宜豐中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.下列函數(shù)中定義域?yàn)镽的是（）

1

A.y=JxB.y=（x-l）°C.y=x2+3D.y=—

.x

2.已知向量a,〃滿(mǎn)足|：|=1,ab=-\>則a?（2a-〃）=（）

A.4B.3C.2D.0

3.直線(xiàn)3+y+2=0的傾斜角及在y軸上的截距分別是（）

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

4.己知直線(xiàn)/i：(。-2)x+ay+2=0,l2：x+(a—2)y+a=0,則口丄/是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

已知sin(5n+?)=5sinf—+crj,則sin2a+sin?

5.a—()

A,竺20

D.

26li

6.如圖，平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線(xiàn)段AE上,S.AF=2FE,記a=48，b=AD，

則BF=()

12,c12,

A.-a——bB.——a+—b

3343

〃51,n117

C.——a+—bD.——a+—h

8333

7.八一廣場(chǎng)是南昌市的心臟地帶，八一南昌起義紀(jì)念塔是八一廣場(chǎng)的標(biāo)志性建筑，塔座正面鐫刻“八一南

昌起義簡(jiǎn)介”碑文，東、西、南三門(mén)各有一副反映武裝起義的人物浮雕，塔身正面為“八一起義紀(jì)念塔''銅胎

鎏金大字，塔頂由一支直立的巨型“漢陽(yáng)造”步槍和一面八一軍旗組

成.現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場(chǎng)上對(duì)八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)

行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖，A為紀(jì)念塔最頂端，8為紀(jì)念塔

的基座（3在A的正下方），在廣場(chǎng)內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取

C、。兩點(diǎn)，測(cè)得CZ）的長(zhǎng)為江已知興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的

角有厶8、厶CD、ZBCD、ZADC,NBZX7,則根據(jù)下列各組中的

測(cè)量數(shù)據(jù)，不能計(jì)算岀紀(jì)念塔高度A6的是()

A.m,ZACB,/BCD,/BDCB.m,厶CB,/BCD,ZACD

C./n,ZACB,ZACD,ZA￡>CD.m,ZACB,/BCD,/ADC

且對(duì)任意的0＜根＜〃，都有"")一"〃)＜0,且"4)=0,則

8.已知函數(shù)/（X）是定義在R上的奇函數(shù),

m-n

不等式/（一*_2）-/0+2）>0的解集為（

)

x

A.(-6,0)B.(—00,—6)(2,-l-oo)

C.(—oo,—6)(0,2)D.(F,-6)(-2,0)(2,田)

二、多選題(每小題5分，共20分)

9.下列式子表示正確的是：()

A.120=—radB.tcin(—)=-1

34

C.sin(^-cr)=-cosaD.。為第二象限的角，貝iJcosacO

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.過(guò)(玉/),伍,先)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為曰=三?

B.直線(xiàn)x-y-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8

C.點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線(xiàn)y=x+l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

D.直線(xiàn)，^^—^^〃^。(相《刈必過(guò)定點(diǎn)

11.已知函數(shù)f(x)=2sin[x-^Jcos(x-：J,貝I](

A.〃x)的最小正周期為2萬(wàn)B.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于仁,0

C.》=-專(zhuān)是函數(shù)“X)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

5TT

D.將函數(shù)g(x)=cos%-sin2x的圖象向右平移二個(gè)單位后得到函數(shù)“X)的圖象

12.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂

直于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉廣”，如圖在塹堵ABC-A円G中,

AC1BC,且A4,=A8=2.下列說(shuō)法正確的是()

A.四棱錐B-AACG為“陽(yáng)馬”

B.四面體AACB的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為近兀

c.四棱錐8-AACG體積最大值為:

D.四面體AGCB為“鱉廣”

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.若復(fù)數(shù)(l-2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.

2AX>3

14.已知函數(shù)/(x)=；一、,則/(l+log23)=_______.

J~IXI1),<3

15.函數(shù)〃x)=3sin；cos；+瓜in［-咚+膽，若對(duì)于任意的-14x4號(hào)有”“對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)，號(hào)的

最小值是.

16.已知函數(shù)/(x)=sin胃+e*”,有下列四個(gè)結(jié)論：①圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)；②/"⑴的最大值是2；?/(x)

的最大值是-1,;④/'(x)在區(qū)間［-2015,2015］上有2015個(gè)零點(diǎn).其中正確的結(jié)論是

(寫(xiě)出所有正確的結(jié)論序號(hào)).

四、解答題(70分)

17.(10分)已知直線(xiàn)/1：ox+y+2=0(aeR).

