高中數(shù)學(xué)三年務(wù)必掌握的149個(gè)解題方法

【高中數(shù)學(xué)】高中三年務(wù)必掌握的149個(gè)解題方法

1.判斷兩集合關(guān)系的3種常用方法

:根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比

:較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系

從元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡(jiǎn)、變形

;等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷

物軸學(xué)］在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合，比較端點(diǎn)之間

數(shù)相衣:.的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系

2.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法一

方法一；藕藐藐二3廟薪廠嘉名1

:解方程(組)求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性

方法一藕谷袤示威顯示標(biāo)而版「箱裱癌數(shù)軸霸渦示；

n.等式(組)求解，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到

3.利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方萩一

(1)與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到.

(2)若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再

列方程(組)求解.

4.全稱命題與特稱命題真假的判斷方法

命題名稱真假判斷方法一判斷方法二

真所有對(duì)象使命題為真否定為假

全稱命題

假存在一個(gè)對(duì)象使命題為假否定為真

真存在一個(gè)對(duì)象使命題為真否定為假

特稱命題

假所有對(duì)象使命題為假否定為真

5.充分條件、必要條件的兩種判斷方法

(1)定義法：根據(jù)P-q,0P進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，適用于命題

中涉及字母的范圍的推斷問題.

6.比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的方法

H判斷差與o的大小卜?

作差法結(jié)

論

—判斷商與1的大小一

［注意］

⑴與命題真假判斷相結(jié)合問題.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還

經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.

(2)在求式子的范圍時(shí)，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號(hào)不能同時(shí)

取到，會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大.

7.利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍的方法

已知<f(a,b)<N,MKf(a,b)<N,求g(a,b)的取值范圍.

(1)設(shè)g(a,b)=pf(a,b)+qf(a,b);

(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p,q；

(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范圍.

8.解一元二次不等式的方法和步驟

化f冠示尊菽麗三次衣素藪王學(xué)重面底淄形式

判一：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式

鑫_「親出行蒞而二完三族另彘布丁毓堀判別

求:式說明方程有沒有實(shí)根：

寫一利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不鑼的解集

9.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

①二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式

轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式;

②判斷一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，即討論判別式△與0的關(guān)系；

③確定方程無實(shí)根或有兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)相異

實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集.

10.消元法求最值的方法

消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

最值求解.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解.但

應(yīng)注意保留元的范圍.

11.求函數(shù)定義域的兩種方法

方法解讀適合題型

構(gòu)造使解析式有意義的不等式已知函數(shù)的具體表達(dá)式，求f(x)

直接法

(組)求解的定義域

若y=f(x)的定義域?yàn)?a,b),

已知f(x)的定義域，求f(g(x))

則解不等式a〈g(x)〈b即可求出

的定義域

y=f(g(x))的定義域

轉(zhuǎn)移法

若y=f(g(x))的定義域?yàn)?a,

已知f(g(x))的定義域，求f(x)

b),則求出g(x)在(a,b)上的

的定義域

值域即得f(x)的定義域

12.求函數(shù)解析式的4種方法

法一：由己知條件f.（xN）=F【力，可將F（kX改寫成關(guān)

配湊法L于明動(dòng)的解析式，然后以X替恒（幼，便得fg

■“./rrvi八

對(duì)于形如上ddyixjb的函數(shù)祥樹式,i4t=yu,

法二

―從中求出然后代入解析式求出叫t）上

換元法再將t換成X,四菽恤＞的解析式,1要注意就上

的取偵海鬧.

法三:先設(shè)出含旬待定系數(shù)的解析或1聞利用他等1.

