歷屆1-24“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽八年級-真題及答案

希望杯第一屆（1990年）初中二年級第一試試題一、選擇題:（每題1分，共10分）1．一個角等于它的余角的5倍，那么這個角是 ()A．45°. B．75°.C．55°. D．65°2．2的平方的平方根是 ()A．2. B．2.C．±2. D．43．當(dāng)x=1時，a0x10-a1x9+a0x8-a1x7-a1x6+a1x5-a0x4+a1x3-a0x2+a1x的值是()A．0 B．a(chǎn)0.C．a(chǎn)1 D．a(chǎn)0-a14.ΔABC,若AB=SKIPIF1<0,BC=1+SKIPIF1<0,CA=SKIPIF1<0,則下列式子成立的是()A．∠A＞∠C＞∠B;B．∠C＞∠B＞∠A;C．∠B＞∠A＞∠C;D．∠C＞∠A＞∠B5．平面上有4條直線，它們的交點(diǎn)最多有()A．4個 B．5個.C．6個. D．76．SKIPIF1<0的立方根是[]（A）SKIPIF1<0.（B）SKIPIF1<0.（C）SKIPIF1<0.（D）SKIPIF1<0.7．把二次根式SKIPIF1<0化為最簡二次根式是[](A)SKIPIF1<0.(B)SKIPIF1<0.(C)SKIPIF1<0.(D)SKIPIF1<08．如圖1在△ABC中，AB=BC=CA，且AD=BE=CF，但D，E，F(xiàn)不是AB，BC，CA的中點(diǎn)．又AE，BF，CD分別交于M，N，P，如果把找出的三個全等三角形叫做一組全等三角形，那么從圖中能找出全等三角形()A．2組 B．3組.C．4組 D．5組。9.已知SKIPIF1<0等于一個固定的值，則這個值是() A．0. B．1.C．2. D．4.把f1990化簡后，等于 ()A．SKIPIF1<0.B.1-x.C.SKIPIF1<0.D.x.二、填空題（每題1分，共10分）1.SKIPIF1<02.SKIPIF1<03.SKIPIF1<0=________.4．如圖2，∠A=60°，∠1=∠2，則∠ABC的度數(shù)是______．SKIPIF1<05．如圖3,O是直線AB上一點(diǎn),∠AOD=117°,∠BOC=123°,則∠COD的度數(shù)是____度．6．△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線與∠B的平分線交于O點(diǎn)，則∠AOB的度數(shù)是______度．7．計算下面的圖形的面積（長度單位都是厘米）（見圖4）.答：______．8．方程x2+px+q=0，當(dāng)p＞0，q＜0時，它的正根的個數(shù)是______個．9．x，y，z適合方程組SKIPIF1<0則1989x-y+25z=______．10．已知3x2+4x-7=0，則6x4+11x3-7x2-3x-7=______．答案與提示一、選擇題提示：1．因?yàn)樗蠼铅?5(90°-α),解得α=75°．故選(B)．2．因?yàn)?的平方是4，4的平方根有2個，就是±2．故選(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故選(A)．＜3，根據(jù)大邊對大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如圖5，數(shù)一數(shù)即得．又因原式中有一個負(fù)號．所以也不可能是(D)，只能選(A)．7．∵a＜0，故選(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五種類型．選(D)．9．題目說是一個固定的值，就是說：不論x，y取何值，原式的值不變．于是以x=y=0代入，得：故選(B)．故選(A)．二、填空題提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度數(shù)是120度．5．∠COD度數(shù)的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程組可化簡為：解得：x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一屆（1990）第二試試題一、選擇題:（每題1分，共5分）1.等腰三角形周長是24cm，一腰中線將周長分成5∶3的兩部分，那么這個三角形的底邊長是[]A．7.5 B．12.C．4. D．12或42.已知P=SKIPIF1<0，那么P的值是[]A．1987 B．1988.C．1989 D．19903．a(chǎn)＞b＞c，x＞y＞z，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，則[]A．M＞P＞N且M＞Q＞N.B．N＞P＞M且N＞Q＞MC．P＞M＞Q且P＞N＞Q.D．Q＞M＞P且Q＞N＞P4．凸四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=900,∠CDA∶∠ABC=2∶1,AD∶CB=1∶SKIPIF1<0,則∠BDA=[]A．30° B．45°.C．60°. D．不能確定5．把一個邊長為1的正方形分割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存在三個點(diǎn)，以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個邊長大于1的正三角形，滿足上述性質(zhì)的分割[]A．是不存在的.B．恰有一種.C．有有限多種，但不只是一種.D．有無窮多種二、填空題:（每題1分，共5分）△ABC中，∠CAB∠B=90°，∠C的平分線與AB交于L，∠C的外角平分線與BA的延長線交于N．已知CL=3，則CN=______．若SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0的值是_____.已知a，b，c滿足a+b+c=0，abc=8，則c的取值范圍是______．ΔABC中,∠B=300,AB=SKIPIF1<0,BC=SKIPIF1<0,三個兩兩互相外切的圓全在△ABC中，這三個圓面積之和的最大值的整數(shù)部分是______．設(shè)a,b,c是非零整數(shù),那么SKIPIF1<0的值等于_________.三、解答題:（每題5分，共15分）1．從自然數(shù)1，2，3…，354中任取178個數(shù)，試證：其中必有兩個數(shù)，它們的差是177．2．平面上有兩個邊長相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的頂點(diǎn)A＇在正方形ABCD的中心．當(dāng)正方形A＇B＇C＇D＇繞A＇轉(zhuǎn)動時，兩個正方形的重合部分的面積必然是一個定值．這個結(jié)論對嗎？證明你的判斷．3．用1，9，9，0四個數(shù)碼組成的所有可能的四位數(shù)中，每一個這樣的四位數(shù)與自然數(shù)n之和被7除余數(shù)都不為1，將所有滿足上述條件的自然數(shù)n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，試求：n1·n2之值．答案與提示一、選擇題提示：1．若底邊長為12．則其他二邊之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底為4時，腰長是10．符合題意．故選(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需選a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于這時M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．從而選(A)．4．由圖6可知：當(dāng)∠BDA=60°時，∠CDB5．如圖7按同心圓分成面積相等的四部分．在最外面一部分中顯然可以找到三個點(diǎn)，組成邊長大于1的正三角形．如果三個圓換成任意的封閉曲線，只要符合分成的四部分面積相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三個點(diǎn)，使得組成邊長大于1的正三角形．