2023-2024學(xué)年中考數(shù)學(xué)壓軸題：二次函數(shù)的面積問題【含答案】

專題17二次函數(shù)的面積問題

【考點(diǎn)1］二次函數(shù)的線段最值問題

【例1】(2020?湖北荊門?中考真題)如圖，拋物線=一?》一3與x軸正半軸交于點(diǎn)/,與y軸交

于點(diǎn)B.

(1)求直線A8的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PC_Lx軸，垂足為C,PC交AB

于點(diǎn)。，求P0+8D的最大值，并求出此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

1,5

(3)如圖2,將拋物線￡:y=—/-一x—3向右平移得到拋物線〃，直線Z8與拋物線”交于N兩

"24

點(diǎn)，若點(diǎn)/是線段的中點(diǎn)，求拋物線￡'的解析式.

(5

【答案】(1)直線48的解析式為^二^3^一3,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為一1立211卜(2)當(dāng)x13時，PD+BD

169/、12133

的最大值為二；；(3)y="x---x+—.

32242

【分析】

(1)先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線48的解析式為夕=丘+方，利用待定系數(shù)法求出

AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)D作DE_Ly軸于E,則DEHOA.求得AB=5,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-—<x<4)

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為ED=x,證明ABOES△胡。，由相似三角形的性質(zhì)求出jx,用含x

的式子表示PD,配方求得最大值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);

I|21

（3）設(shè)平移后拋物線￡'的解析式丁=5（》-加）2-五，將U的解析式和直線AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的方

（3、25

程，設(shè)”（七,凹）,N（X2，%），則X”%是方程一-2[加+4卜+加2一元■=（）的兩根，得到

西+馬=2（加+1）,點(diǎn)4為的中點(diǎn)，芯+4=8,可求得m的值，即可求得口的函數(shù)解析式.

【詳解】

（1）在y一*x-3中，

-24

153

令y=0,則-x~—x—3—0,解得X]=—,x—4,

2422

/.4（4,0）.

令x=0,則夕=一3,3（0,-3）.

k=)

4k+b=0

設(shè)直線的解析式為夕=6+6,則｛,、，解得：＜4,

b=-3

b=—3

3

二直線,8的解析式為八二一3.

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(2)如圖，過點(diǎn)D作DE，歹軸于E,則DE//OA.

*/OA—4,OB—3,

?#-AB=y]OA2+OB2=V42+32=5-

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,e/——x—3^—<x<4^j,

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為卜，x-3),

ED=x.

DEHOA,

ABDES.BAO,

.BDED

--=-----，

BAOA

.BDx

??一,——.—.，

54

BD——x.

4

Ii'：jPD=_x—3—\—x'—x—3|=—x~+lx,

4l24J2

/.PD+BD-——x2+2x+—x--—x2+—x=--fx-旦］+169

24242(4J32

V--<0,2Vx<4,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知:

24

當(dāng)》=上時，尸。+8。的最大值為"2.

432

57

32

1io]

（3）設(shè)平移后拋物線￡'的解析式丁=5口一加）2-五,

y=-x-3

4

聯(lián)立1,1211

y=-（x-m）2-----

I232

3、1,、2⑵

??一x-3=-（x-HI）----，

4232

整理，得：x~—jx+nr-----0,

I4；16

（3、75

設(shè)M（XQJ,N（X2，%）,則占戶2是方程一-2［加+^卜+/一記=0的兩根，

/.七+》2=2（加+'）.

而“為腦V的中點(diǎn)，；.XI+X2=8，

2（機(jī)+1）=8,解得：m=^-.

1（n^21711q

拋物線〃的解析式y(tǒng)=-\x----=-x2-—x+~.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

【變式J-1］（2020?前郭爾羅斯蒙古族自治縣哈拉毛都鎮(zhèn)蒙古族中學(xué)九年級期中）如圖，二次函數(shù)

y-x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)4（-3,0）,5（1,0），交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)P（m,0）是x軸上的一動點(diǎn)，PM_Lx

軸，交直線ZC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N.

