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文檔簡(jiǎn)介
2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(每小題5分,共40分)
1.下列函數(shù)中定義域?yàn)镽的是()
1
A.y=JxB.y=(x-l)°C.y=x2+3D.y=—
.x
2.已知向量a,〃滿足|:|=1,ab=-\>則a?(2a-〃)=()
A.4B.3C.2D.0
3.直線3+y+2=0的傾斜角及在y軸上的截距分別是()
A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2
4.己知直線/i:(。-2)x+ay+2=0,l2:x+(a—2)y+a=0,則口丄/是的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
已知sin(5n+?)=5sinf—+crj,則sin2a+sin?
5.a—()
A,竺20
D.
26li
6.如圖,平行四邊形ABC。中,點(diǎn)E為8c的中點(diǎn),點(diǎn)尸在線段AE上,S.AF=2FE,記a=48,b=AD,
則BF=()
12,c12,
A.-a——bB.——a+—b
3343
〃51,n117
C.——a+—bD.——a+—h
8333
7.八一廣場(chǎng)是南昌市的心臟地帶,八一南昌起義紀(jì)念塔是八一廣場(chǎng)的標(biāo)志性建筑,塔座正面鐫刻“八一南
昌起義簡(jiǎn)介”碑文,東、西、南三門各有一副反映武裝起義的人物浮雕,塔身正面為“八一起義紀(jì)念塔''銅胎
鎏金大字,塔頂由一支直立的巨型“漢陽造”步槍和一面八一軍旗組
成.現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場(chǎng)上對(duì)八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)
行測(cè)量,并繪制出測(cè)量方案示意圖,A為紀(jì)念塔最頂端,8為紀(jì)念塔
的基座(3在A的正下方),在廣場(chǎng)內(nèi)(與B在同一水平面內(nèi))選取
C、。兩點(diǎn),測(cè)得CZ)的長為江已知興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的
角有厶8、厶CD、ZBCD、ZADC,NBZX7,則根據(jù)下列各組中的
測(cè)量數(shù)據(jù),不能計(jì)算岀紀(jì)念塔高度A6的是()
A.m,ZACB,/BCD,/BDCB.m,厶CB,/BCD,ZACD
C./n,ZACB,ZACD,ZA£>CD.m,ZACB,/BCD,/ADC
且對(duì)任意的0<根<〃,都有"")一"〃)<0,且"4)=0,則
8.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù),
m-n
不等式/(一*_2)-/0+2)>0的解集為(
)
x
A.(-6,0)B.(—00,—6)(2,-l-oo)
C.(—oo,—6)(0,2)D.(F,-6)(-2,0)(2,田)
二、多選題(每小題5分,共20分)
9.下列式子表示正確的是:()
A.120=—radB.tcin(—)=-1
34
C.sin(^-cr)=-cosaD.。為第二象限的角,貝iJcosacO
10.下列說法正確的是()
A.過(玉/),伍,先)兩點(diǎn)的直線方程為曰=三?
B.直線x-y-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8
C.點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x+l的對(duì)稱點(diǎn)為
D.直線,^^—^^〃^。(相《刈必過定點(diǎn)
11.已知函數(shù)f(x)=2sin[x-^Jcos(x-:J,貝I](
A.〃x)的最小正周期為2萬B.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于仁,0
C.》=-專是函數(shù)“X)圖象的一條對(duì)稱軸
5TT
D.將函數(shù)g(x)=cos%-sin2x的圖象向右平移二個(gè)單位后得到函數(shù)“X)的圖象
12.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”;底面為矩形,一條側(cè)棱垂
直于底面的四棱錐稱為“陽馬”,四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉廣”,如圖在塹堵ABC-A円G中,
AC1BC,且A4,=A8=2.下列說法正確的是()
A.四棱錐B-AACG為“陽馬”
B.四面體AACB的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且球的表面積為近兀
c.四棱錐8-AACG體積最大值為:
D.四面體AGCB為“鱉廣”
三、填空題(每小題5分,共20分)
13.若復(fù)數(shù)(l-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.
2AX>3
14.已知函數(shù)/(x)=;一、,則/(l+log23)=_______.
J~IXI1),<3
15.函數(shù)〃x)=3sin;cos;+瓜in[-咚+膽,若對(duì)于任意的-14x4號(hào)有”“對(duì)恒成立,則實(shí)數(shù),號(hào)的
最小值是.
16.已知函數(shù)/(x)=sin胃+e*”,有下列四個(gè)結(jié)論:①圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱;②/"⑴的最大值是2;?/(x)
的最大值是-1,;④/'(x)在區(qū)間[-2015,2015]上有2015個(gè)零點(diǎn).其中正確的結(jié)論是
(寫出所有正確的結(jié)論序號(hào)).