故選(D)．二、填空題提示：1．如圖8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．當(dāng)a，b，c均為正時，值為7．當(dāng)a，b，c不均為正時，值為-1．三、解答題1．證法一把1到354的自然數(shù)分成177個組：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．這樣的組中，任一組內(nèi)的兩個數(shù)之差為177．從1~354中任取178個數(shù)，即是從這177個組中取出178個數(shù)，因而至少有兩個數(shù)出自同一個組．也即至少有兩個數(shù)之差是177．從而證明了任取的178個數(shù)中，必有兩個數(shù)，它們的差是177．證法二從1到354的自然數(shù)中，任取178個數(shù)．由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是0，1，2，…，176這177種之一．因而178個數(shù)中，至少有兩個數(shù)a，b的余數(shù)相同，也即至少有兩個數(shù)a，b之差是177的倍數(shù)，即ab=k×177．又因1~354中，任兩數(shù)之差小于2×177=354．所以兩個不相等的數(shù)a，b之差必為177．即ab=177．∴從自然數(shù)1，2，3，…，354中任取178個數(shù)，其中必有兩個數(shù)，它們的差是177．2．如圖9，重合部分面積SA＇EBF是一個定值．證明：連A＇B，A＇C，由A＇為正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，當(dāng)A＇B＇與A＇B重合時，必有A＇D＇與A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴SA＇EBF=S△A＇BC．∴兩個正方形的重合部分面積必然是一個定值．3．可能的四位數(shù)有9種：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它們被7除的余數(shù)分別為2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余數(shù)只有0，2，3，5，6五種．它們加1，2，3都可能有余1的情形出現(xiàn)．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成為：4，6，7，9，10，沒有一個被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成為7，9，10，12，13．沒有一個被7除余1．所以7是次小的n．即n1=4，n2=7∴n1×n2=4×7=28．第二屆（1991年）初中二年級第一試試題一、選擇題:（每題1分，共15分）1．如圖1，已知AB=8，AP=5，OB=6，則OP的長是[]A．2; B．3;C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的兩個根是[]A．1，6; B．2，3;C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，則[]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC4.a=SKIPIF1<0,則a,b,c的大小關(guān)系是[]A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)=b=cC．a(chǎn)=c＞b D．a(chǎn)=b＞c5.若a≠b,則(b-a)SKIPIF1<0等于[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<06．已知x，y都是正整數(shù)，那么三邊是x，y和10的三角形有[]A．3個 B．4個;C．5個 D．無數(shù)多個7．兩條直線相交所成的各角中， []A．必有一個鈍角;B．必有一個銳角;C．必有一個不是鈍角;D．必有兩個銳角8．已知兩個角的和組成的角與這兩個角的差組成的角互補(bǔ)，則這兩個角 []A．一個是銳角另一個是鈍角;B．都是鈍角;C．都是直角;D．必有一個角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[]個實(shí)數(shù)根．A．4; B．2;C．1; D．010．一個兩位數(shù)，用它的個位、十位上的兩個數(shù)之和的3倍減去-2，仍得原數(shù)，這個兩位數(shù)是[]A．26; B．28;C．36; D．3811．若11個連續(xù)奇數(shù)的和是1991，把這些數(shù)按大小順序排列起來，第六個數(shù)是 []A．179; B．181;C．183; D．18512.如果SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0等于[]A．2x+5 B．2x-5;C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一個實(shí)數(shù)根是 []A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<014．當(dāng)a＜-1時，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情況是 []A．兩負(fù)根;B．一正根、一負(fù)根且負(fù)根的絕對值大C．一正根、一負(fù)根且負(fù)根的絕對值小;D．沒有實(shí)數(shù)根15．甲乙二人，從M地同時出發(fā)去N地．甲用一半時間以每小時a公里的速度行走，另一半時間以每小時b公里的速度行走；乙以每小時a公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小時b公里的速度行走．若a≠b時，則[]到達(dá)N地．二人同時;B．甲先;C．乙先;D．若a＞b時，甲先到達(dá)，若a＜b時，乙先二、填空題:（每題1分，共15分）1．一個角的補(bǔ)角減去這個角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母:SKIPIF1<0=______________.3.方程SKIPIF1<0的解是x=________.4．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=______．5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的兩個實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k的值是______．6．如果2x2-3x-1與a(x-1)2+b(x-1)+c是同一個多項(xiàng)式的不同形式,那么SKIPIF1<0=__.7．方程x2-y2=1991有______個整數(shù)解．8．當(dāng)m______時，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有兩個實(shí)數(shù)根．9．如圖2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，則∠B等于______度．(2)(3)(4)10．如圖3，在圓上有7個點(diǎn)，A，B，C，D，E，F(xiàn)，和G，連結(jié)每兩個點(diǎn)的線段共可作出__條．11．D，E分別是等邊△ABC兩邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD=CE，BE與CD交于F，則∠BFC等于__度．12．如圖4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中線，AE是△ABD的角平分線，DF∥AB交AE延長線于F，則DF的長為______．13．在△ABC中，AB=5，AC=9，則BC邊上的中線AD的長的取值范圍是______．