2023-2024學(xué)年河北省唐山市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省唐山市高一上冊(cè)學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合用=何2'41},集合N={x|-1W1},則McN=()

A.[0,1]B.[-1,0]C.(Fl]D.[-1,1]

【正確答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合M,再根據(jù)交集的定義即可得解.

【詳解】M={x|2x<l}={x|x<0},

所以McN=[—1,0].

故選：B.

2.sin(-330°)=()

A.|B.—C.--D.-近

2222

【正確答案】A

【分析】由誘導(dǎo)公式一求解即可.

[詳解】sin(-330°)=sin(-360°+30°)=sin30°=；

故選：A

3.命題“玉>0,sinx-xWO”的否定為()

A.Vx<0,sinx-x>0B.3x>0,sinx-x<0

C.Vx>0,sinx-x>0D.3x<0,sinx-x>0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，即可判斷出答案.

【詳解】由題意知命題“玉>0,sinx-xWO”為存在量詞命題,

其否定為全程量詞命題，即Vx>0,sinx-x>0,

故選：C

4.若基函數(shù)〃力=犬的圖象經(jīng)過(guò)第三象限，則〃的值可以是（）

A.-2B.2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】當(dāng)。=-2時(shí)，〃x）=x-2為偶函數(shù)，圖象在第一和第二象限，

不經(jīng)過(guò)第三象限，A不合題意；

當(dāng)a=2時(shí)，/（力=一為偶函數(shù)，圖象過(guò)原點(diǎn)分布在第一和第二象限，

圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，B不合題意；

當(dāng)a時(shí)，f（x）=x5,xe[0,—），圖象過(guò)原點(diǎn)分布在第一象限，不經(jīng)過(guò)第三象限，C不合

題意；

11

當(dāng)a=§時(shí)，/（x）=x*xeR為奇函數(shù)，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限，D符合題意，

故選：D

5.方程f+log?x=6的解一定位于區(qū)間（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【正確答案】C

【分析】令/（耳=/+10員工-6,再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案.

2

【詳解】4/W=x+log2x-6,定義域?yàn)椋?,+?）,

因?yàn)楹瘮?shù)y==Iog2X-6在（0,+8）都是增函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）=f+log2x—6在（0,+功是增函數(shù)，

又因?yàn)?（2）=4+l—6=—l<0J（3）=3+log23>0,則/⑵/⑶<0,

所以函數(shù)〃工）=幺+1。82廠6在區(qū)間（2,3）上，

即方程丁+log2x=6的解一定位于區(qū)間（2,3）上.

故選：C.

6.己知函數(shù)〃x）滿足/（x）+2/（—x）=x,則/（1）=（）

A.—1B.1C.—D.

33

【正確答案】A

【分析】分別令x=l,4-1,然后解方程組可得.

【詳解】分別令i1，貝唯㈠&⑴7解得二T

故選：A

3

7.已知xwR,則“二■21''是"x<2”成立的（）

x+17

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】先解不等式，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系可得.

33x-2

【詳解】不等式J-Nlo=一—1>0<=>^<0,解得—1<XK2

x+]尢+1x+\

力己A={x|-l〈xS2},B=[x\x<2}

..3

因?yàn)锳UB,所以“三與”是“x42”成立充分不必要條件.

故選：A

8.下列結(jié)論正確的是（）

,,9,1440J

A.4<8B.log20.2>2

C.若柘>陟，則a?〉/D.若夜>布，貝ija）〉/?2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量

法即可判斷B；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?江=2巴8°"=2132,所以升8>2枚，

即4。.9>8刈，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)镮og20.2<log21=0,2°'>2°=l,所以log20.2<2"’，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)a=l,3=-8時(shí)，&=1>m=-2,

此時(shí)a2=]<64=b2故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若新，則a>620,所以/>從，故D正確.

故選:D.

二、多選題

9.將函數(shù)y=sin[J+j]+2圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，，縱坐標(biāo)不變；再向

右平移：個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）

A.g（x）=cos2xB.函數(shù)y=g（x+：）為奇函數(shù)

C.g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（兀,0）對(duì)稱D.g（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)周期變換和平移變換的原則求出函數(shù)g（x）的解析式，再根據(jù)正余弦函數(shù)的性

質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=sin佶+于+2圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，，

<36）6

可得y=sin（2x+^）+2,

再向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得y=sin[2（x-'）+F+2=sin（2x-；）+2=-cos2x,

然后再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得g（x）=-cos2x,故A錯(cuò)誤；

y=g（x+：）=-cos（2x+]）=sin2x,

因?yàn)間G+j=sin（_2x）=_sin2x=_g（x+j,

所以函數(shù)y=g（x+：）為奇函數(shù)，故B正確；

因?yàn)間（兀）=-COS2TI=—1,所以點(diǎn)（兀,0）不是函數(shù)g（x）的對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?/=-即=1,所以g（x）的圖象關(guān)于直線A：對(duì)稱，故D正確.

