江蘇省蘇州市鐵路中學2022-2023學年高二數(shù)學文期末試題含解析

江蘇省蘇州市鐵路中學2022-2023學年高二數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，在兩個圓盤中，指針在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是

（）（A）．

（B）．

（C）．

（D）．

參考答案：A略2.下列說法錯誤的是（

）A．“”是“”的充要條件B．命題：關于的函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，則C．命題：存在,使得，則：任意,都有D．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”參考答案：A3.橢圓上任意一點到兩焦點的距離分別為d1，d2，焦距為2c，若d1,2c，d2成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為()A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.等比數(shù)列中，公比，記（即表示數(shù)列的前項之積），，，，中值為正數(shù)的個數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位，所得函數(shù)的最小正周期為

A．π

B．2π

C．4π

D．8π參考答案：C略6.若為有理數(shù)），則（

）

A．45

B．55

C．80

D．70參考答案：D略7.下列命題是真命題的是

（A）的充要條件

（B）的充分條件

（C）

（D）若為真命題，則為真參考答案：B8.已知實數(shù)滿足，證明：.參考答案：證明：證法一，∴，，∴，.

……………2分∴，即，

……………4分∴，∴，

……………6分即，∴.

……………8分

略9.設是等差數(shù)列,是其前項和,且，則下列結論錯誤的是

（

）

參考答案：C10.若,使成立的一個充分不必要條件是A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，則下列四個命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β其中正確命題的序號是．參考答案：①③【考點】平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】計算題．【分析】直線l⊥平面α，直線m?平面β，當α∥β有l(wèi)⊥m，當α⊥β有l(wèi)∥m或l與m異面或相交，當l∥m有α⊥β，當l⊥m有α∥β或α∩β，得到結論【解答】解：直線l⊥平面α，直線m?平面β，當α∥β有l(wèi)⊥m，故①正確當α⊥β有l(wèi)∥m或l與m異面或相交，故②不正確當l∥m有α⊥β，故③正確，當l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正確，綜上可知①③正確，故答案為：①③【點評】本題考查平面的基本性質(zhì)即推論，本題解題的關鍵是看出在所給的條件下，不要漏掉其中的某一種位置關系，本題是一個基礎題．12.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球和藍球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出黃球的概率是0.28.若紅球有21個，則藍球有________個．參考答案：15【分析】根據(jù)紅球的概率和個數(shù)求出總球數(shù)，從而求出籃球的個數(shù).【詳解】由題意摸出紅球的概率為0.42，并且紅球有21個，則總球數(shù)為個，所以藍球的個數(shù)為個.所以本題答案為15.【點睛】本題考查概率等基礎知識，考查概率的應用，考查運算求解能力，是基礎題.13.若，則與的大小關系是