14．等腰三角形的一腰上的高為10cm，這條高與底邊的夾角為45°，則這個三角形的面積是______．15．已知方程x2+px+q=0有兩個不相等的整數(shù)根，p，q是自然數(shù)，且是質(zhì)數(shù)，這個方程的根是______．答案與提示一、選擇題提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴選(B)．2．∵以2，3代入方程，適合．故選(B)．3．∵有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．∴選(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴選(C)．6．∵x=y＞5的任何正整數(shù)，都可以和10作為三角形的三條邊．∴選(D)．7．兩直線相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴選(C)．8．設(shè)兩個角為α,β.則(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故選(D)．9．∵不論x為何實(shí)數(shù)，x2+|x|+1總是大于零的．∴選(D)．即7a=2b+2，可見a只能為偶數(shù)，b+1是7的倍數(shù)．故取(A)．11．設(shè)這11個連續(xù)奇數(shù)為：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．則(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六個數(shù)是2×85+11=181．故選(B)．∴選(A)．13．原方程可化為(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即(2x+1)(x4-10x2+1)=0．即x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a(chǎn)＜-1時，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的兩根為x1，x2，則有15．設(shè)M，N兩地距離為S，甲需時間t1，乙需時間t2，則有∴t1＜t2，即甲先．另外：設(shè)a=1，b=2，則甲走6小時，共走了9公里，這時乙走的時間為從這個計算中，可以看到，a，b的值互換，不影響結(jié)果．故取(B)．二、填空題提示：1．設(shè)所求角為α，則有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2)5．設(shè)二根為x1，-x1，則x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有實(shí)數(shù)根，必須有△≥0．即(k2-9)2-4(k+2)＞0．顯然k=3不適合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2項(xiàng)的系數(shù)相等，有a=2，這時再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜邊與直角邊之比為2∶1，則有∠B=30°．10．從A出發(fā)可連6條，從B出發(fā)可連5條，（因?yàn)锽A就是AB），從C出發(fā)可連4條，…，從F出發(fā)可連一條．共計1+2+3+4+5+6=21（條）．另法：每個點(diǎn)出發(fā)均可連6條，共有42條．但每條都重復(fù)過一次，11．如圖28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D為底邊的中點(diǎn)，故AD又是垂線，又是分角線，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角線，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴當(dāng)BC為4時，BD=CD=2，AD＜7．當(dāng)BC=14時，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是45°，則頂角是90°，高就是腰，其長為10cm．15．設(shè)兩根為x1，x2．則x1+x2=-p①x1x2=q②由題設(shè)及①，②可知，x1，x2均為負(fù)整數(shù)．q為質(zhì)數(shù)，若q為奇數(shù)，則x1，x2均為奇數(shù)．從而p為偶數(shù)，而偶質(zhì)數(shù)只有2，兩個負(fù)整數(shù)之和為-2，且不相等，這是不可能的．若q為偶數(shù)（只能是2），兩個負(fù)整數(shù)之積為2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二屆（1991年）初中二年級第二試試題一、選擇題:（每題1分，共10分）1．如圖29，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MN∶PQ等于 ()A．1 ;B．2;C．3; D．42．兩個正數(shù)m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，則m，n中較小的數(shù)可以表示為()A.ts;Bs-ts;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.3.y>0時,SKIPIF1<0等于()A.-xSKIPIF1<0;B.xSKIPIF1<0;C.-xSKIPIF1<0;D.xSKIPIF1<0.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，則a，b，c的關(guān)系可以寫成()A．a(chǎn)＜b＜c.B．(a-b)2+(b-c)2=0.C．c＜a＜b.D．a(chǎn)=b≠c5．如圖30，AC=CD=DA=BC=DE．則∠BAE是∠BAC的 ()A．4倍. B．3倍.C．2倍. D．1倍6．D是等腰銳角三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，則AD，BD，CD滿足關(guān)系式()A.AD2=BD2+CD2.B．AD2＞BD2+CD2.C．2AD2=BD2+CD2.D．2AD2＞BD2+CD27.方程SKIPIF1<0的實(shí)根個數(shù)為()A．4 B．3.C．2 D．18.能使分式SKIPIF1<0的值為112SKIPIF1<0的x2、y2的值是()A.x2=1+SKIPIF1<0，y2=2+SKIPIF1<0;B.x2=2+SKIPIF1<0，y2=2-SKIPIF1<0;C.x2=7+4SKIPIF1<0，y2=7-4SKIPIF1<0;D.x2=1+2SKIPIF1<0，y2=2-SKIPIF1<0.9．在整數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個數(shù)為x，偶數(shù)的個數(shù)為y，完全平方數(shù)的個數(shù)為z，合數(shù)的個數(shù)為u．則x+y+z+u的值為 ()A．17 B．15.C．13 D．1110．兩個質(zhì)數(shù)a，b，恰好是x的整系數(shù)方程x2-21x+t=0的兩個根,則SKIPIF1<0等于()A.2213;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.二、填空題（每題1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a2+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．邊數(shù)為a，b，c的三個正多邊形，若在每個正多邊形中取一個內(nèi)角,其和為1800,那么SKIPIF1<0=_________.5.方程組SKIPIF1<0有正整數(shù)解,則正整數(shù)a=_______.6.