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文檔簡(jiǎn)介
2023-2024學(xué)年山東省聊城重點(diǎn)中學(xué)九年級(jí)(上)月考數(shù)學(xué)試卷(9月
份)
一、選擇題(本大題共12小題,共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.下列各組圖形中,一定是相似圖形的是()
A.兩個(gè)等腰梯形B.兩個(gè)矩形C.兩個(gè)直角三角形D,兩個(gè)等邊三角形
2.如圖,AABOSACDO,若BO=6,DO=3,CD=2,貝ijAB的長(zhǎng)是()
A.2
B.3
C.4
D.5
3.如圖,給出下列條件:①乙B=ZACD:②乙4DC=乙4CB;③普=蔡@AC2=
AD-AB,其中不能判定△ABCsAACD的條件為()
A.①
B.②
③
D.④
4.如圖,矩形0ABe與矩形OCE尸是位似圖形,點(diǎn)P是位似中心.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為
(2,3),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為一1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()
A.(-2,0)
B.(0,-2)
3
C.(-1.0)
3
D.
5.已知<cosA<sin80°,則銳角4的取值范圍是()
A.60°<4<80°B.30。<AV80°C.100<<60°D.10。VAV30°
6.在△ABC中,若角4,8滿足卜054—三|+(1-12118)2=0,則4c的大小是
)
A.45°B.60°C.75°D.105°
7.如圖,在4x4網(wǎng)格正方形中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,頂點(diǎn)為格點(diǎn),若AABCA
的頂點(diǎn)均是格點(diǎn),則C0S4B4c的值是()
A4
BP
C考
4
D5
8.如圖,在△ABC中,AC=5,cosB=-1sinC=則△力BC的面積是()
25
A.14B.12C噂D.21
9.如圖,在高為2M,坡角為30。的樓梯上鋪地毯,地毯的長(zhǎng)度至少應(yīng)為(
A.4m
B.6m
C.
D.(2+2<3)m
10.如圖大壩的橫斷面,斜坡4B的坡比i=1:2,背水坡CD的坡比i=1:1,若坡面CD的長(zhǎng)度為6。米,
則斜坡4B的長(zhǎng)度為()
A.B.6V-3C.D.24
11.如圖,在△4BC中,CH1.AB,CH=h,AB=c,若內(nèi)接正方形DEFG的
邊長(zhǎng)是工,則九、c、x的數(shù)量關(guān)系為()
A.x2+h2=c2
B.gx+h=c
ADHEB
C.h2=xc
12.在平面直角坐標(biāo)系中,正方形/BCD的位置如圖所示,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2),延長(zhǎng)CB交
%軸于點(diǎn)作正方形為B1C1C;延長(zhǎng)C]B]交工軸于點(diǎn)4,作正方形4282c2的;…;按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,
正方形8202382023c2023c2022的面積為()
A.5x(|)2023C.5X6)4044D.5X0)4046
二、填空題(本大題共8小題,共24.0分)
13.如圖,把一張矩形紙片平均分成3個(gè)矩形,若每個(gè)小矩形都與原矩形相似,則原矩形
紙片的寬與長(zhǎng)之比為.
14.若△AOEs/MCB,且喘=5,DE=10,則BC=.
15.一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別為2,4,5,6,另一個(gè)與它相似的多邊形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為24,則該多邊形的最短邊
長(zhǎng)為.
16.如圖,在aABCD中,E在AB上,CE,BD交于尸,若4E:BE=4:3,則SABEF:5ADCF=.
BC
17.如圖,由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的虛線網(wǎng)格中,點(diǎn)AB、C、。為格點(diǎn)(即小正
方形的頂點(diǎn)),AB,CD相交于點(diǎn)P,則PC的長(zhǎng)為.
18.已知a為銳角,且sin(a-10。)=?,則a等于度.
19.如圖,在邊長(zhǎng)相同的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)4B、C、。都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,
4B與CD相交于點(diǎn)P,則tan/APD的值為.
20.如圖,海上有一燈塔P,位于小島4北偏東60。方向上,一艘輪船從小島4出發(fā),由西向東航行24nMi加到
達(dá)B處,這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30。方向上,如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行,當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南
方,此時(shí)輪船與燈塔P的距離是.(結(jié)果保留一位小數(shù),約等于1.73)
三、解答題(本大題共5小題,共60.()分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
21.(本小題12.0分)
如圖,在網(wǎng)格圖中(小正方形的邊長(zhǎng)為1),AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.
(1)把△ABC沿著x軸向右平移6個(gè)單位得到△&B1C1,請(qǐng)畫出AAiBiCi;
(2)請(qǐng)以坐標(biāo)系的原點(diǎn)。點(diǎn)為位似中心在第一象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形A/B2c2,使得△48。與小
心B2c2的位似比為1:2;
(3)請(qǐng)直接寫出△4282c2三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
22.(本小題12.0分)
如圖,E是平行四邊形4BC。的CD邊上的一點(diǎn),連結(jié)8E并延長(zhǎng)交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:AABFfCEB;
(2)若DE=2,CE=3,△DEF的面積為1,求平行四邊形4BCD的面積.