四、解答題(70分)
17.(10分)已知直線/1:ox+y+2=0(aeR).
⑴若直線4在x軸上的截距為2,求實(shí)數(shù)。的值;
(2)若直線乙與直線32x-y+l=0平行,求兩平行線之間的距離.
18.(12分)設(shè)“萬卜戸+丁十6是定義在卜久田上的奇函數(shù).
⑴求〃的值;
(2)若〃x)在[0,2]上單調(diào)遞增,且/(加)+/(加-1)>0,求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.
19.(12分)在中,角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知4a=3仇8=2A.
(1)求8$8;
(2)若a=9,求ABC的面積.
20.(12分)如圖,ABC中,AC=BC=—AB,ABED是正方形,平面A6£D丄平面ABC,若G、尸分
2
別是EC、8。的中點(diǎn).f----------------
⑴求證:GF〃平面A8C;卜
(2)求證:平面BCE丄平面4C£>.V.y/
21.(12分)已知_MC的三個(gè)內(nèi)角A,8,C對(duì)應(yīng)的三條邊分別為“,b,c,且有:?jiǎn)?cosC+;注=0.
sinB2sinB
(1)求角B的大?。?/p>
(2)設(shè)AC=9,若點(diǎn)M是邊AC上一點(diǎn),且AM=gA/C,AM=MB,求二MM的面積.
22.(12分)已知如圖平面四邊形ABC。,AB=AD^2,ZBAD=60°,ZBCD=30°,8D丄8現(xiàn)將△ABO
沿即邊折起,使得平面至。丄平面BCD,,點(diǎn)尸為線段A£>的中
(1)求證:5P丄平面AGD;/
(2)若“為C。的中點(diǎn),求MP與平面BPC所成角的正弦值;8個(gè)~
(3)在(2)的條件下,求二面角的平面角的余弦值.\―
2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)答案
1.C2.B3.C4.B5.A
6.D解析:因?yàn)槠叫兴倪呅蜛3C。中,E是BC的中點(diǎn),AF=2FE,AD=a,AB=b,
所以BF=BE-FE=BE」AE=BE-L(AB+BE)=--AB+-BE=--AB+-X-BC=--AB+-BC
33、丿3333233
=—ABH—40=—ciH—匕.故選:D.
3333
7.B解析:對(duì)于A,由a,可以解△BCD,又AB=BCtanNACB,可求塔高度AB,故選項(xiàng)
A能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB;對(duì)于B,在△88中,由8=加,ZB8無法解三角J形,
在“A8中,由8=加,NACO無法解三角形,在V3C4中,已知兩角N4CB,NABC無法
解三角形,所以無法解出任意三角形,故選項(xiàng)B不能計(jì)算出紀(jì)念塔高度A8;對(duì)于n,C,由
CD=m,ZACD,NA£>C可以解ACZ),可求AC,又A8=ACsinNACB,即一':‘可求
塔高度A8,故選項(xiàng)C能計(jì)算出紀(jì)念塔高度A8;'D
對(duì)于D,如圖,過點(diǎn)B作8E丄C£>于點(diǎn)E,連接AE,由題意知,丄平面BCD,CDu平面BCD,所以
ABLCD,因?yàn)锽EAB=A,BE,ABu平面ABE,所以8丄平面ABE,AEu平面ABE,所以C£>丄AE,
ECBCECEC
則cosNACE=',由cosNACB=,,cosNBC£>=,,cosNACE=,知
ACACBCAC
cosZACE=cosZACB-cosZBCD,,故可知NAQ)的大小,由NACO,NADC,加可解一AC£),可求AC,
又AB=AC-sinNAC8,可求塔高度A8,故選項(xiàng)D能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB;故選:B.
8.D解析:因?yàn)閷?duì)任意的OVwVn,都有‘<0,此時(shí)根-Z0,則/(6)討(“),所以f(x)在
m-n
(0,+8)單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù),所以“X)在(-8,0)單調(diào)遞減,
/H)=-/(4)=0,所以當(dāng)x<—4和0<x<4時(shí),F(xiàn)(x)>0;當(dāng)T<r<0和x>4時(shí),/(x)<0.
