2023年高考數(shù)學(xué)真題匯編含答案_第1頁
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文檔簡介

目錄

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷).........................................1

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(新課標(biāo)H卷)........................................8

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國甲卷)......................................15

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國乙卷)......................................24

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國甲卷).....................................34

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國乙卷).....................................18

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷)

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合加={-2,-1,0,1,2},N={x|f—x—GNO},則MAN=[C]

A.{—2,—1,0,1}B.{0,1,2)

C.{-2}D.{2}

1-i

2,已知z=2+2i'則z—z=[A]

A.-iB.iC.OD.1

3.已知向量a=(L1),3=(1,-1).若3+勸)_1_3+〃力),則【D】

A.X+〃=1B.4+〃=—1

C.D.u=—\

4.設(shè)函數(shù)1x)=2ML")在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則。的取值范圍是【D】

A.(—8,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

5.設(shè)橢圓Ci:a+y2=l(tz>l),Ci:,+/=1的離心率分別為e\,e2.若e2=小e\,則a

=[A]

A.¥B.啦C.小D.^6

6.過點(0,—2)與圓f+丁-4x—1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=[B]

7.記S”為數(shù)列{a.}的前〃項和,設(shè)甲:{a,,}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則【C】

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8,已知sin(a一夕)=;,cosasin£=/,則cos(2a+20=[B]

二'選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題

目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…,X6,其中XI是最小值,X6是最大值,則【BD】

A.X2,X3,X4,X5的平均數(shù)等于XI,X2,…,X6的平均數(shù)

B.X2,X3,X4,X5的中位數(shù)等于XI,X2,…,X6的中位數(shù)

C.九2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于無I,X2,…,X6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X2,X3,X4,X5的極差不大于XI,尤2,…,X6的極差

10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級&=20Xlgj,

其中常數(shù)po3)>O)是聽覺下限閾值,〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:已知在距離

與聲源的距離

聲源聲壓級/dB

/m

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050-60

電動汽車1040

燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為“,p2,P3,則【ACD】

A.pi2P2B./?2>10/73

C.p3=lOOpoD.piW100/72

11.已知函數(shù)/U)的定義域為R,1孫)=方力+%2/&),則【ABC】

A./(0)=0B./(l)=0

C./U)是偶函數(shù)D.x=0為?r)的極小值點

12.下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的

有[ABD]

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

三'填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生須從這8門課中選修2門或3

門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有64種(用數(shù)字作答).

14.在正四棱臺ABCO-AIBGOI中,A8=2,Ai8i=l,44|=6,則該棱臺的體積為—平

15.已知函數(shù)八x)=cos3%—13>0)在區(qū)間[0,2以有且僅有3個零點,則口的取值范圍是也

31-

X2

一方=1(40,心0)的左、右焦點分別為乃,仍.點A在C上,點3在

16.已知雙曲線C:a2

y軸上,F(xiàn)iA=-^FiB,則。的離心率為一邛.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知在△A8C中,A+B=3C,2sin(A-Q=sinB.

⑴求sinA;

(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

JT

解:(1)由題意,A+3+C=4C=n,則C=],

又2sin(A—Q=sin(A+Q,

所以2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

即sinAcosC=3cosAsinC,

即tanA=3tanC=3,

所以"n,4=3,又sii?A+cos2A=1,A£(0,n),

COS

g、l.一生叵

所以sinA一1.,

(2)由(1)得,tanA=3>l,

JTJIyio

所以了<A(爹,所以cosA=

10,

因為sinB=sin(A+O=sinAcosC+cosAsinC=^^X乎+^X乎=乎

5X空

又由正弦定理得磊=景,則A3喘普=-/-=2①‘

2

故邊上的高為ACsinA=2/i5乂4俱=6。

18.(12分)如圖,在正四棱柱中,AB=2,44i=4.點A2,&,Ci,£>2分別在棱

AAi,BB\,CC\,DD\±,A42=L8&=?!?gt;2=2,CC2=3.

(1)證明:B2C2//A2D2;

(2)點P在棱上,當(dāng)二面角P-A2c2-6為150。時,求&P.

