2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)建華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)建華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)

學(xué)試卷

一、選擇題（每題只有一個(gè)正確答案，每題2分，共20分）

1.（2分）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世

界唯一同時(shí)舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市，下列組成本屆冬奧會(huì)會(huì)徽的四個(gè)圖案中是

軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A叁A即NG

c202^0

2.（2分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-2X3）2=4X6B.a2+a2=a4

C.2x+3%=5/D.（x+2）2=7+4

3.（2分）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（）

A.\cm,2cmB.3cm,4cm,5cm

C.4cmf5cm,lOc/nD.6cm,9ctn,2cm

4.（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.x（x-1）=/-xB.（x+1）2=/+2X+1

C.?-1=（x+1）（JC-1）D.x+l=x（1+A）

X

5.（2分）如圖，根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)方形ABC。的面積，可以說(shuō)明下列哪個(gè)等式成立（）

NabD

a

Babc

A.(〃+b)2=〃2+2a0+廿B.(a?b)2=ci2-lab+b1

C.(a+b)(iz-Z?)=cP-b2D.a(a+b)=cr+ah

6.(2分)多項(xiàng)式加金-4團(tuán)與多項(xiàng)式/-?+4的公因式是()

A.x+2B.x-2C.x2-9D.(x-2)2

7.(2分)如圖，在△ABC和△AOC中，ZB=ZD=90°,Zl+Z2=90°,BC=3,則

CD=()

A.4B.1C.2D.3

8.（2分）如圖，AO是△ABC的角平分線(xiàn)，ZC=20°,AB+BD^AC,將△480沿AO所

在直線(xiàn)翻折，點(diǎn)2在A(yíng)C邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E,那么NAEZ）等于（）

9.（2分）為銳角，AB=a,點(diǎn)C在射線(xiàn)AM上，點(diǎn)B到射線(xiàn)AM的距離為從BC

=x,若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）

A.x—bB.x^aC.x=6或D.x=6或

10.（2分）已知，△ABC是等邊三角形.點(diǎn)。是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡是AC邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且8O=CE,BE與CD交于點(diǎn)、F.若尸。是等腰三角形，則的度數(shù)

是（）

A.30°或60°B.20°或40°C.15°或30°D.20°或30°

二、填空題（每題3分，共24分）

II.（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是60°,則這個(gè)多邊形邊數(shù)為.

12.（3分）計(jì)算：（am+bm）.

13.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,/ABC=30°,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)至aA'B'C,使得點(diǎn)A'恰好落在4B上，則旋轉(zhuǎn)角度為.

B:

BA

14.（3分）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡

鉗），在圖中由三角形全等可知，工人測(cè)量AE的長(zhǎng)度即可知道工件內(nèi)槽寬A8的長(zhǎng)度,

理由是.

X

15.（3分）等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4,一邊長(zhǎng)等于9,它的周長(zhǎng)是________.

16.（3分）已知a+6=2,ab=1,則$+廿二.

17.（3分）如圖，ZAOB=30a,OP平分NAOB,PDLOB于D,PC〃OB交0A于■C.若

18.（3分）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線(xiàn)且BF=8,點(diǎn)。在BF上，

連接AD,在A(yíng)D的右側(cè)作等邊△AOE,連接EF,則△AEF周長(zhǎng)的最小值是

（用含a,〃的式子表示）.

三、解答題（共56分，其中19題8分；20題10分；21題5分；22題6分；23題7分,

24題，25題每題6分；26題8分）

19.（8分）分解因式：

(1)a2+a/?+2a；

(2)(2m+n)2-(m+n)2

20.（10分）計(jì)算:

(1)(2x+3y)(2x-y)；

(2)(4?/-8%Vz)+4/廣

21.(5分)已知/-x+l=0,求代數(shù)式(x+1)2-(x+1)(2x-1)的值.

22.(6分)如圖，。是A8上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC//AB,AE與CE有什

么關(guān)系？證明你的結(jié)論.

23.（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,-3）,且04=5,在x

軸上確定一點(diǎn)P,使△AOP為等腰三角形.

（1）寫(xiě)出一個(gè)符合題意的點(diǎn)尸的坐標(biāo);

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出所有符合條件的△AOP.

24.（6分）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿(mǎn)足一定的規(guī)律，如圖是2022年1月份的

日歷，我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個(gè)方框部分中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘,

再相減，結(jié)果都是7,例如：4X10-3X11=7,14X20-13X21=7.

（1）如圖，設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為x,則上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含x的式子可表

示為：

（2）利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明.

求證：AE+AC=BC.