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)①若點(diǎn)P僅在線段/。上運(yùn)動，如圖1.求線段的最大值；

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使以M,N,C,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.若存在，

請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9r-t-

2

【答案】⑴y=x+2x-3；(2)②存在，Qx(0,-3V2-1),(0,-1),(0,3V2-1)

【分析】

(1)把/(一3,0),5。,0)代入>；=/+/+。中求出13,￡：的值即可；

(2)①由點(diǎn)P(〃7,O)得?A/(〃?,Tn-3),N(加,加2+2加-3),從而得MV=(-加-3)-(加？+2團(tuán)一3),整

理，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；

②分MN=MC和MC=?MN兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可.

【詳解】

解：(1)把4—3,0),8(1,0)代入yuf+bx+c中，得

0=9一36+c,

<

0=1+x+c

?>*y—+2x—3.

(2)設(shè)直線/C的表達(dá)式為y=H+把4(一3,0),。(0,-3)代入y=+

0=—3k+b,k=-1,

得,解這個方程組,

—3=b.b=-3.

:?y——x—3.

二點(diǎn)尸(孫0)是x軸上的一動點(diǎn),且軸.

.二-3),N(m,后+2加一3).

MN=(一加一3)—(川+2加一3)

=-m2-3m

(3丫9

I2J4

*.*<7=—1<0,

???此函數(shù)有最大值.

3

又??,點(diǎn)P在線段。4上運(yùn)動，且一3<一-<0

2

39

，當(dāng)陽二一一時，MV有最大值一.

24

②???點(diǎn)P（九0）是x軸上的一動點(diǎn)，口.尸軸.

/.-3）,Nm2+2加-3）.

/.MN=（一加一3）-（加之+2加—3）=-m2-3m

（i）當(dāng)以M,N,C,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC,如圖,

???MC=J（陽一Op+（—加—3+3）2二

??—m2-3m=y12m2

整理得，/+6/7?3+7/=0

???加2。0，

m2+6加+7=0，

解得，mx=—3+5/2,m2=—3—V2

???當(dāng)加=-3+后時，CQ=MN=30—2,

A0Q=-3-(3底一2尸-36-1

???Q(o.-3V2-I)；

當(dāng)m=-3-V2時,CQ=MN=-38-2，

A0Q=-3-(-372-2)=372-1

???Q(0.3V2-1)；

an若MC=8MN，如圖，

**'H0，

,m2+6/〃+5=0，

解得，m[=-\,m2=-5

當(dāng)m=-l時，MN=CQ=2,

???Q(0,-1),

當(dāng)m=-5時，MN=-10V0(不符合實際，舍去)

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2/0,-372—1),4(0,-1)，。3(0,30-1)

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函

數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺

漏.

【變式J-2】如圖1,已知拋物線y=-x2+mx+m-2的頂點(diǎn)為A,且經(jīng)過點(diǎn)B（3,-3）.

（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)

（2）若P是拋物線上且位于直線0B上方的一個動點(diǎn)，求AOPB的面積的最大值及比時點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）如圖2,將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C,D兩點(diǎn),

請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交08與點(diǎn)°,求出直線BP的解析式，表示出點(diǎn)0的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面

積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得尸點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與。/的解析式，可得C、。點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股

定理，可得答案.

【詳解】

解：（1）把B（3.-3）代入y=-x2+mx+m2得：-3=-32+3m+m2,

解得m=2,

y=-x2+2x=-（x+1）2+1,

.,.頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,1）；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q

,直線OB的解析式為y=-x,

故設(shè)P(n,-n2+2n),Q(n,-n),

/-PQ=-n2+2n-(-n)=-n2+3n,

.1z2q、3z3-27

??SQOPB=—(-rr+3n)=--(n--；

A2228

當(dāng)n=J■時，SAOPB的最大值為

28

止匕時y=-n24-2n=—,

；.p(4-4)；

24

(3)?.?直線OA的解析式為y=x,

二可設(shè)新的拋物線解析式為y=-(x-a)2+a,

聯(lián)立卜-(x-aV+a,

尸a

-(x-a)2+a=x,

/.xi=a,X2=a-1,

即C、D兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的差為1,

ACD=V2-

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一

次函數(shù)的交點(diǎn)問題，難度適中，是常見題型.

【考點(diǎn)2］二次函數(shù)的面積定值問題

【例2】已知二次函數(shù)y=x?-2/MX+4/M-8.

