北京101中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)九年級上冊期末質(zhì)量檢測試題含解析

北京IOl中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)九上期末質(zhì)量檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

L拋物線y=-2（x-D2-3與y軸交點的橫坐標(biāo)為（）

A.-3B.-4C.-5D.0

2.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,有兩點44,2）/（3,0）,以原點為位似中心，夕與AB的相似比為;,得到線段山叱正確

的畫法是（）

3.如圖，拋物線y=∕+χ交X軸的負(fù)半軸于點A,點B是y軸的正半軸上一點，點A關(guān)于點B的對稱點A恰好落

在拋物線上.過點A作X軸的平行線交拋物線于另一點C,則點Al的縱坐標(biāo)為O

A.1.5B.2C.2.5D.3

4.如圖，將一個RtAABC形狀的楔子從木樁的底端點P處沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運(yùn)動，已知楔子斜

面的傾斜角為20。，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭頭所示），則木樁上升了（）

A.8tan20oB，西加C.8sin20oD.8cos20o

5.如圖，在ΔABC中，點D,E分別在AB,AC邊上，DE//BC9ZACD=ZB9若AD=2BD,BC=6,則

線段CD的長為（）

A.2√3B.3√2C.2√6D.5

6.某校九年級“詩歌大會”比賽中，各班代表隊得分如下（單位：分）：9,7,8,7,9,7,6,則各代表隊得分的中位

數(shù)是（）

A.9分B.8分C.7分D.6分

7.如圖，一根6m長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動）那么小羊

A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（）

C31

D.一πm

33

8.已知圓心。到直線/的距離為d,Oo的半徑片6,若d是方程x2τ-6=0的一個根，則直線/與圓O的位置關(guān)系為

（）

A.相切B.相交

C.相離D.不能確定

9.如圖，在AABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE/7BC.若AD=6,DB=3,則——的值為（）

AC

33

A.-B.-c.一D.2

324

10.已知A、B、C三地順次在同-直線上，甲、乙兩人均騎車從A地出發(fā)，向C地勻速行駛.甲比乙早出發(fā)5分鐘；甲

到達(dá)8地并休息了2分鐘后，乙追上了甲.甲、乙同時從8地以各自原速繼續(xù)向C地行駛.當(dāng)乙到達(dá)C地后，乙立即掉

頭并提速為原速的評按原路返回A地，而甲也立即提速為原速的二倍繼續(xù)向C地行駛，到達(dá)C地就停止若甲、乙

間的距離y（米）與甲出發(fā)的時間八分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

A.甲、乙提速前的速度分別為300米/分、400米/分.

B.A、C兩地相距7200米

C.甲從A地到。地共用時26分鐘

D.當(dāng)甲到達(dá)C地時，乙距A地6075米

11.對于反比例函數(shù)y=&（k≠0）,下列所給的四個結(jié)論中，正確的是（）

X

A.若點（3,6）在其圖象上，則（-3,6）也在其圖象上

B.當(dāng)k>0時，y隨X的增大而減小

C.過圖象上任一點P作X軸、y軸的線，垂足分別A、B,則矩形OAPB的面積為k

D.反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=-X成軸對稱

12.對于反比例函數(shù)y=」，下列說法正確的是（）

X

A.圖象經(jīng)過點（1,一1）B.圖象位于第二、四象限

C.圖象是中心對稱圖形D.當(dāng)尤<0時，）'隨X的增大而增大

二、填空題（每題4分，共24分）

13.在一個不透明的袋子中有10個除顏色外均相同的小球，通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的概率約為30%,

估計袋中白球有個.

11

14.關(guān)于X的方程/-6》+3=0的兩根分別是西和々，且不+『=.

15.某公園平面圖上有一條長12c機(jī)的綠化帶.如果比例尺為1：2000,那么這條綠化帶的實際長度為.

AR3EF

16.在□ABC。中，NABC的平分線B尸交對角線AC于點E,交AD于點足若——則——的值為___

BC5BF

17.若關(guān)于X的一元二次方程（k—1）乂2+4*+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是

18?如圖‘拋物線八%2一4與X軸交于AB兩點'P是以點CQ3)為圓心，2為半徑的圓上的動點'Q是線段PA

的中點，連結(jié)。。.則線段。。的最大值是.