從一升酒精中倒出SKIPIF1<0升,再加上等量的水,液體中還有酒精__________升;攪勻后,再倒出SKIPIF1<0升混合液,并加入等量的水,攪勻后,再倒出SKIPIF1<0升混合液,并加入等量的水,這時,所得混合液中還有______升酒精.7．如圖31，在四邊形ABCD中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，則四邊形ABCD的面積是______．8．如圖32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.SKIPIF1<0的最小值的整數(shù)部分是______.10．已知兩數(shù)積ab≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,則SKIPIF1<0=______.三、解答題:（每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計算過程，語言力求簡明，字跡與繪圖力求清晰、工整）已知兩個正數(shù)的立方和是最小的質(zhì)數(shù)．求證：這兩個數(shù)之和不大于2．2．一塊四邊形的地（如圖33）(EO∥FK，OH∥KG)內(nèi)有一段曲折的水渠，現(xiàn)在要把這段水渠EOHGKF改成直的．（即兩邊都是直線）但進(jìn)水口EF的寬度不能改變，新渠占地面積與原水渠面積相等，且要盡可能利用原水渠，以節(jié)省工時．那么新渠的兩條邊應(yīng)當(dāng)怎么作？寫出作法，并加以證明．SKIPIF1<0答案與提示一、選擇題提示：3．由y＞0，可知x＜0．故選(C)．4．容易看到a=b=c時，原式成為3(x+a)2，是完全平方式．故選(B)．5．△ACD是等邊三角形,△BCA和△ADE均為等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以選(A)．6．以等邊三角形為例，當(dāng)D為BC邊上的中點(diǎn)時，有AD2＞BD2+CD2，當(dāng)D為BC邊的端點(diǎn)時，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故選(D)．故選(C)．∴選(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴選(A)．10．由a+b=21，a，b質(zhì)數(shù)可知a，b必為2與19兩數(shù)．二、填空題提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根為±(a+c)．4．正多邊形中，最小內(nèi)角為60°，只有a，b，c均為3時，所取的內(nèi)角和才可能為180°．5．兩式相加有(1+a)y=6，因?yàn)閍，y均為正整數(shù)，故a的可能值為5，這時y=1，這與y-x=1矛盾，舍去；可能值還有a=2，a=1，這時y=2，y=3與y-x=1無矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三邊長分別是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC為直角三角形．從而有面積為8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5為3個內(nèi)角的四邊形的4個內(nèi)角之和．∴和為360°．10．由已知條件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一個根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一個根，后者還可以看成：三、解答題1．設(shè)這兩個正數(shù)為a，b．則原題成為已知a3+b3=2，求證a+b≤2．證明（反證法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一數(shù)小于或等于1，設(shè)為b≤1，→a＞2b，這個不等式兩邊均為正數(shù)，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本題的結(jié)論是正確的．2．本題以圖33為準(zhǔn)．由圖34知OK∥AB，延長EO和FK，即得所求新渠．這時，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面積和△KGM的面積相同．即新渠占地面積與原渠面積相等．而且只挖了△KGM這么大的一塊地．我們再看另一種方法，如圖35．作法：①連結(jié)EH，F(xiàn)G．②過O作EH平行線交AB于N，過K作FG平行線交于AB于M．③連結(jié)EN和FM，則EN，F(xiàn)M就是新渠的兩條邊界線．又：EH∥ON∴△EOH面積=△FNH面積．從而可知左半部分挖去和填出的地一樣多，同理，右半部分挖去和填出的地也一樣多．即新渠面積與原渠的面積相等．由圖35可知，第二種作法用工較多（∵要挖的面積較大）．故應(yīng)選第一種方法。希望杯第三屆（1992年）初中二年級第一試試題一、選擇題:（每題1分，共10分）1．已知a＞b＞0，則有 []A.a+b>1;B.ab>1;C.SKIPIF1<0;D.a-b>1.2．已知三角形的三個內(nèi)角度數(shù)之比為1∶2∶3,若這個三角形的最短邊長為,那么它的最長邊等于[]A.2;B.2SKIPIF1<0;C.3;D.3SKIPIF1<0.3.若SKIPIF1<0,那么a2-ab+b2的值為[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.4.SKIPIF1<0的值等于[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.5．△ABC中，∠A=θ-α，∠B=θ，∠C=θ+α,0°＜α＜θ＜90°．若∠BAC與∠BCA的平分線相交于P點(diǎn)，則∠APC= []A．90° B．105°.C．120° D．150°6．一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a(a＞1)，則與這個自然數(shù)相鄰的兩個自然數(shù)的算術(shù)平方根為 []A.a-1,a+1;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.a2-1,a2+1.7.已知實(shí)數(shù)a滿足丨1992-a丨+SKIPIF1<0=0,那么a-19922的值為[]A．1991. B．1992.C．1993. D．1994.8．正整數(shù)a被7除，得到余數(shù)4，則a3+5被7除，得到的余數(shù)是[]A．0. B．2.C．4. D．6.9.SKIPIF1<0的值為[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.1.10．方程x2+667x+1992=0的較大的那個實(shí)根的負(fù)倒數(shù)等于 []A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.二、填空題:（每題1分，共10分）一個角的補(bǔ)角是它的余角的3倍，則這個角的度數(shù)等于______．二次根式SKIPIF1<0化為最簡根式應(yīng)是___________.若(x-1)6=a0x6+a1x5+a2x4-a3x3-a4x2-a5x-a6，則a6=______．若a、b、c為△ABC的三邊的長,則SKIPIF1<0=_______.5．如圖39，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延長線上取點(diǎn)D，使AD=AB，則D，B兩點(diǎn)之間的距離等于______．6.SKIPIF1<0的小數(shù)部分我們記作m,則m2+m+SKIPIF1<0=___________.7．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的兩個實(shí)根中，較大的一個實(shí)根等于______．8．