版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
目錄
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷).........................................1
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(新課標(biāo)H卷)........................................8
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國甲卷)......................................15
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國乙卷)......................................24
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國甲卷).....................................34
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國乙卷).....................................18
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
1.已知集合加={-2,-1,0,1,2},N={x|f—x—GNO},則MAN=[C]
A.{—2,—1,0,1}B.{0,1,2)
C.{-2}D.{2}
1-i
2,已知z=2+2i'則z—z=[A]
A.-iB.iC.OD.1
3.已知向量a=(L1),3=(1,-1).若3+勸)_1_3+〃力),則【D】
A.X+〃=1B.4+〃=—1
C.D.u=—\
4.設(shè)函數(shù)1x)=2ML")在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則。的取值范圍是【D】
A.(—8,-2]B.[-2,0)
C.(0,2]D.[2,+00)
5.設(shè)橢圓Ci:a+y2=l(tz>l),Ci:,+/=1的離心率分別為e\,e2.若e2=小e\,則a
=[A]
A.¥B.啦C.小D.^6
6.過點(0,—2)與圓f+丁-4x—1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=[B]
7.記S”為數(shù)列{a.}的前〃項和,設(shè)甲:{a,,}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則【C】
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8,已知sin(a一夕)=;,cosasin£=/,則cos(2a+20=[B]
二'選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.有一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…,X6,其中XI是最小值,X6是最大值,則【BD】
A.X2,X3,X4,X5的平均數(shù)等于XI,X2,…,X6的平均數(shù)
B.X2,X3,X4,X5的中位數(shù)等于XI,X2,…,X6的中位數(shù)
C.九2,X3,X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于無I,X2,…,X6的標(biāo)準(zhǔn)差
D.X2,X3,X4,X5的極差不大于XI,尤2,…,X6的極差
10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級&=20Xlgj,
其中常數(shù)po3)>O)是聽覺下限閾值,〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:已知在距離
與聲源的距離
聲源聲壓級/dB
/m
燃油汽車1060?90
混合動力汽車1050-60
電動汽車1040
燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為“,p2,P3,則【ACD】
A.pi2P2B./?2>10/73
C.p3=lOOpoD.piW100/72
11.已知函數(shù)/U)的定義域為R,1孫)=方力+%2/&),則【ABC】
A./(0)=0B./(l)=0
C./U)是偶函數(shù)D.x=0為?r)的極小值點
12.下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的
有[ABD]
A.直徑為0.99m的球體
B.所有棱長均為1.4m的四面體
C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體
D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體
三'填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生須從這8門課中選修2門或3
門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有64種(用數(shù)字作答).
14.在正四棱臺ABCO-AIBGOI中,A8=2,Ai8i=l,44|=6,則該棱臺的體積為—平
15.已知函數(shù)八x)=cos3%—13>0)在區(qū)間[0,2以有且僅有3個零點,則口的取值范圍是也
31-
X2
一方=1(40,心0)的左、右焦點分別為乃,仍.點A在C上,點3在
16.已知雙曲線C:a2
y軸上,F(xiàn)iA=-^FiB,則。的離心率為一邛.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(10分)已知在△A8C中,A+B=3C,2sin(A-Q=sinB.
⑴求sinA;
(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.
JT
解:(1)由題意,A+3+C=4C=n,則C=],
又2sin(A—Q=sin(A+Q,
所以2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,
即sinAcosC=3cosAsinC,
即tanA=3tanC=3,
所以"n,4=3,又sii?A+cos2A=1,A£(0,n),
COS
g、l.一生叵
所以sinA一1.,
(2)由(1)得,tanA=3>l,
JTJIyio
所以了<A(爹,所以cosA=
10,
因為sinB=sin(A+O=sinAcosC+cosAsinC=^^X乎+^X乎=乎
5X空
又由正弦定理得磊=景,則A3喘普=-/-=2①‘
2
故邊上的高為ACsinA=2/i5乂4俱=6。
18.(12分)如圖,在正四棱柱中,AB=2,44i=4.點A2,&,Ci,£>2分別在棱
AAi,BB\,CC\,DD\±,A42=L8&=?!?gt;2=2,CC2=3.