解:(1)作A2A',88于4,D2D'LCCi于。,

則AW//DiD',AW=6。',

在平行四邊形A'中,A2D2//A'D',

因為A42=l,BB2=DD2=2,CC2=3,

所以C2。'=B2A'=1,

在正四棱柱中,易知C2。'//BzA',

所以在平行四邊形4&C2。'中,B2C2//D'A'//A2D2,

(2)以8為坐標(biāo)原點,BC,BA,8由所在直線分別為尤,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系,則C2(2,0,3),A2(0,2,1),£>2(2,2,2),

設(shè)P(0,0,h),則42。2=(2,0,1),A2c2=(2,-2,2),

A2P=(0,-2,〃一1),

設(shè)平面A2D2C2的法向量為"i=(相,y\9zi),

n/A2£>2=0,Zxi+zi=0,

則叫2…i+2zi=0,令1'則窈=一2—,

?A2c2=0,

故〃/=(1,—1,12),

設(shè)平面A2c2P的法向量為〃2=(X2,>2,Z2),

“2?A2c2=0,2x2~2y2+2Z2=0,

z

則即,,z、令Z2=2,則*=/I—1,X2=h-3,

.〃2-A2P=0,1一2產(chǎn)+(/?-l)Z2=0,

故〃2=(/7—3,h—1,2),

|〃/?〃2|____________________6_________________

貝”cos150°I=

|?/||?2|加7(/L3)」+(5—1)?+4

_________________小

yf2-ylCh—2)2+32

解得〃=1或3,則82P=|2—川=lo

第18題解圖

19.(12分)已知函數(shù)4x)=a?+a)—x.

(1)討論7U)的單調(diào)性;

3

(2)證明:當(dāng)a>0時,凡r)>21na+].

解:(1)/(%)=9一1,當(dāng)aWO時,f(x)<0,/U)在R上單調(diào)遞減,

當(dāng)a>0時,令/(x)=0,解得x=-Ina,

則當(dāng)xG(—8,一坨a)時,f(x)<0,當(dāng)*e(—Ina,+8州寸,f(%)>0,

即加)在(一8,一Ina)上單調(diào)遞減,在(Tna,+8)上單調(diào)遞j曾,

綜上,當(dāng)aWO時,/U)在R上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時,火x)在(-8,一Ina)上單調(diào)遞減,在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)得,當(dāng)a〉0時,兀¥)在(-8,—]na)上單調(diào)遞減,在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增,所以

y(x)2y(x)min=/(—Ina)=a(/+a)+lna=1+?2+lna,

33l

要證7(x)>21n,只需證l+H+in〃>21n,即4—g”-g>0,

ii2x^—1

令g(x)=/—Inx—5(x>0),則g,(x)=2x—;=~--,

乙JiA-

令g,(x)=0,得尤=孚(負(fù)值舍去),

所以當(dāng)xW(0,乎)時,g'(x)<0;當(dāng)乎,+8)時,g'(x)>0,

所以g(x)在(0,乎)上單調(diào)遞減,在停,+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)2gfW]=1—In嘩—1=1In2>0,

故原不等式得證.

2I

20.(12分)設(shè)等差數(shù)列{?!ǎ墓顬?且力>1.令5="~,記S〃,T”分別為數(shù)列{如},{加}

Un

的前〃項和.

(1)若3a2=30+。3,53+73=21,求{如}的通項公式;

(2)若{%}為等差數(shù)列,且S99一論9=99,求d.

解:(1)由3a2=3ai+a3得3(ai+J)=3ai+ai+2d,

”,r^+n〃+1

即ai=d,所以Un—ndt則bn—>~-,

3X(3-1)d,2+3+49

所以S3+T3=3aH2十一d-=64+[=21,

即2法一7d+3=0,解得d=3或d=g(舍去),

所以=3幾

(2)因為{瓦}是等差數(shù)列,

所以歷+加=2從,即弓=2X-4-3,

ci\a\~r2da\~rd

即af—3md+2摩=0,即(ai—d)(a\—2d)=3

所以ai=d或ai=2d,

(山+。99)X99(h+尻9)X99

又599—799=22=99,

所以(。1+499)—(4+尻9)=2,

當(dāng)ai=d時,an=nd,則仇=勺」,所以{兒}的公差為力,

由(ai+a99)—Si+/w)=2得("+99J)—弓+^^)=2,

化簡得50法一4—51=0,即(504—51)3+1)=0,

解得公肅或1=—1(舍去);

當(dāng)ai=2d時,a”=ai+(〃一l)d=(〃+l)d,

則歷尸(露d=d,所以{瓦}的公差為5,

由(m+o99)—Si+/w)=2得(2d+1004)—=2,

化簡得5/-4-50=0,即(514+50)(4-1)=0,

解得d=—第(舍去)或4=1(舍去);

綜上所述,d=|^.

