數(shù)學｜山西省大同市2024屆高三上學期10月月考數(shù)學試卷及答案

第1頁/共6頁山西省大同市2024屆高三上學期第二次摸底（10月）數(shù)學試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=z的虛部為()A.B.C.iD.i3.命題p:所有的偶數(shù)都不是素數(shù)，則軍p是()A.所有的偶數(shù)都是素數(shù)B.所有的奇數(shù)都是素數(shù)C.有一個偶數(shù)不是素數(shù)D.有一個偶數(shù)是素數(shù)4.下列函數(shù)中最小值為6的是()2一xD.y5.已知某音響設(shè)備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個部件能否正常工作相互獨立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當且僅當A與B至少有一個正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個正常工作.則聽不到聲音的概率為()第2頁/共6頁A.0.19738B.0.00018C.0.01092D.0.098282024A.2023B.2024C.2027D.40467.設(shè)函數(shù)f(x)=xln(x+)，則使得f(x)>f(3x-1)成立的x的取值范圍是()(1)(1)(11)(1)(1)(11)8.已知點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，P(-2,0)，過F斜率為1的直線交拋物線于M，N兩點，且.=16，若Q是拋物線上任意一點，且=λ+μ(λ,μeR)，則λ+μ的最小值是A.0B.C.D.1符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.C.(+)」D.向量,在向量方向上的投影向量互為相反向量10.下列選項中，滿足a>b的有()A.a=logπ2.7,b=logπ2.71=0.72.40.5,b0.5第3頁/共6頁A.Φ=2B.,是函數(shù)f(x)的一個遞減區(qū)間C.x=-是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)f(x)在區(qū)間-,上的最大值是12.定義在(0,+m)上的函數(shù)f(x)滿足xf，(x)+f(x)=，則()eπB.若f(2)=，則x=2為f(x)的極值點C.若f(1)=e，則x=1為f(x)的極值點D.若f(1)<e，則f(x)在(0,+m)上單調(diào)遞增2(x234(x456(x6，則a514.曲線y=ex的一條切線的斜率為1，則該切線與坐標軸圍成的三角形的面積為.15.已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的焦點F1,F2，離心率分別為e1,e2，且+=2，若P是兩條曲線16.已知函數(shù)f(x)=滿足f(x)=f(|（-，則a=，若|f(x)|>m，則m的取值范圍第4頁/共6頁f(x)=.-.（1）求使f(x)之0成立的x的集合；（2）若先將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求y=g(x)-在區(qū)間-,內(nèi)的所有零點之和.18.在銳角ΔABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，從條件①、條件②中選一個作為已知條件①：acosC+ccosA=2bcosA；條件②：(sinB-sinA).(a+b)=sinC.(b-c).（1）求角A；（2）當a=2時，求b+c的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分B1BD為線段AB的中點，AC1與平面AA1B1B所成的角為30。.（1）證明：BC1//平面A1CD；（2）求平面A1CD與平面A1BC1夾角的余弦值.20.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a5=-4,a6=1，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=3bn-3,neN*.（1）求數(shù)列{an},{bn}的通項公式；（2）設(shè){cn}滿足cn=anbn，記{cn}的前n項和為Tn，若Tn<λcn+21對任意ne**恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.21.已知函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在x0eD，使得f(x0)=x0，則稱x0為f(x)的一階不動點；如果第5頁/共6頁存在x0eD，使得f(f(x0))=x0，且f(x0)牛x0，則稱x0為f(x)的二階周期點.（1）函數(shù)f(x)=(a牛0)是否存在一階不動點與二階周期點？（2）若函數(shù)f(x)=ax2一(aeR,xeR)存在一階不動點，不存在二階周期點，求實數(shù)a的取值范圍.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)存在極值點，其極大值點為x1，最大的零點為x2，判斷x2與x的大小關(guān)系，并證明.第1頁/共23頁山西省大同市2024屆高三上學期第二次摸底（10月）數(shù)學試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算，即可求得答案.