(1)證明:B2C2//A2D2;
(2)點P在棱上,當(dāng)二面角P-A2c2-6為150。時,求&P.
解:(1)作A2A',88于4,D2D'LCCi于。,
則AW//DiD',AW=6。',
在平行四邊形A'中,A2D2//A'D',
因為A42=l,BB2=DD2=2,CC2=3,
所以C2。'=B2A'=1,
在正四棱柱中,易知C2。'//BzA',
所以在平行四邊形4&C2。'中,B2C2//D'A'//A2D2,
(2)以8為坐標(biāo)原點,BC,BA,8由所在直線分別為尤,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐
標(biāo)系,則C2(2,0,3),A2(0,2,1),£>2(2,2,2),
設(shè)P(0,0,h),則42。2=(2,0,1),A2c2=(2,-2,2),
A2P=(0,-2,〃一1),
設(shè)平面A2D2C2的法向量為"i=(相,y\9zi),
n/A2£>2=0,Zxi+zi=0,
則叫2…i+2zi=0,令1'則窈=一2—,
?A2c2=0,
故〃/=(1,—1,12),
設(shè)平面A2c2P的法向量為〃2=(X2,>2,Z2),
“2?A2c2=0,2x2~2y2+2Z2=0,
z
則即,,z、令Z2=2,則*=/I—1,X2=h-3,
.〃2-A2P=0,1一2產(chǎn)+(/?-l)Z2=0,
故〃2=(/7—3,h—1,2),
|〃/?〃2|____________________6_________________
貝”cos150°I=
|?/||?2|加7(/L3)」+(5—1)?+4
_________________小
yf2-ylCh—2)2+32
解得〃=1或3,則82P=|2—川=lo
第18題解圖
19.(12分)已知函數(shù)4x)=a?+a)—x.
(1)討論7U)的單調(diào)性;
3
(2)證明:當(dāng)a>0時,凡r)>21na+].
解:(1)/(%)=9一1,當(dāng)aWO時,f(x)<0,/U)在R上單調(diào)遞減,
當(dāng)a>0時,令/(x)=0,解得x=-Ina,
則當(dāng)xG(—8,一坨a)時,f(x)<0,當(dāng)*e(—Ina,+8州寸,f(%)>0,
即加)在(一8,一Ina)上單調(diào)遞減,在(Tna,+8)上單調(diào)遞j曾,
綜上,當(dāng)aWO時,/U)在R上單調(diào)遞減;
當(dāng)a>0時,火x)在(-8,一Ina)上單調(diào)遞減,在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.
(2)由(1)得,當(dāng)a〉0時,兀¥)在(-8,—]na)上單調(diào)遞減,在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增,所以
y(x)2y(x)min=/(—Ina)=a(/+a)+lna=1+?2+lna,
33l
要證7(x)>21n,只需證l+H+in〃>21n,即4—g”-g>0,
ii2x^—1
令g(x)=/—Inx—5(x>0),則g,(x)=2x—;=~--,
乙JiA-
令g,(x)=0,得尤=孚(負(fù)值舍去),
所以當(dāng)xW(0,乎)時,g'(x)<0;當(dāng)乎,+8)時,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,乎)上單調(diào)遞減,在停,+8)上單調(diào)遞增,
所以g(x)2gfW]=1—In嘩—1=1In2>0,
故原不等式得證.
2I
20.(12分)設(shè)等差數(shù)列{?!ǎ墓顬?且力>1.令5="~,記S〃,T”分別為數(shù)列{如},{加}
Un
的前〃項和.
(1)若3a2=30+。3,53+73=21,求{如}的通項公式;
(2)若{%}為等差數(shù)列,且S99一論9=99,求d.