卜〃x+2)=_2〃x+2)〉0,即由x+2)V0,所以]*広或憶。或或
XX7[x+2<-4[0<x+2<4[x+2>4
亠右—,所以Z-6或-2<x<0或A>2或x無解,所以原不等式解集為(9,-6)(-2,0)(2,田)
故選:D
9.ABD10.BD11.BCD
12.AD解析:底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”,.?.在塹堵ABC-AB|G中,
AC1BC,側(cè)棱AA丄面ABC,A:BCu面ABC,則叫丄BC,又AC丄BC,且44,AC=A,則BC丄
面AACG,.?.四棱錐B-AACG為“陽馬”,對(duì);c:W4=AC2+BC2>2AC-BC.即ACW
1I74
當(dāng)且僅當(dāng)AC=8C=&時(shí)取等號(hào),=-5Vcc,xBC=-AAlxACxBC=-ACxBC<~,錯(cuò);D:由
AC1BC,即AG丄8C,又AG丄GC且3CcGC=C,BC,GCu面BB£C,:.AG丄面BB,C,C,BC、u
面B3CC,
AG丄BC-則VAfG為直角三角形,由BC,面A41Gc,ACu面/^GC,.^.BC丄AC,則為
直角三角形,由“塹堵’’的定義得AGC為直角三角形,eqs為直角三角形.四面體AGC8為“鱉朧”,
對(duì);B:由C知.ABC為直角三角形,側(cè)棱AA丄面4BC,易知△AAB,Z\AAC為直角三角形,
而.ABC為直角三角形,則外接球球心。位于AB的中點(diǎn),則外接球半徑R==百=&,
則球的表面積為4兀紹=4兀x(V5)=8兀,錯(cuò).故選:AD.
13.-214.12
15.°解析:/(x)=3sin—cos-+\/3sin2-+=—sin-+—f1-cos—>1-^^+/??
2八丿444222212)2
rz.(x7ty兀,,2兀TtXTlTl..「.亠「兀兀]r_r厶冃i,小、r3
=V3sin---,--<x<—,.y=7ismz在上的最小值為一;,
[26丿333266L36J2
\/任)最小值為-;3+小,令-3>〃此0,解得加暁3則實(shí)數(shù)用的最小值是3:故答案為:!3
16.①②解析:對(duì)于①,???y=sin號(hào)的圖象關(guān)于對(duì)稱,y=e+T的圖象關(guān)于對(duì)稱,???/a)的圖象
冗y
關(guān)于直線x=l對(duì)稱,故①正確,對(duì)于②,?;-l$sinfsi,0<eT*TKl,;.x=l時(shí),/(X)的最大值是2,
2rr)x--
故②正確,③不正確,對(duì)于④,;y=sinT的周期為T=四=4,x=4及+LZwZ時(shí),y=\,函數(shù)圖象關(guān)于
直線x=l對(duì)稱,函數(shù)y=eTT的圖象關(guān)于直線*=1對(duì)稱,且*=1時(shí),y=eTT
取得最大值1,力1時(shí),0<e""<i,作出函數(shù)片sin號(hào)和y=e+T的圖象,
如圖,在不含x=l的每個(gè)周期區(qū)間上,它們都有兩個(gè)交點(diǎn),因此在[-2015,-3)
上有1006個(gè)交點(diǎn),在[3,2015)上有1006個(gè)交點(diǎn),x=2015時(shí),sinm詈=-1,
不是交點(diǎn),而在區(qū)間”3,3)上,由圖可知它們有4個(gè)交點(diǎn),所以在[-2015,2015]上這兩個(gè)圖象有2016個(gè)交
點(diǎn),即原函數(shù)有2016個(gè)零點(diǎn).故④錯(cuò).故答案為:①②
17.(1)。二一1(2)手
18.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),貝1]〃0)=。=0,
當(dāng)6=0時(shí),/(X)=X5+X3,且/(_X)=(—対+(_”3=_(15+%3)=_/(%),
即f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),符合題意,所以匕=0.
(2)若“X)在[0,2]上單調(diào)遞增,且/(x)是奇函數(shù),可知"X)在[-2,0]上單調(diào)遞增,且在x=0處連續(xù)不
斷,所以“X)在[-2,2]上是增函數(shù),因?yàn)椤奥?/(6一1)>0,則“咐>一〃機(jī)-1)=〃1一%),
-2<m<2
可得一2W機(jī)-142,解得3M2,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(g,2
m>\-m
19.解:(1)由4a=33及正弦定理得:4sinA=3sinB,由3=2A得:
2
sin5=sin2A=2sinAcosA./.4sinA=6sin4cosA,由0vAv兀知sinA>0,「.cosA=一
3
cosB=cos2A=2cos2A-1=——
9
知cosB=-,由余弦定理庁=/+c?-2accosB得:
(2):當(dāng)a=9時(shí),代入44=3。得:6=12,由⑴
144=81+c2+2cr整理得:?+2c-63=0,解得:c=7,由(1)知:sinA=Jl-cos2A=
鋁4涼
—bcsinA=—x7x12x
22
法二:當(dāng)a=9時(shí),代入4q=3。得:6=12,由⑴得:sin7l=-COS2A=
?■-SinB=Sin2A=2XTXt=¥,由A+8+I得。=A(A+以
+1、¥=齊'■?-w4?fcinc4x9xi2x^=14^-
/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=手x
2
法三:當(dāng)。=9時(shí),代入4a=3b得:8=12,由(1)得:cosA=§,由余弦定理"二庁十。?一力70cosA得:
8I=144+C2-16C,整理得:C2-16C+63=0,解得:。=9或。=7,若c=9,則ABC為等腰三角形,此
時(shí)4=。,由B=2A及內(nèi)角和定理得:A=與cosAng矛盾,不合題意,「.c=7,
=乎,S&ABC=^bcsinA=^x7x12x^=14后.