三、解答題(共78分)

19.(8分)已知關(guān)于X的一元二次方程XJ1(a-1)x+a1-a-1=0有兩個不相等的實數(shù)根xι,x∣.

(1)若a為正整數(shù)，求a的值；

(1)若Xi,Xi滿足xj+xj-xιxι=16,求a的值.

20.(8分)利川市南門大橋是上世紀(jì)90年代修建的一座石拱橋，其主橋孔的橫截面是一條拋物線的一部分，2019年

在維修時，施工隊測得主橋孔最高點P到水平線OM的高度為30，”.寬度OM為60加.如圖所示，現(xiàn)以。點為原點，

OM所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)直接寫出點M及拋物線頂點尸的坐標(biāo)；

(2)求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

(3)施工隊計劃在主橋孔內(nèi)搭建矩形“腳手架”ABCO,使4。點在拋物線上，B、C點在水平線。W上，為了籌

備材料，需求出“腳手架”三根鋼管AB、AD.OC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算.

21.(8分)如圖，矩形ABCZ)的四個頂點在正三角形EPG的邊上.已知AEFG的邊長為2,設(shè)邊長AB為x,矩形ABa)

的面積為5.

求：(I)S關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式和自變量X的取值范圍.

(2)5的最大值及此時X的值.

￡

22.(10分)定義：已知點。是三角形邊上的一點(頂點除外)，若它到三角形一條邊的距離等于它到三角形的一個頂

點的距離，則我們把點。叫做該三角形的等距點.

(1)如圖1：AABC中，ZACB=9Q，AC=3,BC=4,。在斜邊AB上，且點。是ΔABC的等距點，試求BO

的長；

(2)如圖2,ΔABC中，NAcB=90，點P在邊AB上，AP=2BP,。為AC中點，且NCP￡>=90.

①求證：ACPD的外接圓圓心是AABC的等距點；②求tan/POC的值.

23.(10分)有兩個不透明的袋子，甲袋子里裝有標(biāo)有2,3兩個數(shù)字的2張卡片，乙袋子里裝有標(biāo)有4,5,6三個數(shù)字的3

張卡片，兩個袋子里的卡片除標(biāo)有的數(shù)字不同外，其大小質(zhì)地完全相同.

(1)從乙袋里任意抽出一張卡片，抽到標(biāo)有數(shù)字6的概率為.

(2)求從甲、乙兩個袋子里各抽一張卡片，抽到標(biāo)有兩個數(shù)字3、6的卡片的概率.

24.(10分)如圖,在四邊形ABCD中，AD∕7BC,AD=2BC,E為AD的中點,連接BD,BE,ZABD=90o

(1)求證：四邊形BCDE為菱形.

(2)連接AC,若ACJ_BE,BC=2,求BD的長.

25.(12分)如圖，在Θ0中，A6、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODLAB于O,OELACTE.求證：四邊形

AEOO是正方形.

26.某校3男2女共5名學(xué)生參加黃石市教育局舉辦的“我愛黃石”演講比賽.

(1)若從5名學(xué)生中任意抽取3名，共有多少種不同的抽法，列出所有可能情形;

(2)若抽取的3名學(xué)生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、D

【分析】把X=O代入拋物線產(chǎn)-2(X-I)2-3,即得拋物線尸-2(X-I)2-3與y軸的交點.

【詳解】當(dāng)X=O時，拋物線y=-2(X-I)2-3與y軸相交，把x=0代入y=-2(X-I)2-3,求得y=-5,

二拋物線尸-2(x-l)2-3與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-5).

故選：D.

【點睛】

此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)，解題關(guān)鍵在于掌握當(dāng)X=O時，即可求得二次函數(shù)與y軸的

交點.

2、D

【分析】根據(jù)題意分兩種情況畫出滿足題意的線段A，B，,即可做出判斷.