解:(1)由3a2=3ai+a3得3(ai+J)=3ai+ai+2d,
”,r^+n〃+1
即ai=d,所以Un—ndt則bn—>~-,
3X(3-1)d,2+3+49
所以S3+T3=3aH2十一d-=64+[=21,
即2法一7d+3=0,解得d=3或d=g(舍去),
所以=3幾
(2)因為{瓦}是等差數(shù)列,
所以歷+加=2從,即弓=2X-4-3,
ci\a\~r2da\~rd
即af—3md+2摩=0,即(ai—d)(a\—2d)=3
所以ai=d或ai=2d,
(山+。99)X99(h+尻9)X99
又599—799=22=99,
所以(。1+499)—(4+尻9)=2,
當(dāng)ai=d時,an=nd,則仇=勺」,所以{兒}的公差為力,
由(ai+a99)—Si+/w)=2得("+99J)—弓+^^)=2,
化簡得50法一4—51=0,即(504—51)3+1)=0,
解得公肅或1=—1(舍去);
當(dāng)ai=2d時,a”=ai+(〃一l)d=(〃+l)d,
則歷尸(露d=d,所以{瓦}的公差為5,
由(m+o99)—Si+/w)=2得(2d+1004)—=2,
化簡得5/-4-50=0,即(514+50)(4-1)=0,
解得d=—第(舍去)或4=1(舍去);
綜上所述,d=|^.
21.(12分)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未
命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的
命中率均為08由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為05
(1)求第2次投籃的人是乙的概率;
(2)求第i次投籃的人是甲的概率;
(3)已知:若隨機(jī)變量必服從兩點分布,且P(M=1)=1一尸(必=0)=如i=l,2,…,〃,則E(£X,)
/=1
=.£/,記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求E(r).
i=l
解:(1)第2次投籃的人是乙的概率為0.5X0.4+0.5X0.8=0.6.
⑵設(shè)第z?次是甲投籃的概率為2,則第i次是乙投籃的概率是l—pi,
則p,+i=0.6p/+0.2(1一㈤=0.4p,+0.2,
,,91
構(gòu)造等比數(shù)列pi+i+%=5(/?;+2),解得4=-w,
則P,+T=1伍一,,
V7111n,l11J2'
又P[=5,PL],則P,=6義區(qū)
故口=,停)’1+3-
L俘I”「1
11⑸n5/八〃n
(3)E(Y)=pi+p2H----X------------Y=同[1—]。J+3,
1-5
故后⑴=1[1—(1)"]+3-
22.(12分)在直角坐標(biāo)系g中,點P到x軸的距離等于點P到點(0,,的距離,記動點尸
的軌跡為W.
⑴求卬的方程;
(2)已知矩形A8CD有三個頂點在W上,證明:矩形A3CD的周長大于3s.
解:⑴設(shè)P(x,y),依題有|y|=^jc2+|y—2J,
即y=/+1.
(2)不妨設(shè)A,B,。在卬上,
則BA_LD4,設(shè)A(a,,直線BA,D4斜率分別為攵和一",
由對稱性,不妨設(shè)固W1,直線班的方程為y=Z(x—4)+層+(,
卜=9+9,
聯(lián)立J]消去y可得x2一"+A。一屋=0,
\y=k(x—〃)+/+不
所以XA+XB=攵,所以5年一。,(攵-a)2+j,則|A3|=^/l+F\k-2a\,
同理可得|AD|=[1+(-/2\-\-2a\|1+2?.
所以|A陰+\AD\="乒\k-2a\\i+2a\
1+—(\k-2a\+:+2a)
1+k2k+^.I(1+F)3
Vk①,
1+2?|利用絕對值三角不等式消元.
3
、兒(m+1)1
設(shè)人根)=~=蘇9+3根+而+3,m£(0.1],
則/(")=2〃+3-,=(2m—1)(〃2+1)2
m2
1)單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減,
所以|A陰+\AD\2乎②,
所以矩形周長為2(|A陰+\AD\)>35.