*/sirM=-cos2A
2().解:(1)證明:如圖,取BE的中點(diǎn)4,連接HF,GH.G,F分別是EC和比)的中點(diǎn),
HF//DE.又四邊形ADE8為正方形,.?.£>£■〃AB,從而HF〃AB.
3Cu平面ABC,〃60平面48。,,〃6〃平面48(7,同理〃平面ABC,又
HGHF=H,HG,HFu平面〃GF,;?平面"GF〃平面ABC,
GFu平面HGF,則GF//平面ABC\
(2)為正方形,:.AD1AB.又平面他匹丄平面ABC,且平面ABEDc平面
ABC=AB,AOu面AOEB,丄平面ABC,:BCu平面ABC,ADIBC,
設(shè)/W=l,AC=BC=-AB,:.AC=BC=也,:.CA2+CB2=AB2,:.ACIBC.
22
又ADAC=A,AD,ACu平面AC。,.1BC丄平面ACD,而BCu平面BCE,.?.平面BCE丄平面AC。.
sinAsin「
21.解:(1)依題意得,-——cosC+——=0,則有2sinA—2sinB8sC+sinC=0,故:
sinB2sinB
2sin(B4-C)-2sinBcosC+sinC=0.即:2cosBsinC+sinC=0,因?yàn)椤!?0,兀),所以sinCwO,所以
1Ojr
cos8=-;,又Be(O,7t),所以B=?.
(2)如圖,由所以AM=3,MC=6,BM=AM^3.在ABC中,由余弦定理得
b2=a2+c2-2accosB,即〃+c?+訛=81.①,又由于2AM=MC,所以
_____1__1/\21-24__21__24-__
BM=BA+AM=BA+-AC=BA+-(BC-BA]=-BA+-BCBM=-BA+—BC+-BABC,
33、丿33999
4八]4
即9=入。+Aa2+N"c°sB,所以/+402-2改=81.②
999
②一①得3c2=3“c,所以"=c,代入①得。=C=3X/L在△8WC中,
BM2+BC2=32+(3>/3)2=36=MC2,所以ABMC是以ZMBC為直角的三角形,
所以ASMC的面積為丄X3X3G=M,由于AM=[MC,知*L=M=〈,
222SBMCMC2
故一ABM的面積為唯.
4
22(1)因?yàn)锳B=AZ),ZBAD=60°,所以△A8O為等邊三角形,因?yàn)镻為AQ的中點(diǎn),所以3尸丄4).
取BO的中點(diǎn)E,連接AE,AB=AD,則AE1BD,因?yàn)槠矫鎭A平面BCD,平面ABDc平面BCD=BD,
AEu平面曲,所以AE丄平面SCO,又CDu平面8CO,所以AE丄8,
因?yàn)锳D丄CD,ADr>AE=A,AE,ADu平面ABD,所以CO丄平面ABD,
因?yàn)锽Pu平面42,所以8丄BP,
又因?yàn)镃£>AD=D,CD,4)u平面AC。,所以3P丄平面AC。.
(2)過點(diǎn)M作丄尸C,垂足為H.如圖所示,
由(1)知,3P丄平面48,因?yàn)镸Wu平面AC。,所以BP丄MH,
BPPC=P,BP,PCu平面8PC,所以MW丄平面BPC,
所以ZMPC為MP與平面BPC所成角.
由(1)知,8丄平面45。,瓦)u平面4?。,所以8丄BQ,
在RtBCD中,因?yàn)?3C£>=30。,BD=2,所以QC=———=2拒,
tan/BCD
因?yàn)镸為C£>的中點(diǎn),所以MD=CM=gcD=百,
在RtPOM中,PM=JPD2+MD。=&+(廚=2,
在RtPDC中,PC=
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