⑴若直線(xiàn)4在x軸上的截距為2,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若直線(xiàn)乙與直線(xiàn)32x-y+l=0平行，求兩平行線(xiàn)之間的距離.

18.(12分)設(shè)“萬(wàn)卜戸+丁十6是定義在卜久田上的奇函數(shù).

⑴求〃的值；

(2)若〃x)在［0,2］上單調(diào)遞增，且/(加)+/(加-1)>0,求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

19.(12分)在中，角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知4a=3仇8=2A.

(1)求8$8；

(2)若a=9,求ABC的面積.

20.(12分)如圖，ABC中，AC=BC=—AB,ABED是正方形，平面A6￡D丄平面ABC,若G、尸分

2

別是EC、8。的中點(diǎn).f----------------

⑴求證：GF〃平面A8C;卜

(2)求證：平面BCE丄平面4C￡>.V.y/

21.(12分)已知_MC的三個(gè)內(nèi)角A,8,C對(duì)應(yīng)的三條邊分別為“，b,c,且有：?jiǎn)?cosC+；注=0.

sinB2sinB

(1)求角B的大?。?/p>

(2)設(shè)AC=9,若點(diǎn)M是邊AC上一點(diǎn)，且AM=gA/C,AM=MB,求二MM的面積.

22.(12分)已知如圖平面四邊形ABC。，AB=AD^2,ZBAD=60°,ZBCD=30°,8D丄8現(xiàn)將△ABO

沿即邊折起，使得平面至。丄平面BCD,,點(diǎn)尸為線(xiàn)段A￡>的中

(1)求證：5P丄平面AGD；/

(2)若“為C。的中點(diǎn)，求MP與平面BPC所成角的正弦值；8個(gè)~

(3)在(2)的條件下，求二面角的平面角的余弦值.\―

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)答案

1.C2.B3.C4.B5.A

6.D解析：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛3C。中，E是BC的中點(diǎn)，AF=2FE,AD=a,AB=b,

所以BF=BE-FE=BE」AE=BE-L（AB+BE）=--AB+-BE=--AB+-X-BC=--AB+-BC

33、丿3333233

=—ABH—40=—ciH—匕.故選：D.

3333

7.B解析：對(duì)于A,由a,可以解△BCD,又AB=BCtanNACB,可求塔高度AB,故選項(xiàng)

A能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB；對(duì)于B,在△88中，由8=加，ZB8無(wú)法解三角J形，

在“A8中，由8=加，NACO無(wú)法解三角形，在V3C4中，已知兩角N4CB,NABC無(wú)法

解三角形，所以無(wú)法解出任意三角形，故選項(xiàng)B不能計(jì)算出紀(jì)念塔高度A8；對(duì)于n,C,由

CD=m,ZACD,NA￡>C可以解ACZ),可求AC,又A8=ACsinNACB,即一':‘可求

塔高度A8,故選項(xiàng)C能計(jì)算出紀(jì)念塔高度A8；'D

對(duì)于D,如圖，過(guò)點(diǎn)B作8E丄C￡>于點(diǎn)E,連接AE,由題意知，丄平面BCD,CDu平面BCD,所以

ABLCD,因?yàn)锽EAB=A,BE,ABu平面ABE,所以8丄平面ABE,AEu平面ABE,所以C￡>丄AE,

ECBCECEC

則cosNACE='，由cosNACB=，,cosNBC￡>=,，cosNACE=，知

ACACBCAC

cosZACE=cosZACB-cosZBCD,,故可知NAQ)的大小，由NACO,NADC,加可解一AC￡),可求AC,

又AB=AC-sinNAC8,可求塔高度A8,故選項(xiàng)D能計(jì)算出紀(jì)念塔高度AB；故選：B.

8.D解析：因?yàn)閷?duì)任意的OVwVn,都有‘<0,此時(shí)根-Z0,則/(6)討(“)，所以f(x)在

m-n

(0,+8)單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以“X)在(-8,0)單調(diào)遞減,

/H)=-/(4)=0,所以當(dāng)x<—4和0<x<4時(shí)，F(xiàn)(x)>0；當(dāng)T<r<0和x>4時(shí)，/(x)<0.