.參考答案：14.拋物線x2=4y的焦點坐標為

．參考答案：（0，1）【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由拋物線x2=4y的焦點在y軸上，開口向上，且2p=4，即可得到拋物線的焦點坐標．【解答】解：拋物線x2=4y的焦點在y軸上，開口向上，且2p=4，∴∴拋物線x2=4y的焦點坐標為（0，1）故答案為：（0，1）15.某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收信機，想聽電臺報時，則他等待的時間不超過分鐘的概率為__________________.參考答案：略16.如圖，將菱形ABCD沿對角線BD折起，使得C點至C′，E點在線段AC′上，若二面角A﹣BD﹣E與二面角E﹣BD﹣C′的大小分別為15°和30°，則=．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題．【專題】綜合題；壓軸題；空間位置關系與距離．【分析】取BD的中點O，連接AO，EO，C′O，由題設知AOE=15°，∠EOC′=30°，由此利用正弦定理能求出．【解答】解：取BD的中點O，連接AO，EO，C′O，∵菱形ABCD沿對角線BD折起，使得C點至C′，E點在線段AC′上，∴C′O⊥BD，AO⊥BD，OC′=OA，∴BD⊥平面AOC′，∴EO⊥BD，∵二面角A﹣BD﹣E與二面角E﹣BD﹣C′的大小分別為15°和30°，∴∠AOE=15°，∠EOC′=30°，∵OC′=OA，∴∠OC′E=∠OAE，由正弦定理得，，∴，∴===．故答案為：．【點評】本題考查棱錐的結構特征，注意在翻折過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化；位于折線同側的元素關系不變，位于折線兩側的元素關系會發(fā)生變化．17.已知向量，若,則______。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知⊙O：x2+y2=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實數(shù)a，b間滿足的等量關系；（2）求線段PQ長的最小值；（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程．參考答案：【考點】圓的標準方程；圓的切線方程．【專題】壓軸題；直線與圓．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化簡可得a，b間滿足的等量關系．（2）由于PQ==，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．（3）設⊙P的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=的最小值為，此時，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1，從而得到圓的標準方程．【解答】解：（1）連接OQ，∵切點為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化簡可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故當a=時，線段PQ取得最小值為．（3）若以P為圓心所作的⊙P的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故當a=時，PO取得最小值為，此時，b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1．故半徑最小時⊙P的方程為+=．【點評】本題主要考查求圓的標準方程的方法，圓的切線的性質(zhì)，兩點間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．19.已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．（1）求橢圓的方程；（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的標準方程；直線的斜率；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】壓軸題．【分析】（1）設橢圓方程為．由兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x﹣1．設P（x1，y1），Q（x2，y2），由題設條件得．由此入手可求出．（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，設直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0）．由題意知（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由此可知．【解答】解：（1）由已知，橢圓方程可設為．∵兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，∴．所求橢圓方程為．（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x﹣1．設P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，所以設直線l的方程為y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0?（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0?2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．【點評】本題考查圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．20.（本小題滿分13分）已知ΔABC的三邊方程是AB：，BC：CA：，（1）求∠A的大小.（2）求BC邊上的高所在的直線的方程.參考答案：解：由題意知、、……3分（1）由到角公式的tanA=

…………6分∴

………………7分（2）設BC邊上的高所在的直線的斜率為，則∵BC邊上的高所在的直線與直線BC垂直

∴

即∵

∴點A的坐標為

…………………9分代入點斜式方程得

…………13分21.已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；（2）若M（m，n）為圓C上任意一點，求的最大值與最小值；（3）從圓C外一點P（x，y）向圓引切線PM，M為切點，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求當|PM|最小時的點P的坐標．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】綜合題；直線與圓．【分析】（1）圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時，切線過原點或切線的斜率為﹣1；當切線過原點時，設切線方程為：y=kx，當切線的斜率為﹣1時，設切線方程為：x+y+b=0，由相切可得方程，解出即可；（2）設k=，則k表示直線MA的斜率，其中A（1，﹣2）是定點，可知直線MA與圓有公共點，從而可得，解出即可；（3）由兩點間距離公式及切線長公式，可把|PM|=|PO|化為（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2，化簡可得x=2y﹣，從而PM|=|PO|=，可化為關于y的函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)可求；【解答】解：圓C的方程為：（x+1）2+（y﹣2）2=2，（1）圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時，切線過原點或切線的斜率為﹣1；當切線過原點時，設切線方程為：y=kx，相切則：，得；當切線的斜率為﹣1時，設切線方程為：y+x+b=0，由相切得：，得b=1或b=﹣3；故所求切線方程為：或；或x+y+1=0，或x+y﹣3=0．（2）設k=，則k表示直線MA的斜率，其中A（1，﹣2）是定點，∵M（m，n）在圓C，∴圓C與直線MA有公共點，而直線MA的方程為：y+2=k（x﹣1），則有：C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑即：，解得：﹣7≤k≤﹣1，∴的最大值為﹣1，最小值為﹣7．（3）由圓的切線長公式可得|PM|2=|PC|2﹣R2=（x+1）2+（y﹣2）2﹣2，由|PM|=|PO|得，（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2，即2x﹣4y+3=0，即x=2y﹣，此時|PM|=|PO|====，∴當y=即P（，）時，|PM|最?。军c評】該題考查圓的方程、性質(zhì)，考查直線與圓的位置關系，考查與圓有關的最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想．22.已知函數(shù)，其中k∈R且k≠0．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當k=1時，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導函數(shù)，對k討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)，構造新函數(shù)，g（x）=（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價于a＜g（x）max，由此可求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為R，求導函數(shù)可得f′（x）=當k＜0時，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（