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)(新課標(biāo)n卷)
一'選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
1.在復(fù)平面內(nèi),(l+3i)(3—i)對應(yīng)的點位于【A】
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2.設(shè)集合A={0,~a},B={\,a~2,2a—2},若則a=[B]
A.2B.1C.|D.-1
3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬
從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名
學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有【D】
45152040
1
CA-4C(X)?C22004不T中BjCx)?C2()04和T
30304020
1
Cj,C00?C^20()kIT中DC400?C^2(X)和IT
4.若yu)=a+〃)ln2t+i為偶函數(shù),貝Ua=[B]
A.-1B.OC.1D.1
r2
5.已知橢圓C:y+尸=1的左、右焦點分別為Fi,Fi,直線產(chǎn)無+加與C交于A,8兩點,
若△BAB面積是△BAB面積的2倍,則m=[C]
2小巾2
A.B.2C.—D.—
6.已知函數(shù)人工)=。寸一Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增,則。的最小值為【C】
A.e2B.eC.e-1D.e-2
7.已知a為銳角,cos。=與必,則sin彳=[D]
7-1+小
B.
8
r3-木-]+小
J4D.4一
8.記&為等比數(shù)列{如}的前〃項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=[C]
A.120B.85C.-85D.-120
二'選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,為底面直徑,ZAPB=120°,抬=2,點C在底面
圓周上,且二面角P-AGO為45。,則【AC】
A.該圓錐的體積為n
B.該圓錐的側(cè)面積為45n
C.AC=2y/2
D.的面積為小
10.設(shè)。為坐標(biāo)原點,直線y=一小(無一1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,
N兩點,/為C的準(zhǔn)線,則【AC】
A.p=2
B.\MN\=1
C.以MN為直徑的圓與/相切
D.△OMN為等腰三角形
11.若函數(shù)_/U)=alnx+§+A(aWO)既有極大值也有極小值,則【BCD】
A.bc>QB.ab>QC.b2+Sac>QD.ac<0
12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時,收到1的概率為a(0<a〈l),
收到0的概率為1一如發(fā)送1時,收到0的概率為以0VQV1),收到1的概率為1一氐考慮
兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次;三次傳輸是指每
個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為
譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯
碼為1).【ABD】
A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(l-a)(l一夕A
B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為夕(1一夕產(chǎn)
C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為伙1一4)2+(1-£)3
D.當(dāng)0VaV0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案
譯碼為0的概率
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知向量a,?搬足|。一川=、萬/\a~f~b\=\2a-b\,則\b\=__小.
14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的
正四棱錐,所得棱臺的體積為_28.
15.已知直線九一/町+1=0與。C(x—1)2+>2=4交于A,5兩點,寫出滿足3c面積為
Q
5”的m的一個佰一2(答案不唯一).
16.已知函數(shù)/(x)=sin(cox+s),如圖,A,B是直線與曲線y=y(x)的兩個交點,若|4?|
=y,則.*")=-*?
第16題圖
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(10分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AABC面積為小,。為
的中點,且AZ)=1.
JI
(1)若/4。。=可,求tan3;
(2)若從+。2=8,求。,c.
解:(1)因為。為5c的中點,
所以S&ABC=2S?ACD,
所以SAACD=乎X1-CD-sin-y,
解得CQ=2,
而cosZADB=—cosZADC=—^,
1+4—AB21
即cosNADB=2X1X2=-2'
解得AB=yft,
37+4-15s雨.及叵
故33=雙行14,則sinB一左屋
J3
故tanB=c.
(2)設(shè)BO=x,由cosZADB+cosZADC=0.
1+x2-c21+x2—/72
得+2x=°,
即2(1+、2)=爐+,=8,解得x=S.
又SAACD=;XIX小XsinNAOC=半,
JI
BPZADC=—,所以AO既是中線也是高線.
則(小)2=2,故Z?=c=2.
an—6,“為奇數(shù),
18.(12分)已知{m}為等差數(shù)列,bn='c冰/申跑記S,T”分別為數(shù)列{金},{兒}的前
[2a,,,“為偶數(shù).