故選：D2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=1+i，則復(fù)數(shù)的虛部為()zA.B.C.iD.i【答案】B【解析】1【分析】先求出，進而結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義求解即可.z 第2頁/共23頁所以復(fù)數(shù)的虛部為z4故選：B.3.命題p:所有的偶數(shù)都不是素數(shù)，則軍p是()A.所有的偶數(shù)都是素數(shù)B.所有的奇數(shù)都是素數(shù)C.有一個偶數(shù)不是素數(shù)D.有一個偶數(shù)是素數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定求解即可.【詳解】因為命題p:所有的偶數(shù)都不是素數(shù)，所以軍p是：有一個偶數(shù)是素數(shù)故選：D.4.下列函數(shù)中最小值為6的是()2一xD.y【答案】C【解析】【分析】A.由x<0時判斷；B.令t=|sinx|E(0,1]，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解判斷；C.令t=3x>0，利用基本不等式求解判斷；D.由0<x<1時判斷.【詳解】A.當x<0時，顯然不成立，故錯誤；故選：C5.已知某音響設(shè)備由五個部件組成，A電視機，B影碟機，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個部件能否正常工作相互獨立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當且僅當A與B至少有一個正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個正常工作.則聽不到聲音的概率為()第3頁/共23頁A.0.19738B.0.00018C.0.01092D.0.09828【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)獨立事件概率公式求能聽到聲音的概率，再利用對立事件概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)能聽到聲音為事件M，則P(M)=1-P(AB).P(C)1-P(DE)所以聽不到聲音的概率P(M)=1-0.80262=0.19738.故選：A2024A.2023B.2024C.2027D.4046【答案】C【解析】以2為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項即可得解.12an+2由②-①得an+2-an=2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為公差的等差數(shù)列，2第4頁/共23頁20242故選：C.)，則使得f(x)>(3立的x的取值范圍是()(1)(1)(11)(1)(1)(11)【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)f(x)=xln(x+)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式.【詳解】f(x)=xln(x+)，故f(x)=xln(x+)的定義域為R，所以函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù)，故選：B8.已知點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，P(一2,0)，過F斜率為1的直線交拋物線于M，N兩點，且.=16，若Q是拋物線上任意一點，且=λ+μ(λ,μER)，則λ+μ的最小值是1A.0B.3【答案】AC. 2D.1第5頁/共23頁【解析】【分析】根據(jù)直線與拋物線聯(lián)立可得韋達定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算可得p=4，進而根據(jù)向量線性運算的坐標表示，即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.(p)p【詳解】由題意可得F|（2,0)|，所以直線MN的方程為y=(p)p1)2，1-化簡得2x1x2+2)即p2-8p+16=0,解得p=4,12,x1x2設(shè)Q(x0,y0),則0因此x0+2μ且y0=λy1+μy2=λ(x1-2)+μ(x2-2)=λx1-2λ+μx2-2μ,因此可得x0+2-y0=4λ+4μ,λ+μ的最小值為0，故選：A2y0-2y08(y0-4)2-16+20=4時取到等號，故8符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.第6頁/共23頁C.(+)」D.向量,在向量方向上的投影向量互為相反向量【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量垂直、平行、投影向量等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.所以B選項正確，C選項錯誤.bbbb在上的投影向量為故選：AB10.下列選項中，滿足a>b的有()A.a=logπ2.7,b=logπ2.71=0.72.40.5,b0.5【答案】BCD【解析】【分析】利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性逐項比較大小即可.【詳解】對于A，函數(shù)y=logπx在(0,+偽)上單調(diào)遞增，則logπ2.7<logπ2.71，即a<b，A不滿足；對于B，函數(shù)y=log0.3x在(0,+偽)上單調(diào)遞減，則0<log0.30.2<l即有>，因此log0.20.3>log0.10.3，即a>b，B對于C，函數(shù)y=0.7x在R上單調(diào)遞減，則0.72.3>0.72.4，即a>b，C滿足；對于D，函數(shù)y=x0.5在(0,+偽)上單調(diào)遞增，則1.90.5>1.80.5，即a>b，D滿足.