26.(8分)在平面直角坐標(biāo)系xOj中，對(duì)于任意圖形G及直線(xiàn)八，12,給出如下定義：將

圖形G先沿直線(xiàn)/I翻折得到圖形Gi,再將圖形G1沿直線(xiàn)/2翻折得到圖形G2,則稱(chēng)圖形

G2是圖形G的V/1,/2＞伴隨圖形.

例如：點(diǎn)P(2,1)的＜x軸，y軸〉伴隨圖形是點(diǎn)P(-2,-1).

(1)點(diǎn)。(-5,-2)的＜光軸，)，軸＞伴隨圖形點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為；

(2)已知4(61),B(f-4,1),CCt,4),直線(xiàn)機(jī)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1).直線(xiàn)“經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-

1,-1)

①當(dāng)f=3,且直線(xiàn)機(jī)與y軸平行時(shí)，直線(xiàn)〃與x軸平行時(shí)，求點(diǎn)A的＜〃，機(jī)＞伴隨圖形

點(diǎn)A的坐標(biāo)；

②當(dāng)直線(xiàn)，”經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，若△ABC的〈尤軸，機(jī)〉伴隨圖形上只存在兩個(gè)與x軸的距離為

2的點(diǎn)，直接寫(xiě)出/的取值范圍.

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)建華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題只有一個(gè)正確答案，每題2分，共20分）

1.（2分）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世

界唯一同時(shí)舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市，下列組成本屆冬奧會(huì)會(huì)徽的四個(gè)圖案中是

軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.金B(yǎng)BEIJING

c.202^0

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：4不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故A錯(cuò)誤；

B.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故B錯(cuò)誤；

C.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故C錯(cuò)誤；

D.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故。正確.

故選：D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條

直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.

2.（2分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-2X3）2=4X6B.a2+a2=a4

C.2x+3x=5x2D.（x+2）2=^+4

【分析】根據(jù)事的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則，合并同類(lèi)項(xiàng)法則，完全平方公式解答即

可.

【解答】解：人原式=4/,原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意;

B、原式=2/,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、原式=5x,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、原式=f+4x+4,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了累的乘方與積的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，熟練掌握法則

和公式是解本題的關(guān)鍵.

3.(2分)下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段能首尾相接構(gòu)成三角形的是()

A.1cm,lent,2cmB.3cm,4cni,5cm

C.4cm,5cm,10cmD.6cm,9cm,2cm

【分析】利用三角形的三邊關(guān)系定理進(jìn)行分析即可.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：

A、1+1=2,不能構(gòu)成三角形；

B、3+4>5,能構(gòu)成三角形；

C、4+5<10,不能構(gòu)成三角形；

D、2+6<9,不能構(gòu)成三角形.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三

條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和大

于第三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可判定這三條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形.

4.(2分)下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.x(x-1)—X2,-xB.(x+1)2—X2+2X+1

C.x2-1=(x+1)(x-I)D.x+\=x(1+A)

x

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A.x(x-1)=x2-X,從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，

故本選項(xiàng)不符合題意；

8.(x+1)2=/+2X+1,從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符

合題意；

C.?-1=(x+1)G-1),從左至右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

D.x+l^x(1+1),等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)

X

不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義(把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)

整式的積的形式，叫因式分解)是解此題的關(guān)鍵.

5.(2分)如圖，根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)方形A5CD的面積，可以說(shuō)明下列哪個(gè)等式成立()

-abD

a

BaJC

A.(a+6)2—a1+2ab+b1B.Ca-b)2—a2-2ab+b2

C.(.a+b)(a-b)-b2D.a(a+6)—<^+ab

【分析】長(zhǎng)方形ABCD的面積可以表示為aCa+b),也可表示為兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和，

即J+",所以a(a+b)=(r+ah

【解答】解：：長(zhǎng)方形A3C。面積=兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和，

.,.可得a(a+b)=a2+ab

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題應(yīng)用面積法，通過(guò)大長(zhǎng)方形的面積等于兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和得出等式.

6.(2分)多項(xiàng)式“u2-4m與多項(xiàng)式/-4x+4的公因式是()

A.x+2B.x-2C.7-9D.(%-2)2

【分析】用提取公因式法和公式法分解因式，再根據(jù)公因式定義求得結(jié)果.

【解答】解：nvr-4m=m(x2-4)=m(x+2)(x-2),

x2-4x+4=(x-2)2,

二蛆2-4〃z與多項(xiàng)式x2-4x+4的公因式是(x-2),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解與公因式的定義，關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法.

7.(2分)如圖，在aABC和△49C中，ZB=ZD=90°,Zl+Z2=90°,BC=3,則

CD=()

A.4B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到/1=NCA￡>,結(jié)合題意利用AAS證明AABC

也△AQC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解.