【詳解】解：畫出圖形，如圖所示：

【點睛】

此題考查作圖-位似變換，解題關(guān)鍵是畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代

表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

3、B

【分析】先求出點A坐標(biāo)，利用對稱可得點A橫坐標(biāo)，代入y=∕+χ可得縱坐標(biāo).

【詳解】解：令y=0得f+χ=o,即x(x+D=0

解得玉=0,Z=T

.?.A(-l,0)

點B是y軸的正半軸上一點，點A關(guān)于點B的對稱點A□恰好落在拋物線上

,?.A點的橫坐標(biāo)為1

當(dāng)x=l時，y=2

所以點AL的縱坐標(biāo)為2.

故選：B

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖像，熟練利用函數(shù)解析式求點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

4、A

【解析】根據(jù)已知，運(yùn)用直角三角形和三角函數(shù)得到上升的高度為：8tan20o.

【詳解】設(shè)木樁上升了〃米，

二由已知圖形可得：tan2(F=4,

8

???木樁上升的高度Λ=8tan20o

故選B.

5、C

【解析】設(shè)AD=2x,BD=x,所以AB=3x,易證ΔADEMBC,利用相似三角形的性質(zhì)可求出OE的長度，

ΛC7ADAFDF

以及一=一，再證明ΔADEΛACD,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出得出——=—=——，從而可求出C。的

AC3ACADCD

長度.

【詳解】解：設(shè)AQ=2x,BD=x,

?,.AB-3x，

'：DEHBC,

ΛΔΛDEAABC,

.DEADAE

**BC-AB^AC,

.DE2x

??-9

63x

AE2

?,?DE=4，——，

AC3

,：ZACD=AB,

ZADE=AB,

：.ZADEZACD,

VZA=ZA,

ΛΔAZ>EMCD,

.ADAEDE

"AC-AD-CD'

設(shè)AE=2y,AC-3y,

.絲=2∑

"3yAD'

?'?AD=?∣6y?

.2y_4

?√6^-CD,

???CD=2√6，

故選C.

【點睛】

本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型.

6、C

【解析】分析：根據(jù)中位數(shù)的定義，首先將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列起來，由于這組數(shù)據(jù)共有7個，故處于最

中間位置的數(shù)就是第四個，從而得出答案.

詳解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：6<7<7<7<8<9<9,故中位數(shù)為：7分，

故答案為C.

點睛：本題主要考查中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)的定義：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列,

如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)

的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

7、B

【解析】小羊的最大活動區(qū)域是一個半徑為6、圓心角為90。和一個半徑為2、圓心角為60。的小扇形的面積和.所以

根據(jù)扇形的面積公式即可求得小羊的最大活動范圍.

【詳解】大扇形的圓心角是90度，半徑是6,如圖，

小扇形的圓心角是180o-120o=60o,半徑是2m,

r>H~6(hrx42,八

則面積=------=—π(m2)3,

3603

229

則小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積=9κ+-τr=—π(m2).

33

故選B.

【點睛】

本題考查了扇形的面積的計算，本題的關(guān)鍵是從圖中找到小羊的活動區(qū)域是由哪幾個圖形組成的，然后分別計算即可.

8,B

【分析】先解方程求得d,根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系即可解題.

【詳解】解方程：χ2-χ-6=0,即：(x—3)(x+2)=0,解得戶3,或戶一2(不合題意，舍去)，

當(dāng)d=3,尸=6時，d<r,則直線與圓的位置關(guān)系是相交；

故選：B

【點睛】

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，只要比較圓心到直線的距離d和半徑「的大小關(guān)系.沒有交點，則d>r；一個交點,

則d=r；兩個交點，則d<r.

9、A

【分析】先求出AB,由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果.

【詳解】???AO=6,DB=3,

:?AB=AD+DB=9,

VDEBC,

.AEAD_6_2

AC-AB^9-3：

故選：A.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理；熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵.