故選：BCD第7頁/共23頁A.Φ=2B.,是函數(shù)f(x)的一個遞減區(qū)間C.x=-是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)f(x)在區(qū)間-,上的最大值是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像依次分析出A,Φ,Q，然后再判斷對稱軸，單調(diào)區(qū)間，最值等問題【詳解】由圖可知f(x)最大值為1，最小值為-1，所以A=1；(π)(π)(π)(π)對于A：由上面結(jié)論知道A正確；對于B：x=,時2x+=,π,f(x)在該區(qū)間不是單調(diào)遞減函數(shù)，B錯誤；對于C：x=-時2x+=-，是函數(shù)f(x)的一條對稱軸，C正確；第8頁/共23頁 6π「ππ)對于D：x=|L-6, 6π「ππ)故選：AC「ππ)=|L-6,「ππ)，故D錯誤.12.定義在(0,+偽)上的函數(shù)f(x)滿足xf,(x)+f(x)=，則()eπB.若f(2)=，則x=2為f(x)的極值點C.若f(1)=e，則x=1為f(x)的極值點D.若f(1)<e，則f(x)在(0,+偽)上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】令g(x)=xf(x)且x=(0,+偽)，結(jié)合已知可得g,(x)>0，即可判斷A；將已知條件化為f,(x)=且x=(0,+偽)，再令h(x)=ex-xf(x)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性得h(x)之h(1)=e-f進而判斷B、C、D.【詳解】令g(x)=xf(x)且x=(0,+偽)，則g,(x)=f(x)+xf,(x)=>0，所以g(x)在(0,+偽)上遞增，則g(π)>g(e)牽πf(π)>ef(e)牽>，A對；令h(x)=ex-xf(x)，則h,(x)=ex-f(x)-xf,(x)=ex(1-)，當0<x<1時h,(x)<0，即h(x)遞減；當x>1時h,(x)>0，即h(x)遞增；f若f(2)=，則h(2)=e2-2f(2)=0>h(1)，所以(1,2)上f,(x)=<0，f(x)遞減；(2,+偽)上f,(x)=>0，f(x)遞增；故x=2為f(x)的極值點，B對；第9頁/共23頁若f(1)=e，則h(x)之0，即f,(x)之0，故f(x)在(0,+偽)上遞增，故x=1不是f(x)的極值點，C錯；若f(1)<e，則h(x)>0，即f,(x)>0，故f(x)在(0,+偽)上單調(diào)遞增，D對.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于B、C、D，由f,(x)=ex(x)且xe(0,+偽)，并構(gòu)造h(x)=ex一xf(x)且應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和極值為關(guān)鍵.2(x234(x456(x6，則a5【答案】6【解析】26，結(jié)合二項展開式的通項公式，即可求解.234(x456，故答案為：6.14.曲線y=ex的一條切線的斜率為1，則該切線與坐標軸圍成的三角形的面積為. 2【解析】##0.5【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出切點坐標及切線方程，再求出面積即得.【詳解】設(shè)斜率為1的直線與曲線y=ex相切的切點為(x0,ex)，x，求導(dǎo)得y,=ex，因此切線斜率為ex0=1，解得x0=0，切點為(0,1)，切線方程為y=x+1，所以該切線與坐標軸圍成的三角形的面積為x1x1=.故答案為：第10頁/共23頁15.已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的焦點F1,F2，離心率分別為e1,e2，且+=2，若P是兩條曲線【答案】【解析】【分析】結(jié)合P為橢圓和雙曲線的公共點，分別根據(jù)定義在橢圓和雙曲線里列PF1和PF2的關(guān)系，表示【詳解】F1F2設(shè)P是兩條曲線第一象限的一個交點，則有PF1+PF2222PF+PF_FF222PF+PF_FF2PF.PFPF1PF PF2PFPF1PF2+(a_m)2_4c22(a+m)(a_m)a22_2c222a_m22a222c22， π 故答案為： π .216.已知函數(shù)f(x)=第11頁/共23頁【解析】【分析】利用f(x)=f(|（-列方程求參數(shù)a，進而寫出f(x)解析式和定義域，定義判斷奇偶性，并得到|f()|=|f(x)|，即有(-偽,-1),(-1,0),(1,0),(1,+偽)上|f(x)|值域均相同，再將問題化為研究x=上m<|f(x)|min，結(jié)合基本不等式求參數(shù)范圍.而f(-x)===-f(x)，即f(x)為奇函數(shù)，所以f=-f(x)牽|f()|=|f(x)|，易知(0,1)和(1,+偽)上|f(x)|值域相同，|f(x)|值域均相同，只需研究x=(1,+偽)上|f(x)|的最小值，即m<|f(x)|min，【點睛】關(guān)鍵點點睛：求參數(shù)范圍時注意判斷f(x)的奇偶性并確定|f(x)|在(-偽,-1),(-1,0),(1,0),(1,+偽)四個區(qū)間上的值域相同，簡化為x=(1,+偽)上m<|f(x)|min為關(guān)鍵.f(x)=.-.（1）求使f(x)之0成立的x的集合；第12頁/共23頁 6π（2）若先將函數(shù)f(x) 6π個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求y=g(x)-在區(qū)間-,內(nèi)的所有零點之和.