（1）圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,1）時，則〃?=；

（2）當(dāng)x<2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求機(jī)的取值范圍;

(3)以拋物線>=--2加x+4加-8的頂點(diǎn)/為一個頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形/MV(M,N兩點(diǎn)

在拋物線上)，請問：ZUMN的面積是與機(jī)無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

【答案】(1)4；(2)m>2；(3)A4M7V的面積是與“無關(guān)的定值，S-AMN=3JL

【解析】

【分析】

(1)將點(diǎn)(1,1)代入二次函數(shù)解析式即可求出m：

(2)求出二次函數(shù)的對稱軸為x=m,由拋物線的開H向上，在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可求

出m的取值范圍；

(3)在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，可得到aAMN的面積是

與m無關(guān)的定值.

【詳解】

解：(1)將點(diǎn)(1,1)代入y=x?-2加x+4加一8可得：1=1-2〃?+4?〃一8,

解得：m=4；

(2)二次函數(shù)卜=》2-2/nx+4加一8的對稱軸是：x=m,

當(dāng)x<2時、函數(shù)值y隨x的增大而減小，

(3)A4MN的面積是與加無關(guān)的定值；

如圖：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,-m2+4m-8),aAMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，MN交對稱軸于點(diǎn)B,

AB_rr

tanZAMB=tan60°=---=A/3.

BM

.\AB=73BM=V3BN,

設(shè)BM=BN=a,則AB=JJa,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m+a,-J3a-m2+4m-8),

?.?點(diǎn)M在拋物線上，

JJa-m2+4m-8=(m+a)2-2m(m+a)+4m-8,

整理得：a2~y/3a=0>

解得：a=百或a=0(舍去)，

AAAMN是邊長為2Ji的正三角形，

AB=3,SAAMN=—x2^3x3=3A/3,與m無關(guān).

2

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，

其中(3)問有一定難度，根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上，求出正三角形的邊長是解題關(guān)鍵.

【變式2-1](2020?湖南九年級其他模擬)若拋物線/：y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a#0)與直線/：y

=ax+6滿足a2+〃=2a(2c-b),則稱此直線/與該拋物線乙具有“支干”關(guān)系.此時，直線/叫做拋物線

L的''支線”，拋物線乙叫做直線/的“干線”.

(1)若直線y=x-2與拋物線'="2+金+0具有“支干”關(guān)系，求“干線”的最小值；

(2)若拋物線尸N+bx+c的“支線”與尸-”的圖象只有一個交點(diǎn)，求反比例函數(shù)的解析式；

x

(3)已知“干線”Pna^+bx+c與它的“支線”交于點(diǎn)P,與它的“支線”的平行線/'：y=ax+4a+b交于

S

點(diǎn)/,B,記△/8P得面積為S,試問：)的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理

由.

311

【答案】（1）--：（2）y—--或、=——；（3）是定值，理由見解析.

4x9x

【分析】

（1）根據(jù)“支干”關(guān)系的定義，求出小仄。的值，利用配方法確定函數(shù)的最值.

y=x+b

（2）由題意。=1,1+加=2（2c-8）①，可得拋物線、=/+以+。的“支線”為y=x+6,由一士消去v

y=—

IX

得到x*12+34bx+4c=0,由拋物線y=x2+bx+c的“支線”與y=——

x

的圖象只有一個交點(diǎn)，可知△=（）,得〃-16c=0②，由①②解方程組即可解決問題.

（3）小的值是定值.不妨設(shè)40,如圖所示，尸加+瓜+。與它的，，支線，咬y軸于0,直線產(chǎn)ax+4〃+b

與歹軸交于點(diǎn)。，A（xi,yi）,B（必二），

y=ax+bx+ca-bc-4a-b

由<,消去y得至（b-a）x+c-4a-b=0,推出為+必=----，x\X2=----------,

y=ax4a+haa

推出團(tuán)-X2|=J（X]+X,）2_4須入2=J（ab，-4匕-

Vaa

-2ab+b~-4〃。+16。2+4a6，把a(bǔ)2+〃=2〃（2c-b）代入上式化簡卜一引=4，由N3〃PC,

可得S=SA〃8=SAC48=SAC06-—Ax\=—?|4a|?4=8?同，由此即可解決問題.