10、C

【分析】設(shè)出甲、乙提速前的速度，根據(jù)“乙到達(dá)B地追上甲”和“甲、乙同時從B出發(fā)，到相距90（）米”建立二元一次

方程組求出速度即可判斷A,然后根據(jù)乙到達(dá)C的時間求A、C之間的距離可判斷B,根據(jù)乙到達(dá)C時甲距C的距離

及此時速度可計算時間判斷C,根據(jù)乙從C返回A時的速度和甲到達(dá)C時乙從C出發(fā)的時間即可計算路程判斷出D.

【詳解】A.設(shè)甲提速前的速度為匕米/分，乙提速前的速度為匕米/分，

由圖象知，當(dāng)乙到達(dá)B地追上甲時，有：（14—2）匕=（14—5）%,化簡得：4χ=3%,

當(dāng)甲、乙同時從B地出發(fā)，甲、乙間的距離為900米時，有：（2374）匕一（23—14*=900,化簡得：?-V,=100,

（4V.=3V,W=300

解方程組：《-,得：《，

?-Vl=100[V2=400

故甲提速前的速度為300米/分，乙提速前的速度為400米/分，故選項A正確；

B.由圖象知，甲出發(fā)23分鐘后，乙到達(dá)C地，

則A、C兩地相距為：（23—5）x400=7200（米），故選項B正確；

C.由圖象知，乙到達(dá)C地時，甲距C地900米，這時，甲提速為300x2=600（米/分），

則甲到達(dá)C地還需要時間為：—=1.5（分鐘），

600

所以，甲從A地到C地共用時為：23+1.5=24.5（分鐘），故選項C錯誤；

D.由題意知，乙從C返回A時，速度為：400×-=500（米/分鐘），

4

當(dāng)甲到達(dá)C地時，乙從C出發(fā)了2.25分鐘，

此時，乙距A地距離為：7200—500x2.25=6075（米），故選項D正確.

故選：C.

【點睛】

本題為方程與函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，正確分析函數(shù)圖象，明確特殊點的意義是解題的關(guān)鍵.

11>D

【解析】分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；

詳解：A.若點（3,6）在其圖象上，則（-3,6）不在其圖象上，故本選項不符合題意；

B.當(dāng)《>0時，y隨X的增大而減小，錯誤，應(yīng)該是當(dāng)《>0時，在每個象限，y隨X的增大而減小；故本選項不

符合題意；

C.錯誤，應(yīng)該是過圖象上任一點尸作X軸、y軸的線，垂足分別A、B,則矩形OAPB的面積為IA|；故本選項不

符合題意；

D.正確，本選項符合題意.

故選D.

點睛：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于

中考?？碱}型.

12、C

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可對各個選項進(jìn)行分析，判斷對錯即可.

【詳解】解：A、?.?當(dāng)x=l時，y=l,.?.函數(shù)圖象過點（1,1）,故本選項錯誤；

B、?.?Zr=l>0,.?.函數(shù)圖象的每個分支位于第一和第三象限，故本選項錯誤；

C、由反比例函數(shù)的圖象對稱性可知，反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點對稱，圖象是中心對稱圖，故本選項正確；

D、?.?A=1>O,.?.在每個象限內(nèi)，），隨著X的增大而減小，故本選項錯誤；

故選：C.

【點睛】

本題重點考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、1

【分析】根據(jù)摸到白球的概率公式=40%,列出方程求解即可.

.

【詳解】解：不透明的布袋中的小球除顏色不同外，其余均相同，共有10個小球，其中白色小球X個，

根據(jù)古典型概率公式知：P（白色小球）==10%,

-V

解得：x=l.

故答案為L

考點：已知概率求數(shù)量.

14、2

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解答.

［詳解］V方程χ2_6χ+3=O的兩根分別是西和々，

：?x1+x2=6,x1x2=3,

.J+L±H?=9=2,

xlx2xix23

故答案為：2.

【點睛】

此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟記兩個關(guān)系式并運(yùn)用解題是關(guān)鍵.

15、240m

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離可得實際距離，再進(jìn)行單位換算.

【詳解】設(shè)這條公路的實際長度為mm,貝IJ：

1：2000=12：X,

解得X=24000,

24000cm=240w.

故答案為240m.

【點睛】

本題考查圖上距離實際距離與比例尺的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握比例尺=圖上距離：實際距離.