如圖40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______．9．一個兩位質(zhì)數(shù)，將它的十位數(shù)與個位數(shù)字對調(diào)后仍是一個兩位質(zhì)數(shù)，我們稱它為“無瑕質(zhì)數(shù)”，則所有“無瑕質(zhì)數(shù)”之和等于______．10．若3x2+4y-10=0，則15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=______．答案與提示一、選擇題提示：1．用特殊值法，不妨設(shè)a=0.4，b=0.2，則a+b=0.6＜1，可排除(A)；ab=0.08＜1，可排除(B)；2．根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°及三個內(nèi)角度數(shù)之比為1∶2∶3，容易得出三個內(nèi)角為30°，60°，90°．30°角對邊為最短邊，由題設(shè)知，5．由∠A+∠B+∠C=180°，即(θ-α)+θ+(θ+α)=3θ=180°，∴應(yīng)選(C)．n-1=a2-1，n+1=a2+1，其算術(shù)平方根分別為7．由題意知a-1993≥0，因而a≥1993．于是|1992-a|=a-1992．從而a-1993=19922，故a-19922=1993．∴應(yīng)選(C)．8．設(shè)a=7k+4(k為正整數(shù))，則a3+5=(7k+4)3+5 =(7k)3+3×(7k)2×4+3×(7k)×42+43+5 =7(72k3+3×7k2×4+3k×42+9)+6因此，a3+5被7除余6，故應(yīng)選(D)．x2+667x+1992=0不能有非負(fù)根，所以x=667排除，剩下的-664，-1992，-3三個數(shù)中，最大者為-3，以-3代入原方程，恰好滿足方程，所以應(yīng)選(D)．注：此題也可由方程化為(x+664)(x+3)=0，可知方程較大的實(shí)根為二、填空題提示：1．設(shè)所求角為α，則有180°-α=3(90°-α)，從而解得α=45°．3．令x=0，得(-1)6=-a6，∴a6=-1．4．由條件可知a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，5．連結(jié)AD（如圖41）．∵AD=AB，∴∠BDA=∠DBA=30°．因此，在直角三角形DBC中，∠BDC的對邊BC等于斜邊BD之半，而BC=4，所以BD=8．7．由觀察知，x=1滿足方程，所以，方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0有實(shí)根1．又知a-b＞0，b-c＞0，若x＞1，則有(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)＞(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0沒有大于1的實(shí)根，因此較大的一個實(shí)根等于1．8．如圖42，∠6=∠7+∠4，∠7=∠2+∠5，但∠1+∠3+∠6=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠7=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．9．根據(jù)題意，容易檢驗(yàn)，兩位“無瑕質(zhì)數(shù)”分別是11，13，17，31，37，71，73，79，97，共計9個，它們的和是11+13+17+31+37+71+73+79+97=429．10．因?yàn)?5x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=(3x2+4y-10)(5x+y+1)+10=10．注：用因式分解的方法，湊出3x2+4y-10這個因子即可．希望杯第三屆（1992年）初中二年級第二試題一、選擇題（:每題1分，共10分）1．73282-73252= []A．47249 B．45829.C．43959 D．449692．長方形如圖43．已知AB=2，BC=1，則長方形的內(nèi)接三角形的面積總比數(shù)()小或相等． []A.SKIPIF1<0;B.1;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.3．當(dāng)x=6，y=8時，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 []A．1200000-254000.B．1020000-250400C．1200000-250400.D．1020000-2540004．等腰三角形的周長為a(cm)．一腰的中線將周長分成5∶3，則三角形的底邊長為[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.5.適合方程SKIPIF1<0+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值適合[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<06.四邊形如圖44,AB=SKIPIF1<0,BC=1,∠A=∠B=∠C=300,則D點(diǎn)到AB的距離是[]A.1;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到對應(yīng)的值，在這些對應(yīng)值中，最小的值是 []A．1 B．2.C．3 D．48．一個等腰三角形如圖45．頂角為A,作∠A的三等三分線AD，AE（即∠1=∠2=∠3），若BD=x，DE=y，EC=z，則有 []A．x＞y＞z B．x=z＞y.C．x=z＜y D．x=y=z9．已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有兩個不同的實(shí)根，則a可以是[]A．5 B．9.C．10 D．1110.正方形如圖46,AB=1,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是以1為半徑的圓弧,則無陰影的兩部分的面積的差是[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.二、填空題（每題1分，共10分）1.方程SKIPIF1<0的所有根的和的值是______________.2.已知a+b=SKIPIF1<0,a-b=SKIPIF1<0,那么ab=________.SKIPIF1<0SKIPIF1<03．如圖47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD=______．4.已知x=SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0+1的值是______．5．如圖48，已知邊長為a的正方形ABCD，E為AD的中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，那么△BPD的面積的值是______．6.已知x+y=4,xy=-4,那么SKIPIF1<0=________.7．在正△ABC中（如圖49），D為AC上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，BD，CE相交于P，若四邊形ADPE與△BPC的面積相等，那么∠BPE=______．8.已知方程x2-19x-150=0的一個正根為a,那么SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+┉+SKIPIF1<0=____.9．某校男生若干名住校，若每間宿舍住4名，則還剩20名未住下；若每間宿舍住8名，則一部分宿舍未住滿，且無空房，該校共有住校男生______名．10．n是自然數(shù)，19n+14與10n+3都是某個不等于1的自然數(shù)d的倍數(shù)，則d=______．三、解答題（寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果，每題5分，共10分）若a，b，c，d＞0，證明：在方程SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0中,至少有兩個方程有不相等的實(shí)數(shù)根.

