平面向量的概念及其線性運(yùn)算(原卷版)

(完整word版)專題4.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算(原卷版)(完整word版)專題4.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算(原卷版)PAGE(完整word版)專題4.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算(原卷版)第四篇平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入專題4.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算【考綱要求】1。了解向量的實(shí)際背景．2．理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義．3．理解向量的幾何表示．4．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．5．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義．6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義?！久}趨勢】平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義是高考的重點(diǎn),主要以三角形或四邊形為載體，考查向量的有關(guān)概念及簡單運(yùn)算【核心素養(yǎng)】本講內(nèi)容主要考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】1．向量的有關(guān)概念(1）向量的定義及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記作eq\o(AB,\s\up7（→)），也可用黑體的單個(gè)小寫字母a,b，c，…來表示向量．(2）向量的長度（模)：向量eq\o(AB，\s\up7（→)）的大小即向量eq\o(AB,\s\up7（→）)的長度(模),記為｜eq\o(AB,\s\up7（→)）|。2．幾種特殊向量名稱定義備注零向量長度為0的向量零向量記作0,其方向是任意的單位向量長度等于1個(gè)單位的向量單位向量記作a0,a0＝eq\f(a，｜a｜）平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共線向量)0與任意向量共線相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量長度相等且方向相反的兩個(gè)向量若a，b為相反向量,則a＝－b單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a平行的單位向量有兩個(gè),即向量eq\f(a,｜a｜）和－eq\f(a，｜a|）。3．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1）交換律:a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c）減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa｜＝｜λ｜|a｜；當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb注：向量加法的多邊形法則多個(gè)向量相加，利用三角形法則，應(yīng)首尾順次連接，a＋b＋c表示從始點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量，只關(guān)心始點(diǎn)、終點(diǎn).4．共線向量定理向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b＝λa.只有a≠0才保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性?！舅仞B(yǎng)清單?常用結(jié)論】(1)若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o（OP,\s\up7（→))＝eq\f（1，2）（eq\o(OA，\s\up7(→）)＋eq\o(OB,\s\up7（→）)）．(2)eq\o（OA,\s\up7（→）)＝λeq\o（OB,\s\up7（→)）＋μeq\o（OC,\s\up7（→））(λ,μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1?！菊骖}體驗(yàn)】1?！?018年高考全國I卷理數(shù)】在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2。【2017年高考全國III卷理數(shù)】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上。若，則的最大值為（）A．3 B．2C． D．23．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a＝|a｜a0；②若a與a0平行,則a＝|a|a0；③若a與a0平行且｜a｜＝1，則a＝a0。上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是(）A．0 B．1C．2 D．34．點(diǎn)D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up7（→)）＝（）A．－eq\o(BC，\s\up7(→）)＋eq\f(1,2）eq\o(BA，\s\up7（→）) B．－eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f（1,2）eq\o(BA，\s\up7(→））C．eq\o（BC,\s\up7(→））－eq\f（1，2）eq\o(BA,\s\up7（→）) D．eq\o(BC，\s\up7(→)）＋eq\f(1，2)eq\o（BA,\s\up7(→))5．化簡eq\o（OP,\s\up7(→)）－eq\o（QP，\s\up7(→））＋eq\o（MS,\s\up7(→))－eq\o（MQ,\s\up7（→））的結(jié)果為__________．6．已知a與－b是兩個(gè)不共線向量,且向量a＋λb與－(b－3a）共線,則λ【考法拓展?題型解碼】考法一平面向量的概念誤區(qū)防范：平面向量概念中的幾點(diǎn)注意（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2）共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．（3）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí),不要把它與函數(shù)圖象平移混為一談．（4)eq\f（a，｜a｜)是與非零向量a同方向的單位向量．