23.(本小題12.0分)
已知AHBC,延長(zhǎng)BC到。,使CO=BC.取4B的中點(diǎn)F,連接FD交4C于點(diǎn)E.
(1)求若的值;
/1C
(2)若4B=18,FB=EC,求4c的長(zhǎng).
24.(本小題12.0分)
如圖,小明為了測(cè)量小河對(duì)岸大樹(shù)BC的高度,他在點(diǎn)⑷則得大樹(shù)頂端B的仰角是45。,沿斜坡走|七米到達(dá)
斜坡上點(diǎn)D,在此處測(cè)得樹(shù)頂端點(diǎn)B的仰角為31。,且斜坡4F的坡比為1:2(參考數(shù)據(jù):sin31。?0.52,cos31°=
0.86,tan31°x0.60).
(1)求小明從點(diǎn)4走到點(diǎn)。的過(guò)程中,他上升的高度;
(2)大樹(shù)BC的高度約為多少米?
25.(本小題12.0分)
為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)力,海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理,如圖,正在執(zhí)行巡航任務(wù)的
海監(jiān)船以每小時(shí)40海里的速度向正東方航行,在4處測(cè)得燈塔P在北偏東60。方向上,繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)8處,
此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30。方向上.
(1)求乙4PB的度數(shù);
(2)已知在燈塔P的周圍20海里內(nèi)有暗礁,問(wèn)海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全?
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:???等邊三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等,
二兩個(gè)等邊三角形一定是相似圖形,故。正確;
又???直角三角形、等腰梯形的對(duì)應(yīng)角不一定相等,矩形的邊不一定對(duì)應(yīng)成比例,
???兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)等腰梯形、兩個(gè)矩形都不一定是相似圖形,故A、8、C錯(cuò)誤.
故選:D.
本題主要考查了相似多邊形的概念.
如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.
2.【答案】C
【解析】【分析】
此題主要考查了相似三角形的性質(zhì),正確得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵.
直接利用相似三角形的性質(zhì),得出普=器,進(jìn)而得出答案.
【解答】
解:因?yàn)椤?B0-C。。,所以甯=黑,即亭=,解得48=4.
L/4.3
所以AB的長(zhǎng)是4.
3.【答案】C
【解析】解::4B=N4CD,N4=N4
ABOxACD,
故①不符合條件;
VZ-ADC=4ACB,乙4=乙4,
ACD,
故②不符合條件;
VAC2=AD-AB,
.?.”=”
ADAC
vZ-A=/-A,
ABC^LACD?
故④不符合條件;
③中不是已知的比例線段的夾角,故③不能判定
故選:C.
根據(jù)相似三角形的判定逐一進(jìn)行判斷即可.
本題主要考查了相似三角形的判定,熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.
4.【答案】A
【解析】解:???四邊形048(;為矩形,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,3),
:.AB=0C=3,0A=2,
???矩形048C與矩形0D"是位似圖形,
AEF//OC,DE//OP,
CED~二CPO9△POD^L.PAB,
eCD_DEPO_OP
Acd=OP9~PA=AB"
.3-OD_1OP_OD
'3=OP9OP+2=Tf
解得:OP=2,OD=|,
點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0),
故選:A.
根據(jù)位似圖形的概念得到EF〃OC,DE//OP,進(jìn)而證明ACEDsACP。,4PODFPAB,根據(jù)相似三角形
的性質(zhì)求出OP,得到答案.
本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì),根據(jù)位似圖形的概念得出EF〃OC,DE〃OP是解題的
關(guān)鍵.
5.【答案】D
【解析】解:cos30。=?,sin80。=coslO。,余弦函數(shù)隨角增大而減小,
:.10。<4<30°.
故選:D.
首先明確0”30。=?,$譏80。=。510。,再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小,進(jìn)行分析.
熟記特殊角的三角函數(shù)值,了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵;
還要知道正余弦之間的轉(zhuǎn)換方法:一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出cosA=?,tanB=1,求出乙4和4B的度數(shù),繼而可求得4c的度數(shù).
【解答】
解:由題意得,cosAtanB=1,
則乙4=30°,乙B=45°,
則4c=180°-30°-45°=105°.
故選D.
7.【答案】C
【解析】解:延長(zhǎng)4c到0,連接BD,如圖:
AD2=20,BD2=5,AB2=25,
AD2+BD2=AB2,
???/-ADB=90°,
???cosZ-cB"AC=—A。
AB
故選:C.
延長(zhǎng)4C到D,連接BD,由網(wǎng)格可得+8。2=AB2,即得乙4OB=90。,可求出答案.