【詳解】

解：(1)由題意a=l,b=-2?1斗(-2)』2(2c+2),解得c=—?

4

...拋物線的解析式為y=9-2x+-,

4

3

Vy=x2-2x+-

4

13

—=(x-1)2----,

44

??Z=l>0,

3

.”=1時，y有最小值，最小值為?一.

4

(2)由題意a=l,1+〃=2(2c-6)①

???拋物線y=/+fcc+c的“支線”為y=x+b,

y=x-it-h

由，＜4?消，消去y得到x2-^bx+4c=0,

y=-

X

?拋物線》=<+瓜+C的“支線”與y=--的圖象只有一個交點(diǎn),

x

***△=0?

：.b2-16c=0②

121

由①②可得6=-2,c=—或6=—,c=—,

4336

???反比例函數(shù)的解析式為丁=-,或n=-

x9x

s

（3）同是定值.理由如下：

不妨設(shè)〃>0,如圖所示，、=加+加;+《與它的“支線”交y軸于C,直線歹=ox+4〃+b與y軸交于點(diǎn)。，/（笛,

?|）,B（X2，/），

y=ax2+bx+c

由<得至I」ax2+(b-a)x+c-4a-6=0,

y=QX+4。+6

a-bc—4a—h(a-b)24(c-4a-b)

??X1+X2=，X\X2=------------，\X\-X2\=

aaa

a2-2ab+b2-4ac+16a2+4ab

把必廿=2〃(2c-b)代入上式化簡得到M-閱=4,

■:AB〃PC,

?PABCABDBCDA=9=9。卜?同，

:S=S^=S&=S?~S^*CD\BX~AX\\544=8

§S

，同=8,同的值是定值.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元一次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知

識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程組解決問題，學(xué)會用分割法求三角形的面積.

【變式2-2】(2020?山東濟(jì)南?中考真題)如圖1,拋物線夕=-爐+bx+c過點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)、B(3,0)

與y軸交于點(diǎn)C.在x軸上有一動點(diǎn)0)(0<w<3),過點(diǎn)E作直線軸，交拋物線于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)機(jī)=1時，。是直線/上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△/CO是以為底角的等腰三角形，求點(diǎn)D

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接8M并延長交y軸于點(diǎn)M連接4M,OM,設(shè)的面積為S,△MON的面積為S?,

若S=2S2,求機(jī)的值.

【答案】(1)y=—x2+2x+3,C(0,3)；⑵(1,1)或。，指卜(3)V7-2

【分析】

(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)若△/CO是以為底角的等腰三角形，則可以分CD=4?；?C=4。兩種情況，分別求解即可;

(3)S\=—AEy.y,2s2=ON?X”，即可求解.

2M

【詳解】

I-l-b+c=O

解：（1）將點(diǎn)/、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得〈c.LC

[-9+3b+c=0

b=2

解得《、，

c=3

故拋物線的表達(dá)式為y=-X2+2X+3,

當(dāng)x=0時，y=3,故點(diǎn)C（0,3）：

（2）當(dāng)m=l時，點(diǎn)E（1.0）,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,a）,

由點(diǎn)/、C、。的坐標(biāo)得，AC=J（0+1『+（3-0/二而

2

同理可得：AD=y/a+4.CQ=Jl+（a-3『,

①當(dāng)時，即6+4=Jl+（a-3）2,解得。=1；

②當(dāng)4c=力。時，同理可得。=±斯（舍去負(fù)侑）：

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,1）或（1,、%）：

(3)'：E(w,0),則設(shè)點(diǎn)-m2+2m+3),

-m2+2m+3=sm+t

設(shè)直線8W的表達(dá)式為_y=sx+/,則

0=3s+t

1

s=----

m+1

解得：

3

t=——

m+1

13

故直線3W的表達(dá)式為y=-----x+——

m+1m+1

3

當(dāng)x=0時，y=——,故點(diǎn)N(0,——),則ON=——；

m+1m+1m+1

Si=-xAEXy=-X(加+1)X(-"產(chǎn)+2加+3),

2M2

31

2

2s2=ON*XM=-------Xm=S\=-X(掰+1)X(-m+2m+3),

m+12

解得用=-2±Jf（舍去負(fù)值）,

經(jīng)檢驗用=近-2是方程的根,

故機(jī)=J7-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，其中(2),

要注意分類求解，避免遺漏.