〃項和,54=32,73=16.
(1)求{z}的通項公式;
(2)證明:當(dāng)〃>5時,Tn>Sn.
解:(1)由題得〃i=ai—6,bi=1ai,Z?3=?3—6,
故乃=8|+82+/?3=。1+2“2+。3—■12=4磁—12=16,解得“2=7,
又S4=ai+02+03+44=2(02+613)=32.解得。3=9,
故公差為6=2,ai=7—2=5,
所以{小}是首項為5,公差為2的等差數(shù)列,所以a“=2〃+3.
⑵由⑴得S,=5〃+〃(〃―l)=/+4",
[2〃-3,〃為奇數(shù),
b,,=[4n+6,〃為偶數(shù),
若〃為奇數(shù),
貝I」〃=(—1+3+…+2〃一3)+(14+22+…+4〃+2)
,.鹿+1,n-1
(—1+2〃—3)X—z(14+4〃+2)X—3層+5〃—10
=2+2=2'
〃2—3〃―10
令Tn—Sn=----2---->6解得〃>5或〃<一2(舍),
若〃為偶數(shù),
則7?=(—1+3+…+2M—5)+(14+22+…+4九+6)
n
(—1+2〃-5)X—(14+4〃+6)X—3n
=2+2=-2-'
〃2-n
令Tn-Sn=^~>0,解得n>1或〃<0(舍),
綜上,當(dāng)〃>5時,Tn>Sn.
19.(12分)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差
異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:
利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性,小于
或等于C的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);
誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的
頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);
(2)設(shè)函數(shù)1c)=p(c)+q(c),當(dāng)cG[95,105]時,求Qc)的解析式,并求人?)在區(qū)間[95,105]
的最小值.
解:(1)患病者頻率分布直方圖中第一個矩形所對應(yīng)的概率為0.01,
要使p(c)=0.5%,則c為第一個矩形的中點值,故c=97.5,
所以g(c)=-2—+0.002X5=0.035=3.5%.
(2)當(dāng)cG[95,100)時,p(c)=0.002(c—95),
^(c)=0.002X5+0.01X(100-c)=1.01-0.01c,
/c)=O82—。008c>0.02,
當(dāng)c£[100,105]時,p(c)=0.002X5+0.012(c-100)=0.012t—1.19,
^(c)=0.002(105-c)=0.21-0.002c,/c)=0.01c-0.98,
當(dāng)c=100時,.*c)min=0.02,
‘0.82—0.008c,c£[95,100),
故<c)=<
O.Olc-O.98,ce[100,105],
故_/k)在區(qū)間[95,105]的最小值為0.02.
20.(12分)如圖,三棱錐A-8CO中,DA=DB=DC,BDLCD,NAOB=NA£>C=60。,E為
8C的中點.
(1)證明:BCLDA;
(2)點尸滿足辟=DA,求二面角。-ARF的正弦值.
解:(1)連接。E,AE,因為DB=DC,E為的中點,所以
又DB=DA=DC,ZADC=ZADB=60°,
所以△AOC/AADB,則AC=AB,所以AELBC,
又AE,OEU平面AOE,AEHDE=E,
所以BC_L平面ADE,而DAU平面AOE,所以BC_LD4.
(2)不妨設(shè)DA=OB=OC=2,則8C=2啦,故DE=AE=p,
則所以AE上DE,故AE,BC,兩兩互相垂直,
則以E為坐標(biāo)原點,以前,EB,EA方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空
間直角坐標(biāo)系,
第20題解圖
則D(A/2,0,0),A(0,0,V2),8(0,啦,0),E(Q,0,0),
由肆=DA得F(-巾,。,巾),
所以防=(6,一啦,0),BA=(0,一啦,y[2),
設(shè)平面A8D的法向量為m=(xi,yi,zi),
m?BD=y[2x[~\/2yi=0,
則彳_令zi=l,則xi=l,yi=l,
jn-BA=—y[2y]+A/2ZI=0,
則力=(1,1,1).