2．(1)能否把1，2，…，1992這1992個數(shù)分成八組，使得第二組各數(shù)之和比第一組各數(shù)之和多10，第三組各數(shù)之和比第二組各數(shù)之和多10，…，最后第八組各數(shù)之和比第七組各數(shù)之和也多10？請加以說明．(2)把上題中的“分成八組”改為“分成四組”，結(jié)論如何？請加以說明．如果能夠，請給出一種分組法．答案與提示一、選擇題提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化簡為(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．則x+y=0．∴應(yīng)選(B)．6．由題設(shè)得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．將xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴應(yīng)選(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由題意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴應(yīng)選(B)．8．原方程化為(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．則x1+x2+x3+x4=4．∴應(yīng)選(D)．9．連結(jié)CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴應(yīng)選(D)．10．原方程為|3x|=ax+1．(1)若a=3，則|3x|=3x+1．當(dāng)x≥0時，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．綜上所述，a≥3時，原方程的根是負(fù)數(shù)．∴應(yīng)選(B)．另解：（圖象解法）設(shè)y1=|3x|，y2=ax+1。分別畫出它們的圖象．從圖87中看出，當(dāng)a≥3時，y1=|3x|的圖象直線y2=ax+1的交點(diǎn)在第二象限．二、填空題提示：1．∵49=7×7，∴所求兩數(shù)的最大公約數(shù)為7，最小公倍數(shù)為42．設(shè)a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．經(jīng)檢驗(yàn)，142+212=637．∴這兩個數(shù)為14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993為質(zhì)數(shù))．而x1·x2=1993，且x1，x2為負(fù)整數(shù)根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．則4．設(shè)S△BOC=S，則S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合適．此時所求方程為14x2-53x+14=0．8．過E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．設(shè)初一獲獎人數(shù)為n+1人，初二獲獎人數(shù)為m+1人(n≠m)．依題意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但滿足①式的解為唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．獲獎人數(shù)共有14+11=25（人）．三、解答題1．解：若不考慮順序，所跑的路線有三條：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距離最短．記d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分別為三條路線的距離．在AC上截取AB＇=AB，連結(jié)OB＇．則△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路線OABCO的距離最短．因此x與y是關(guān)于t的方程解二：由已知條件得兩邊加上a4+1，得顯然0＜a＜1，0＜a2＜1．希望杯第四屆（1993年）初中二年級第一試試題一、選擇題:（每題1分，共15分）1．如果a＜b＜0，那么在下列結(jié)論中正確的是 []A.a+b<-1;B.ab<1;C.SKIPIF1<0<1;D.SKIPIF1<0>1.2．已知四個命題：①1是1的平方根．②負(fù)數(shù)沒有立方根.③無限小數(shù)不一定是無理數(shù).④SKIPIF1<0一定沒有意義.其中正確的命題的個數(shù)是[]A．1 B．2C．3 D．43.已知8個數(shù):SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,0.236,SKIPIF1<0,3.1416,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中無理數(shù)的個數(shù)是[]A．3 B．4C．5 D．64.若A=SKIPIF1<0,則A的算術(shù)平方根是[]A．a(chǎn)2+3 B．(a2+3)2.C．(a2+9)2 D．a(chǎn)2+95．下列各組數(shù)可以成為三角形的三邊長度的是 []A．1，2，3.B．a(chǎn)+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a(chǎn)，b，c，其中a+b＞c.D．1，m，n，其中1m＜n6．方程x2+|x|-6=0的最大根與最小根的差是[]A．6 B．5.C．4 D．37．等腰三角形的某個內(nèi)角的外角是130°，那么這個三角形的三個內(nèi)角的大小是 []A．50°,50°,80°.B．50°,50°,80°或130°,25°,25°C．50°,65°,65°D．50°,50°,80°或50°,65°,65°8.如果x+y=SKIPIF1<0,x-y=SKIPIF1<0,那么xy的值是[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.9．如圖67，在△ABC中，AB=AC，D點(diǎn)在AB上，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F．∠BDE=140°，那么∠DEF是 []A．55° B．60°.C．65° D．70°10.已知-SKIPIF1<0<x<1,將SKIPIF1<0化簡得[]A．3-3x. B．3+3x.C．5+x D．5-x11．如圖68，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么圖中全等的三角形的對數(shù)是[]A．5 B．6.C．7 D．8．12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有實(shí)數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是 []A．1. B．0.C．1 D．2．13．對于三邊的長是三個連續(xù)自然數(shù)的任意三角形，在下列四個命題中①周長能被2整除．②周長是奇數(shù)．③周長能被3整除．④周長大于10．正確的命題的個數(shù)是[]A．1 B．2.C．3 D．4．14．若方程9x2-6(a+1)x+a2-3=0的兩根之積等于1，則a的值是[]A.SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0.15．有下列四個命題：①兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形不一定是全等三角形．②兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個銳角三角形不一定是全等三角形．③兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形．④兩邊和其中一邊所對的角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定是全等三角形．其中正確的是[]A．①，② B．②，③.C．③，④ D．④，①．二、填空題（每題1分，共15分）某自然數(shù)的平方是一個四位數(shù)，千位數(shù)字是4，個位數(shù)字是5，這個數(shù)是______．2.實(shí)數(shù)x滿足x+SKIPIF1<0=0,則SKIPIF1<0的值為________.3.設(shè)10個數(shù)：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均數(shù)為A，則10A=______．4.如果實(shí)數(shù)x、y滿足2x2-6xy+9y2-4x+4=0,那么SKIPIF1<0=_________.5．設(shè)△ABC的三邊a，b，c的長度均為自然數(shù)，且a≤b≤c，a+b+c=13，則以a，b，c為三邊的三角形共有______個．6.SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+┉┉+SKIPIF1<0=__________.7.當(dāng)0<x<2時,SKIPIF1<0=___________.8．已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0沒有實(shí)數(shù)根，那么m為______．9．已知a，b，c，d滿足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=______．10．如圖69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分線，D是AE上任意一點(diǎn)，則AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”號連接＝．11.如果x-y=SKIPIF1<0+1,y-z=SKIPIF1<0-1,那么x2+y2+z2-xy-yz-zx=____________.12.若u、v滿足v=SKIPIF1<0,則u2-uv+v2=__________.13．如圖70，B，C，D在一條直線上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，則CN=______．14．設(shè)方程x2-y2=1993的整數(shù)解為α，β，則|αβ|=______．15.若,x+SKIPIF1<0=3,則SKIPIF1<0=__________.答案與提示一、選擇題提示：∴應(yīng)選(D)．2．命題①，③是正確的，②，④不正確．∴應(yīng)選(B)．∴應(yīng)選(D)．5．由(a+1)+(a+2)=2a+3＞a+3(∵a＞0)，所以a+1，a+2，a+3可以成為三角形的三邊，而1+2=3，故排除(A)，另外可舉反例否定(C)，(D)．∴應(yīng)選(B)．6．原方程化為(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x|=-3，或|x|=2．但應(yīng)舍去|x|=-3，故由|x|=2得：x1,2=±2．則x1-x2=4．∴應(yīng)選(C)．7．由已知得等腰三角形的某個內(nèi)角是50°．若它是底角，則三個內(nèi)角是50°，50°，80°；若它是頂角，則三個內(nèi)角是50°，65°，65°．∴應(yīng)選(D)．9．∵DE⊥AC，∠BDE=140°．∴∠A=140°90°=50°，∵AB=AC，∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEF=90°∠CEF，∠C=90°∠CEF．∴∠DEF=∠C=65°．∴應(yīng)選(C)．11．如圖72，△AGD≌△AGE，△DGB≌△EGC，△BGF≌△CGF，△AGB≌△AGC，△AFB≌△AFC，△AEB≌△ADC，△DBC≌△ECB，共7對．∴應(yīng)選(C)．12．原方程整理為(2k-1)x2-8x+6=0．當(dāng)Δ≥0時，方程有實(shí)數(shù)根，13．設(shè)三個連續(xù)自然數(shù)為k，k+1，k+2，則k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k+1，k+2為三邊的三角形的周長總可以被3整除．又以2，3，4為三邊的三角形，其周長為9，可否定①，④；以3，4，5為三邊的三角形，其周長為12，可否定②．∴應(yīng)選(A)．14．∵△≥0，∴36(a+1)2-36(a2-3)≥0，∴a≥-2．又∵x1·x2=1，15．命題①是正確的．如圖73在△ABC與△ABC1中，AB=AB，BC=BC1，AD⊥BC1．顯然鈍角△ABC與銳角△ABC1是不全等的．命題②不正確．如圖74，75，在銳角△ABC與銳角△A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，且AD=A1D1．可先證得△ADB≌△A1D1B1，△ADC≌△A1D1C1，即可證得△ABC≌△A1B1C1．命題③不正確．舉一反例說明．如圖76，在鈍角△ABC與銳角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC與△ABC1顯然是不全等的．命題④是正確的．可舉一例說明．如圖77，在鈍角△ABC與銳角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，∠ABC=∠ABC1，但△ABC與△ABC1顯然是不全等的．∴應(yīng)選(D)．二、填空題提示：1．由條件知，這個自然數(shù)只能是兩位數(shù)，其個位數(shù)字必定是5，它的十位數(shù)字可能是6或7。經(jīng)驗(yàn)算，752=5625，652=4225．所以，這個數(shù)為65．3．經(jīng)觀察，這10個數(shù)都與199相近，把每個數(shù)減199所得的差，分別記作-3.5，-2.5，-1.5，-0.5，+0.5，+1，+1.5，+2，+2.5，+3.5，上述這10個差數(shù)的平均數(shù)為+0.3，A=199.3，所以10A=1993．4．可把條件變成(x2-6xy+9y2)+(x2-4x+4)=0，5．由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+b＞c，所以13-c＞c，即共可組成5個三角形．由0＜x＜2知，x+2＞0，x2＜0，8．因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)根，所以Δ＜0，即(2m+1)2-4(m2+m+1)＜0，經(jīng)整理得-3＜0，故對任意數(shù)m，Δ＜0．9．由題設(shè)條件知道：b-(-1)=-1a及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2．∴a+b+c+d=0．10．在BA的延長線AF上，截取AG，使AG=AC，連接GD，則△ADG≌△ADC，于是AG=AC，DG=DC，從而，DB+DC=DB+DG，又DB+DG＞BG，而BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC．經(jīng)整理，得x2+y2+z2-xy-yz-yx=7．13．由條件知△ABC與△CDE都是等邊三角形．在△BCE與△ACD中，BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=120°，∴△BCE≌△ACD．于是，∠BEC=∠ADC，從而，△CEM≌△CDN，∴CM=CN=r．14．由方程可知(x+y)(x-y)=1993×1，可得∴|αβ|=997×996=993012．