廣東省深圳市龍華外國語高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

深圳市龍華外國語高級(jí)中學(xué)2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期第一次段考高一數(shù)學(xué)試卷時(shí)間120分鐘分值150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再選涂其他答案.3.非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（）A. B. C. D.2.下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺(tái)的是（）A. B. C. D.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.4.如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面圖形的周長(zhǎng)為（）A.4a B.8a C.6a D.5.已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.6.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且的面積為，則角C的大小是（）A. B. C.或 D.或7.設(shè)，是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.8.武靈叢臺(tái)位于邯鄲市叢臺(tái)公園中心處，為園內(nèi)的主體建筑，是邯鄲古城的象征.某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量其高度AB，在地面上共線的三點(diǎn)C，D，E處分別測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，，，且，則武靈叢臺(tái)的高度AB約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.22m B.27m C.30m D.33m二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)，，，則以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.10.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，對(duì)于有如下命題，其中正確的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，，則的外接圓的面積等于C.若，且，則是等邊三角形D.若，則是等腰直角三角形11.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在復(fù)平面上的坐標(biāo)為 B.C.的最大值為 D.的最小值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知x、，若，則______.13.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則a等于______.14.已知，，且.若，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）在銳角中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，且，求的周長(zhǎng).16.（15分）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，.（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（3）當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限時(shí)，求m的取值范圍.17.（15分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，.（1）判斷的形狀，并給予證明；（2）若，求證：A、B、C三點(diǎn)共線；（3）若D是線段AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，求D的坐標(biāo).18.（17分）在中，，，P為AB邊上一點(diǎn)，且.（1）設(shè)，求實(shí)數(shù)x、y的值；（2）若，求的值；（3）設(shè)點(diǎn)Q滿足，用向量方法證明：.19.（17分）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求角A；（2）設(shè)AD是角A的平分線，與BC邊交于D，若，，求b，c；（3）若，求面積的取值范圍.高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期第一次段考參考答案1.D2.A3.B4.B【詳解】由直觀圖可得原圖形，∴，，，∴，原圖形的周長(zhǎng)為8a.5.C6.D【詳解】由于a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，據(jù)題意，得，.∵，解得或.7.A【詳解】∵在上的投影向量為，∴，∴，又，是兩個(gè)單位向量，即，∴.8.B【詳解】由題知，設(shè)，則，，，又，所以在中，，①在中，，②聯(lián)立①②，解得.9.ABC【分析】將平行四邊形轉(zhuǎn)化為向量相等，通過向量的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由于平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為A，B，C，D，所以可能有以下三種情形：當(dāng)時(shí)，即，解得，即D的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，即，解得，即D的坐標(biāo)為；當(dāng)，即，解得，即D的坐標(biāo)為；故選：ABC.10.BC【分析】根據(jù)余弦定理即可判斷A；根據(jù)正弦定理，即可判斷B；利用數(shù)量積得定義即可判斷C；根據(jù)正弦定理和二倍角的正弦公式計(jì)算化簡(jiǎn)，即可判斷D.【詳解】A.由余弦定理，得，得B為銳角，不能判斷為銳角，故A錯(cuò)誤；B.設(shè)的外接圓的半徑為R，由正弦定理得得，所以其外接圓的面積為，故B正確；C.；所以，故，因?yàn)椋?，所以是等邊三角形，C正確；D.，由正弦定理，得，即，而A，B，，所以或，即或，則為等腰三角形或直角三角形，故D錯(cuò)誤.11.ABC【分析】A.根據(jù)復(fù)數(shù)的表達(dá)式直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；B.根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；C，D.根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故A正確；復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)，故B正確；設(shè)，則，即，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓上，其圓心為，半徑表示的是復(fù)數(shù)和在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，即.而的最大值是；的最小值是.所以的最大值為，最小值為，故C正確，D錯(cuò)誤.12.213.【詳解】由正弦定理得：，即：，解得：.14.法一（代數(shù)）令，則，由三角不等式，又，因?yàn)椋?，?所以，即的取值范圍為，當(dāng)且僅當(dāng)，且的方向與的方向相同時(shí)取最小值；當(dāng)且僅當(dāng)，且的方向與的方向相反時(shí)取最大值.法二（幾何）如圖所示，做，，易知，且，，，令，，則，因?yàn)?，，所以點(diǎn)B在線段UV上，又，所以點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，半徑為1的上，所以的最大值，是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取得，的最大值，是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B與V重合時(shí)，取得，即的取值范圍為.15.解：（1）由及正弦定理得，因?yàn)?，，?又∵為銳角三角形，所以.（2）（法一）由余弦定理，∵，得，解得：或，∴的周長(zhǎng)為.（法二）由余弦定理，∵，得，即，∴的周長(zhǎng).16.解：（1）當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，有，解得；（2）當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，有，解得.（3）當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限時(shí)，有，解得，所以m的取值范圍為.17.解：（1）（法一）由已知有，，，其中，所以，即，故為直角三角形.（法二）由已知有，，，所以，故為直角三角形.（2）由已知有，，因?yàn)?，所以與共線.又與有公共點(diǎn)A，所以A，B，C三點(diǎn)共線.（3）因?yàn)镈是線段AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，所以，則，故.18.解：（1）因?yàn)镻為AB邊上一點(diǎn)，，所以，故，由平面向量基本定理，有，；（2）；（3）由題意，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，故，所以，即，得證.19.解：（1）（法一：角化邊）在銳角中，，由余弦定理得，