【考點(diǎn)3］二次函數(shù)的面積最值問題

【例3】(2020?四川綿陽?中考真題)如圖，拋物線過點(diǎn)A(0,1)和C,頂點(diǎn)為D,直線AC與拋物線的

對稱軸BD的交點(diǎn)為B(,0),平行于y軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)F的

橫坐標(biāo)為生8,四邊形BDEF為平行四邊形.

3

(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)aPAB面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及aPAB面積的

最大值；

(3)在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)Q,同時在拋物線上取一點(diǎn)R,使以AC為一邊且以A,C,Q,R為頂點(diǎn)

的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo).

脩用圖)

【答案】(1)(—V3,--)；y=_X2+2.^3X+1(2)(—VJ,—)；-—y/i

3361224

R(-—或Q(Ji，-10),R(與6,一日)

【分析】

(1)由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-立x+1,求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出-

3

3a+l=—a-8a+l-(--求出a的值，則可得出答案；

33

(2)設(shè)P(n,-n2+2V3n+l),作PP'_Lx軸交AC于點(diǎn)P',則P，(n,-也n+1),得出PP，=-M+Zjin,

33

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案：

7I-4

(3)聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C<-V3,--),設(shè)Q(JJ,m),分兩種情況：①當(dāng)AQ為對

角線時，②當(dāng)AR為對角線時，分別求出點(diǎn)Q和R的坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax?+bx+c(a/0),

VA(0,1),B(50),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m,

.V3k+m=0

??<，

m=1

［一也

解得J-3，

m=1

.??直線AB的解析式為y=-3x+1,

3

丁點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為生

3

F點(diǎn)縱坐標(biāo)為-乂3*生叵+1=-—,

333

4I-1

F點(diǎn)的坐標(biāo)為(—>/3,--

33

又???點(diǎn)A在拋物線上，

Ac=L

對稱軸為：x=--=V3,

2a

；.b=-273a>

，解析式化為：y=ax?-2JJax+1,

???四邊形DBFE為平行四邊形.

，BD=EF,

/--3a+l=—a-8a+l-(---),

33

解得a=-1,

，拋物線的解析式為y=-x?+2jix+l；

(2)設(shè)P(n,-/+2011+1),作PP'_Lx軸交AC于點(diǎn)P,

則P(n,-^^n+l),

3

當(dāng)n=—時，AABP的面積最大為—,此時P(—Vs,—).

624612

"丁+1

(3)

y=-x2+2y/3x+l

7

Ax=O或x=—,

3

AC(-V3,--)

33

設(shè)Q(73?m),

①當(dāng)AQ為對角線時，

47

.*?R(——7r3,mT—),

33

；1＜在拋物線丫=一0：—右)2+4匕

②當(dāng)AR為對角線時，

R(—10>/3,m—7).

33

：R在拋物線y=—(x—JJy+4h,

m--=5/3—5/3J+4，

解得m=-10.

.r、10/T37

.?Q（5/3，-10）,R（—73,----）.

33

綜上所述，—1），R（一§J^,--11或Q（y/3,-10）,R（與JJ,一子）.

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊

形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1】（2020?重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/+bx+c與直線AB相

交于A,B兩點(diǎn),其中）（一3,-4）,5（0,-1）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA,PB,求△PZ8面積的最大值；

（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y=qx2+4x+q（q。0）,平移后的拋物線與原拋物

線相交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)8,C,D,E

為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

27

【答案】(1)y=x2+4x-l；(2)△248面積最大值為——；(3)存在,

8

5](-1,2),與(_3,_4+廂,￡3(-3,-4-^),E4(l,-3)

【分析】

(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

⑵設(shè)”8=依+6,求得解析式，過點(diǎn)P作x軸得垂線與宜線AB交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)產(chǎn)(凡二+4”1),則

船+|)々，即可求解;

(3)分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可.

