛(wèi)士二而弋(1T)(2-3i)2-3-2i-3i15.

WT/T原式一(2+3i)(2-3i)―22+32—13131-

(2)(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)iz=4+3i,則z=()

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

答案C

匕「4+3i(4+3i)(—i)—4i—3i2

斛析因?yàn)閕z=4+3i,所以z=-：—=----~-------=-----—=3—41.

11(-1)—1

(3)(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)2(z+z)+3(z—z)=4+6i,則z=()

A.l-2iB.l+2iC.l+iD.l-i

答案C

解析設(shè)z=a+"(a,4GR),則z=a—bi,代入2(z+z)+3(z—z)=4+6i,可得

4a+6/?i=4+6i,所以a=l,b=l,故z=l+i.

感悟提升(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子

分母同乘以分母的共機(jī)復(fù)數(shù).

訓(xùn)練1(1)(2021?全國(guó)甲卷)已知(l—i)2z=3+2i,則z=()

3

1--3.

2

21

33

-+i-

22i

答案B

物加3+2i3+2i3i—2_,3.

解析z—(1-i)2--2i-2_1+21,

⑵(2021?新高考I卷)已知z=2T,則z(z+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析因?yàn)閦=2—i,

所以z(z+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i.

(3)(多選)(2022?湛江一模)若復(fù)數(shù)z=4§—i,則()

A.|z|=2

B.|z|=4

C.z的共貌復(fù)數(shù)z=，5+i

D.?=4-2V3i

答案AC

解析依題意得|z|=N(仍)2+(-1)2=2,故A正確，B錯(cuò)誤；

z=45+i,C正確；

z2=(小一i)2=3—2小i+i2=2—2小i,D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義_________________

例2(1)(2021?珠海一模)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi=i2M,復(fù)數(shù)Z2=%g則ZI

+Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解析因?yàn)閺?fù)數(shù)ZI=i202l=i,Z214=—￡3il^5=(T4—產(chǎn)3i)=45—3a，所以z|+z2=42+

4+31JJJ

|i,故Zl+Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為住I),在第一象限.

(2)(2021.衡水聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z=a+(a—l)i(adR),則|z|的最小值為()

A1B應(yīng)C近D1

答案B

解析因?yàn)閦=tz+(a—l)i,所以團(tuán)=1層+(“—I)2卜一^+》當(dāng),所

以|z|的最小值為乎.

2

(3)(多選)(2021.德州二模)已知復(fù)數(shù)zi==^q(i為虛數(shù)單位)，下列說(shuō)法正確的是

()

A.zi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

B.zi的虛部為一1

C.zf=4

D.滿足|z|=|zi|的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上

答案AB

2

解析由題意，復(fù)數(shù)方=^^

-1十1

2(—1—i)

=_71；、-=-1—i,所以復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(一1,—

(—1+1)(—1—1)

1),位于第三象限，所以A正確；

復(fù)數(shù)zi的虛部為一1,所以B正確；

zt=(-1-i)4=[(-1-i)2]2=(2i)2=-4,所以C不正確;

由|Z||=M(-1)2+(—1)2=啦,得滿足|z|=|zi|的復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為

圓心，爽為半徑的圓上，所以D不正確.

感悟提升1.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,/?eR)一—一社應(yīng)FZ(L,b)一—對(duì)應(yīng)f走=(a,b).

2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了——對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問(wèn)題的解決更加直觀.

訓(xùn)練2(1)(2022.長(zhǎng)沙一模)已知復(fù)數(shù)2=不，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析因?yàn)閦=M=2=2,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)為&一技在第四象限.

(2)若復(fù)數(shù)z=(2+ai)(a—i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，其中?GR,i為虛

數(shù)單位，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(~V2,也)B.(一也，0)

C.(0,6)D.[0,6)

答案B

解析z=(2+ai)(a—i)=3a+(4—2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，

解得一啦<a<0.

⑶如圖，若向量OfZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則z+裝4示的復(fù)數(shù)為()y1

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

答案D

44

解析由題圖可得即所以

Z(l,-1),z=l-i,z+z7=l-i+1-—r1-=l-i+

4(1+i)

—1—i+—2-=1—i+2+2i=3+i.

(1-i)(1+i)

考點(diǎn)四復(fù)數(shù)與方程

例3已知x=-1+i是方程12+以+〃=0(〃，〃￡R)的一1個(gè)根.

(1)求實(shí)數(shù)小b的值;

(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測(cè)方程的另一個(gè)根，并給予證明.

解(1)把x=-1+i代入方程/+辦+6=0,得(一。+8)+(a-2)i=0,

—a+/?=0,|"a=2,

Ci解得L_C

ci—2—0,\h—2.

(2)由(1)知方程為f+2x+2=0.

設(shè)另一個(gè)根為X2,由根與系數(shù)的關(guān)系，

得-1+i+x2=-2,

??X2——1—i.

把X2=—1—i代入方程/+2%+2=0,

則左邊=(一1一。2+2(—l-i)+2=0=右邊，

.*.%2=—1—i是方程的另一個(gè)根.

感悟提升(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來(lái)說(shuō)，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒

有變化，仍然適用.(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功

能失去了，其他仍適用.

訓(xùn)練3在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程Lr+i—l=0.

解因?yàn)閍=l,b=—i,c=i—1,

所以/=(一評(píng)一4XlX(i—1)=3—4i.

92c

設(shè)(m+〃i)2=3—4i,貝J*

2mn——4,

m——2,

解得〃=7,M

所以3—4i的平方根為士(2-i),

“/的平方根”i±(2-i)

所以X=——b~\~

la2X1

i+2-ii-2+i

付XI=X=1,X2~W1+i,

即原方程的根為Xl=l,X2=-l+i.

|分層訓(xùn)練?鞏固提升

[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.(2021?浙江卷)已知aGR,(l+ai)i=3+i(i為虛數(shù)單位),則“=()

A.-lB.lC.-3D.3

答案C

解析法一因?yàn)?l+ai)i=—a+i=3+i,所以一。=3,解得。=一3.