【解答】解：：/。=90°,

Z2+ZCAD=90°,

；N1+N2=9O°,

：.Z\=ZCAD,

在△ABC和△AOC中，

'/B=/D

<Z1=ZCAD，

AC=AC

AAABC^AADC(A4S),

：.BC=CD,

；BC=3,

：.CD=3,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵.

8.（2分）如圖，AO是△ABC的角平分線(xiàn)，ZC=20°,AB+BD=AC,將△48。沿所

在直線(xiàn)翻折，點(diǎn)8在4c邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E,那么NAE。等于（）

BDC

A.80°B.60°C.40°D.30°

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AB=AE,然后根據(jù)AC=AE+EC,AB+BD=AC,

證得DE=EC,根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的外角的性質(zhì)求解.

【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得8。=。巴AB=AE.

?：AC=AE+EC,AB+BD=AC,

：.DE=EC.

：?NEDC=NC=20°,

/.ZAED=ZEDC+ZC=40°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，證明OE

=EC是本題的關(guān)鍵.

9.（2分）NMAB為銳角，AB=a,點(diǎn)C在射線(xiàn)AM上，點(diǎn)8到射線(xiàn)AM的距離為6,BC

=x,若AABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）

C.尤=6或D.x=b或

【分析】先找出點(diǎn)。的位置，再畫(huà)出符合的所有情況即可.

:點(diǎn)5到射線(xiàn)AM的距離為匕,

：.BD=b,

①如圖，

當(dāng)C點(diǎn)和。點(diǎn)重合時(shí)，x=b,此時(shí)△ABC是一個(gè)直角三角形;

當(dāng)時(shí)，此時(shí)C點(diǎn)的位置有兩個(gè)，即△ABC有兩個(gè);

③如圖,

當(dāng)時(shí)，此時(shí)△ABC是一個(gè)三角形；

所以x的范圍是x=b或

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了考查全等三角形的判定，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等知識(shí)點(diǎn)，注意：能求出

符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵.

10.(2分)已知，△ABC是等邊三角形.點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是4c邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且8O=CE,BE與CD交于點(diǎn)F.若△■BED是等腰三角形，則NF8O的度數(shù)

是()

A.30°或60°B.20°或40°C.15°或30°D.20°或30°

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出NABC=N4CB=60°,由SAS證明△BCD四△CBE,

得出/BC￡)=NCBE,設(shè)NBCD=NCBE=x,則NQBF=60°-x,分三種情況：①若

FD=FB,則/尸證出NFBD<60°,得出尸E)=FB的情況不存在；

②若DB=DF,則/尸8。=/8")=2%,得出方程60°-x=2x,解方程即可得出結(jié)果；

③若BD=BF,則NBO/=/BFD=2x,由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可得出

結(jié)果.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

.?./A8C=NACB=60°,

在△BCD和ACBE?中，

'BD=CE

-ZABC=ZACB-

BC=CB

:.△BCDWLCBE(SAS),

NBCD=NCBE,

：.ZBCD=ZCBE,

設(shè)NBCD=NCBE=x,

:.NDBF=60°-x,

若△BED是等腰三角形，分三種情況：

①若FD=FB,則/FBZ)=NFZ)B>NA,

；.NFBD=NFDB>60°,

但NF8Z)<NA8C,

AZFBD<60°,

...")=FB的情況不存在；

②若DB=DF,則/尸8。=NBFD=2x,

60°-x=2x,

解得：x=20°,

,NFBD=4U°；

③若BD=BF,如圖所示：

則NB￡>F=NBFQ=2x,

在尸中，ZDBF+ZBDF+ZBFD=180°,

.?.60°-x+2x+2x=180°,

解得：尤=40°,

:.NFBD=20°；

綜上所述：NFBO的度數(shù)是40°或20°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、

三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題3分，共24分）

11.（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是60°,則這個(gè)多邊形邊數(shù)為6.

【分析】利用外角和除以外角的度數(shù)即可得到邊數(shù).

［解答］解：360+60=6.

故這個(gè)多邊形邊數(shù)為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的外角和，關(guān)鍵是掌握任何多邊形的外角和都360°.

12.（3分）計(jì)算：（am+bm）-rm—a+b.

【分析】利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：-v-/n

=am-^m+btn-2rm

—a+b,

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的除法，熟練掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,NA8C=30°,將aABC繞點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)至△4'B'C,使得點(diǎn)A'恰好落在A(yíng)B上，則旋轉(zhuǎn)角度為60°.