一式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程

待定系數(shù)法;頌），通過解方程（組）求出相應(yīng)的待定系數(shù)

:已知關(guān)于f（x）與fq或f（-x）的解析式，可根

法四—辟已知和外再構(gòu)揖出另外廠個(gè)詈式組成方=

解方程組法隹組，通過解方程組求出f（n

13.利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

取值—設(shè)X,X|是定義域內(nèi)的任意兩個(gè)值，且X1024

作差丸差f'（版）-f（x,）L并通過的式分解、配方、#

一

變形塞他等方法M腳甫科手判斷著的符特領(lǐng)謫J菊聯(lián)

確定差的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分

定

號(hào)r類討論

判斷h根據(jù)定義作出結(jié)論

14.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法

定義法先求定義域，再利用單調(diào)性定義來求

由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是

圖象法單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象

不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用"和"或"」

聯(lián)結(jié)，不能用"U"聯(lián)結(jié)

導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)取值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

15.求函數(shù)最值的五種常用方法

單調(diào)性法一＜筑確宸/^的單調(diào)底J再曲單閶t求最修：

肉會(huì)件,一.:先作出函數(shù)的圖象”再觀察其最高點(diǎn)、最低

圖象法1點(diǎn)，求出最值

其木不經(jīng)才注：先婿解析式變形“使之具備“一正二定三

盤不：相等”的條件后用基本不等式求出最值

：形如ywcx+d千q，科腎軌甯建國(guó)「余敢

分離常數(shù)i抵一?：ax+b

；常數(shù)法”求解

在一吐:對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉

換兀法一：的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值

16.利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法

比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)性

質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題通常

選用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.

17.求二次函數(shù)解析式的方法

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：

（已知

18.比較指數(shù)第大小的常用方法

一是單調(diào)性法，不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較

大小，所以能夠化同底的盡可能化同底.

二是取中間值法，不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值（特

別是0,1）比較大小，然后得出大小關(guān)系.

三是圖解法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)

圖象，借助圖象比較大小.

19.求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的方法

(1)形如y=a'(a>0,且aWl)的函數(shù)求值域時(shí)，要借助換元法：令u=f(x),

先求出u=f(x)的值域，再利用y=a的單調(diào)性求出y=a”的值域.

(2)形如y=a(a〉O,且aW1)的函數(shù)單調(diào)性的判斷，首先確定定義域D,再分

兩種情況討論：

當(dāng)a〉l時(shí),若f(x)在區(qū)間(m,n)上(其中(m,n)CD)具有單調(diào)性,則函數(shù)y=a

在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性與f(x)在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性相同；

當(dāng)O〈aG時(shí)，若f(x)在區(qū)間(m,n)上(其中(m,n)三D)具有單調(diào)性，則函數(shù)y=

d在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性與f(x)在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性相反.

20.對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值方法

-----喑加利用塞的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形「花'；

拆分成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使嘉的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再：

亍」［用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并：

」福需藪元面面同底薪需薪而萩一至「花藏運(yùn)戴二

合并然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)：

J一；的積、商、嘉的運(yùn)算：

21.對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法

(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐

標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合

法求解.

22.比較對(duì)數(shù)值的大小的方法

函廟嬴f利甫分駁函編畫單篇出比威.

一數(shù)值4響真數(shù)工利用囪豪法或轉(zhuǎn)花方同底數(shù)對(duì)數(shù)的函數(shù)在第

』豪「真藪而示周｛成入用商富麗二工b?i辱3

23,解對(duì)數(shù)不等式的函數(shù)及方法

(1)形如logx>logb的不等式，借助y=log,x的單調(diào)性求解，如果a的取值不

確定，需分a>l與0<a<l兩種情況討論：

(2)形如log,x>b的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式.

24.函數(shù)圖象的畫法

國(guó)函數(shù)解析元(最無形后一的解標(biāo)五)一顯熟云的基：

直接法本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征找出圖象的

送鍵我驟作出圖(象____________________：

轉(zhuǎn)化法含有絕蠅值得官加函藏可脫蠢函需宿客號(hào)，轉(zhuǎn)

.化為分段函數(shù)來畫圖象：

若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、

圖衾翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，但要注

溫器意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的

要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位

及解析式的影響___________________!