卜〃x+2)=_2〃x+2)〉0,即由x+2)V0,所以]*広或憶。或或

XX7[x+2<-4[0<x+2<4[x+2>4

亠右—，所以Z-6或-2<x<0或A>2或x無(wú)解，所以原不等式解集為(9,-6)(-2,0)(2,田)

故選：D

9.ABD10.BD11.BCD

12.AD解析：底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”，.?.在塹堵ABC-AB|G中，

AC1BC,側(cè)棱AA丄面ABC,A：BCu面ABC,則叫丄BC,又AC丄BC,且44,AC=A,則BC丄

面AACG，.?.四棱錐B-AACG為“陽(yáng)馬”，對(duì);c：W4=AC2+BC2>2AC-BC.即ACW

1I74

當(dāng)且僅當(dāng)AC=8C=&時(shí)取等號(hào)，=-5Vcc,xBC=-AAlxACxBC=-ACxBC<~,錯(cuò)；D：由

AC1BC,即AG丄8C,又AG丄GC且3CcGC=C,BC,GCu面BB￡C,：.AG丄面BB,C,C,BC、u

面B3CC,

AG丄BC-則VAfG為直角三角形，由BC，面A41Gc,ACu面/^GC,.^.BC丄AC,則為

直角三角形，由“塹堵’’的定義得AGC為直角三角形，eqs為直角三角形.四面體AGC8為“鱉朧”,

對(duì)；B：由C知.ABC為直角三角形，側(cè)棱AA丄面4BC,易知△AAB,Z\AAC為直角三角形，

而.ABC為直角三角形，則外接球球心。位于AB的中點(diǎn)，則外接球半徑R==百=&,

則球的表面積為4兀紹=4兀x(V5)=8兀，錯(cuò).故選：AD.

13.-214.12

15.°解析：/(x)=3sin—cos-+\/3sin2-+=—sin-+—f1-cos—>1-^^+/??

2八丿444222212)2

rz.(x7ty兀,，2兀TtXTlTl..「.亠「兀兀］r_r厶冃i,小、r3

=V3sin---,--<x<—,.y=7ismz在上的最小值為一；，

［26丿333266L36J2

\/任)最小值為-；3+小，令-3>〃此0,解得加暁3則實(shí)數(shù)用的最小值是3:故答案為：!3

16.①②解析：對(duì)于①，???y=sin號(hào)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，y=e+T的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，???/a)的圖象

冗y

關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，故①正確，對(duì)于②，?；-l$sinfsi,0<eT*TKl,；.x=l時(shí)，/(X)的最大值是2,

2rr)x--

故②正確，③不正確，對(duì)于④，；y=sinT的周期為T(mén)=四=4,x=4及+LZwZ時(shí)，y=\,函數(shù)圖象關(guān)于

直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y=eTT的圖象關(guān)于直線(xiàn)*=1對(duì)稱(chēng)，且*=1時(shí)，y=eTT

取得最大值1,力1時(shí)，0<e""<i，作出函數(shù)片sin號(hào)和y=e+T的圖象，

如圖，在不含x=l的每個(gè)周期區(qū)間上，它們都有兩個(gè)交點(diǎn)，因此在［-2015,-3)

上有1006個(gè)交點(diǎn)，在［3,2015)上有1006個(gè)交點(diǎn)，x=2015時(shí)，sinm詈=-1,

不是交點(diǎn)，而在區(qū)間”3,3)上，由圖可知它們有4個(gè)交點(diǎn)，所以在［-2015,2015］上這兩個(gè)圖象有2016個(gè)交

點(diǎn)，即原函數(shù)有2016個(gè)零點(diǎn).故④錯(cuò).故答案為：①②

17.(1)。二一1(2)手

18.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)“X)是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，貝1］〃0)=。=0,

當(dāng)6=0時(shí)，/(X)=X5+X3,且/(_X)=(—対+(_”3=_(15+%3)=_/(%),

即f（x）是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，符合題意，所以匕=0.

（2）若“X）在［0,2］上單調(diào)遞增，且/（x）是奇函數(shù)，可知"X）在［-2,0］上單調(diào)遞增，且在x=0處連續(xù)不

斷，所以“X）在［-2,2］上是增函數(shù)，因?yàn)椤奥?/（6一1）>0,則“咐>一〃機(jī)-1）=〃1一%），

-2<m<2

可得一2W機(jī)-142,解得3M2,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（g,2

m>\-m

19.解：（1）由4a=33及正弦定理得：4sinA=3sinB,由3=2A得:

2

sin5=sin2A=2sinAcosA./.4sinA=6sin4cosA,由0vAv兀知sinA>0,「.cosA=一

3

cosB=cos2A=2cos2A-1=——

9

知cosB=-，由余弦定理庁=/+c?-2accosB得:

