青海省西寧市海湖中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試（理科）數(shù)學(xué)試題

西寧市海湖中學(xué)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期

高三理科數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考試試卷

時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題：張倩審題：吳克青

第I卷（選擇題）

一、單選題（每小題5分，共60分）

',I

Y—__JV

1.曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換｛2后，對(duì)應(yīng)曲線的方程為：∕2+y2=ι,則曲線。的方程為（）

j'=3y

2

廠X2y2

A.—-+9y2=1B.4x2+—=1C.—+—=1D.4x2+9y2=1

4949

x=2COSe

2.圓＜的圓心坐標(biāo)是（）

y=2sin6+2

A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2)D.(-2,0)

x=4cosφ

3.橢圓?（8為參數(shù)）的離心率是（）

y=5sinφ

aID.2

B-?c

?I5

4.已知點(diǎn)4的極坐標(biāo)為（2,2（1,則它的直角坐標(biāo)是（）

A.(1,石)B.(l,-√3)C.(-1,√3)D.(-l,-√3)

5.下列極坐標(biāo)方程表示圓的是（）

C萬(wàn)

A.p=4B.θ=-C.PSine=ID.p(sin^÷cosθ)=?

2

6.圓的極坐標(biāo)方程為p=2（cosΘ+sinθ）,則該圓的圓心極坐標(biāo)是()

㈠為參數(shù)），則曲線C的普遍方程為（

X2V+V

A.----y=11C.-+y2=lD.--1--

2'842一84

X=]+COSCC

8.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，曲線G的參數(shù)方程為<（。為參數(shù)，π<a<2π?以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=l+sina

。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為QCoS=孝心當(dāng)G與有

兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）

A.（2-√2,2+√2）B.[l,2+√2）C.（2-√2,l）D.（2-√2,l]

9.已知曲線。與曲線夕=5GCoSe-5Sine關(guān)于極軸對(duì)稱，則曲線。的方程為（）

A.P=-IoCOSB.p=IOcos

+

C.p--IOcosI1D.p=IOcosθ+τ

10.極坐標(biāo)方程2=4CoSe化為直角坐標(biāo)方程是（）

A.(X-2)2+V=4B.X23+y2C.%2+(y-2)2=4D.(x-l)2+(y-l)2=4

X=2cos

11.過(guò)橢圓CHL（。為參數(shù)）的右焦點(diǎn)尸作直線/：交C于M,N兩點(diǎn)，∣M∕q="z,ITVF∣=H,

y=√3sin^

則工+L的值為（）

mn

248

A.-B.-C.-D.不能確定

333

C.D.

第∏卷（非選擇題）

二、填空題（每小題5分，共20分）

X=COSθ

13.參數(shù)方程4.,（。為參數(shù)，且?！瓿撸┗癁槠胀ǚ匠淌莀______.

y=2+sirrΘ

14.若點(diǎn)（-3,-3G）在參數(shù)方程［=6c°s'（。為參數(shù)）表示的曲線上，則e=

y=6si∏e

雙曲線4的漸近線方程為

y=sect

16.若圓C的極坐標(biāo)方程為p2-4pcos?！?PSine+1=0,則圓心C到直線y=x的距離為.

三、解答題（17題10分，其它各12分，共70分）

17.將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程

（1）1=4Sine

（2）Q=Sine+2COSe

X=非cosφ2

V

18.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為｛（。為參數(shù)），直線/的參數(shù)方程為r

Iy=Jl5sin。"+當(dāng)

2

（7為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.

（1）求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，并求曲線C的普通方程；

（2）設(shè)直線/與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,求∣P4∣+∣P8∣的值.

19.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的X軸的正半軸重合，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)

V—/

原點(diǎn)，直線/乂一（參數(shù)，∈R）與曲線C的極坐標(biāo)方程為夕COS2e=2sin0.

y=2+2f

（1）求直線/與曲線C的普通方程；

（2）設(shè)直線/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),證明：QA?OB=（）?

20.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線/的參

X=l÷∕cos-

數(shù)方程為《4為參數(shù)），曲線。的極坐標(biāo)方程為夕Sin20=4COS6.

y=Zsin-

4

(1)求曲線。的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與曲線。相交于A、B兩點(diǎn)，求IABI的值.

21.在直角坐標(biāo)系My中，以。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線。的極坐標(biāo)方程為

0cos[1=1,M,N分別為C與X軸、y軸的交點(diǎn).