【詳解】

解：(1)?.?拋物線過/(-3,T),5(0,-1)

9—3b+c=—4

(2)設(shè)加=Ax+b,將點(diǎn)2(-3,-4)8(0,-1)代入乃B

?-yAB=x-i

過點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F

設(shè)點(diǎn)尸(a,/+4a-l),則FQa-l)

由鉛垂定理可得

S*AB=；1尸尸?園一北|

-^a-\-a2-4a+lj

=|(-。2-3。)

?'?面積最大值為—

8

(3)(3)拋物線的表達(dá)式為：y=x2+4x-l(x+2)2-5,

則平移后的拋物線表達(dá)式為：y=x2-5,

x=-l

聯(lián)立上述兩式并解得：｛，，故點(diǎn)C(,-4)：

y=-4

設(shè)點(diǎn)D(-2,m)、點(diǎn)E(s,t),而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(0,-1)、(-1,-4)；

①當(dāng)BC為菱形的邊時，

點(diǎn)C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B,同樣D(E)向右平移1個單位向上平移3個單位得到E

(D),

即-2+l=s且m+3=t①或-2T=s且m-3=t@,

當(dāng)點(diǎn)D在E的下方時，則BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32@,

當(dāng)點(diǎn)D在E的上方時，則BD=BC,即22+(m+1)2=12+32④,

聯(lián)立①③并解得：s=-1,t=2或-4(舍去—4),故點(diǎn)E(―1?2)；

聯(lián)立②④并解得：s=-3,t=-4土卡，故點(diǎn)E(-3,-4+76)或(-3,-4-76)；

②當(dāng)BC為菱形的的對角線時，

則由中點(diǎn)公式得：-l=s-2且-4-1=m+t@,

此時,BD=BE,即22+(m+1)2=s2+(t+1)2@,

聯(lián)立⑤⑥并解得：s—1,t——3,

故點(diǎn)E(1,-3),

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(7,2)或(-3,-4+痣)，或(-3,-4-#)或(1,-3).

二存在,E,(-l,2),G(-3，-4+廂，芻(-3,-4-病,司(1，-3)

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計算等，其

中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

【變式3-2】(2020?江蘇宿遷?中考真題)二次函數(shù)少=4/+裊+3的圖象與x軸交于A(2,0),B(6,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)C時，求點(diǎn)D的坐

標(biāo)；

(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，連接OP,取OP中點(diǎn)Q,連接QC,QE,CE,當(dāng)aCEQ

的面積為12時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖①圖②

【答案】(1)^=,——2X+3；(4,-1)；(2)(4,3+J^)或(4,3-729)；(3)(10,8)或(一6，24)

4

【分析】

(1)由于二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a/+bx+3,計

算出a的值即可求出拋物線解析式，由配方法求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出CB=CD,設(shè)D(4,m),由勾股定理可得4z+(加-3)2=62+3?,解方

程可得出答案；

(3)設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,設(shè)P(”,2〃+3),則Q(；〃，］/一2〃+|),設(shè)直線CQ

131111?

的解析式為JV=H+3,則一〃2〃H—=—nk+3,解得上=—n—2—，求出M(4,n—5----),

8224nn

12

ME=〃-4一一，由面積公式可求出n的值，則可得出答案.

n

【詳解】

(1)將A(2,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+3,

4a+2b+3=0

得《，

36a+66+3=0

解得《“一一履

b=—2

1,

...二次函數(shù)的解析式為y=-2x+3；

ii,

■：y=-x2-2x+3=-(x-4Y,

44V)

，E(4,-1)；

⑵如圖1,圖2,連接CB,CD,由點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線CN上，得CB二CD,

圖1圖2

設(shè)D(4,m),

當(dāng)x=0時，y=-x2-2x+3-3,

4

.?.C(0,3),

VCD2=CB2,由勾股定理可得：

42+(/M-3)2=62+32，

解得m=3土回，

,滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3+J而)或(4,3-729)；

⑶如圖3,設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M,

圖3

設(shè)P(〃，—n2-2?+3),則Q(^w,-n2-n+—'),

4282

i3i

設(shè)直線CQ的解析式為歹=丘+3,則一〃2一〃+一=一〃左+3,

822

13

解得后=一〃一2——,

4n

于是直線CQ的解析式為：歹=(；〃-2—jx+3,

71c3)、「12

當(dāng)x=4時，y=4|一〃-2——|+3="-5,

\4n)n

M(4，n-5----),ME=n-5-----bl=〃-4----,

nnn

SACQE=SACEM+SAQEM=-ME-Xp=—?—4----x—?=12,

22vnJ2

n~-4/7-60=0-

解得〃=10或N=-6,

當(dāng)〃=10時，P(10,8),

當(dāng)〃=-6時，P(-6.24).