法二因?yàn)?l+ai)i=3+i,所以1+行=二3I^i=1—3i,所以a=-3.

1—i

2.(2021.岳陽(yáng)一模)已知h=l+i(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)|z|=()

A.iB.-iC.lD.2

答案C

解析因?yàn)閃'=l+i,所以z=|qW，故|z|==*=L

3.(2021.石家莊二模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2=居。為虛數(shù)單位)，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的

坐標(biāo)為()

A.(3,4)B.(-4,3)

嗚T)D.(T—1)

答案D

5i5i(3+4i)3i—443.,43.

斛析因?yàn)閦=—=(3_4i)(3+務(wù))=丁=一5+,，所以z=-g—1，

所以復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,一|).

4.(2021-日照一模)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(a—i)(aV0)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析z=i(a—i)=l+ai表示的點(diǎn)為(1,a),因?yàn)?<0,所以點(diǎn)(1,a)位于第四

象限.

5.(2021.南京三模)已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=g+坐i,則復(fù)數(shù)g的虛部為()

A「坐B坐CL坐D坐

答案A

6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=|z+i|,i為虛數(shù)單位，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x,y),

則下列結(jié)論一定正確的是()

A.x=lB.y=lCJC=OD.y=O

答案D

解析因?yàn)闈M足|z-i|=|z+i|的點(diǎn)Z為復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(0,-1)和(0,1)的距離相等

的點(diǎn)的集合，所以Z(x,y)的軌跡為x軸，其方程為y=0.

7.(多選X2021.重慶質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=^^,則以下說(shuō)法正確的是

()

A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

7

B.z的虛部是一§

C.|z|=3小

D.若復(fù)數(shù)zi滿足|ZLZ|=1,則|zi|的最大值為1+華

答案AD

,...3+2i(3+2i)(2+i)4,7.乙?工,,?

A斛T析Xr?z=不-r=-yr---=三十個(gè),..z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u為

2—1(2—1)(2+1)55

41

5'5.在第一象限，故A正確;

7

z的虛部是不故B不正確;

故C不正確;

設(shè)zi=x+yi,x,yGR,則點(diǎn)(x,y)在以

為圓心，以1為半徑的圓上，則(x,y)到(0,0)的距離的最大值為1+

=1+亭，即囪的最大值為1+隼，故D正確.

8.如果關(guān)于x的方程2/+3如+/—。=0至少有一個(gè)模等于1的根，那么實(shí)數(shù)a

的值()

A.不存在B.有一個(gè)

C.有三個(gè)D.有四個(gè)

答案C

解析(1)當(dāng)根為實(shí)數(shù)時(shí)，將x=l代入原方程得屋+2a+2=0,無(wú)解；

將》=一1代入原方程得/—4a+2=0,解得。=2/,都符合要求；

(2)當(dāng)根為虛數(shù)時(shí)，/=a(a+8)V0,

.".-8<a<0.

,,,,ra2—a

此時(shí)有X1X2=(X1)2=1=2，

即4—Q—2=0.

解得。=-1或。=2(舍去)，故。的值共有三個(gè).

9,若復(fù)數(shù)(l—2i)m+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.

答案一2

解析(1—2i)(〃+i)=〃+2+(l—2a)i,

由已知，得。+2=0,1—2aW0,

^a——2.

10.若復(fù)數(shù)Z=i+i2°22,則-z+in三的模等于.

答案6也

2022

解析z=i+i=i—1,z+￥=l+i+i^y=6+6i,其模為66.

11.設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量次，成對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—3i,—3+2i.那么向量放

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

答案5-5i

解析???向量次，為對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—3i,-3+2i,

：.OA=(2,—3),OB=(~3,2),

：.BA=OA-OB^{5,-5),其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5—5i.

12.若2-3i是方程N(yùn)—4x+a=0(aCR)的一個(gè)根，則其另外一個(gè)根是,

a=.

答案2+3i13

解析設(shè)方程的另外一根為％,則x+2—3i=4,故x=2+3i,a=(2—3i)(2+3i)

=13.

|B級(jí)能力提升

13.(多選)(2022.福州一模)設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.|Z|2=Z-Z

B.Z2=|Z|2

C.若|z|=L則|z+i|的最大值為2

D.若|z—1|=1,則0W|z|W2

答案ACD

解析對(duì)于A,設(shè)2=“+4(4,8WR),

貝!]z=a-Z?i,

.".|z|2=q2+扶,而z-z=a2+b2,

所以|Z|2=Z-Z成立；

對(duì)于B,z=a~\-bi(a,Z?GR),當(dāng)均不為0時(shí)，z2=(a+Z?i)2=<a2—Z?2+2aZ?i,而

\z\2=a2+b2,所以z2=|zF不成立;

對(duì)于C,|z|=l可以看成以。(0,0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)P,|z+i|可以看

成點(diǎn)尸到。(0,-1)的距離，所以當(dāng)P(0,1)時(shí)，可取|z+i|的最大值2；

對(duì)于D,|z—1|=1可以看成以M(l,0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)N,貝憫表

示點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離，故O,N重合時(shí)，|z|=0最小，當(dāng)。，M,N三點(diǎn)共線時(shí)，

|z|=2最大，故0W|z|W2.故選ACD.

14.(多選)(2021.濟(jì)南十一學(xué)校聯(lián)考)歐拉公式e』cosx+isin式其中i為虛數(shù)單位,

xdR)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),

建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被

譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是(