故選：BD.

10.已知關(guān)于x的不等式o^+bx+oO的解集為則下列結(jié)論正確的是（）

A.。>0

B.c<0

C.a+b>0

D.關(guān)于x的不等式ex?+法+々>0的解集為{x|-3Vx<-1}

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根的關(guān)系，即可由根與系數(shù)的關(guān)系得

4=3c,b=Tc（a<0）,進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可求解.

【詳解】由不等式奴2+bx+c>0的解集為卜所以g和1是方程o?+法+c=0的

3+1

a3

兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得

4xl

a-3c,b=-4c(a<0),

故A錯(cuò)誤，B正確，a+h=-c>0,故C正確，

不等式ex?+Z>x+a>0變?yōu)閝?—4cx+3c>0=>丁-4x+3<0，解得{x[l<x<3},故D錯(cuò)誤,

故選：BC

11.定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x)滿足〃2+x)=〃x),f(2-x)=f(x),當(dāng)xe[0,l]時(shí),

/(x)=2'-l,已知g(x)=g|x-l|,則()

A.的最大值是1B.g(〃5))=15

C./（g（5））=0D.與g（x）的圖像有4個(gè)交點(diǎn)

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)/（x）的對(duì)稱性以及周期性即可判斷ABC,根據(jù)畫圖，即可根據(jù)

函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解.

【詳解】對(duì)于A,由于〃x）=2'—1在xe[0,l]單調(diào)遞增，故此時(shí)〃x）a=〃l）=l,由

f（2—x）=f（x）可知“X）關(guān)于x=l對(duì)稱，故X€[0,2]的最大值也為1,又/（2+x）=〃x）知

是周期為2的周期函數(shù)，因此在定義域內(nèi)，/（x）n3'=l，故A正確，

對(duì)于BJ（5）=/（1）=1,所以g（/（5））=g（l）=0,故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,g（5）=2,;.〃g（5））=/（2）=/（0）=0,故C正確，

對(duì)于D,在同一直角坐標(biāo)系中，畫出〃x）,g（x）的圖象如下圖，即可根據(jù)圖象得兩個(gè)函數(shù)圖

象有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

12.對(duì)任意的銳角a,尸，下列不等關(guān)系中正確的是()

A.sin(a+y?)<sina+sinB.sin(a+^)>cosa+cos/3

C.cos(a+，)<sina+sin乃D.cos(a+/?)<cosa+cos/?

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)和角公式結(jié)合正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷AB；取a=￡=15°判斷C；由

G<a<a+p<7t結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.

【詳解】因?yàn)閍,夕是銳角，所以

sin(a+^)=sinacosP+cosasin/?<sinal+sin^l=sina+sin/7,

sin(a+p)=sinacosp+cosasin/3<cos/3-\+cosa1=cosa+cosp,故A正確，B錯(cuò)誤；

當(dāng)a=￡=15°時(shí)，cos(a+0=cos3O°=絡(luò)，sina+sin/?=sin15°+sin15°=,(其

中sin15。=廠c：30。J"：』屈一近),￥>丹』,故C錯(cuò)誤；

因a,夕是銳角，則0<a<a+尸〈萬(wàn)，而函數(shù)V=cosx在(0,丁)上單調(diào)遞減，于是得

cos((7+/3)<cosa,又cos/7>0,有cos(a+/7)<cosa+cos/7,D正確.

故選：AD

三、填空題

：

13.log23xlog34x^(-2)=-------.

【正確答案】4

【分析】直接利用對(duì)數(shù)的換底公式求解即可.

【詳解】log?3xlog,4xJ(-2)2

=lg3xlg4x2=lg3x21g2x2=4

lg2lg3lg2lg3

故答案為.4

14.已知sin（7t-a）=乎，貝!!tan2a=.

【正確答案】2夜

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角關(guān)系可得tana=*lW=-&,由正切的二倍角公式即可代

cosa

入求解.