25.函數(shù)圖象的辨識(shí)方法

(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析

①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象上下位置;

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；

④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算

利用函數(shù)的特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算，分析解決問題,

26.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法

方法解讀適合題型

利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)能夠容易判斷區(qū)間端點(diǎn)值所對(duì)

定理法

行判斷應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)

畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象

與X軸在給定區(qū)間上是否有交

圖象法容易畫出函數(shù)的圖象

點(diǎn)來判斷

27.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法

(D方程法：令f(x)=O,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間［a,］上是連續(xù)不斷的曲線，且

f(a)-f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)

稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)圖形法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，

看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

28.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法

(D直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參

數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，

然后數(shù)形結(jié)合求解.

29.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的方法

(D構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先建立函數(shù)模型，再結(jié)合

模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，

驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇符合實(shí)際情況的答案.

30.嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

破解此類問題的主要步驟

(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t=g(x)與尸f(t)的零點(diǎn).

(2)依次解方程，令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

31.求曲線切線方程的步驟

(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x，處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x,f(x))處

切線的斜率.

(2)由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為y-f(x)=f(x)?(x-x).

32.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法

=建乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo);

導(dǎo)...................".......................

數(shù)「分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函;

的|數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù),再求導(dǎo)：

運(yùn)*’對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)

算二二二二二二二二二二二二二二二二二二

方根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)寢的形式，再求導(dǎo)：

法一三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形

式再求導(dǎo)：

33.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)

滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.

34.討論函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

⑵求導(dǎo)數(shù)f|(x),并求方程f(x)=O的根；

(3)利用f(x)=O的根將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討

論f(x)的正負(fù)，由符號(hào)確定f(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性，

35.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法

(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f(x)>0或f(x)<0求出單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)方程f'(x)=0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)

間，確定各區(qū)間內(nèi)f(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.

(3)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解時(shí)，根據(jù)f(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與

性質(zhì)確定f(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.

36.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

(1)由可導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增(或遞減)求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為

f(x)NO(或f(x)WO)對(duì)xGD恒成立問題，再參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值問題,

要注意“=”是否取到.

(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f(x)>0(或f(x)〈O)

在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題，

(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單

調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

37.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般步驟

.求定義域］

1求導(dǎo)If(X)|

求〈，，用

極1極殖

(解方程3(x)=o［(知方程f(x)碗的情況1

,I、,I:

［驗(yàn)根左右f(x)的符號(hào))得關(guān)于參數(shù)的方程函等式)

TT7,1-、~

(W)?參數(shù)值(范圍)：

38.求函數(shù)f(x)在［a,b］上最值的方法

⑴若函數(shù)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為

最小值.

(2)若函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］內(nèi)有極值，要先求出［a,b］上的極值，與f(a),f(b)

比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)

值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到，

39.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法

直接法令f(x)=0,則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

畫圖法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易畫出圖象的函數(shù)，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

定理法利用零點(diǎn)存在性定理判定，可結(jié)合最值、極值去解決

40.象限角的2種判斷方法

在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知

圖象法

角是第幾象限角

先將已知角化為k-360°+a(0°Wa<360°,kdZ)的形式，即

轉(zhuǎn)化法找出與已知角終邊相同的角a,再由角a終邊所在的象限判斷已知角

是第幾象限角

41.求減n。（nGN）所在象限的步驟

n

①將0的范圍用不等式（含有k,且kez）表示;

②兩邊同除以n或乘以n;

③對(duì)k進(jìn)行討論，得縱敝nO（ndN）所在的象限.

42.三角函數(shù)值符號(hào)的判斷方法

要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)

正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在的象限，那

就要進(jìn)行分類討論求解.

43.sina±cosa與sinacosa關(guān)系的應(yīng)用方法

(1)通過平方，sina+cosa,sina-cosa,sinacosa之間可建立聯(lián)

系，若令sina+cosa=t,則sinacos?；^',sinu—cosu

困

士2-t（注意根據(jù)a的范圍選取正、負(fù)號(hào)）.

⑵對(duì)于sina+cosa,sina—cosa,sinacosa這三個(gè)式子，可以矢口

一求二.

44.誘導(dǎo)公式的用法

①化負(fù)為正，化大為小，化到銳角為止;

②角中含有加雪的整數(shù)倍時(shí)，用公式去考的整數(shù)倍.