(keZ)（2）2π【解析】【分析】（1）利于向量的數(shù)量積、三角恒等變換化簡函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可；（2）利用三角函數(shù)的圖象變換及性質(zhì)數(shù)形結(jié)合計算即可.【小問1詳解】由已知可得sinx,-sinx),=(cosx,-sinx)牽f(x)=sinxcosx+sin2x-所以【小問2詳解】sin(2π)sin(2π)再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得函數(shù)g(x)=sinx，1「3π5π]第13頁/共23頁記該四個交點的橫坐標依次為x1,x2,x3,x4，342418.在銳角‘ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，從條件①、條件②中選一個作為已知條（1）求角A；（2）當a=2時，求b+c的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分【解析】 12 12,進而求出角A.（2）通過正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式，最后結(jié)合角的范圍利用三角函數(shù)的值域求解.【小問1詳解】選條件①,因為acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，第14頁/共23頁所以sin(A+C)=2sinBcosA，所以cosA=，整理得b2+c2a2=bc，【小問2詳解】 由正弦定理sinBsinCsinA，2所以b=4sinB，c=4sinC，所以b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(一B)=6sinB+2cosB=4sin(B+)，π62 π ,2所以b+c的取值范圍為(6,4.B1B第15頁/共23頁D為線段AB的中點，AC1與平面AA1B1B所成的角為30。.（1）證明：BC1//平面A1CD；（2）求平面A1CD與平面A1BC1夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解【解析】【分析】（1）設(shè)A1C與AC1的交點為E,連接DE,則DE//BC1，利用線面平行的判斷定理證明即可2）連接AB1,交A1B于O,以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出平面A1CD與平面A1BC1的法向量，然后進行計算即可.【小問1詳解】設(shè)A1C與AC1的交點為E,連接DE,因為D為線段AB的中點,則DE為‘ABC1的中位線，則DE//BC1,所以BC1//平面A1CD.【小問2詳解】第16頁/共23頁又BC」平面AA1B1B,則B1C1」平面AA1B1B,以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，---3---1----------3---1--------+y1,11----設(shè)平面A1BC1的法向量為n2=(x2,y2,z2)，2222--令x2--設(shè)平面A1CD與平面A1BC1夾角為θ,則第17頁/共23頁bb --- ------故平面A1CD與平面故平面A1CD與平面A1BC1夾角余弦值為（1）求數(shù)列{an},{bn}的通項公式；（2）設(shè){cn}滿足cn=anbn，記{cn}的前n項和為Tn，若Tn<λcn+21對任意ne**恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.3,【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及基本量計算和Sn與an的關(guān)系即可；（2）先求出cn的通項，再用錯位相減法求得Tn的值，再由Tn<λcn+21化簡及分類討論、分析函數(shù)的最值求得λ的取值范圍.【小問1詳解】32 1②,32 1②,n13bn1bn1第18頁/共23頁故數(shù)列為以首項為,公比為的等比數(shù)列，:bn=.n_1=n;【小問2詳解】n2n由③-④可得:_Tn=_6+__(n_5).n+1.n要使得Tn<λcn+21對任意nE**恒成立，即3n_21<λ(n_5)，對于函數(shù)y=3_，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知y=3_是在[6,+父)單調(diào)遞增的；所以要使其恒成立，只要λ>(|（3_max，:λ>3，第19頁/共23頁③當n-5<0，有λ<3-，對于函數(shù)y=3-，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知y=3-在[1,4]上單調(diào)遞增，:只要λ<(|（3-min:λ<3-=；綜上:λ的取值范圍為3,.21.已知函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在x0=D，使得f(x0)=x0，則稱x0為f(x)的一階不動點；如果存在x0=D，使得f(f(x0))=x0，且f(x0)士x0，則稱x0為f(x)的二階周期點.（1）函數(shù)f(x)=(a士0)是否存在一階不動點與二階周期點？（2）若函數(shù)f(x)=ax2-(a=R,x=R)存在一階不動點，不存在二階周期點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）存在一階不動點，不存在二階周期點【解析】【分析】（1）根據(jù)一階不動點和二階周期點的定義判斷；（2）將f(x)=ax22-4存在一階不動點轉(zhuǎn)化為方程2=x有解，然后列不等式求a；假設(shè)4f(x)=ax2-