【例1】（1)給出下列命題：①若｜a｜＝｜b｜，則a＝b；②若A，B，C,D是不共線的四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up7(→）)＝eq\o（DC，\s\up7(→）)是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝｜b｜且a∥b.其中正確命題的序號是（）A．②③ B．①②C．③④ D．①④（2)給出下列命題:①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量;②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小;③λa＝0（λ為實(shí)數(shù)）,則λ必為零；④λ，μ為實(shí)數(shù),若λa＝μb,則a與b共線．其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4考法二平面向量的線性運(yùn)算歸納總結(jié)：平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略（1)向量加法或減法的幾何意義，向量加法和減法均適合三角形法則．（2)求已知向量的和，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．(3）求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系,通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值．注意:應(yīng)用初中平面幾何的知識如平行線分線段成比例定理、相似三角形的性質(zhì)等，可以簡化運(yùn)算．【例2】（1)如圖，正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA，\s\up7（→)）＋eq\o(CD,\s\up7(→）)＋eq\o（EF,\s\up7(→））＝()A．0 B．eq\o（BE,\s\up7（→））C．eq\o（AD，\s\up7（→）) D．eq\o（CF，\s\up7（→））(2)（2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o（EB，\s\up7(→））＝（)A．eq\f(3,4)eq\o（AB,\s\up7（→））－eq\f(1，4）eq\o（AC,\s\up7（→）） B．eq\f（1，4）eq\o（AB，\s\up7(→））－eq\f（3，4)eq\o（AC,\s\up7(→））C．eq\f（3，4)eq\o（AB,\s\up7(→）)＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)） D．eq\f(1,4）eq\o(AB,\s\up7（→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC，\s\up7（→))(3)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f（2,3)BC．若eq\o（DE,\s\up7(→)）＝λ1eq\o(AB，\s\up7（→)）＋λ2eq\o(AC，\s\up7(→）)（λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為__________．考法三平面向量共線定理的應(yīng)用歸納總結(jié)(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．（2）向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1,λ2,使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a，(3）利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）,可求參數(shù)的值．【例3】如圖所示，在△ABC中,eq\o（AN,\s\up7（→))＝eq\f（1，3)eq\o(AC，\s\up7(→）)，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up7（→））＝meq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\f（2,11)eq\o(AC，\s\up7（→)）,則實(shí)數(shù)m的值為（）A．eq\f（9，11) B．eq\f(5,11)C．eq\f（3，11) D．eq\f（2，11）【例4】設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線．(1）如果eq\o（AB，\s\up7(→））＝a＋b,eq\o（BC，\s\up7（→))＝2a＋8b，eq\o(CD，\s\up7(→））＝3(a－b）．求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)點(diǎn)對向量的線性運(yùn)算和幾何意義理解不透而出錯(cuò)【典例】在△ABC中，P為BC的中點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，若ceq\o（AC，\s\up7(→））＋aeq\o（PA,\s\up7(→）)＋beq\o(PB,\s\up7(→)）＝0，則△ABC的形狀為__________．【錯(cuò)解】:由ceq\o(AC,\s\up7（→))＋aeq\o(PA，\s\up7（→))＋beq\o（PB，\s\up7(→)）＝0得ceq\o(AC,\s\up7（→）)－eq\f(a,2)(eq\o(AB，\s\up7（→））＋eq\o（AC，\s\up7（→)）)＋eq\f（1，2)b(eq\o（AB,\s\up7(→))－eq\o（AC，\s\up7（→)））＝0,即eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(c－\f(a,2）－\f（b,2）))eq\o(AC，\s\up7(→））＋eq\f（1,2)(b－a)eq\o(AB,\s\up7（→)）＝0，所以c＝eq\f（a＋b，2)或b＝a時(shí)成立．故三角形ABC為等腰三角形．【錯(cuò)因分析】：本題解答過程中，由于對向量線性運(yùn)算法則、幾何意義的理解不準(zhǔn)確，得出錯(cuò)誤的c＝eq\f(a＋b,2）或b＝a的關(guān)系和結(jié)論．【正解答案】：等邊三角形【正解】：因?yàn)閏eq\o(AC,\s\up7（→））－eq\f（1,2)a(eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\o（AC，\s\up7（→）))＋eq\f（1，2）b（eq\o（AB,\s\up7(→）)－eq\o(AC,\s\up7(→）)）＝0，所以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（c－\f（a＋b，2））)eq\o(AC,\s\up7(→）)－eq\f(a－b,2)eq\o（AB，\s\up7（→）)＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(c－\f(a＋b,2))）eq\o(AC,\s\up7（→))＝eq\f（a－b,2）eq\o（AB,\s\up7(→)），又eq\o（AB,\s\up7(→）），eq\o(AC，\s\up7（→))不共線，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（a－b,2）＝0，,c－\f(a＋b，2)＝0，))所以a＝b＝c，△ABC為等邊三角形．【跟蹤訓(xùn)練】已知O是面積為4的△ABC內(nèi)部一點(diǎn),且有eq\o(OA,\s\up7(→）)＋eq\o（OB，\s\up7(→)）＋2eq\o（OC，\s\up7(→)）＝0,則△AOC的面積為__________．【遞進(jìn)題組】1．下列命題中正確的是()A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行2．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若eq\o（AC，\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→）)＝b，則eq\o(AF，\s\up7(→）)＝()A．eq\f（1，4）a＋eq\f（1，2)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f（1,3)bC．eq\f(1，2）a＋eq\f（1，4)b D．eq\f（1,3）a＋eq\f(2,3）b3．(2019·嘉興調(diào)研)已知點(diǎn)O為△ABC的外接圓的圓心,且eq\o(OA,\s\up7(→））＋eq\o（OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7（→））＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于（）A．30° B．45°C．60° D．90°4．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC，\s\up7(→））＝3eq\o(CD,\s\up7(→））,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若eq\o（AO,\s\up7(→))＝xeq\o（AB，\s\up7(→))＋（1－x）·eq\o(AC,\s\up7（→））,則x的取值范圍是（)A．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（1，2)）） B．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(1,3)））C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，0）） D．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,3)，0))5．設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線．（1）如果eq\o(AB,\s\up7(→）)＝e1－e2，eq\o（BC，\s\up7（→)）＝3e1＋2e2，eq\o(CD，\s\up7（→）)＝－8e1－2e2,求證：A，C,D三點(diǎn)共線;（2)如果eq\o（AB，\s\up7(→）)＝e1＋e2，eq\o（BC,\s\up7（→））＝2e1－3e2，eq\o(AF，\s\up7（→))＝3e1－ke2，且A，C,F三點(diǎn)共線，求k的值．【考卷送檢】一、選擇題1．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量,則a＝b；③向量eq\o(AB，\s\up7(→）)與eq\o(BA，\s\up7（→）)相等．則所有正確命題的序號是（)A．① B．③C．①③ D．①②2．已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b｜＝｜a|＋|b｜，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向 D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb3．如圖所示，在△ABC中，若eq\o(BC，\s\up7(→）)＝3eq\o（DC，\s\up7（→)），則eq\o(AD，\s\up7（→))＝（）A．eq\f(2,3)eq\o（AB，\s\up7（→))＋eq\f（1，3)eq\o(AC,\s\up7(→）) B．eq\f（2,3)eq\o（AB，\s\up7（→))－eq\f(1,3）eq\o（AC,\s\up7（→)）C．eq\f（1，3)eq\o（AB，\s\up7（→)）＋eq\f（2,3)eq\o（AC,\s\up7（→)） D．eq\f(1,3)eq\o（AB,\s\up7(→）)－eq\f(2,3)eq\o(AC，\s\up7(→)）4．在四邊形ABCD中,eq\o（AB，\s\up7(→）)＝a＋2b,eq\o（BC，\s\up7（→)）＝－4a－b，eq\o（CD,\s\up7（→）)＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都不對5．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)O,若eq\o(OA,\s\up7（→））＋eq\o(OB,\s\up7（→)）＋eq\o（OC，\s\up7（→))＝eq\o（AB，\s\up7(→））,則點(diǎn)O與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)O在AC邊上B．點(diǎn)O在AB邊上或其延長線上C．點(diǎn)O在△ABC外部D．點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部6．已知O是△ABC所在平面外一點(diǎn)且滿足eq\o(OP,\s\up7（→)）＝eq\o（OA,\s\up7（→））＋λeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\o（AB,\s\up7（→)），｜\o(AB,\s\up7（→）)|）＋\f（\o（AC，\s\up7（→）),|\o（AC,\s\up7(→）)｜））)，λ為實(shí)數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必須經(jīng)過△ABC的（）A．重心 B．內(nèi)心C．外心 D．垂心二、填空題7．給出下列說法：①若兩個(gè)單位向量的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同;②若a與b同向,且|a|＞｜b|，則a＞b；③0·a＝0.其中說法錯(cuò)誤的序號是________．8．（2019·鄂州二中階段測試）如圖所示,在△ABO中，eq\o(OC，\s\up7（→)）＝eq\f(1,4）eq\o(OA,\s\up7（→)），eq\o(OD，\s\up7(→)）＝eq\f（1，2)eq\o(OB,\s\up7(→)），AD與BC相交于M,設(shè)eq\o(OA,\s\up7（→））＝a,eq\o（OB,\s\up7（→))＝b.則用a和b表示向量eq\o（OM,\s\up7(→))＝___