45.常見的互余和互補(bǔ)的角寫法

K+_0等；

—;+嗚:44

②常見的互補(bǔ)的角：-，。蠟/=般4+0,猾uO等.

46.三角函數(shù)公式活用方法

①逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；

②tanatan0,tana+tanB(或tana-tanB),tan(a+B)(或tan(a

-B))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用，

47.三角函數(shù)公式逆用和變形使用方法

①公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系；

②注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中同%亳，3等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引

入特殊角，把"值變角”以便構(gòu)造適合公式的形式.

48.三角公式求值中變角的解題方法

①當(dāng)"已知角”有兩個(gè)時(shí)，”所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形

式：

②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于〃所求角"與"已知角”的和或差的關(guān)

系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”，

49.常見的配角方法

(2+B(I-B

2a=(a+B)+(a-B),a=(a+B)-B,8=二一-a=

50.三角函數(shù)名的變換方法

明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余

弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦.

51.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法

⑴代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或

t),利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解.

(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.

52.三角函數(shù)值域的求法

(1)利用y=sin*和y=cosx的值域直接求.

(2)把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(wx+4>)+b(或y=Acos(wx+e)+b)

的形式求值域.

(3)把sinx或cosx看作一個(gè)整體，將原函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系將原函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域，

53.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)必須明確一個(gè)不同，掌握兩種方法

(1)明確一個(gè)不同.“函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為A”

兩者的含義不同，顯然是N的子集.

(2)掌握兩種方法.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)求解參數(shù)問題，主要有兩種方法：

一是利用已知區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系建立參數(shù)所滿足的關(guān)系式求解；二是利

用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性，由此列不等式求解.

54.三角函數(shù)奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為丫=八5[[1X的形式，而偶函數(shù)一

般可化為丫=人(205wx+b的形式.

55.三角函數(shù)周期的計(jì)算方法

利用函數(shù)y=Asin(x+6)(a>0),y=Acos(ax+小)(w>0)的最小正周期為

，函數(shù)y=Atan(ux+4>)(@>0)的最小正周期“求解

3M

56.三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解思路和方法

(1)思路：函數(shù)y=Asin(x+6)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可結(jié)合y=sinx圖

象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心求解.

(2)方法：利用整體代換的方法求解，令，，.lh-，k￡Z,解得x=

kGZ,即對(duì)稱軸方程；令wx+@=kn,kez,解得x=

23

蟹二J,kez,即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為0).對(duì)于丫=八(:。5由*+<1>),丫

=Atan(x+6),可以利用類似方法求解(注意y=Atan(ex+6)的圖象無對(duì)

稱軸).

57.解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法

先將y=f(x)化為y=asinx+bcosx的形式，然后用輔助角公式化為丫=

Asin(wx+6)的形式,再借助y=Asin(6x+6)的性質(zhì)(如周期性、對(duì)稱性、

單調(diào)性等)解決相關(guān)問題，

58.三角函數(shù)中@值的求法

(1)利用三角函數(shù)的周期T求解

Ow

解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期g-與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建

立不等關(guān)系.

(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)g(x)

=2sinox(a>0)在區(qū)間6'i上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求a的取值

范圍.

(3)利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求解

三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”摩相鄰的

對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的"水平間隔”愛j這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的

對(duì)稱性來研究其周期性，進(jìn)而可以研究””的取值.值得一提的是，三角函數(shù)

的對(duì)稱軸必經(jīng)過其圖象上的最高點(diǎn)(極大值)或最低點(diǎn)(極小值)，函數(shù)f(x)=

Asin(ax+<D)的對(duì)稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn)，這就說明，我們也可利用

三角函數(shù)的極值點(diǎn)(最值點(diǎn))、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期，進(jìn)而可以確定

“W”的取值.

(4)利用三角函數(shù)的最值求解

利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于w的不等式，進(jìn)而求出

的值或取值范圍.