(1)寫(xiě)出。的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo)；

(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程.

[X=——艮t

22.設(shè)曲線G在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為I51為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的

2√5f1

y=----/-1

I5

非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線G：夕=2CoSe—4sin6.

(I)將G的方程化為普通方程，并求G的直角坐標(biāo)方程(化為標(biāo)準(zhǔn)方程)：

(H)求曲線G和兩交點(diǎn)之間的距離.

理科數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考試參考答案：

1.A

【分析】從變換規(guī)則入手，代入新方程化簡(jiǎn)可得.

,2

-L(1λ丫2

χx2

【詳解】把《-2代入/+嚴(yán)=1,得±x+(3y)=l,化簡(jiǎn)可得二+9y2=i,故選A.

Iy=3y

【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)變換，明確變換前和變換后的坐標(biāo)之間的關(guān)系是求解關(guān)鍵.

2.A

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，從而求得圓心坐標(biāo).

X=2COSe(X=2cos6C/、2

【詳解】Y圓4，變形為4，兩式平方后相加得：Y+(y-2)-=4,故圓心坐標(biāo)

y=2sinO+21y-2=2sin6

為(0,2).

故選：A.

3.C

【分析】消去參數(shù)夕得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后求出α,c可得橢圓的離心率.

22々

【詳解】利用平方消元有上+上=1,故α=5,8=4,所以c=3,e=-,故選C.

22x=acosφ

【點(diǎn)睛】橢圓A+2=1的參數(shù)方程為<(0為參數(shù))，注意此處0不是OP(P(X,y))與X軸正

aIry=bsinφ

向所成的角，另外我們需利用cosV+sin>=1來(lái)消元?

4.C

【分析】由F=PC°s,代值計(jì)算即可.

y=PSin6,

.2π1

X=2cos——=-1,

X=PCoSa,

【詳解】直接代入公式《即得《3所以它的直角坐標(biāo)是(-1,G)?故選C.

y=夕Sinay=2sin券=?Λ,

【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡(jiǎn)單題.

5.A

【詳解】對(duì)于A.0=4,表示圓心在極點(diǎn)，半徑為4的圓;

對(duì)于B.O=]TF,表示y的非負(fù)半軸；

對(duì)于C.PSine=1,表示直線y=l；

對(duì)于D.∕?(Sine+cos6)=l,表示直線x+y-l=0

故選A.

6.B

【詳解】圓的極坐標(biāo)方程2=2(COSe+sin。)化為。2=2PCoSe+2psin6,則對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為

x2+y2=2x+2y,B∣J(x-l)2+(y-l)2=2,圓心(1,1),對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為，故選擇B.

7.B

【分析】先變形，平方后相減消去參數(shù)人得到普通方程

+得到定=/+；,又y=

【詳解】由X=

兩式平方后相減得：土—>2=4,即二一2L=L

284

故選：B.

8.D

【分析】求得曲線G的普通方程、曲線。2的直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得f的取值范圍.

x=l+cosax-l=cosa,

rwi(?<a<2?),HWfttafl(x-l)2+(y—l)2=1>

)’=l+sinay-1=sin?

mwc,iamf?T^aP#.

pcos#+/?sin#=/,BPx+y—t-0,

1+Z

fêm,JWl^I<1,|2-/|<V2,

MWW4-4/+Z2<2,r-4/+2<0,m#2-V2<r<2+V2,

^S^nT^2-V2<r<l.D

9.B

[Wrl^Mp=5V3cos^-5siné?it^S??OT,

^OTBIJnT.

Vp=5\/3cos^-5sin^,.*.p1=5\[3pcosO-5ps\nO,

^p2=x2+y2,pcos0=x,psin(9=y^à±S;,fax2+y2=5^3x-5y,

:.CW+y2=5j?x+5y,

=5>/3cos0+5sinZ?,

B|Jp=5\/3cos#+sin#=lOcos0-—j.üia:B.

\6)

10.A

(WJ=4pcos0,

+/=4^,BP(X-2)2+/=4,

W￥iS.lOWWXIHJ.

11.B

[WrlfUWjWS.W!ü

-tiWl,Wt^W-U-éW.

mn

x2v2,[x=l+/cosa

+2-=i,W.FI,O.