21.(12分)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未

命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的

命中率均為08由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為05

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機(jī)變量必服從兩點分布,且P(M=1)=1一尸(必=0)=如i=l,2,…,〃,則E(£X,)

/=1

=.£/,記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求E(r).

i=l

解:(1)第2次投籃的人是乙的概率為0.5X0.4+0.5X0.8=0.6.

⑵設(shè)第z?次是甲投籃的概率為2,則第i次是乙投籃的概率是l—pi,

則p,+i=0.6p/+0.2(1一㈤=0.4p,+0.2,

,,91

構(gòu)造等比數(shù)列pi+i+%=5(/?;+2),解得4=-w,

則P,+T=1伍一,,

V7111n,l11J2'

又P[=5,PL],則P,=6義區(qū)

故口=,停)’1+3-

L俘I”「1

11⑸n5/八〃n

(3)E(Y)=pi+p2H----X------------Y=同[1—]。J+3,

1-5

故后⑴=1[1—(1)"]+3-

22.(12分)在直角坐標(biāo)系g中,點P到x軸的距離等于點P到點(0,,的距離,記動點尸

的軌跡為W.

⑴求卬的方程;

(2)已知矩形A8CD有三個頂點在W上,證明:矩形A3CD的周長大于3s.

解:⑴設(shè)P(x,y),依題有|y|=^jc2+|y—2J,

即y=/+1.

(2)不妨設(shè)A,B,。在卬上,

則BA_LD4,設(shè)A(a,,直線BA,D4斜率分別為攵和一",

由對稱性,不妨設(shè)固W1,直線班的方程為y=Z(x—4)+層+(,

卜=9+9,

聯(lián)立J]消去y可得x2一"+A。一屋=0,

\y=k(x—〃)+/+不

所以XA+XB=攵,所以5年一。,(攵-a)2+j,則|A3|=^/l+F\k-2a\,

同理可得|AD|=[1+(-/2\-\-2a\|1+2?.

所以|A陰+\AD\="乒\k-2a\\i+2a\

1+—(\k-2a\+:+2a)

1+k2k+^.I(1+F)3

Vk①,

1+2?|利用絕對值三角不等式消元.

3

、兒(m+1)1

設(shè)人根)=~=蘇9+3根+而+3,m£(0.1],

則/(")=2〃+3-,=(2m—1)(〃2+1)2

m2

1)單調(diào)遞增,

單調(diào)遞減,

所以|A陰+\AD\2乎②,

所以矩形周長為2(|A陰+\AD\)>35.

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(新課標(biāo)n卷)

一'選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi),(l+3i)(3—i)對應(yīng)的點位于【A】

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={0,~a},B={\,a~2,2a—2},若則a=[B]

A.2B.1C.|D.-1

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬

從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名

學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有【D】

45152040

1

CA-4C(X)?C22004不T中BjCx)?C2()04和T

30304020

1

Cj,C00?C^20()kIT中DC400?C^2(X)和IT

4.若yu)=a+〃)ln2t+i為偶函數(shù),貝Ua=[B]

A.-1B.OC.1D.1

r2

5.已知橢圓C:y+尸=1的左、右焦點分別為Fi,Fi,直線產(chǎn)無+加與C交于A,8兩點,

若△BAB面積是△BAB面積的2倍,則m=[C]

2小巾2

A.B.2C.—D.—

6.已知函數(shù)人工)=。寸一Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增,則。的最小值為【C】

A.e2B.eC.e-1D.e-2

7.已知a為銳角,cos。=與必,則sin彳=[D]

7-1+小

B.