59.函數(shù)丫二人5皿0*+中)(人>0">0)的圖象的兩種作法

TI3

設(shè)Z=x+6,由Z取0,,Ji,o,2兀來求出相應(yīng)的X,通

五點(diǎn)法

過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象

由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(wx+@)的圖象，

圖象變換法

有兩種主要途徑”先平移后伸縮"與"先伸縮后平移”

60.確定產(chǎn)Asin(wx+。)+b(A>0,w>0)的步驟和方法

(1)求A,b,確定函數(shù)的最大值和最小值m,

r,V-m,V,m

則1.b

22

(2)求，確定函數(shù)的最小正周期T,則可得副匚

(3)求小，常用的方法有：

①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A,,b已知)或代入圖象與直線

y=b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)；

②特殊點(diǎn)法：確定6值時(shí)，往往以尋找"最值點(diǎn)"為突破口，具體如下：

節(jié)點(diǎn)“(印圖象的“峰也”)時(shí)s+(AeZ);“最小值

(即圖象的“谷點(diǎn)”州寸3H?='"+2An(Aez)

2

61.求解三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的方法

先將y=f(x)化為y=Asin(x+6)+B的形式，再借助y=Asin(wx+6)的圖

象和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題.

(1)正、余弦定理的選用

①利用正弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊

或角；二是已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊或角；

②利用余弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊

或角；二是已知三邊求角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解

也是唯一的.

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷

已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，

該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判

斷.

62.判定三角形形狀的兩種常用途徑

通過正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)

恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用=

角恒等變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行

判斷：

63.求三角形面積的方法

(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)

角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積：

(2)若已知三角形的三邊，可先求其中一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公

式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

64.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；

(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.

共人丁證麗向量共練對(duì)于向量a,b,若存在一實(shí)藪X,

線

向便歸AbQ關(guān)0)一，則2與9共繾........."1

量

定：定前芝百美磁「碧春石羹薪二通B1贏、：

理..則A,B,C三點(diǎn)共線.......................

的

兼參藪前宿「莉南買面向夏比顯比向基相辱的

應(yīng)I

用「條件列方程(組)求參數(shù)的值.............；

65.巧建系妙解題，常見的建系方法如下

(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系

若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點(diǎn)的兩條直線(如矩形、直角梯形等)，可以

利用這兩條直線建立坐標(biāo)系.

(2)利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系

圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點(diǎn)的兩條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系(如：等腰

三角形、等腰梯形等)，可利用自身對(duì)稱性建系.建立平面直角坐標(biāo)系的基本原

則是盡可能地使頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，或在同一象限.

66.求向量的模或其范圍的方法

(1)定義法：Ia|=a=a,a,Ia±b|=(a±b)?=a±2a,b+b.

(2)坐標(biāo)法:設(shè)a=(x,y),則|a|=Jx+y.

(3)幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用

解三角形的相關(guān)知識(shí)求解.

67.處理平面向量與三角函數(shù)的綜合問題方法

(1)題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等

式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.

(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形

式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域

等.

68.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法

珈然注?形如an=pan-l+mGp、m為常數(shù)，mWO)時(shí)，；

構(gòu)超運(yùn)；構(gòu)造等比數(shù)列

,________________________________________，

累加法［形如a=an-l+f(n)(If(n))可求和)時(shí)'用累加法］

:'求解j

累積法：形如皿河(n)(鵬(加｝前棚)時(shí)，用累積法求解：

'........arthl....................................................................'

69.解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法

①用作差比較法，根據(jù)a+-a,的符號(hào)判斷數(shù)列｛a)是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是

常數(shù)列；

拉'',iJ巧用作商陵法,根據(jù)典〈0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷：

4

③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.

70.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

①可以利用不等式田‘'''(n'2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；

，(n22)找到數(shù)列的最小項(xiàng)。

電Wa+I

71.解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

推斷數(shù)列的通項(xiàng)公式

解答此類問題的具體步驟：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；

(3)拆項(xiàng)后的特征；

(4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；

(5)化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分?/p>

之間的關(guān)系；

(6)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(一1)'或(一l),kGN處理.