本題考查網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù),解題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造直角三角形.
8.【答案】C
【解析】解:作/W1BC于點(diǎn)、D,
??,△ABC中,AC-5,cosB=sinC=
Z3
.,.緣=g,得力。=3,NB=45°,
AC5
tanB=怨=tan45°,得BD=3,CD=VAC2-AD2=V52-32=4.
DU
.c_(BD+CD)AD_(3+4)x3_21
"、4ABC-2-2-~2,
故選:C.
根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得AD、BD和CD的長(zhǎng),從而可以求得△ABC的面積.
本題考查解直角三角形,解題的關(guān)鍵是明確題意,利用銳角三角函數(shù)解答.
9.【答案】D
【解析】解:???樓梯高度為2m,坡角為30。,
???水平距離=2xcot30°=2ST3,
地毯的長(zhǎng)度至少為(2+2「)(米).
故選:D.
由題可知地毯的長(zhǎng)度=構(gòu)成直角三角形的兩直角邊的和,據(jù)此即可解答.
此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是明白地毯的長(zhǎng)度=構(gòu)成直角三角形的兩直角邊的和.
10.【答案】C
【解析】解:過(guò)B作BEJ.4D于E,過(guò)C作CFL4D于F,如圖所-------f
示:\
則四邊形BEFC是矩形,£--------------:-------三---\
AEFD
:.BE=CF,
???背水坡CD的坡比i=1:1,CD=6/父米,
?1?CF=DF=^CD=6(米),
BE=CF=6米,
又?.?斜坡48的坡比i=1:2=骼
AE
AE=2BE=12(米),
AB=VAE2+BE2=V122+62=6V米),
故選:C.
過(guò)8作BE14D于E,過(guò)C作CF14。于F,則四邊形BEFC是矩形,得BE=CF,由坡比得BE=CF=。/=
殍CO=6(米),4E=28E=12(米),再由勾股定理解答即可.
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí);熟練掌握坡
比的定義,正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.
11.【答案】D
【解析】解:如圖,設(shè)CH與GF交于點(diǎn)
GF//DE,/.GDE=Z.DGF=90°,
CGFsACAB,
.GF_CM
???AB='CH9
??,CH1AB,
???乙DHM=90°,
???四邊形是矩形,
???DG=MH,
vCH=hfAB=c,正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x,
??,MH=x,
:?CM=CH—MH=h-x,
x_h-x
c一h
1
2.?1一_=-1--,
exh
故選:D.
先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到G/7/CE,從而證明△CGF-ACAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可列出比例式,再通
過(guò)證明四邊形DHMG是矩形表示出CM的長(zhǎng)度,即可求解.
本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是證明△CGFs/kCAB后列出比例式.
12.【答案】D
【解析】解:?.?正方形4BCD的點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2),
OA=1,OD=2,AD=y/-5^^
延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)久,作正方形為B1GC,
??.△DAO,
.維一
??AB~29
vAD=AB=V_5,
?-?AXB=亨,
???第1個(gè)正方形的面積為:Si=41c2=5?(|)2,
同理可得,42c2=6七+1|,^)2,
4
第二個(gè)正方形面積為:S2=5?(|),
第71個(gè)正方形面積為:Sn=5?(|)2n,
???第2023個(gè)正方形的面積為:S2023=5-(|)4046,
故選:D.
根據(jù)相似三角形的判定原理,得出△441BSA4/12B1,繼而得知NB/UI=NBi4A2;利用勾股定理計(jì)算出
正方形的邊長(zhǎng);最后利用正方形的面積公式計(jì)算三個(gè)正方形的面積,從中找出規(guī)律,問(wèn)題也就迎刃而解了.
本題綜合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),另外,在解題過(guò)程中,要認(rèn)真挖
掘題中隱藏的規(guī)律,這樣可以降低解題的難度,提高解題效率.
13.【答案】1:C
【解析】解:設(shè)原矩形48C。的長(zhǎng)為X,寬為y,
二小矩形的長(zhǎng)為y,寬為《x,
???小矩形與原矩形相似,
...聶"
y%
y:x=1:V-3.
故答案為:1:y/~~3-
設(shè)原矩形力BCD的長(zhǎng)為x,寬為y,根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等,即可求得原矩形紙片的長(zhǎng)與寬之比.
本題考查了相似多邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.相似多邊形的性質(zhì)為:①
對(duì)應(yīng)角相等;②對(duì)應(yīng)邊的比相等.
14.【答案】15
【解析】解:ADEMACB,
嘿=能嗯=1,』1。,
BC=15.
故答案為:15.
根據(jù)△ADEsZMCB,得到券=普,代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可.
本題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等并找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵.
15.【答案】8
【解析】解:該多邊形的最短邊長(zhǎng)為X.