8

r3-木-]+小

J4D.4一

8.記&為等比數(shù)列{如}的前〃項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=[C]

A.120B.85C.-85D.-120

二'選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題

目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,為底面直徑,ZAPB=120°,抬=2,點C在底面

圓周上,且二面角P-AGO為45。,則【AC】

A.該圓錐的體積為n

B.該圓錐的側(cè)面積為45n

C.AC=2y/2

D.的面積為小

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點,直線y=一小(無一1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,

N兩點,/為C的準(zhǔn)線,則【AC】

A.p=2

B.\MN\=1

C.以MN為直徑的圓與/相切

D.△OMN為等腰三角形

11.若函數(shù)_/U)=alnx+§+A(aWO)既有極大值也有極小值,則【BCD】

A.bc>QB.ab>QC.b2+Sac>QD.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時,收到1的概率為a(0<a〈l),

收到0的概率為1一如發(fā)送1時,收到0的概率為以0VQV1),收到1的概率為1一氐考慮

兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次;三次傳輸是指每

個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為

譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯

碼為1).【ABD】

A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l一夕A

B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為夕(1一夕產(chǎn)

C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為伙1一4)2+(1-£)3

D.當(dāng)0VaV0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案

譯碼為0的概率

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.已知向量a,?搬足|。一川=、萬/\a~f~b\=\2a-b\,則\b\=__小.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的

正四棱錐,所得棱臺的體積為_28.

15.已知直線九一/町+1=0與。C(x—1)2+>2=4交于A,5兩點,寫出滿足3c面積為

Q

5”的m的一個佰一2(答案不唯一).

16.已知函數(shù)/(x)=sin(cox+s),如圖,A,B是直線與曲線y=y(x)的兩個交點,若|4?|

=y,則.*")=-*?

第16題圖

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AABC面積為小,。為

的中點,且AZ)=1.

JI

(1)若/4。。=可,求tan3;

(2)若從+。2=8,求。,c.

解:(1)因為。為5c的中點,

所以S&ABC=2S?ACD,

所以SAACD=乎X1-CD-sin-y,

解得CQ=2,

而cosZADB=—cosZADC=—^,

1+4—AB21

即cosNADB=2X1X2=-2'

解得AB=yft,

37+4-15s雨.及叵

故33=雙行14,則sinB一左屋

J3

故tanB=c.

(2)設(shè)BO=x,由cosZADB+cosZADC=0.

1+x2-c21+x2—/72

得+2x=°,

即2(1+、2)=爐+,=8,解得x=S.

又SAACD=;XIX小XsinNAOC=半,

JI

BPZADC=—,所以AO既是中線也是高線.

則(小)2=2,故Z?=c=2.

an—6,“為奇數(shù),

18.(12分)已知{m}為等差數(shù)列,bn='c冰/申跑記S,T”分別為數(shù)列{金},{兒}的前

[2a,,,“為偶數(shù).

〃項和,54=32,73=16.

(1)求{z}的通項公式;

(2)證明:當(dāng)〃>5時,Tn>Sn.

解:(1)由題得〃i=ai—6,bi=1ai,Z?3=?3—6,

故乃=8|+82+/?3=。1+2“2+。3—■12=4磁—12=16,解得“2=7,

又S4=ai+02+03+44=2(02+613)=32.解得。3=9,

故公差為6=2,ai=7—2=5,

所以{小}是首項為5,公差為2的等差數(shù)列,所以a“=2〃+3.

⑵由⑴得S,=5〃+〃(〃―l)=/+4",

[2〃-3,〃為奇數(shù),

b,,=[4n+6,〃為偶數(shù),

若〃為奇數(shù),

貝I」〃=(—1+3+…+2〃一3)+(14+22+…+4〃+2)

,.鹿+1,n-1

(—1+2〃—3)X—z(14+4〃+2)X—3層+5〃—10

=2+2=2'

〃2—3〃―10

令Tn—Sn=----2---->6解得〃>5或〃<一2(舍),

若〃為偶數(shù),

則7?=(—1+3+…+2M—5)+(14+22+…+4九+6)

n

(—1+2〃-5)X—(14+4〃+6)X—3n

=2+2=-2-'

〃2-n

令Tn-Sn=^~>0,解得n>1或〃<0(舍),

綜上,當(dāng)〃>5時,Tn>Sn.