16、

8

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出邊的關(guān)系，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：Y四邊形ABa）是平行四邊形，

：.AD//BC,

"AFB=NEBC,

?.?6尸是NABC的角平分線，

：.NEBC=ZABE=ZAFB,

：.AB=AF,

.ABAF3

?.------=一,

BCBC5

,JAD∕∕BC,

：.AAFEsACBE,

AFEF3

?.?--=f

BCBE5

EF3

??---=—;

BF8

3

故答案為：-.

O

【點睛】

此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定

定理.

17、kV5且k≠l.

【解析】試題解析：V關(guān)于X的一元二次方程(Z-I)X2+4x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，

?-l≠0

Δ=42-4(ZZ-1)>0.

解得：k<5^k≠?.

故答案為Zv5且ZwL

18、3.1

1?

【分析】連接BP,如圖，先解方程y=-∕-4=0得A(-4,0),B(4,0),再判斷OQ為^ABP的中位線得到

4

OQ=；BP,利用點與圓的位置關(guān)系，BP過圓心C時，PB最大，如圖，點P運(yùn)動到P'位置時，BP最大，然后計

算出BP，即可得到線段OQ的最大值.

【詳解】連接BP,如圖，

當(dāng)y=0時，y=Lχ2-4=0,

4

解得xι=4,X2=-4,則A(-4,O),B(4,0),

?.?Q是線段PA的中點，

.?.OQ為AABP的中位線，

ΛOQ=?BP,

2

當(dāng)BP最大時，OQ最大，

而BP過圓心C時，PB最大，如圖，點P運(yùn)動到P，位置時，BP最大，

VBC=√32+42?*?BP,=1+2=7,

二線段OQ的最大值是3.1,

故答案為：3.1.

【點睛】

本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的

關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.也考查了三角形中位線.

三、解答題(共78分)

19、(2)a=2,2；(2)a=-2.

【分析】(2)根據(jù)關(guān)于X的一元二次方程x2-2(a-2)χ+aZa-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，得到A=[-2(a-2)]2-4(a2-a-2)

>0,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)X2+X2=2(a-2),X2X2=a2-a-2,代入X2?+X22-X2X2=26,解方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(2)?.?關(guān)于X的一元二次方程χ2-2(a-2)x+a2-a-2=0有兩個不相等實數(shù)根，

ΛΔ=[-2(a-2)]2-4(a2-a-2)>0,

解得：a<3,

為正整數(shù)，.?.a=2,2；

(2)VX2÷X2=2(a-2),×2×2=a2-a-2,

VX22+X22-X2X2=26,

.?.(x2+x2)2-3X2×2=26,

Λ[2(a-2)]2-3(a2-a-2)=26,

解得：a?=-2,a2=6,

Va<3,Λa=-2.

【點睛】

本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，先判斷出a的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出方程是

解答此題的關(guān)鍵.

20、(1)M(60,0),P(30,30);(2)y=—4f+2χ,(O<x≤6O)5(3)三根鋼管AB、AD.DC的長度之和的

最大值是75根.

【分析】(1)根據(jù)題意，即可寫出點M及拋物線頂點P的坐標(biāo)；

(2)拋物線過原點。，故設(shè)拋物線為y=α√+法，將M和P的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式;

(3)設(shè)A(X,y),分別用含X的式子表示出AAAD,。。的長度，設(shè)“腳手架”三根鋼管AB、AD.OC的長度之

和為L,即可求出L與X的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)求最值即可.

【詳解】解：(1)由題意可知：加(60,0),拋物線頂點打30,30)：

(2)拋物線過原點。，故設(shè)拋物線為y=0?+/,

由M(60,0),P(30,30)在拋物線上有

0=602α+60?解得「一否,

30=3()2α+30b

b=2

1

所以拋物線的函數(shù)解析式為y=-.f7+2χ,由圖象可知o≤χ≤6O;

(3)設(shè)4(x,y),

根據(jù)點A在拋物線上和矩形的性質(zhì)可得

AB-CD—y———%2+2x,

30

V點A和點D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱

.?.點D的坐標(biāo)為(60-χ,y)

:?AD=60—2X

設(shè)“腳手架”三根鋼管A3、AD,。。的長度之和為￡,則

Λ=2∣--!-√+2Λ∣+60-2x,

I30)

19

即L=-石(X-15)~+75

當(dāng)x=15時，“大值=75，

所以，三根鋼管A3、AD.OC的長度之和的最大值是75〃?.