由相似多邊形的性質(zhì)可知:[=當(dāng)
zo
%=8,
故答案為:8.
該多邊形的最短邊長(zhǎng)為X.利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.
本題考查相似多邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.
16.【答案】9:49
【解析】解:?:AE:BE=4:3,
BE:AB=3:7,
???四邊形4BCD是平行四邊形,
AAB=CD,AB“CD,
???△BFEs〉DFC,
.S^BEF_,毀)2_A2_9
“SADF「(8)-G)-49?
故答案為:9:49.
由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,AB//CD,證明△BFE?△DFC,由相似三角形的性質(zhì)可得出答案.
本題考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),證明?△DFC是解題的關(guān)鍵.
17.【答案】亨
【解析】解:由勾股定理得,CD=V12+22=<5
由圖形可知,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),
EC=\CD=BE=p
zz乙
???AC//BE,
???△/PCyBPE,
4PC4
PC_AC/即方
~PE~^E
2AT5
解得,PC=--------9
7
故答案為:亨
根據(jù)勾股定理求出CD,結(jié)合圖形求出CE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理列出比例式,計(jì)算即可.
本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì),掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的
關(guān)鍵.
18.【答案】70
【解析】【分析】
本題考查特特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)sin60。=?解答.
【解答】
解::a為銳角,sin(a—10。)=詈,sin60。=?,
???a-10°=60°,
a=70°.
故答案為70.
19.【答案】2
【解析】解:連接BE,
???四邊形BCED是正方形,
DF=CF=^CD,BF=^BE,CD=BE,BE1CD,
BF=CF,
根據(jù)題意得:AC//BD,
???△71cps△BDP,
ADP:CP=BD:AC=1:3,
/.DP:DF=1:2,
:?DP=PF=;CF=抽,
DC
^.Rt△PBF^,tanNBPF=^=2,
PF
Z.APD=Z.BPF,
tanZ-APD=2.
故答案為:2
首先連接BE,由題意易得BF=CF,AACPMBDP,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,易得DP:CP=1:
3,即可得PF:CF=PF:BF=1:2,在RtZkPBF中,即可求得tan/BPF的值,繼而求得答案.
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),三角函數(shù)的定義.此題難度適中,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線,
注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
20.【答案】20.8
【解析】【分析】
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題,等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),正確作出高線,轉(zhuǎn)化為直
角三角形的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.
過(guò)P作PD14B于。,易證A4BP是等腰三角形,得到8。=48=24兀而也.然后在直角^「8。中,利用三角
函數(shù)的定義求得PD的長(zhǎng)即可.
【解答】
解:過(guò)P作PD1AB于。.
北
???Z.PAB=30°,4PBD=60°,
乙PAB=/.APB,
???BP=AB=24nmile.
在直角△PBD中,PD=BP?sin/PBD=24xy=12口?20.8(nm〃e).
即此時(shí)輪船與燈塔P的距離約為20.8nm〃e.
故答案為20.8.
21.【答案】解:(1)如圖,△&B1G為所作;
(2)如圖,A&B2c2為所作;
(3)2c2三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(6,0),B2(6,4),C2(2,6).
【解析】本題考查了作圖-位似變換:在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為
k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.也考查了平移變換.
(1)利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律寫出&、B]、6的坐標(biāo),然后描點(diǎn)即可;
(2)(3)根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)為位似中心的點(diǎn)的坐標(biāo)特征,把4、B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以-2得到&、%、的坐標(biāo),
然后描點(diǎn)即可.
22.【答案】(1)證明:???在平行四邊形ABCD中,乙4=4C,AD//BC
???(F=乙CBF
???△ABFs〉CEB
(2)解:vAD//BC
???Z,EFD=乙EDF,Z.BFD=乙CBF
???△CEB~ADEF
...S^CEE_A2
S&OEFDE22
99
*'?S&cEB=*&OEF=4
MABF八CEB,在平行四邊形ABCD中,AB=CD=DE+CE=5
.S^ABF_48?_,5.
“初一育一卬2
_25_25
'△ABF-93△CEF-4
15
^LABCD=S&ABF+S&CEB~S〉OEF=爹
【解析】(1)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可;
(2)利用相似三角形的性質(zhì)求解.
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
23.【答案】解:⑴如圖,連接尸C、AD.
???點(diǎn)尸是4B的中點(diǎn),CD=BC,
二FC是AADB的中位線,
???FC//*1AD,
EFC^AEDA,
生=也
CEFC
AE2
—=一:
AC3
(2)?點(diǎn)產(chǎn)是AB的中點(diǎn),AB=18,FB=EC,
:.EC=^AB=9.
由⑴知,,=2,則等=2,故AE=18,
AC=AE+EC=IS+9=27.
【解析】⑴如圖,連接/C、4D.易證FC是△ADB的中位線,則F/刑
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