19.(12分)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差

異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性,小于

或等于C的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的

頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設(shè)函數(shù)1c)=p(c)+q(c),當(dāng)cG[95,105]時,求Qc)的解析式,并求人?)在區(qū)間[95,105]

的最小值.

解:(1)患病者頻率分布直方圖中第一個矩形所對應(yīng)的概率為0.01,

要使p(c)=0.5%,則c為第一個矩形的中點值,故c=97.5,

所以g(c)=-2—+0.002X5=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)cG[95,100)時,p(c)=0.002(c—95),

^(c)=0.002X5+0.01X(100-c)=1.01-0.01c,

/c)=O82—。008c>0.02,

當(dāng)c£[100,105]時,p(c)=0.002X5+0.012(c-100)=0.012t—1.19,

^(c)=0.002(105-c)=0.21-0.002c,/c)=0.01c-0.98,

當(dāng)c=100時,.*c)min=0.02,

‘0.82—0.008c,c£[95,100),

故<c)=<

O.Olc-O.98,ce[100,105],

故_/k)在區(qū)間[95,105]的最小值為0.02.

20.(12分)如圖,三棱錐A-8CO中,DA=DB=DC,BDLCD,NAOB=NA£>C=60。,E為

8C的中點.

(1)證明:BCLDA;

(2)點尸滿足辟=DA,求二面角。-ARF的正弦值.

解:(1)連接。E,AE,因為DB=DC,E為的中點,所以

又DB=DA=DC,ZADC=ZADB=60°,

所以△AOC/AADB,則AC=AB,所以AELBC,

又AE,OEU平面AOE,AEHDE=E,

所以BC_L平面ADE,而DAU平面AOE,所以BC_LD4.

(2)不妨設(shè)DA=OB=OC=2,則8C=2啦,故DE=AE=p,

則所以AE上DE,故AE,BC,兩兩互相垂直,

則以E為坐標(biāo)原點,以前,EB,EA方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系,

第20題解圖

則D(A/2,0,0),A(0,0,V2),8(0,啦,0),E(Q,0,0),

由肆=DA得F(-巾,。,巾),

所以防=(6,一啦,0),BA=(0,一啦,y[2),

設(shè)平面A8D的法向量為m=(xi,yi,zi),

m?BD=y[2x[~\/2yi=0,

則彳_令zi=l,則xi=l,yi=l,

jn-BA=—y[2y]+A/2ZI=0,

則力=(1,1,1).

AF=(一陋,0,0),BF=(一也,一色,y[2),

設(shè)平面ABE的法向量為〃=(尤2,)2,Z2),

AF-n=0,[—\/2X2=0,

則彳即彳廠則X2=0,令”=1,則Z2=l,

BF.?=0,1-\2X2-V2^2+V2Z2=0,

所以〃=(0,1,1),

則cos(m,n)=乎,

故二面角O-A3-E的正弦值為、/年3.

21.(12分)已知雙曲線。的中心為坐標(biāo)原點,左焦點為(一2小,0),離心率為小.

(1)求。的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為4,A2,過點(一4,0)的直線與。的左支交于M,N兩點,M在

第二象限,直線M4與Mb交于點P,證明:點P在定直線上.

c-2y/5?c=2,\[5,

解:(1)由題意可知(c得{'

『小r,仿=2,

則廿=16,故C的方程為£一若=1.

41O

(2)設(shè)M(xi,yi),N(xz,>2),

IMN:x=my-4,/AM:x=m\y-2,IAIN:%=加2y+2,

x=my—4,

x2y21肖冗WW(4/?z2—1)y2—32my+48=0,

)4-16=b

r.32m

?+*=^T

則j故2myiy2=3(yi+*),

fx\+2^x2~2

\x\=my\—4,

設(shè)尸⑶,)’則由匕s=〃m\3t+-22,,2("l+"72)Iyi”,,將Ji

-代

mim2xi+2-2*-2

i—2+根>2—6]

’(yi》2J2722yly2-(6yi+2y2)

入上式得,

加)〃一2的2-63y\—y2

yi”

-1rll3(yi+>2)-(6yi+2y2)—3yi+/__

又2my\yi=?>(y\+y2),則s=2,_,

3yLy2

則點尸在定直線x=—1上.