72.等差數(shù)列的判定與證明方法

如果一個(gè)數(shù)例m,也從第2項(xiàng)起11每l項(xiàng)陸宏的弓

定義法

前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么可以判斷

教列［"］為等差數(shù)列_______________________

等差中加果一個(gè)數(shù)列（副。對(duì)任意的正整數(shù)n都滿足

項(xiàng)法2時(shí)亍a+p+4那么可以判斷｛a,J方等差數(shù)列

通項(xiàng)公如果一個(gè)數(shù)冽匣，的通項(xiàng)公式滿足afpn+g依

式法吸常數(shù)%的形式，那么可以得出｛qn1尾首項(xiàng)

為R+3公'差為P的等差數(shù)列

如果一個(gè)數(shù)列Na”的前n項(xiàng)和'公'式楠足5=人〃

前n項(xiàng)

和公式法+Bn（4,B為常數(shù)％的形?式，那么可以得出數(shù)列.

73.求等差數(shù)列㈤的前n項(xiàng)和S的最值的方法

二次當(dāng)公差dWO時(shí)，將S,南-作關(guān)于n的二次函數(shù),

函數(shù)法運(yùn)用配方法I,借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)1形結(jié)合”

使問題得解

通項(xiàng)|-

_-求使a,訓(xùn)（或a,《0）成立的最火n值即可得S,的

公式衽一，犀木?建被值

1

聿i助S“持大時(shí)，|有I,SeSzT,5?2,n邛*）,解|［-

不等

式組法,此不等式剃確定11的范圍，進(jìn)而確定n的隼和對(duì)

應(yīng)'的值（該值即為S的耳大值），類似可求最小

值

74.等比數(shù)列的判定與證明

.如果一個(gè)數(shù)列［a/從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的

定義法—幡-項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)但即吧L

q（qWO）,那么數(shù)列｛a,｝是等比數(shù)列

等比中如果對(duì)任意退整數(shù)m都存於a■-公源，且制

—

項(xiàng)法#0,那么數(shù)列54為等比數(shù)列

通項(xiàng)公如果數(shù)列l(wèi)a"的通項(xiàng)公式滿足aj=c-lg~11（2g

均是不為0的常數(shù)），那么數(shù)列是首項(xiàng)為

式法的公比為q的等比數(shù)列

前n項(xiàng)和如果數(shù)列加］的前n項(xiàng)和滿足S二kq〃rk（媯常

公式法數(shù)且kW0,?W0,“，那么數(shù)列｛卜）［是等比數(shù)列（

75.數(shù)列求和的五種常用方法

(1)分組轉(zhuǎn)化求和法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求

和時(shí)可用分組求和法，分別求和后再相加減.

(2)裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其

和.

(3)錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那

么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法

推導(dǎo)的.

(4)倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)

常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公

式即是用此法推導(dǎo)的.

⑸并項(xiàng)法

一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求和，稱為并項(xiàng)法求和，形如：(一l)”f(n)

類型，可考慮利用并項(xiàng)法求和.

76.用錯(cuò)位相減法求和的方法及步驟

(1)掌握解題“3步驟”

m八"把數(shù)列的通項(xiàng)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通

I均分析J項(xiàng)的積，并求出等比數(shù)列的公比

國(guó)裊免列出前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后乘以等比數(shù)'

WJ牽5M列的公比得到一個(gè)新的表達(dá)式，兩式作差.

超菽)T酊根據(jù)差式制版進(jìn)行海確翱..........：

(2)注意解題“3關(guān)鍵”

①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.

②在寫出"S"與"qS”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步

準(zhǔn)確寫出"S-qS”的表達(dá)式.

③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比g=l和q#l

兩種情況求解.

77.裂項(xiàng)求和的基本步驟

裂項(xiàng)H觀察數(shù)列的通項(xiàng)，將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式

:累加將數(shù)列裂項(xiàng)后的備項(xiàng)相加■

將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消，將剩余的有限

〔強(qiáng)啰J一項(xiàng)相加，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和

78.處理數(shù)列與不等式的綜合問題的方法

(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列

對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小，

(2)以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.