【分析1先利用互余得到NA=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA'=CA,ZACA'等于旋

轉(zhuǎn)角，然后判斷△4C4'為等邊三角形得到ZAC4'=60°,從而得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【解答】解：：/ACB=90°,/ABC=30°,

ZA=60°,

「△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AA'B'C,使得點(diǎn)4'恰好落在A(yíng)B上，

：.CA'=C4,ZACA'等于旋轉(zhuǎn)角，

：./\ACA'為等邊三角形，

AZACA'=60°,

即旋轉(zhuǎn)角度為60°.

故答案為60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所

連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.本題的關(guān)鍵是證明△ACA'為等邊

三角形，

14.（3分）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡

鉗），在圖中由三角形全等可知，工人測(cè)量Ab的長(zhǎng)度即可知道工件內(nèi)槽寬A8的長(zhǎng)度，

理陵由是根據(jù)SAS’證明止OB’.

【分析】根據(jù)測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，根據(jù)全等的條件之一SAS證得△AOBg^A'OB',

即可得到月'B'=AB,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：連接AB,4'B',如圖，

:點(diǎn)。分別是A4'、BB'的中點(diǎn)，

：.OA^OA',OB=OB',

在△A08和△?!'OB'中，

，AO=A/0

<ZA0B=ZAyOB'>

BO=B'0

A/\AOB^/\A'OB'（SAS）.

B'=4B.

答：需要測(cè)量A'B'的長(zhǎng)度，即為工件內(nèi)槽寬AB.

其依據(jù)是根據(jù)SAS證明△AOB會(huì)aA'OB'；

故答案為：根據(jù)SAS證明OB'.

X

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知條件可用邊角邊定理判斷出全等.

15.（3分）等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4,一邊長(zhǎng)等于9,它的周長(zhǎng)是22.

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和9,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以

要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：V4+4=8<9,0<4<9+9=18

腰的不應(yīng)為4,而應(yīng)為9

等腰三角形的周長(zhǎng)=4+9+9=22

故填：22.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的

題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解

答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

16.（3分）已知a+b=2,ab=\,則搭。=2.

【分析】利用完全平方公式變形，將與時(shí)代入計(jì)算即可求出值.

【解答】解：'：a+h=2,ab=\,

.,.cr+b2—（a+b）2-2ab=4-2—2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

17.（3分）如圖，N4OB=30°,OP平分NAOB,PD1.OB于D,PC//OB交OA于C.若

【分析】求出NCOP=/CPO=/BOP,即可得出PC^OC,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出

PD=PE,求出PE,即可求出PD.

【解答】解：平分NAOB,

NAOP=NBOP,

PC//OB,

:./CPO=/BOP,；.NCPO=/AOP,

:.PC=OC,

；PC=10,

；.OC=PC=10,

過(guò)P作PELOA于點(diǎn)E,

'：PDA.OB,OP平分NAOB,

：.PD=PE,

,:PC〃OB,NAOB=30°

...NECP=NAOB=30°

在RtZXECP中，PE=^PC=5,

2

：.PD=PE=5,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線(xiàn)上的

點(diǎn)到角的兩邊距離相等.

18.(3分)如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊AABC中，BF是AC上中線(xiàn)且點(diǎn)。在BF上，

連接A。,在A(yíng)O的右側(cè)作等邊△AOE,連接EF,則△AEF周長(zhǎng)的最小值是1+%(用

-2

含4,匕的式子表示).

【分析】首先證明點(diǎn)E在射線(xiàn)CE上運(yùn)動(dòng)(ZACE=30°),作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CE的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)M,連接尸M交CE于E',此時(shí)AE'+FE'的值最小.

【解答】解：如圖，;△ABC,△AOE都是等邊三角形，

：.AB=AC=a,AD=AE,ZBAC=ZDAE=ZABC=60°,

：.ZBAD^ZCAE,

：./\BAD^/\CAE(SAS),

ZABD=ZACE,

；AF=CF=Z,BF=b,

2

.?.NA8O=NCB￡)=/ACE=30°,BFLAC,

.?.點(diǎn)E在射線(xiàn)CE上運(yùn)動(dòng)(NACE=30°),

作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接FM交CE于E',此時(shí)AE'+FE'的值最小，

\'CA=CM,NACM=60°,

...△Aaw是等邊三角形，

.'.AM=AC1

'：BF±AC,

:.FM=BF=b,

.?.△AEF周長(zhǎng)的最小值=AF+FE'+AE'=AF+FM=^a+b.

2

故答案為：工+尻

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)E在射線(xiàn)CE上運(yùn)動(dòng)(NACE=30°),本題難度比較大,

屬于中考填空題中的壓軸題.

