拋物線及其標準方程

關于拋物線及其標準方程噴泉第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天復習回顧：

我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：

都可以看作是,在平面內與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡.·MFl0＜e

＜1(2)當e＞1時，是雙曲線;(1)當0<e<1時,是橢圓;(其中定點不在定直線上)lF·Me＞1那么,當e=1時，它又是什么曲線

？·FMl·e=1第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

如圖，點是定點，是不經過點的定直線。是上任意一點，過點作，線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？

提出問題：

MF幾何畫板觀察第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天問題探究：當e=1時，即|MF|=|MH|

，點M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)M·Fl·e=1我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天M·Fl·e=1

在平面內,與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準線|MF|=dd為M到l的距離準線焦點d一、拋物線的定義:第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天解法一：以

為

軸，過點

垂直于

的直線為軸建立直角坐標系（如下圖所示）,則定點設動點點，由拋物線定義得：

化簡得：.M(X,y).xyOFl二、標準方程的推導第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天解法二：以定點

為原點，過點垂直于

的直線為

軸建立直角坐標系（如下圖所示），則定點，的方程為設動點，由拋物線定義得化簡得：二、標準方程的推導第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天l解法三：以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標原點建立直角坐標系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F二、標準方程的推導依題意得這就是所求的軌跡方程.第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天三、標準方程

把方程y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程.其中p為正常數(shù),表示焦點在x軸正半軸上.且p的幾何意義是:焦點坐標是準線方程為:想一想:

坐標系的建立還有沒有其它方案也會使拋物線方程的形式簡單？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)焦點到準線的距離第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)準線方程焦點坐標標準方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)P的意義:拋物線的焦點到準線的距離方程的特點:(1)左邊是二次式,(2)右邊是一次式;決定了焦點的位置.四．四種拋物線的對比第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天P66思考：

二次函數(shù)的圖像為什么是拋物線？當a>0時與當a<0時，結論都為：第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例1（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x

，求它的焦點坐標及準線方程（2）已知拋物線的焦點坐標是F（0，－2），求拋物線的標準方程（3）已知拋物線的準線方程為x=1，求拋物線的標準方程（4）求過點A（3，2）的拋物線的標準方程焦點F(,0)32準線：x=－32x2=－8yy2=－4xy2=x或x2=y4392看圖看圖看圖第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天課堂練習：1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準線方程是x=；（3）焦點到準線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y

或

x2=-4y2、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0焦點坐標準線方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=

-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例2：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如下圖所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處。已知接收天線的徑口（直徑）為4.8m，深度為0.5m。建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線的標準方程和焦點坐標。第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合。

設拋物線的標準方程是，由已知條件可得，點A的坐標是，代入方程，得即所以，所求拋物線的標準方程是，焦點的坐標是第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.標準方程中p前面的正負號決定拋物線的開口方向．1.拋物線的定義:2.拋物線的標準方程有四種不同的形式:每一對焦點和準線對應一種形式.3.p的幾何意義是:焦點到準線的距離第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天（2000.全國）過拋物線的焦點作一條直線交拋物線于，兩點，若線段與的長分別為，則等于（）A.B.C.D.分析：拋物線的標準方程為，其焦點為

.取特殊情況，即直線平行與軸，則，如圖。故第22頁,共25頁，2024年2月25日，星期天xyolF（0,－2）返回解：（2）因為焦點在y軸的負半軸上，并且p2=2，p=4，所以所求拋物線的標準方程是x2=－8y.第23頁,共