希望杯第四屆（1993年）初中二年級第二試試題選擇題:（每題1分，共10分）1.若a<0,則化簡SKIPIF1<0得[]A．1 B．1 C．2a1 D．12a2.若一個數(shù)的平方是5-2SKIPIF1<0,則這個數(shù)的立方是[]A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.3.在四邊形ABCD中,AB=1,BC=SKIPIF1<0,CD=SKIPIF1<0,DA=2,SΔABD=1,SΔBCD=SKIPIF1<0,則∠ABC+∠CDA等于[]A．150° B．180°.C．200° D．210°．4．一個三角形的三邊長分別為2，4，a，如果a的數(shù)值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周長為 []A.7SKIPIF1<0;B.8SKIPIF1<0;C.9;D.10.5．如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 []A.1. B．0.C．1 .D．2．6.設(shè)x=SKIPIF1<0,y=SKIPIF1<0,n為正整數(shù),如果2x2+197xy+2y2=1993成立,那么n的值為[]A．7. B．8. C．9. D.107．如圖81，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周長比△BCD的周長多1厘米，則BD的長是 []A．0.5厘米. B．1厘米.C．1.5厘米. D．2厘米8．方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 []A．2 .B．0. C．-2 .D．4．9．如圖82，將△ABC的三邊AB，BC，CA分別延長至B＇，C＇，A＇，且使BB＇=AB，CC＇=2BC，AA＇=3AC．若S△ABC=1，那么S△A＇B＇C＇是 []A．15. B．16.C．17.D．18.10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是 []A．a(chǎn)＞3. B.a≥3.C．a(chǎn)＜3. D．a(chǎn)≤3.二、填空題（每題1分，共10分）1．若兩個數(shù)的平方和為637，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為49，則這兩個數(shù)是______．2．設(shè)x1，x2是方程x2+px+1993=0的兩個負(fù)整數(shù)根,則SKIPIF1<0=_______.3.方程SKIPIF1<0的解是____________.4．如圖83，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O點(diǎn)，如果S△ABD=5，S△ABC=6，S△BCD=10，那么S△OBC______．5．設(shè)二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，記S1=x1+1993x2,S2=x12+1993x22,┉┉,Sn=x1n+1993x2n,則aS1993+bS1992+cS1991=__________.6．設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么[SKIPIF1<0]+[SKIPIF1<0]+[SKIPIF1<0]+┉+[SKIPIF1<0]+[SKIPIF1<0]=_________.7．已知以x為未知數(shù)的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超過10的質(zhì)數(shù)，且a＞b，那么兩根之和超過3的方程是______．8．如圖84，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分線交AD于F，交AB于E，F(xiàn)G∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，則BG=______．9．已知k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有兩個不相等的正整數(shù)根，則k=______．10．某校獎勵學(xué)生，初一獲獎學(xué)生中，有一人獲獎品3件，其余每人獲獎品7件；初二獲獎學(xué)生中，有一人獲獎品4件，其余每人獲獎品9件．如果兩個年級獲獎人數(shù)不等，但獎品數(shù)目相等，且每個年級獎品數(shù)大于50而不超過100，那么兩個年級獲獎學(xué)生共有______人．三、解答題:(寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共10分）如圖85，三所學(xué)校分別記作A，B，C．體育場記作O，它是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)．O，A，B，C每兩地之間有直線道路相連．一支長跑隊伍從體育場O點(diǎn)出發(fā)，跑遍各校再回到O點(diǎn)．指出哪條路線跑的距離最短（已知AC＞BC＞AB），并說明理由．SKIPIF1<02.如果a=SKIPIF1<0,求a2+SKIPIF1<0的值.答案與提示一、選擇題提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化簡為(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．則x+y=0．∴應(yīng)選(B)．6．由題設(shè)得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．將xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴應(yīng)選(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由題意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴應(yīng)選(B)．8．原方程化為(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．則x1+x2+x3+x4=4．∴應(yīng)選(D)．9．連結(jié)CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴應(yīng)選(D)．10．原方程為|3x|=ax+1．(1)若a=3，則|3x|=3x+1．當(dāng)x≥0時，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．綜上所述，a≥3時，原方程的根是負(fù)數(shù)．∴應(yīng)選(B)．另解：（圖象解法）設(shè)y1=|3x|，y2=ax+1。分別畫出它們的圖象．從圖87中看出，當(dāng)a≥3時，y1=|3x|的圖象直線y2=ax+1的交點(diǎn)在第二象限．二、填空題提示：1．∵49=7×7，∴所求兩數(shù)的最大公約數(shù)為7，最小公倍數(shù)為42．設(shè)a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．經(jīng)檢驗(yàn)，142+212=637．∴這兩個數(shù)為14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993為質(zhì)數(shù))．而x1·x2=1993，且x1，x2為負(fù)整數(shù)根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．則4．設(shè)S△BOC=S，則S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合適．此時所求方程為14x2-53x+14=0．8．過E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥A