2023-2024學(xué)年山東省聊城重點(diǎn)中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年山東省聊城重點(diǎn)中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月

份）

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列各組圖形中，一定是相似圖形的是（）

A.兩個(gè)等腰梯形B.兩個(gè)矩形C.兩個(gè)直角三角形D,兩個(gè)等邊三角形

2.如圖，AABOSACDO,若BO=6,DO=3,CD=2,貝ijAB的長(zhǎng)是()

A.2

B.3

C.4

D.5

3.如圖，給出下列條件：①乙B=ZACD:②乙4DC=乙4CB；③普=蔡@AC2=

AD-AB,其中不能判定△ABCsAACD的條件為（）

A.①

B.②

③

D.④

4.如圖，矩形0ABe與矩形OCE尸是位似圖形，點(diǎn)P是位似中心.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（2,3）,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為一1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(-2,0)

B.(0,-2)

3

C.(-1.0)

3

D.

5.已知<cosA<sin80°,則銳角4的取值范圍是（）

A.60°<4<80°B.30。<AV80°C.100<<60°D.10。VAV30°

6.在△ABC中，若角4,8滿足卜054—三|+（1-12118）2=0,則4c的大小是

)

A.45°B.60°C.75°D.105°

7.如圖，在4x4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若AABCA

的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則C0S4B4c的值是（）

A4

BP

C考

4

D5

8.如圖，在△ABC中，AC=5,cosB=-1sinC=則△力BC的面積是()

25

A.14B.12C噂D.21

9.如圖，在高為2M,坡角為30。的樓梯上鋪地毯,地毯的長(zhǎng)度至少應(yīng)為（

A.4m

B.6m

C.

D.(2+2<3)m

10.如圖大壩的橫斷面,斜坡4B的坡比i=1：2,背水坡CD的坡比i=1：1,若坡面CD的長(zhǎng)度為6。米,

則斜坡4B的長(zhǎng)度為（）

A.B.6V-3C.D.24

11.如圖，在△4BC中,CH1.AB,CH=h,AB=c,若內(nèi)接正方形DEFG的

邊長(zhǎng)是工,則九、c、x的數(shù)量關(guān)系為（）

A.x2+h2=c2

B.gx+h=c

ADHEB

C.h2=xc

12.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形/BCD的位置如圖所示，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2),延長(zhǎng)CB交

%軸于點(diǎn)作正方形為B1C1C；延長(zhǎng)C]B]交工軸于點(diǎn)4，作正方形4282c2的；…；按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，

正方形8202382023c2023c2022的面積為()

A.5x(|)2023C.5X6)4044D.5X0)4046

二、填空題(本大題共8小題，共24.0分)

13.如圖，把一張矩形紙片平均分成3個(gè)矩形，若每個(gè)小矩形都與原矩形相似，則原矩形

紙片的寬與長(zhǎng)之比為.

14.若△AOEs/MCB,且喘=5，DE=10,則BC=.

15.一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別為2,4,5,6,另一個(gè)與它相似的多邊形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為24,則該多邊形的最短邊

長(zhǎng)為.

16.如圖，在aABCD中，E在AB上，CE,BD交于尸，若4E：BE=4：3,則SABEF：5ADCF=.

BC

17.如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的虛線網(wǎng)格中，點(diǎn)AB、C、。為格點(diǎn)（即小正

方形的頂點(diǎn)），AB,CD相交于點(diǎn)P,則PC的長(zhǎng)為.

18.已知a為銳角，且sin（a-10。）=?，則a等于度.

19.如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4B、C、。都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,

4B與CD相交于點(diǎn)P,則tan/APD的值為.

20.如圖，海上有一燈塔P,位于小島4北偏東60。方向上，一艘輪船從小島4出發(fā)，由西向東航行24nMi加到

達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30。方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南

方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是.（結(jié)果保留一位小數(shù)，約等于1.73）

三、解答題（本大題共5小題，共60.（）分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

21.（本小題12.0分）

如圖，在網(wǎng)格圖中（小正方形的邊長(zhǎng)為1）,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

（1）把△ABC沿著x軸向右平移6個(gè)單位得到△&B1C1，請(qǐng)畫出AAiBiCi；

（2）請(qǐng)以坐標(biāo)系的原點(diǎn)。點(diǎn)為位似中心在第一象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形A/B2c2，使得△48。與小

心B2c2的位似比為1：2；

（3）請(qǐng)直接寫出△4282c2三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

22.(本小題12.0分)

如圖，E是平行四邊形4BC。的CD邊上的一點(diǎn)，連結(jié)8E并延長(zhǎng)交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：AABFfCEB；

(2)若DE=2,CE=3,△DEF的面積為1,求平行四邊形4BCD的面積.

23.(本小題12.0分)

已知AHBC,延長(zhǎng)BC到。，使CO=BC.取4B的中點(diǎn)F,連接FD交4C于點(diǎn)E.

(1)求若的值;

/1C

(2)若4B=18,FB=EC,求4c的長(zhǎng).

24.(本小題12.0分)

如圖，小明為了測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù)BC的高度，他在點(diǎn)⑷則得大樹(shù)頂端B的仰角是45。，沿斜坡走|七米到達(dá)

斜坡上點(diǎn)D,在此處測(cè)得樹(shù)頂端點(diǎn)B的仰角為31。,且斜坡4F的坡比為1：2(參考數(shù)據(jù)：sin31。?0.52,cos31°=

0.86,tan31°x0.60).

(1)求小明從點(diǎn)4走到點(diǎn)。的過(guò)程中，他上升的高度；

(2)大樹(shù)BC的高度約為多少米？

25.(本小題12.0分)

為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的

海監(jiān)船以每小時(shí)40海里的速度向正東方航行，在4處測(cè)得燈塔P在北偏東60。方向上，繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)8處,

此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30。方向上.

(1)求乙4PB的度數(shù);

(2)已知在燈塔P的周圍20海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：???等邊三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，

二兩個(gè)等邊三角形一定是相似圖形，故。正確；

又???直角三角形、等腰梯形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，

???兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)等腰梯形、兩個(gè)矩形都不一定是相似圖形，故A、8、C錯(cuò)誤.

故選：D.

本題主要考查了相似多邊形的概念.

如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.

2.【答案】C

【解析】【分析】

此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵.

直接利用相似三角形的性質(zhì)，得出普=器，進(jìn)而得出答案.

【解答】

解：因?yàn)椤?B0-C。。，所以甯=黑，即亭=，解得48=4.

L/4.3

所以AB的長(zhǎng)是4.

3.【答案】C

【解析】解：:4B=N4CD,N4=N4

ABOxACD,

故①不符合條件；

VZ-ADC=4ACB,乙4=乙4,

ACD,

故②不符合條件；

VAC2=AD-AB,

.?.”=”

ADAC

vZ-A=/-A,

ABC^LACD?

故④不符合條件；

③中不是已知的比例線段的夾角，故③不能判定

故選：C.

根據(jù)相似三角形的判定逐一進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【解析】解：???四邊形048(；為矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,3),

:.AB=0C=3,0A=2,

???矩形048C與矩形0D"是位似圖形，

AEF//OC,DE//OP,

CED~二CPO9△POD^L.PAB,

eCD_DEPO_OP

Acd=OP9~PA=AB"

.3-OD_1OP_OD

'3=OP9OP+2=Tf

解得：OP=2,OD=|,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0),

故選:A.

根據(jù)位似圖形的概念得到EF〃OC,DE//OP,進(jìn)而證明ACEDsACP。，4PODFPAB,根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)求出OP,得到答案.

本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概念得出EF〃OC,DE〃OP是解題的

關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】解：cos30。=?，sin80。=coslO。，余弦函數(shù)隨角增大而減小，

:.10。<4<30°.

故選：D.

首先明確0”30。=?，$譏80。=。510。，再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小，進(jìn)行分析.

熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵；

還要知道正余弦之間的轉(zhuǎn)換方法：一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出cosA=?，tanB=1,求出乙4和4B的度數(shù)，繼而可求得4c的度數(shù).

【解答】

解：由題意得，cosAtanB=1,

則乙4=30°,乙B=45°,

則4c=180°-30°-45°=105°.

故選D.

7.【答案】C

【解析】解：延長(zhǎng)4c到0,連接BD,如圖：

AD2=20,BD2=5,AB2=25,

AD2+BD2=AB2,

???/-ADB=90°,

???cosZ-cB"AC=—A。

AB

故選：C.

延長(zhǎng)4C到D,連接BD,由網(wǎng)格可得+8。2=AB2,即得乙4OB=90。，可求出答案.

本題考查網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形.

8.【答案】C

【解析】解：作/W1BC于點(diǎn)、D,

??,△ABC中，AC-5,cosB=sinC=

Z3

.,.緣=g，得力。=3,NB=45°,

AC5

tanB=怨=tan45°,得BD=3,CD=VAC2-AD2=V52-32=4.

DU

.c_（BD+CD）AD_（3+4）x3_21

"、4ABC-2-2-~2,

故選：C.

根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得AD、BD和CD的長(zhǎng)，從而可以求得△ABC的面積.

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答.

9.【答案】D

【解析】解：???樓梯高度為2m,坡角為30。，

???水平距離=2xcot30°=2ST3,

地毯的長(zhǎng)度至少為（2+2「）（米）.

故選：D.

由題可知地毯的長(zhǎng)度=構(gòu)成直角三角形的兩直角邊的和，據(jù)此即可解答.

此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是明白地毯的長(zhǎng)度=構(gòu)成直角三角形的兩直角邊的和.

10.【答案】C

【解析】解：過(guò)B作BEJ.4D于E,過(guò)C作CFL4D于F,如圖所-------f

示：\

則四邊形BEFC是矩形，￡--------------：-------三---\

AEFD

：.BE=CF,

???背水坡CD的坡比i=1：1,CD=6/父米，

?1?CF=DF=^CD=6（米），

BE=CF=6米，

又?.?斜坡48的坡比i=1：2=骼

AE

AE=2BE=12（米），

AB=VAE2+BE2=V122+62=6V米），

故選：C.

過(guò)8作BE14D于E,過(guò)C作CF14。于F,則四邊形BEFC是矩形，得BE=CF,由坡比得BE=CF=。/=

殍CO=6（米），4E=28E=12（米），再由勾股定理解答即可.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握坡

比的定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】D

【解析】解：如圖，設(shè)CH與GF交于點(diǎn)

GF//DE,/.GDE=Z.DGF=90°,

CGFsACAB,

.GF_CM

???AB='CH9

??,CH1AB,

???乙DHM=90°,

???四邊形是矩形，

???DG=MH,

vCH=hfAB=c,正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x,

??,MH=x,

：?CM=CH—MH=h-x,

x_h-x

c一h

1

2.?1一_=-1--,

exh

故選：D.

先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到G/7/CE,從而證明△CGF-ACAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可列出比例式，再通

過(guò)證明四邊形DHMG是矩形表示出CM的長(zhǎng)度，即可求解.

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CGFs/kCAB后列出比例式.

12.【答案】D

【解析】解：?.?正方形4BCD的點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2),

OA=1,OD=2,AD=y/-5^^

延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)久,作正方形為B1GC,

??.△DAO,

.維一

??AB~29

vAD=AB=V_5,

?-?AXB=亨，

???第1個(gè)正方形的面積為：Si=41c2=5?(|)2,

同理可得，42c2=6七+1|，^)2，

4

第二個(gè)正方形面積為：S2=5?(|),

第71個(gè)正方形面積為：Sn=5?(|)2n,

???第2023個(gè)正方形的面積為：S2023=5-(|)4046,

故選：D.

根據(jù)相似三角形的判定原理，得出△441BSA4/12B1，繼而得知NB/UI=NBi4A2；利用勾股定理計(jì)算出

正方形的邊長(zhǎng)；最后利用正方形的面積公式計(jì)算三個(gè)正方形的面積，從中找出規(guī)律，問(wèn)題也就迎刃而解了.

本題綜合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，另外，在解題過(guò)程中，要認(rèn)真挖

掘題中隱藏的規(guī)律，這樣可以降低解題的難度，提高解題效率.

13.【答案】1：C

【解析】解：設(shè)原矩形48C。的長(zhǎng)為X,寬為y,

二小矩形的長(zhǎng)為y,寬為《x,

???小矩形與原矩形相似，

...聶"

y%

y：x=1：V-3.

故答案為：1：y/~~3-

設(shè)原矩形力BCD的長(zhǎng)為x,寬為y,根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得原矩形紙片的長(zhǎng)與寬之比.

本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.相似多邊形的性質(zhì)為：①

對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等.

14.【答案】15

【解析】解：ADEMACB,

嘿=能嗯=1，』1。，

BC=15.

故答案為：15.

根據(jù)△ADEsZMCB,得到券=普，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等并找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】8

【解析】解：該多邊形的最短邊長(zhǎng)為X.

由相似多邊形的性質(zhì)可知：［=當(dāng)

zo

%=8,

故答案為：8.

該多邊形的最短邊長(zhǎng)為X.利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.

本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

16.【答案】9：49

【解析】解：?：AE：BE=4：3,

BE：AB=3：7,

???四邊形4BCD是平行四邊形，

AAB=CD,AB“CD,

???△BFEs〉DFC，

.S^BEF_,毀）2_A2_9

“SADF「（8）-G）-49?

故答案為：9：49.

由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,AB//CD,證明△BFE?△DFC,由相似三角形的性質(zhì)可得出答案.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明?△DFC是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】亨

【解析】解：由勾股定理得，CD=V12+22=<5

由圖形可知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),

EC=\CD=BE=p

zz乙

???AC//BE,

???△/PCyBPE,

4PC4

PC_AC/即方

~PE~^E

2AT5

解得，PC=--------9

7

故答案為：亨

根據(jù)勾股定理求出CD,結(jié)合圖形求出CE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理列出比例式，計(jì)算即可.

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

18.【答案】70

【解析】【分析】

本題考查特特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)sin60。=?解答.

【解答】

解：:a為銳角，sin（a—10。）=詈，sin60。=?，

???a-10°=60°,

a=70°.

故答案為70.

19.【答案】2

【解析】解:連接BE,

???四邊形BCED是正方形,

DF=CF=^CD,BF=^BE,CD=BE,BE1CD,

BF=CF,

根據(jù)題意得：AC//BD,

???△71cps△BDP,

ADP：CP=BD：AC=1：3,

/.DP：DF=1：2,

：?DP=PF=；CF=抽,

DC

^.Rt△PBF^,tanNBPF=^=2,

PF

Z.APD=Z.BPF,

tanZ-APD=2.

故答案為：2

首先連接BE,由題意易得BF=CF,AACPMBDP,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得DP：CP=1：

3,即可得PF：CF=PF：BF=1：2,在RtZkPBF中，即可求得tan/BPF的值，繼而求得答案.

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，

注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

20.【答案】20.8

【解析】【分析】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出高線，轉(zhuǎn)化為直

角三角形的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

過(guò)P作PD14B于。，易證A4BP是等腰三角形，得到8。=48=24兀而也.然后在直角^「8。中，利用三角

函數(shù)的定義求得PD的長(zhǎng)即可.

【解答】

解：過(guò)P作PD1AB于。.

北

???Z.PAB=30°,4PBD=60°,

乙PAB=/.APB,

???BP=AB=24nmile.

在直角△PBD中，PD=BP?sin/PBD=24xy=12口?20.8(nm〃e).

即此時(shí)輪船與燈塔P的距離約為20.8nm〃e.

故答案為20.8.

21.【答案】解：(1)如圖，△&B1G為所作;

(2)如圖，A&B2c2為所作;

(3)2c2三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(6,0)，B2(6,4),C2(2,6).

【解析】本題考查了作圖-位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為

k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.也考查了平移變換.

(1)利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律寫出&、B］、6的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；

(2)(3)根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)為位似中心的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把4、B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以-2得到&、%、的坐標(biāo)，

然后描點(diǎn)即可.

22.【答案】(1)證明：???在平行四邊形ABCD中，乙4=4C,AD//BC

???(F=乙CBF

???△ABFs〉CEB

(2)解：vAD//BC

???Z,EFD=乙EDF,Z.BFD=乙CBF

???△CEB~ADEF

...S^CEE_A2

S&OEFDE22

99

*'?S&cEB=*&OEF=4

MABF八CEB,在平行四邊形ABCD中，AB=CD=DE+CE=5

.S^ABF_48?_,5.

“初一育一卬2

_25_25

'△ABF-93△CEF-4

15

^LABCD=S&ABF+S&CEB~S〉OEF=爹

【解析】(1)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可;

(2)利用相似三角形的性質(zhì)求解.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解:⑴如圖,連接尸C、AD.

???點(diǎn)尸是4B的中點(diǎn)，CD=BC,

二FC是AADB的中位線,

???FC//*1AD,

EFC^AEDA,

生=也

CEFC

AE2

—=一：

AC3

(2)?點(diǎn)產(chǎn)是AB的中點(diǎn)，AB=18,FB=EC,

：.EC=^AB=9.

由⑴知，,=2,則等=2,故AE=18,

AC=AE+EC=IS+9=27.

【解析】⑴如圖，連接/C、4D.易證FC是△ADB的中位線，則F/刑