2023-2024學年江蘇海安市實驗高二數(shù)學下學期3月考試卷及答案解析

-2024學年江蘇海安市實驗高二數(shù)學下學期3月考試卷考試時間：120分鐘；總分：150分2024.03一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若平面的法向量為，直線的方向向量為，，則下列四組向量中能使的是（

）A．， B．，C．， D．，2．在由0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中,能被5整除的有()A．512個B．192個C．240個 D．108個3．已知平面內有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內的是（

）A．B．C． D．4．已知平行六面體，則下列四式中錯誤的是（

）A．B．C．D．5．地圖涂色是一類經典的數(shù)學問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（

）種.A．84 B．72 C．48 D．246．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．7．如圖，在四面體ABCD中，，，若，，，，則平面ABD與平面CBD的夾角為（

）A． B． C． D．8．設，分別是正方體的棱上的兩點，且，，則當在上沿的方向運動時，三棱錐的體積（

）A．不斷變大 B．不斷變小 C．保持不變 D．先減小再增大二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．若是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間的一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．11．已知和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的點所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離.如圖，在棱長為1的正方體中，點在上，且；點在上，且.則下列結論正確的是（

）A．線段是異面直線與的公垂線段B．異面直線與的距離為C．點到直線的距離為D．點到平面的距離為三、填空題（共3題，每題5分，共15分）12．在空間直角坐標系中，若點關于平面對稱的點為，則點P的坐標為.13．已知，，則不同的有序集合對有種.14．已知圓錐（為圓錐頂點，為底面圓心）的軸截面是邊長為的等邊三角形，，，為底面圓周上三點，空間一動點，滿足，則的最小值為．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知．(1)求在上的投影向量；(2)若四邊形是平行四邊形，求頂點D的坐標；(3)若點，求點P到平面的距離．16．如圖，在長方體中，，，點在線段上.

(1)求證：；(2)當是的中點時，求直線與平面所成角的正弦值.17．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”．我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：分別為“斜60°坐標系”下三條數(shù)軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序實數(shù)組相對應，稱向量的斜60°坐標為，記作．