22.(12分)(1)證明:當(dāng)0<x<l時,%—x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)/(%)=cosar—In(1—x2),若%=0是y(x)的極大值點,求。的取值范圍.

解:(1)設(shè)g(x)=x—x2—sinx(0<x<1),

貝1Jg'(x)=l—2x—cos九,g"(x)=-2+sinx<0,

則/⑴在(o,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則g'a)vg'(o)=o,

所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則g(x)〈g(0)=0,即%一fvsinx,

同理,設(shè)h(x)=sinx—x(0<x<1),貝U〃'(x)=cosx——1《0,

則〃(幻在(o,1)內(nèi)單調(diào)遞減,

貝(jA(x)</z(0)=0,貝ljsinx<%,

故當(dāng)04<1時,x—x2<sinx<x.

2x

⑵由題知了(尤)=—asinax+j^,ff(0)=0,

g、i〃,2(1—x2)+4/

所以/(%)=~。9cosax+(-W)2-

2+2『

=-a9cosax-x

(I-%2)2

/(0)=2—〃2,

①若((0)=2—屋>0,即一也<a<^2,

易知存在<5>0,使得x£(0,6)時,/'(x)>0,

所以/(X)在(0,6內(nèi)單調(diào)遞增,所以/(x)>/(0)=0,

所以/(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)遞增,與x=0是./U)的極大值點矛盾;

②若"(0)=2—序<0,即&<—&或a>小時,

存在加>0,使得(一9,S')時,f(x)<0,

所以1(x)在(一加,6,)內(nèi)單調(diào)遞減,

因為/(0)=0,所以當(dāng)一(5<尤V0時,f(x)>0,兀x)單調(diào)遞增,

當(dāng)0<x<(5時,fW<0,/U)單調(diào)遞減,

滿足x=0是勺極大值點;

③若廣(0)=0,即。=地,

又/U)為偶函數(shù),故只需考慮的情形,

此時了(x)=一/sin(也x)+pz^2,

由(1)得當(dāng)0<x<1時,x>sinx9

當(dāng)OVxV坐時,一立sin(y[2x)>—2x,

則乎)時,.「(x)>—=2x(1J,-1)>0,

;(x)在(0,乎)內(nèi)單調(diào)遞增,與尤=0是ZU)的極大值點矛盾,舍去.

綜上,。的取值范圍為(一8,一啦)U(V2,4-00).

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)(全國甲卷)

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)全集U=Z,集合M={x|x=3Z+l,%ez},N={x|x=3A+2,%£Z},則Cu(MUN)=【A】

A.{x|x=3Z,kSZ}B.{巾=3攵-1,%£Z}

C.{x|x=3Z—2,kwz}D.0

2.設(shè)a£R,(a+i)(l—ai)=2,則a=[C]

A.-2B.-1C.1D.2

3.執(zhí)行右邊的程序框圖,則輸出的8=[B]

A.21B.34C.55D.89

/輸出8/

4.已知向量a,5,c滿足同=步|=1,|c|=^/2,且a+〃+c=O,則cos<a~c,b—c>=[D]

4224

A..gB.-gC.§D.7

5.設(shè)等比數(shù)列{z}的各項均為正數(shù),前〃項和為S,若ai=l,55=553-4,則S4=[C]

A.4B.容C.15D.40

oo

6.某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好

滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概

率為[A]

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

7.設(shè)甲:sin2a+sin2J^=L乙:sina+cos7=0,則【B】

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.已知雙曲線C:弓=l(a>0,8>0)的離心率為小,。的一條漸近線與圓。-2)2+。

—3)2=1交于A,B兩點,則|A8|=[D]

亞維3^5也

A.5B.5C.5D.5

9.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中

安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有【B】

A.120種B.60種C.30種D.20種

(JIAJI

10.函數(shù)y=/(x)的圖象由函數(shù)y=cos9+不)的圖象向左平移不個單位長度得到,則y=/(x)

的圖象與直線y=g尤一義的交點個數(shù)為【C】

A.1B.2C.3D.4

11.已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形,PC=PD=3,NPCA=45。,則△PBC

的面積為【C】

A.2啦6.372C.4巾D.6蛆

12.設(shè)O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)i,仍為橢圓C:5=1的兩個焦點,點產(chǎn)在。上,cosNF1PF2

=|,則|OP|=[B]

A.今B.粵C.弓D.亭

二'填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.若7(x)=(x-Ip+or+sinQ+受)為偶函數(shù),則a=2.

j3x—2y<3,

14.若x,y滿足約束條件,-2x+3yW3,則z=3x+2v的最大值為15.