AF=(一陋,0,0),BF=(一也,一色,y[2),
設(shè)平面ABE的法向量為〃=(尤2,)2,Z2),
AF-n=0,[—\/2X2=0,
則彳即彳廠則X2=0,令”=1,則Z2=l,
BF.?=0,1-\2X2-V2^2+V2Z2=0,
所以〃=(0,1,1),
則cos(m,n)=乎,
故二面角O-A3-E的正弦值為、/年3.
21.(12分)已知雙曲線。的中心為坐標(biāo)原點,左焦點為(一2小,0),離心率為小.
(1)求。的方程;
(2)記C的左、右頂點分別為4,A2,過點(一4,0)的直線與。的左支交于M,N兩點,M在
第二象限,直線M4與Mb交于點P,證明:點P在定直線上.
c-2y/5?c=2,\[5,
解:(1)由題意可知(c得{'
『小r,仿=2,
則廿=16,故C的方程為£一若=1.
41O
(2)設(shè)M(xi,yi),N(xz,>2),
IMN:x=my-4,/AM:x=m\y-2,IAIN:%=加2y+2,
x=my—4,
x2y21肖冗WW(4/?z2—1)y2—32my+48=0,
)4-16=b
r.32m
?+*=^T
則j故2myiy2=3(yi+*),
fx\+2^x2~2
\x\=my\—4,
設(shè)尸⑶,)’則由匕s=〃m\3t+-22,,2("l+"72)Iyi”,,將Ji
-代
mim2xi+2-2*-2
i—2+根>2—6]
’(yi》2J2722yly2-(6yi+2y2)
入上式得,
加)〃一2的2-63y\—y2
yi”
-1rll3(yi+>2)-(6yi+2y2)—3yi+/__
又2my\yi=?>(y\+y2),則s=2,_,
3yLy2
則點尸在定直線x=—1上.
22.(12分)(1)證明:當(dāng)0<x<l時,%—x2<sinx<x;
(2)已知函數(shù)/(%)=cosar—In(1—x2),若%=0是y(x)的極大值點,求。的取值范圍.
解:(1)設(shè)g(x)=x—x2—sinx(0<x<1),
貝1Jg'(x)=l—2x—cos九,g"(x)=-2+sinx<0,
則/⑴在(o,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則g'a)vg'(o)=o,
所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則g(x)〈g(0)=0,即%一fvsinx,
同理,設(shè)h(x)=sinx—x(0<x<1),貝U〃'(x)=cosx——1《0,
則〃(幻在(o,1)內(nèi)單調(diào)遞減,
貝(jA(x)</z(0)=0,貝ljsinx<%,
故當(dāng)04<1時,x—x2<sinx<x.
2x
⑵由題知了(尤)=—asinax+j^,ff(0)=0,
g、i〃,2(1—x2)+4/
所以/(%)=~。9cosax+(-W)2-
2+2『
=-a9cosax-x
(I-%2)2
/(0)=2—〃2,
①若((0)=2—屋>0,即一也<a<^2,
易知存在<5>0,使得x£(0,6)時,/'(x)>0,
所以/(X)在(0,6內(nèi)單調(diào)遞增,所以/(x)>/(0)=0,
所以/(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)遞增,與x=0是./U)的極大值點矛盾;
②若"(0)=2—序<0,即&<—&或a>小時,
存在加>0,使得(一9,S')時,f(x)<0,
所以1(x)在(一加,6,)內(nèi)單調(diào)遞減,
因為/(0)=0,所以當(dāng)一(5<尤V0時,f(x)>0,兀x)單調(diào)遞增,
當(dāng)0<x<(5時,fW<0,/U)單調(diào)遞減,
滿足x=0是勺極大值點;
③若廣(0)=0,即。=地,
又/U)為偶函數(shù),故只需考慮的情形,
此時了(x)=一/sin(也x)+pz^2,
由(1)得當(dāng)0<x<1時,x>sinx9
當(dāng)OVxV坐時,一立sin(y[2x)>—2x,
則乎)時,.「(x)>—=2x(1J,-1)>0,
;(x)在(0,乎)內(nèi)單調(diào)遞增,與尤=0是ZU)的極大值點矛盾,舍去.