(3)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進(jìn)行證明，有

時(shí)也可以通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明，

79.解決數(shù)列問題的七大常用方法

方法一巧用性質(zhì)減少運(yùn)算

等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式中均涉及多個(gè)量，解題中可以不必求

出每個(gè)量，從整體上使用公式.

方法二巧用升降角標(biāo)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

在含有a,S,對(duì)任意正整數(shù)n恒成立的等式中，可以通過升降角標(biāo)的方法再得出

一個(gè)等式，通過兩式相減得出數(shù)列遞推式，再根據(jù)遞推式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和

解決其他問題.

方法三巧用不完全歸納找規(guī)律

解數(shù)列問題時(shí)要注意歸納推理的應(yīng)用，通過數(shù)列前面若干項(xiàng)滿足的規(guī)律推出其一

般性規(guī)律.

方法四巧用輔助數(shù)列求通項(xiàng)

已知數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，基本思想就是通過變換遞推式把其轉(zhuǎn)化

為等差數(shù)列、等比數(shù)列(輔助數(shù)列)，求出輔助數(shù)列的通項(xiàng)，再通過變換求出原數(shù)

列的通項(xiàng)公式.

(1)當(dāng)出現(xiàn)a,=a,-;+m(n，2)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；

(2)當(dāng)出現(xiàn)a,=xa-+y(n±2)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列.

方法五巧用裂項(xiàng)求和

裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的基本方法之一，在通項(xiàng)為分式的情況下，注意嘗試裂項(xiàng),

裂項(xiàng)的基本原則是a,=f(n)-f(n+1).

方法六巧用分組妙求和

分組求和方法是分類與整合思想在數(shù)列求和問題中的具體體現(xiàn)，其基本特點(diǎn)是把

求和目標(biāo)分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的結(jié)果得出整體和，

方法七巧用特值驗(yàn)算保準(zhǔn)確

使用”錯(cuò)位相減法〃求和的方法學(xué)生都能夠掌握，但求解的結(jié)果容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,

應(yīng)該在求出結(jié)果后使用a=S進(jìn)行檢驗(yàn)，如果出現(xiàn)aWS,則說明運(yùn)算結(jié)果一定

錯(cuò)誤，這時(shí)可以檢查解題過程找出錯(cuò)誤、矯正運(yùn)算結(jié)果，

80.空間幾何體概念辨析問題的常用方法

緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的

管Q去’情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等

基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

三區(qū)、二'ii忘左祠前面加福缸施行解后「血羹視詢二不屆

的心沙；論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可

81.三類幾何體表面積的求法

只需將它們沿著棱"剪開"展成平面圖形，利用求

求多面體的表面積

平面圖形面積的方法求多面體的表面積.

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其

展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線

求旋轉(zhuǎn)體的表面積

長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系.

通常將所給兒何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，

先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再

求不規(guī)則幾何體的表面積

通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

82.處理不規(guī)則幾何體體積問題的步驟

指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不容易求面積的

茸-底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗?/p>

易看出的高轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高

'指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單

而的幾何體，便于計(jì)算

指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如

有時(shí)將一個(gè)三校錐復(fù)原成一個(gè)三校柱，將一

分個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱，還臺(tái)為錐，這

些都是拼補(bǔ)的方法

83.求幾何體體積的常用方法

直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者

把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的

割補(bǔ)法

幾何體，便于計(jì)算

等體選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用

積法三棱錐的任一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

84.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法

⑴證明點(diǎn)或線共面：

①首先由所給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）

在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

⑵證明點(diǎn)共線：

①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都

在同一條特定的直線上.

⑶證明線共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).

85.空間兩直線位置關(guān)系的判斷方法

空

間

：定理法或反證法

兩

直

平行直線：可利用中位線性

線判斷

質(zhì)、公理4、線面、面面平行-技巧

的

的性質(zhì)定理

位

置

垂直關(guān)系：利用線面垂直的

關(guān)

性質(zhì)判定

系

方法

判定

行的

面平

、平

.直線

86

.

條件

視的

易忽

理中