三、解答題(共56分，其中19題8分；20題10分；21題5分；22題6分；23題7分，

24題，25題每題6分；26題8分)

19.(8分)分解因式：

(1)cr+ah+2a；

(2)(2m+n)2-(m+n)2.

【分析】(1)直接提取公因式。分解因式即可；

(2)利用平方差公式分解因式即可.

(解答]解：(1)(^+ab+2a

=a(a+h+2)；

(2)(,2m+n)2-(m+n)2

=[(2m+n)+(m+n)][(2m+n)-(m+n)]

=(2m+n+m+n)(2m+n-m-n)

=m(3m+2n).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握公因式的確定是解題關(guān)

鍵.

20.(10分)計(jì)算：

(1)(2r+3y)(2x-y)；

(2)(-Sx3y2z)4-4x2y2.

【分析】(1)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)(2r+3y)(2x-y)

=4/-2xy+6xy-3>,2

—4x1+4xy-3y2；

(2)(4/y5-Sx3y2z)4-4x2y2

=4x2y34-4x2y2-8x3j2z4-4x2y2

=y-2xz.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的除法，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

21.(5分)已知/-x+l=O,求代數(shù)式(x+1)2-(x+1)(2x-1)的值.

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后整體代入即可求值.

【解答】解：原式=/+2x+l-2x^+x-2x+\

—-/+x+2,

當(dāng)，-x+l=O,即-/+x=l時(shí)，原式=1+2=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.

22.(6分)如圖，。是AB上一點(diǎn)，。尸交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC//AB,AE與CE有什

么關(guān)系？證明你的結(jié)論.

BC.

【分析】結(jié)論：AE=EC.只要證明△A￡?E之△CFE即可;

【解答】解：：FC〃AB,

NA=NECF,

在△AOE和△CFE中，

2A=NFCE

<NAED/FEC，

DE=EF

AADE絲AFCE,

：.AE=EC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的

條件，屬于中考基礎(chǔ)題.

23.（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,-3）,且OA=5,在x

軸上確定一點(diǎn)尸，使△AOP為等腰三角形.

（1）寫(xiě)出一個(gè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)（-5,0）；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出所有符合條件的△AOP.

>

Nuiiiiii

--------i---------1--I---------------1--l-------1

i---------ii-------ii-------i

??????

--------1--r-ni--------1--i-------1

iiiAIIII

L-J___L.J____L.J____L.J

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）可分三種情況：①40=AP；②A(yíng)O=PO；?AP=PO；解答出即可.

【解答】解：（1）一個(gè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)答案不唯一，如：（-5,0）,

故答案為：答案不唯一，如：（-5,0）；

（2）符合條件的△AOP如圖所示：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖-復(fù)雜作圖、等腰三角形的判定和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，注

意討論要全面，不要遺漏.

24.（6分）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿(mǎn)足一定的規(guī)律，如圖是2022年1月份的

日歷，我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個(gè)方框部分中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘,

再相減,結(jié)果都是7,例如：4X10-3X11=7,14X20-13X21=7.

(1)如圖，設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為x,則上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含x的式子可表

示為(x+1)(x+7)-x(x+8)=7；

(2)利用整式的運(yùn)算對(duì)(1)中的規(guī)律加以證明.

2022年1月

日——四五六

1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

3031

【分析】(1)根據(jù)題意用含x的式子表示其余三個(gè)數(shù)，表達(dá)規(guī)律即可；

(2)根據(jù)整式乘法公式，把(x+1)(x+7)-x(x+8)化簡(jiǎn)，即可證明.

【解答】(1)解：設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為x,則其余三個(gè)數(shù)從小到大依次是：

x+\,x+7,x+8,

...規(guī)律用含x的式子可表示為(x+1)(x+7)-x(x+8)=7；

故答案為：(x+1)(x+7)-x(x+8)—7；

(2)證明：(x+1)(x+7)-x(x+8)

=(7+7x+x+7)-(/+8x)

=?+7x+x+7-x2-8x

=7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算和列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運(yùn)算的法則.

25.(6分)已知：在△ABC中，ZABC<60°,CQ平分NACB交AB于點(diǎn)￡>,點(diǎn)E在線(xiàn)段

CDk(點(diǎn)E不與點(diǎn)C,。重合)，且/E4C=2NEBC

求證：AE+AC=BC.

A

【分析】在CB上截取CF,使CF=C4,連接ER根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出AE=FE,

根據(jù)尸B=FE,得至得出A￡+4C=E8+尸C=BC.

【解答】證明：如圖，在CB上截取C尸，使CF=C4,連接ER

，ZACE=ZF