綜上,。的取值范圍為(一8,一啦)U(V2,4-00).
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)(全國甲卷)
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
1.設(shè)全集U=Z,集合M={x|x=3Z+l,%ez},N={x|x=3A+2,%£Z},則Cu(MUN)=【A】
A.{x|x=3Z,kSZ}B.{巾=3攵-1,%£Z}
C.{x|x=3Z—2,kwz}D.0
2.設(shè)a£R,(a+i)(l—ai)=2,則a=[C]
A.-2B.-1C.1D.2
3.執(zhí)行右邊的程序框圖,則輸出的8=[B]
A.21B.34C.55D.89
/輸出8/
4.已知向量a,5,c滿足同=步|=1,|c|=^/2,且a+〃+c=O,則cos<a~c,b—c>=[D]
4224
A..gB.-gC.§D.7
5.設(shè)等比數(shù)列{z}的各項均為正數(shù),前〃項和為S,若ai=l,55=553-4,則S4=[C]
A.4B.容C.15D.40
oo
6.某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好
滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概
率為[A]
A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4
7.設(shè)甲:sin2a+sin2J^=L乙:sina+cos7=0,則【B】
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8.已知雙曲線C:弓=l(a>0,8>0)的離心率為小,。的一條漸近線與圓。-2)2+。
—3)2=1交于A,B兩點,則|A8|=[D]
亞維3^5也
A.5B.5C.5D.5
9.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中
安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有【B】
A.120種B.60種C.30種D.20種
(JIAJI
10.函數(shù)y=/(x)的圖象由函數(shù)y=cos9+不)的圖象向左平移不個單位長度得到,則y=/(x)
的圖象與直線y=g尤一義的交點個數(shù)為【C】
A.1B.2C.3D.4
11.已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形,PC=PD=3,NPCA=45。,則△PBC
的面積為【C】
A.2啦6.372C.4巾D.6蛆
12.設(shè)O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)i,仍為橢圓C:5=1的兩個焦點,點產(chǎn)在。上,cosNF1PF2
=|,則|OP|=[B]
A.今B.粵C.弓D.亭
二'填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.若7(x)=(x-Ip+or+sinQ+受)為偶函數(shù),則a=2.
j3x—2y<3,
14.若x,y滿足約束條件,-2x+3yW3,則z=3x+2v的最大值為15.
Lr+y21,
15.在正方體中,E,F分別為AB,GU的中點.以EF為直徑的球的球面與
該正方體的棱共有12個公共點.
16.在△ABC中,ZBAC=60°,AB=2,BC=?,N84C的角平分線交3c于。,貝ijAO=
2.
三'解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,
每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:共60分.
17.(12分)記S為數(shù)列{?。那啊椇?,已知z=l,2sli=nan.
(1)求{&”}的通項公式;
(2)求數(shù)歹,叫的前〃項和7;.
解:⑴因為2S”=〃廝①,
所以當(dāng)〃=1時,2a1=S,解得ai=0;
當(dāng)〃22時,2sl=(〃-1)勾”1②,
則①一②得2。"=〃&"—(〃-1)。"一|,即(〃-2)a”=(〃-,
所端〃一1
n―2?
則公n-1in~204_303_2
n—2an-2n-3432'Q21
將上式兩邊同時累乘可得點=n—\,所以斯=(〃-1)02=〃-1;
當(dāng)〃=1時,0=0滿足上式,故小=〃一1.
(2)由⑴可得z=〃-1,則母1=生,
所以4=0+養(yǎng)H-----卜日③,
1n與
2丁”=了^+T④,
則③_④得;Tn=2+/---
==1_±〃
所以]Tn一12"2n+1
2
所以〃=2一室.
18.(12分)如圖,在三棱柱ABC-AiBiC中,AiCJ_平面ABC,NAC8=90。,AA\=2,Ai到平
面BCC\B\的距離為1.