【詳解】由sin（兀-a）=豐?得sina,由可得cosa=-Jl-sin2a=-等，故

,sina/r

tana=------=-72,

cosa

由二倍角公式得tan2a=2嗎=2g=20,

1-tan-a1-2

故2夜

15.已知正數(shù)兌丫滿足x+y-肛+3=0,則切的最小值為.

【正確答案】9

【分析】利用基本不等式，結(jié)合解一元二次不等式，即可求得答案.

【詳解】對(duì)于正數(shù)演》,有x+yN2而，當(dāng)且僅當(dāng)*=y時(shí)取得等號(hào)，

故由x+y-^+3=0得移一3=》+丫22^^/^,SRxy-3>2^xy,

所以（7^-3）（J^+l）20,故向^23或（舍去），

故孫49,即孫的最小值為9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取最小值，

故9

四、雙空題

16.已知函數(shù)〃x）=]：17n7"

[x+l,x>1

①當(dāng)”=1時(shí)，不等式/（力-3>0的解集為；

②若/（x）是定義在R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

2

【正確答案】（2,y）-J

[分析】①分類討論解分段函數(shù)不等式；②分段函數(shù)單調(diào)遞增等價(jià)于各分段單調(diào)遞增以及分

段處單調(diào)遞增，分別根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)、基函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.

【詳解】①根=1時(shí)，二由f（x）_3>0得

-X2+3X-3>0（+-<0…/x+l-3>0-

<X-^2]）4=>x無(wú)解，或<,=>x>2.

x<lx>l

[x<lI

故所求解集為（2,+8）；

②〃X）是定義在R上的增函數(shù)等價(jià)于g（x）=-爐+3蛆,x=i單調(diào)遞增，/z（x）=x"+l,x>l單

調(diào)遞增，且g⑴

^>1

22「2一

則有〃?>0故實(shí)數(shù)"的取值范圍為y,l.

-i+3^<r+iL」

,「2-

故（2,+8）；-,1.

五、解答題

17.已知全集0=11,集合4={司公-2x-340},8={x|x<a}.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求AuB,A@B）；

（2）若AB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【正確答案】⑴AB={x|x<3},A他8）={幻04如3}

（2）（3,+oo）

【分析】（1）先解不等式得集合4,然后根據(jù)集合運(yùn)算可得；

（2）利用數(shù)軸分析可解.

【詳解】（1）解不等式丁_2》-340,W>4={X|-1<X<3}

當(dāng)a=0時(shí)，8={x|x<0},所以A5={x|x<3}

因?yàn)?*={x|x2O},所以Ac低3)={x|04xV3}

(2)因?yàn)锳B=A,所以A=3

---------1I<>------------?

-13a

所以。>3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3,一)

18.已知函數(shù)/(x)=cos2(x-^)-sin，x,%eR.

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求“X)在區(qū)間-],0內(nèi)的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的x值.

【正確答案】⑴+l(%eZ)

(2)x=-工時(shí),/(x).=-—

[2J、/min2

【分析】(1)先根據(jù)降累公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得;

(2)根據(jù)x的范圍求得2x+1的范圍，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)可解.

【詳解】⑴*叫2>句_^^=4gin2x+%s2x]=旦仙2x+巴

22212212^3

JTIT7TiJT7T

由2E—K2.x4—42氏兀H—,%￡Z得kit---Wx工kuH---，&￡Z,

23291212

"（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為E*，E+噎（丘Z）

（2）因?yàn)?-7T,0,所以-?三JT42'+三JT417T

19.已知函數(shù)〃x）=lnW^.

(D判斷/(X)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明;

⑵求〃x)在區(qū)間內(nèi)的值域.

【正確答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析

■,1,■

⑵ln-,ln3

【分析】(1)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得答案,

利用單調(diào)性的定義證明即可；

(2)根據(jù)(1)所得的函數(shù)單調(diào)性，可得其最值，可得答案.

【詳解】(1)由函數(shù)/(x)=ln|^=lnY?}4=]n[_l+￡)則函數(shù)在其定義

域上單調(diào)遞減.