(1)若，，求的斜60°坐標；(2)在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標系”．①求的斜60°坐標；②若，求與夾角的余弦值．18．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，.(1)若平面AEF，求的值；(2)在（1）的條件下，求平面AEF與平面PAE夾角的余弦值．19．已知函數(shù).(1)若，且與函數(shù)的圖象相切，求的值；(2)若對成立，求實數(shù)的取值范圍.1．A【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義，依次分析選項中向量是否滿足，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，平面的法向量為，直線的方向向量為，，若，即，又由，則有，依次分析選項：對于A，，，，即成立，符合題意；對于B，，，，即不成立，不符合題意；對于C，，，，即不成立，不符合題意；對于D，，，，即不成立，不符合題意．故選：A．2．D【詳解】試題分析：由于能被5整除的數(shù)，其個位必為0或5，由此分兩類：第一類：個位為0的，有個；第二類：個位為5的，再分兩小類：第1小類：不含0的，有個，第2小類：含0的，有個，從而第二類共有48個；故在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)有60+48=108個，故選D．考點：排列組合．3．C【分析】設平面內任意一點，由題意，由此可得，對比選項即可得解.【詳解】設平面內任意一點，則，平面的一個法向量為所以，整理得，而，，，，所以對比選項可知只有在平面內.故選：C.4．D【分析】根據(jù)平行六面體的性質及空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：因為，所以，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，故D錯誤.故選：D5．A【分析】先將區(qū)域分為上下左右，再分上下顏色相同與不同，最后用分步計數(shù)原理求解.【詳解】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選：A6．B【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當時，單調遞增，且當時，，隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，而（即點B）處切線的傾斜角比（即點A）處的傾斜角小，且均為銳角，，又是割線AB的斜率，顯然，所以.故選：B7．C【分析】根據(jù)題意可得，結合空間向量的數(shù)量積的定義及運算律可求得，即可得結果.【詳解】設平面ABD與平面CBD的夾角為，由題意可得：，∵，則，即，解得，由，可得，故平面ABD與平面CBD的夾角為.故選：C.8．C【分析】由，結合錐體體積公式判斷即可.【詳解】因為，設點到平面的距離為，則如圖，到平面的距離即到平面的距離，且到平面的距離為，又的面積，為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選：C.9．AB【分析】根據(jù)空間向量基底的概念結合共面定理一一判定即可.【詳解】因為，，是不共面的向量，能構成空間的一個基底，故A正確；，，是不共面的向量，能構成空間的一個基底，故B正確；因為，所以，，是共面向量，不能構成空間的一個基底，故C錯誤；因為，所以，，是共面向量，不能構成空間的一個基底，故D錯誤．故選：AB．10．BCD【分析】由排列數(shù)的公式計算逐項判斷即可.【詳解】A：，故A錯誤；B：，，故B正確；C：，，故C正確；D：，故D正確；故選：BCD.11．ACD【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法依次求解判斷.【詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.，，，，，，，，，，.對于A，，，，，，即，，所以線段是異面直線與的公垂線段，故A正確；對于B，由正方體可得異面直線與的公垂線的方向向量為，又，所以異面直線與的距離為.故B錯誤；對于C，，，所以在方向的投影向量的模為，所以點到直線的距離為.故C正確；對于D，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，，，又，所以點到平面的距離為.故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：本題考查空間中的距離問題.解題思路是建立空間直角坐標系，求出點坐標，根據(jù)點到直線距離公式，異面直線距離公式，點到面的距離公式，利用向量的坐標運算求解.12．【分析】根據(jù)關于平面對稱點的兩個點的縱坐標互為相反數(shù)，由此列式求解即可.【詳解】由題意知，在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點為，又，所以，解得，所以點P的坐標為.故答案為：.13．27【分析】先根據(jù)條件將集合分類，列舉出滿足條件的集合.【詳解】AB、、、、、、、、、、、、、、、、、、、如上表，每一種集合可確定滿足條件的集合，不同的有序集合對有27種.故答案為：27.14．【分析】根據(jù)空間向量基本定理可判斷，，共面，又平面，所以.【詳解】因為，所以，，所以，，共面，又，，為底面圓周上三點，所以點為平面上一點，由已知平面，所以，又圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，所以，所以的最小值為，故答案為：.15．(1)(2)(3)【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；（2）根據(jù)可求的坐標；（3）根據(jù)點面距公式可求點P到平面的距離．【詳解】（1），，故在上的投影向量為，而.（2）設，則，故，故的坐標為.（3），設平面的法向量為，則即，取，則，，故，故點P到平面的距離為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，利用線面垂直的判定、性質推理即得.（2）建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）在長方體中，連接，則，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）如圖，以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

則，可得，設平面的法向量，則，令，則，可得，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)①；②【分析】對于小問（1），因為，，可以通過“空間斜60°坐標系”的定義，化簡為，，再計算的斜60°坐標.對于小問（2），設，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①中，通過平行六面體得到，從而得到的斜60°坐標；②中，因為，所以，結合①中的的斜60°坐標，并通過，計算與夾角的余弦值.【詳解】（1）由，，知，，所以，所以；（2）設，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①，.

②因為，所以，則，∵，

.∴，，所以與的夾角的余弦值為18．(1)(2)【分析】（1）建系，求平面的法向量，結合線面平面的向量關系分析求解；（2）由（1）可得平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【詳解】（1）因為平面，平面，則，且，平面，所以平面，如圖，以為原點，分別以，所在直線為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，可得，，，因為，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以，若平面AEF，則，解得.（2）由（1）可得：平面的法向量為，由題意可知：平面的一個法向量，設平面與平面