（2）：當(dāng)a=9時(shí)，代入44=3。得：6=12,由⑴

144=81+c2+2cr整理得：?+2c-63=0,解得:c=7,由(1)知：sinA=Jl-cos2A=

鋁4涼

—bcsinA=—x7x12x

22

法二：當(dāng)a=9時(shí)，代入4q=3。得：6=12,由⑴得：sin7l=-COS2A=

?■-SinB=Sin2A=2XTXt=￥，由A+8+I得。=A(A+以

+1、￥=齊'■?-w4?fcinc4x9xi2x^=14^-

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=手x

2

法三：當(dāng)。=9時(shí)，代入4a=3b得：8=12,由（1）得：cosA=§,由余弦定理"二庁十。?一力70cosA得：

8I=144+C2-16C,整理得：C2-16C+63=0,解得：。=9或。=7,若c=9,則ABC為等腰三角形，此

時(shí)4=。，由B=2A及內(nèi)角和定理得：A=與cosAng矛盾，不合題意，「.c=7,

=乎,S&ABC=^bcsinA=^x7x12x^=14后.

*/sirM=-cos2A

2（）.解：（1）證明：如圖，取BE的中點(diǎn)4,連接HF,GH.G,F分別是EC和比）的中點(diǎn)，

HF//DE.又四邊形ADE8為正方形，.?.￡>￡■〃AB,從而HF〃AB.

3Cu平面ABC,〃60平面48。，，〃6〃平面48(7,同理〃平面ABC,又

HGHF=H,HG,HFu平面〃GF,；?平面"GF〃平面ABC,

GFu平面HGF,則GF//平面ABC\

(2)為正方形，:.AD1AB.又平面他匹丄平面ABC,且平面ABEDc平面

ABC=AB,AOu面AOEB,丄平面ABC,：BCu平面ABC,ADIBC,

設(shè)/W=l,AC=BC=-AB,：.AC=BC=也,：.CA2+CB2=AB2,：.ACIBC.

22

又ADAC=A,AD,ACu平面AC。，.1BC丄平面ACD,而B(niǎo)Cu平面BCE,.?.平面BCE丄平面AC。.

sinAsin「

21.解：(1)依題意得，-——cosC+——=0,則有2sinA—2sinB8sC+sinC=0,故:

sinB2sinB

2sin(B4-C)-2sinBcosC+sinC=0.即：2cosBsinC+sinC=0,因?yàn)??！?0,兀)，所以sinCwO,所以

1Ojr

cos8=-；,又Be(O,7t),所以B=?.

(2)如圖，由所以AM=3,MC=6,BM=AM^3.在ABC中，由余弦定理得

b2=a2+c2-2accosB,即〃+c?+訛=81.①，又由于2AM=MC，所以

_____1__1/\21-24__21__24-__

BM=BA+AM=BA+-AC=BA+-(BC-BA]=-BA+-BCBM=-BA+—BC+-BABC,

33、丿33999

4八]4

即9=入。+Aa2+N"c°sB，所以/+402-2改=81.②

999

②一①得3c2=3“c,所以"=c,代入①得。=C=3X/L在△8WC中，

BM2+BC2=32+(3>/3)2=36=MC2,所以ABMC是以ZMBC為直角的三角形，

所以ASMC的面積為丄X3X3G=M，由于AM=[MC,知*L=M=〈，

222SBMCMC2

故一ABM的面積為唯.

4

22(1)因?yàn)锳B=AZ),ZBAD=60°,所以△A8O為等邊三角形，因?yàn)镻為AQ的中點(diǎn)，所以3尸丄4).

取BO的中點(diǎn)E,連接AE,AB=AD,則AE1BD,因?yàn)槠矫鎭A平面BCD,平面ABDc平面BCD=BD,

AEu平面曲，所以AE丄平面SCO,又CDu平面8CO,所以AE丄8,

因?yàn)锳D丄CD,ADr>AE=A,AE,ADu平面ABD,所以CO丄平面ABD,

因?yàn)锽Pu平面42，所以8丄BP,

又因?yàn)镃￡>AD=D,CD,4)u平面AC。，所以3P丄平面AC。.

(2)過(guò)點(diǎn)M作丄尸C,垂足為H.如圖所示，

由(1)知，3P丄平面48,因?yàn)镸Wu平面AC。，所以BP丄MH,

BPPC=P,BP,PCu平面8PC,所以MW丄平面BPC,

所以ZMPC為MP與平面BPC所成角.

由(1)知，8丄平面45。，瓦)u平面4?。，所以8丄BQ,

在RtBCD中，因?yàn)?3C￡>=30。，BD=2,所以QC=———=2拒,

tan/BCD

因?yàn)镸為C￡>的中點(diǎn)，所以MD=CM=gcD=百,

在RtPOM中，PM=JPD2+MD。=&+(廚=2,

在RtPDC中，PC=