Lr+y21,

15.在正方體中,E,F分別為AB,GU的中點.以EF為直徑的球的球面與

該正方體的棱共有12個公共點.

16.在△ABC中,ZBAC=60°,AB=2,BC=?,N84C的角平分線交3c于。,貝ijAO=

2.

三'解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題:共60分.

17.(12分)記S為數(shù)列{?。那啊椇?,已知z=l,2sli=nan.

(1)求{&”}的通項公式;

(2)求數(shù)歹,叫的前〃項和7;.

解:⑴因為2S”=〃廝①,

所以當(dāng)〃=1時,2a1=S,解得ai=0;

當(dāng)〃22時,2sl=(〃-1)勾”1②,

則①一②得2。"=〃&"—(〃-1)。"一|,即(〃-2)a”=(〃-,

所端〃一1

n―2?

則公n-1in~204_303_2

n—2an-2n-3432'Q21

將上式兩邊同時累乘可得點=n—\,所以斯=(〃-1)02=〃-1;

當(dāng)〃=1時,0=0滿足上式,故小=〃一1.

(2)由⑴可得z=〃-1,則母1=生,

所以4=0+養(yǎng)H-----卜日③,

1n與

2丁”=了^+T④,

則③_④得;Tn=2+/---

==1_±〃

所以]Tn一12"2n+1

2

所以〃=2一室.

18.(12分)如圖,在三棱柱ABC-AiBiC中,AiCJ_平面ABC,NAC8=90。,AA\=2,Ai到平

面BCC\B\的距離為1.

⑴證明:AiC=AC;

⑵已知A4到BB\的距離為2,求AB\與平面BCC\B\所成角的正弦值.

解:(1)因為AC,平面ABC,所以ACAC,AxCLBC,

因為NACB=90。,所以ACJ_BC,

又ACCAC=C,AiC,ACU平面AAiGC,故8C,平面441clC.

因為BCU平面BCCiBi,所以平面BCG8i_L平面441CC

如圖①,過4作AQ_LCG交CG于點。,

因為平面BCCBm平面A41cle=CG,且AiOU平面A4C1C,

所以40,平面BCC\B\,

又Ai到平面BCGBi的距離為1,故AI£>=1,

在RtZ^AiCiC'11,2CCi,A]D—^AiCi,A\CtAiAiCP'—CC」,

|AiCi?AiC=2,

即Ad+Ad=4,解得4c=4C=啦.

故4C=AC

(2)由(1)得,AC=yf2,

在RtZ\A3C中,作CELAB交A3于點E,連接AiE,如圖②,

設(shè)BC=m,CE=t,則AB=y/2+m2,

y[2m

所以AC8C=ABCE,即也?〃2=弋2+加2則t=

^2+m2

又在Rt"CE中,/+2券m2=、編/4+4出〃於,

在平行四邊形A41B8中,作4bJ_8Bi交8B1于點R因為A41到的距離為2,

所以A\F=2,則AiE?AB=BBi?A\F,

即北:;;?山+蘇=2X2,解得或加=—小(舍),

由(1)知,AiC±AC,A\C±BC,AC±BC,

則以N,CB,C4所在直線分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z.

則A(啦,0,0),Bi(一啦,小,/),4(0,0,m),0(-^2,0,啦).

由(1)知,4。為平面BCGB的一個法向量,且。為CC中點,

則。(一乎,0,陰,4。=(一坐0,一陰,

又ABi=(一2巾,小,巾),設(shè)A8與平面8CC閏的夾角為仇

ABi?4。V13

則sin。=|AB,|.\AiD\13

故ABi與平面BCGBi所成角的正弦值為書.

圖①圖②

第18題解圖

19.(12分)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng),試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機(jī)地將其中20只

分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組

的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).

⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

⑵試驗結(jié)果如下:

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.8

26.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.5

18.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的

數(shù)據(jù)的個數(shù),完成如下列聯(lián)表:

<m2m

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