43[y=/sina

22

(tz>9?),Ràffffi^84Ht?^(3+sina^+6cosa-r-9=0.&t.+t2=-“,

911m+nki-1-,I\l(fi+h~4/.f>4

/,?/,=---------^<0(r?r2^).fé-+A=^-^=y—^=11'LL—LL=Z.&&B.

3+sin‘tzmnmnkr^lKi’^l3

[aWl

12.D

[#tlf]’W?MMx2+y1=1,BPM?ù&

[?W]W/=-Kày=-Jt^-i,OmiWx2+/=l,-èLx,ym?^-B,?D.

xt

[affiliêa^?^^TO?TRa98^^1g7KY

13.x2+y=3

x2=cos23n

(Wrl

y-2-sin2#

x2=cos20

ronM'JWM$X2+j-2=l.*.x2+y-3.

y-2=sin2#

J?mM2j8>yx2+)'=3.x2+y=3

[.^Bf1(1)(2)

?<J-?^8^dU>^?<Jfa,(3>|g^fê#:?ü^Bi+?tBsina>cosa,OJffl

—?ta^?sin2<7+cos3tf=1

4?

14.—+2k7t(keZ)

3

//—\[x=6cos#

L$<]-3,-3V3)Rà#f(W^W^BBPWW.

v’[_y=6sin0

/,,,[x=6cos0

[WW1éa-3,-3V3)?#^gr^

'’[>’=6sin<9

cos0z>=---i,

2Arr

W-5^e=—+'ikn(keiryOM^Y+2h(ieZ)

s?ina0=------,

2

15.x±_y=0

WW:è#SJSWMM^S^y2-x2=1.JWa=l,b=\.

^^^y=+x,?x±y=O.

[5W1^f?^féW^?t^MWW?iJia-ù>jC(2,l),S?am?^m

[WW]@1CP2-4pcos0-2psin<9+1=0,Bpx2+y2-4x-2y+1=0,

(X-2)2+(>-1)2=4,?4^C(2,1),0I^C?!jt^y-x=O?^l|J=2^.

5

17.(1)x2+(y-2)2=4;

4!

Eè?^M?^Zl'n4fKjW^z^<RWBPnT.

[WW1(1)p=4sin0=>p2=4psin#=>x1+y2—4y=>x2+(y-2)=4;

225

(2)yo=sin(9+2cos^=>p=psiné*+2pcos0=>x~+y=>’+2x=>(x-1)'+y—4:

L&ffilB-T-STO.

18.(1)^CTO?y+^=l;(2)6.

X=X?COS0

[WlT?tO<:(1W￡?U

y=psiné?

P?éfrM?,<pp]W^C?f)M?-+L=1;

515

(2)WM^miKCf?mg,fOJA

f?m<WtW|PA|+|PB|=|z,|+|f2|,^nTlU^tB|PA|+|PB|aütt.

1OTW:(1)APWMWx=V3cos-=0,^.Pa<jMféx=V3sin-=>/3,

22

22

WP(O,V3),y+^=1-

(2),mou±.wwrmàùticmm

2

z+2r-8=0,TOWJZ,,/2.JW:t,+t2=-2,r,r2=-8,

ètf?/LM?=|PA\+1PB\=|r,-121=^+^-4^=6.

2

19.(1)/:y=2x+2,C:x=2y;(2)WWI/r.

(W)(1)f?lHOWf?

(2)

[WWl(I)èM/a<J#^Mi^#W^?^=2x+2,

éttêêCMfe^MIWp.?p2cos20=2/xinp,SPx2=2y

ffrUptlaC?<J?A?x2=2y.

y-2x+2

(2)i$A(^,y),P(%,j’),é<

122[x=2y

2

yfax-4x-4=0,PWx,+x2-4,xl-x2=-4,

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4

WO'iJù=y-7^=’?’?OAOB=xlx2+yly2=0.

20.(1)y2=4x(2)8

(2)^iJffl^-fe^^WBPnT.

22

[WWJ(1)èpsin(9=4cos#,^(psin6>)“=4pcos0,^fWft^CWM?^feM^rS^y=4x;

(2)é@M^fê^y=x-l,ftàft^y2=4x,Wx2-6x+l=0,

i￡A,BJW.&(x,,y,),(A^,y2),

5101AZ?|=^/(x2—x,)'4-(y2-y,)'=V2|x2-x,|=V2J(xl+x2)'-4x,x2,

XXI+X2=6,X!X2=1,.*.|AB|=\Z2x>/32=8,BP|AB|8.

/2^3￡

21.(1)x+V