綜合以上可得，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,8)或(-6,24).

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，二角

形的面積；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4］二次函教面積的其它問題

【例4】(2020?遼寧鞍山?中考真題)在矩形4SCZ)中，點(diǎn)E是射線3c上一動點(diǎn)，連接ZE,過點(diǎn)5作

BFLAE于點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)凡

(1)當(dāng)矩形力38是正方形時，以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)在正方形力BCD的外部作等腰直角三角形CEH,連

接EH.

①如圖1,若點(diǎn)E在線段8C上，則線段ZE與E"之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是：

②如圖2,若點(diǎn)E在線段8c的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請

說明理由；

(2)如圖3,若點(diǎn)E在線段5c上，以BE和BF為鄰邊作口BEHF,M是8〃中點(diǎn)，連接G",AB=3,

BC=2,求GM的最小值.

【答案】(1)①相等；垂直；②成立，理由見解析；(2)Ml

13

【分析】

(1)①證明aABE絲Z\BCF,得到BE=CF,AE=BF,再證明四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結(jié)果;

②根據(jù)(1)中同樣的證明方法求證即可；

(2)說明C、E、G、F四點(diǎn)共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設(shè)BE=x,證明△ABES/\BCF,

得到CF,再利用勾股定理表示出EF=^X2-4X+4，求出最值即可得到GM的最小值.

【詳解】

解：(1)①?.?四邊形ABCD為正方形，

，AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,即/BAE+NAEB=90°,

VAE±BF,

AZCBF+ZAEB=90°,

.".ZCBF=ZBAE,又AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

.,.△ABE^ABCF(AAS),

；.BE=CF,AE=BF,

VAFCH為等腰直角三角形，

r.FC=FH=BE,FH±FC,而CD_LBC,

，F(xiàn)H〃BC,

四邊形BEHF為平行四邊形，

，BF〃EHA.BF=EH,

；.AE=EH,AE1EH,

故答案為：相等；垂直；

②成立，理由是：

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，

同理uj■得：AABE^ABCF(AAS),

，BE=CF,AE=BF,

???△FCH為等腰直角三角形，

，F(xiàn)C=FH=BE,FHLFC,而CD_LBC,

，F(xiàn)H〃BC,

...四邊形BEHF為平行四邊形,

.?.BF〃EH且BF=EH,

AAE=EH,AE1EH；

(2)VZEGF=ZBCD=90°，

；.C、E、G、F四點(diǎn)共圓,

?.,四邊形BCHF是平行四邊形，M為BH中點(diǎn),

也是EF中點(diǎn),

AM是四邊形BCHF外接圓圓心,

則GM的最小值為圓M半徑的最小值,

VAB=3,BC=2,

設(shè)BE=x,貝lJCE=2-x,

同（1）可得：ZCBF=ZBAE,

又；NABE=NBCF=90°,

.".△ABE^ABCF,

.ABBE3x

---=----,即p1n一=----，

BCCF2CF

2x

???CF=—，

3

AEF=7C￡2+CF2

2x

(2-X)2+

@--4x+4,

9

設(shè)y=-X2-4x+4,

9

當(dāng)乂=電時，y取最小值”,

1313

.?.EF的最小值為生叵,

13

故GM的最小值為冬叵.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，

圓的性質(zhì)，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1】(2020?湖北中考真題)已知拋物線y=&.1：-2a1+。過點(diǎn)4(一：1,0萬口。0,3),與x軸交于另一

點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖1,E為線段BC上方的拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)F1SC,垂足為F,E.V1*軸，垂足為M,交BC于點(diǎn)G.當(dāng)

BG=CF時，求AEFG的面積;

(3)如圖2,4c與BD的延長線交于點(diǎn)H,在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使40P3=""B?若存

在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

IX

ykH

D

D

E

G

A

A/OMB->

XA/Ox

圖

1圖2

【答案】(I)y=-必+