⑴證明:AiC=AC;
⑵已知A4到BB\的距離為2,求AB\與平面BCC\B\所成角的正弦值.
解:(1)因為AC,平面ABC,所以ACAC,AxCLBC,
因為NACB=90。,所以ACJ_BC,
又ACCAC=C,AiC,ACU平面AAiGC,故8C,平面441clC.
因為BCU平面BCCiBi,所以平面BCG8i_L平面441CC
如圖①,過4作AQ_LCG交CG于點。,
因為平面BCCBm平面A41cle=CG,且AiOU平面A4C1C,
所以40,平面BCC\B\,
又Ai到平面BCGBi的距離為1,故AI£>=1,
在RtZ^AiCiC'11,2CCi,A]D—^AiCi,A\CtAiAiCP'—CC」,
|AiCi?AiC=2,
即Ad+Ad=4,解得4c=4C=啦.
故4C=AC
(2)由(1)得,AC=yf2,
在RtZ\A3C中,作CELAB交A3于點E,連接AiE,如圖②,
設(shè)BC=m,CE=t,則AB=y/2+m2,
y[2m
所以AC8C=ABCE,即也?〃2=弋2+加2則t=
^2+m2
又在Rt"CE中,/+2券m2=、編/4+4出〃於,
在平行四邊形A41B8中,作4bJ_8Bi交8B1于點R因為A41到的距離為2,
所以A\F=2,則AiE?AB=BBi?A\F,
即北:;;?山+蘇=2X2,解得或加=—小(舍),
由(1)知,AiC±AC,A\C±BC,AC±BC,
則以N,CB,C4所在直線分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z.
則A(啦,0,0),Bi(一啦,小,/),4(0,0,m),0(-^2,0,啦).
由(1)知,4。為平面BCGB的一個法向量,且。為CC中點,
則。(一乎,0,陰,4。=(一坐0,一陰,
又ABi=(一2巾,小,巾),設(shè)A8與平面8CC閏的夾角為仇
ABi?4。V13
則sin。=|AB,|.\AiD\13
故ABi與平面BCGBi所成角的正弦值為書.
圖①圖②
第18題解圖
19.(12分)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng),試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機(jī)地將其中20只
分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組
的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).
⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
⑵試驗結(jié)果如下:
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.8
26.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.5
18.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5
(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的
數(shù)據(jù)的個數(shù),完成如下列聯(lián)表:
<m2m
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 企業(yè)資產(chǎn)轉(zhuǎn)讓協(xié)議案例
- 協(xié)議離婚中的財產(chǎn)分配協(xié)議
- 醫(yī)療機(jī)構(gòu)互惠合作協(xié)議
- 2024年工程建設(shè)項目咨詢服務(wù)合同
- 事業(yè)單位員工停薪留職合同范本2024年
- 2024年場地租賃協(xié)議
- 2024年養(yǎng)殖設(shè)備租賃合同
- 代理證券投資合作協(xié)議示范
- 企業(yè)投資合作意向協(xié)議范本
- 土墻工程承包合同專業(yè)版
- 制作簡易紙折扇 (教案)-三年級上冊勞動浙教版
- 肝膽外科診療指南
- 非親子關(guān)系證明模板
- 高中美術(shù)-抽象藝術(shù)教學(xué)課件設(shè)計
- 啄木鳥糾錯活動方案(八篇)
- 出口退稅知識培訓(xùn)
- 某水利工程引水隧洞重大設(shè)計變更索賠報告
- 山東省青島市青島第二中學(xué)2024年高三物理第一學(xué)期期中聯(lián)考模擬試題含解析
- 大學(xué)辦公室管理制度公司管理制度
- 牛津譯林版八年級英語上冊Unit 7 Seasons Grammar 示范公開課教學(xué)課件
- 居家養(yǎng)老服務(wù)管理(社區(qū)居家養(yǎng)老服務(wù)課件)
評論
0/150
提交評論