證明如下：

由函數(shù)/(x)=ln|^,貝(2r)(2+x)>0，(x-2)(x+2)<0,解得一2<x<2,

即函數(shù)的定義域?yàn)?-2,2),

取任意芭,We(-2,2),設(shè)斗<馬,

/^)-/(xO=ln^-ln^=lnf^-^kln4+2fe~X|j--|%2,

2+%]2+x2(2+X]2—x2J4+2(%一々)一百々

由王<工2，則$一/<°<工2一X，即4+2(X]一9)—為%<4+2(々一%)—XW，故

4+25一M卜中2

4+2(玉-x2^-xlx2

所以/(%)>，(％)，則函數(shù)“X)在其定義域上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知函數(shù)/(可在其定義域上單調(diào)遞減,則函數(shù)“力在上

“X)皿=/(-l)=ln3,f(x)01bl=川)=畤

所以函數(shù)〃x)在上的值域?yàn)镮n1,In3.

20.某企業(yè)投資生產(chǎn)一批新型機(jī)器，其中年固定成本為2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x(xeN')百臺(tái)，

需另投入生產(chǎn)成本R(x)萬(wàn)元.當(dāng)年產(chǎn)量不足46百臺(tái)時(shí)，&力=3/+2608；當(dāng)年產(chǎn)量不小

于46百臺(tái)時(shí)，/?(x)=501x+—^-4830.若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)5萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企

業(yè)生產(chǎn)的這批機(jī)器能全部銷售完.

（1）求該企業(yè)投資生產(chǎn)這批新型機(jī)器的年利潤(rùn)所W（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)

關(guān)系式（利潤(rùn)=銷售額一成本）；

（2）這批新型機(jī)器年產(chǎn)量為多少百臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

-3x2+240x-2000,0<x<46

【正確答案】⑴W（*）=283。，+49001

x+2oj,x>46

（2）年產(chǎn)量為40百臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2800萬(wàn)元.

【分析】（1）分04x<46和XN46兩種情況分別求出年利潤(rùn)所W（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x

（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式，即得答案；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分段求出函數(shù)的最大值，比較大小，即可求得答案.

【詳解】（1）由題意可得：當(dāng)04x<46時(shí)，y=500x-3x2-260》-2000=-3/+240》-2000,

49004900

當(dāng)“246時(shí)y=500x—(501x+——--4830)-2000=2830-(x+―—),

x+20x+20

所以年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為:

一3f+240x-2000,0<x<46

W(x)=,4900

2830-x+,x>46

7+20

(2)由(1)得0W46時(shí)，y=-3x2+240x-2000=-3(x-40)2+2800,

此時(shí)x=40（百臺(tái)）時(shí)，Wax=2800（萬(wàn)元）,

4900I4900

當(dāng)X246時(shí)，y=2830-（x+）<2850-2J（x+20）x=2850-2x70=2710,

x+20Vx+20

當(dāng)且僅當(dāng)x+20=±49020,即x=50時(shí)等號(hào)成立，）嬴=2710（萬(wàn)元），

而2800>2710,故x=40（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大，

綜上所述：年產(chǎn)量為40百臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2800萬(wàn)元.

21.已知定義域?yàn)椋垡弧?2。一1］的偶函數(shù)/（%）,當(dāng)04xW2a-l時(shí)，/（x）=-x+cosx.

（1）求實(shí)數(shù)a的值及/（X）的解析式；

（2）解關(guān)于f的不等式</（1—2。.

x+cosx,-l<x<0

【正確答案】(l)a=l,/(x)=

-x+cosx,0<x<1

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可求出a=l,令-l<x<0,則0<T41,

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)即可求得-1WX<()時(shí)，函數(shù)的解析式，即可得解；

(2)先判斷函數(shù)在［()』上的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可，注意函

數(shù)的定義域.

【詳解】(1)因?yàn)槎x域?yàn)榈呐己瘮?shù)/(x),

所以—a+2Q—1=0,解得a—\,

則函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,1］,

又當(dāng)0WxW2a-l時(shí)，即當(dāng)OKxMl時(shí)，/(x)=-x+cosx,

令一IKxvO,貝iJOv-E,

f(-x)=-(-x)+cos(-x)=X+cosx=/(x),

/、fx+cosx,-l<x<0

所以fX=n”c；

［-X+COSX,0<X<1

(2)當(dāng)時(shí)，/(x)=-x+cosx,

因?yàn)楹瘮?shù)y=-x，y=cosx在［o,i］上都是減函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)在［o,1］上是減函數(shù)，

又函數(shù)函數(shù)〃x)是定義在［-5］上的偶函數(shù)，

所以關(guān)于，的不等式-2r),

'N>|l-2r|

即為卜14Tl,解得

所以關(guān)于，的不等