【點睛】

此題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和利用二次函數(shù)求最值是解決此題的關(guān)鍵.

2

21、(l)S=-y-x+√3x(0<x<2);(2)χ=l;SmaX=乎

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，CD=AB,CD√AB,由平行可以得到ACDE也為正三角形，所以DE=CD=x,DF=2-x.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NF=60。，得AD=且。/，再根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論；

2

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：四邊形ABCD為矩形，

ΛCD=AB,CD/7AB,

又4EFG為正三角形，

Λ?CDE也為正三角形.

ΛDE=CD=x,ΛDF=2-x.

又在正三角形EFG中，可得NF=60°,

.*n-λ∕3nc,-λ∕3

??AD-------DF-------(2—x)9

22

.,.S=AB.AD=X.—(2-x)=--%2+√3Λ(0<X<2).

22

(2)由S=-與x1+gx=一與(Xi)?+與,

.?.當(dāng)x=l時，S取得最大值，最大值為

2

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的

關(guān)鍵.

2520

22、(1)9或―；(2)①證明見解析,②0.

【分析】(1)根據(jù)三角形的等距點的定義得出OB=OE或OA=OF,利用相似三角形，表達(dá)出對應(yīng)邊，列出方程求解

即可；

(2)①由ACPD為直角三角形，作出外接圓，通過平行線分線段成比例得出DP〃OB,進(jìn)而證明ACBOgaPBO,

最后推出OP為點O到AB的距離，從而證明點O是aABC的等距點；

(2)求tanNPOC相當(dāng)于求tan/BoC,由①可得4APO為直角三角，通過勾股定理計算出BC的長度，從而求出

tanZPDC.

【詳解】解：(1)如圖所示，作OFJ_BC于點F,作OEJ_AC于點E,

貝QθBFs∕^ABC,

?OB__O__F____B__F

**AB^AC-BC

?.?AC=3,BC=4,由勾股定理可得AB=5,

XOFBF

設(shè)OB=X,則一=---

53

34

：.0F=-x,BF=-X

55

；點。是AABC的等距點,

4

若OB=OE,OE^4--x

4

.?.X=4λ——X

5

20

解得:X

~9

若OA=OF,OA=5-x

Λ5-x=-3%,解得1=2三5

58

(2)①證明：YZkCDP是直角三角形，所以取CD中點O,作出ACDP的外接圓，連接OP,OB

設(shè)圓O的半徑為r,則DC=2r,

YD是AC中點,

ΛOA=3r

?_A_D___2

??~——9

AO3

又?.?PA=2PB,

ΛAB=3PB

.PA2

??-

AB3

.?.DPIIOB

.?.ZODP=ZCOB,ZOPD=ZPOB

XVZODP=ZOPD,

.?.ZCOB=ZPOB,

OC=OP

在aCBO與aPBO中，,4cOB=ZPOB,

OB=OB

Λ?CBO^?PBO(SAS)

ΛZOCB=ZOPB=90o,

ΛOP±AB,

即OP為點O到AB的距離，

XVOP=OC,

ΛΔCPD的外接圓圓心o是AABC的等距點

②由①可知，ZkOPA為直角三角形，且NPDC=NBoGOC=OP=r

：在Rt△€)PA中，OA=3r,

AP=J(3r)2—產(chǎn)=2√2r，

???AB=35

二在Rt△ABC中，AC=4r,AB=3√2r?

BC=y]AB2-AC2=√2r,

【點睛】

本題考查了幾何中的新定義問題，涉及了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的內(nèi)容,

范圍較大，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是明確題中的新定義，并靈活根據(jù)幾何知識作出解答.

23、(1)?;(2)抽到標(biāo)有3、6兩個數(shù)字的卡片的概率是

3