高中數學三年務必掌握的149個解題方法

【高中數學】高中三年務必掌握的149個解題方法

1.判斷兩集合關系的3種常用方法

:根據題中限定條件把集合元素表示出來，然后比

:較集合元素的異同，從而找出集合之間的關系

從元素的結構特點入手，結合通分、化簡、變形

;等技巧，從元素結構上找差異進行判斷

物軸學］在同一個數軸上表示出兩個集合，比較端點之間

數相衣:.的大小關系，從而確定集合與集合之間的關系

2.根據兩集合的關系求參數的方法一

方法一；藕藐藐二3廟薪廠嘉名1

:解方程(組)求解，此時注意集合中元素的互異性

方法一藕谷袤示威顯示標而版「箱裱癌數軸霸渦示；

n.等式(組)求解，此時需注意端點值能否取到

3.利用集合的運算求參數的值或取值范圍的方萩一

(1)與不等式有關的集合，一般利用數軸解決，要注意端點值能否取到.

(2)若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再

列方程(組)求解.

4.全稱命題與特稱命題真假的判斷方法

命題名稱真假判斷方法一判斷方法二

真所有對象使命題為真否定為假

全稱命題

假存在一個對象使命題為假否定為真

真存在一個對象使命題為真否定為假

特稱命題

假所有對象使命題為假否定為真

5.充分條件、必要條件的兩種判斷方法

(1)定義法：根據P-q,0P進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據p,q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷，適用于命題

中涉及字母的范圍的推斷問題.

6.比較兩個數(式)大小的方法

H判斷差與o的大小卜?

作差法結

論

—判斷商與1的大小一

［注意］

⑴與命題真假判斷相結合問題.解決此類問題除根據不等式的性質求解外，還

經常采用特殊值驗證的方法.

(2)在求式子的范圍時，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號不能同時

取到，會導致范圍擴大.

7.利用待定系數法求代數式的取值范圍的方法

已知<f(a,b)<N,MKf(a,b)<N,求g(a,b)的取值范圍.

(1)設g(a,b)=pf(a,b)+qf(a,b);

(2)根據恒等變形求得待定系數p,q；

(3)再根據不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范圍.

8.解一元二次不等式的方法和步驟

化f冠示尊菽麗三次衣素藪王學重面底淄形式

判一：計算對應方程的判別式

鑫_「親出行蒞而二完三族另彘布丁毓堀判別

求:式說明方程有沒有實根：

寫一利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不鑼的解集

9.解含參數的一元二次不等式的步驟

①二次項若含有參數應討論參數是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式

轉化為一次不等式或二次項系數為正的一元二次不等式;

②判斷一元二次不等式所對應的方程實根的個數，即討論判別式△與0的關系；

③確定方程無實根或有兩個相同實根時，可直接寫出解集；確定方程有兩個相異

實根時，要討論兩實根的大小關系，從而確定解集.

10.消元法求最值的方法

消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的

最值求解.有時會出現多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解.但

應注意保留元的范圍.

11.求函數定義域的兩種方法

方法解讀適合題型

構造使解析式有意義的不等式已知函數的具體表達式，求f(x)

直接法

(組)求解的定義域

若y=f(x)的定義域為(a,b),

已知f(x)的定義域，求f(g(x))

則解不等式a〈g(x)〈b即可求出

的定義域

y=f(g(x))的定義域

轉移法

若y=f(g(x))的定義域為(a,

已知f(g(x))的定義域，求f(x)

b),則求出g(x)在(a,b)上的

的定義域

值域即得f(x)的定義域

12.求函數解析式的4種方法

法一：由己知條件f.（xN）=F【力，可將F（kX改寫成關

配湊法L于明動的解析式，然后以X替恒（幼，便得fg

■“./rrvi八

對于形如上ddyixjb的函數祥樹式,i4t=yu,

法二

―從中求出然后代入解析式求出叫t）上

換元法再將t換成X,四菽恤＞的解析式,1要注意就上

的取偵海鬧.

法三:先設出含旬待定系數的解析或1聞利用他等1.

一式的性質，或將已知條件代入，建立方程

待定系數法;頌），通過解方程（組）求出相應的待定系數

:已知關于f（x）與fq或f（-x）的解析式，可根

法四—辟已知和外再構揖出另外廠個詈式組成方=

解方程組法隹組，通過解方程組求出f（n

13.利用定義法證明或判斷函數單調性的步驟

取值—設X,X|是定義域內的任意兩個值，且X1024

作差丸差f'（版）-f（x,）L并通過的式分解、配方、#

一

變形塞他等方法M腳甫科手判斷著的符特領謫J菊聯

確定差的符號，當符號不確定時，可以進行分

定

號r類討論

判斷h根據定義作出結論

14.確定函數的單調區(qū)間的方法

定義法先求定義域，再利用單調性定義來求

由圖象確定函數的單調區(qū)間需注意兩點：一是

圖象法單調區(qū)間必須是函數定義域的子集；二是圖象

不連續(xù)的單調區(qū)間要分開寫，用"和"或"」

聯結，不能用"U"聯結

導數法利用導數取值的正、負確定函數的單調區(qū)間

15.求函數最值的五種常用方法

單調性法一＜筑確宸/^的單調底J再曲單閶t求最修：

肉會件,一.:先作出函數的圖象”再觀察其最高點、最低

圖象法1點，求出最值

其木不經才注：先婿解析式變形“使之具備“一正二定三

盤不：相等”的條件后用基本不等式求出最值

：形如ywcx+d千q，科腎軌甯建國「余敢

分離常數i抵一?：ax+b

；常數法”求解

在一吐:對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉

換兀法一：的函數，再用相應的方法求最值

16.利用函數的單調性比較函數值大小的方法

比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，則要利用函數性

質，將自變量的值轉化到同一個單調區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題通常

選用數形結合的方法進行求解.

17.求二次函數解析式的方法

根據已知條件確定二次函數的解析式，一般用待定系數法，選擇規(guī)律如下：

（已知

18.比較指數第大小的常用方法

一是單調性法，不同底的指數函數化同底后就可以應用指數函數的單調性比較

大小，所以能夠化同底的盡可能化同底.

二是取中間值法，不同底、不同指數的指數函數比較大小時，先與中間值（特

別是0,1）比較大小，然后得出大小關系.

三是圖解法，根據指數函數的特征，在同一平面直角坐標系中作出它們的函數

圖象，借助圖象比較大小.

19.求指數型復合函數的單調區(qū)間和值域的方法

(1)形如y=a'(a>0,且aWl)的函數求值域時，要借助換元法：令u=f(x),

先求出u=f(x)的值域，再利用y=a的單調性求出y=a”的值域.

(2)形如y=a(a〉O,且aW1)的函數單調性的判斷，首先確定定義域D,再分

兩種情況討論：

當a〉l時,若f(x)在區(qū)間(m,n)上(其中(m,n)CD)具有單調性,則函數y=a

在區(qū)間(m,n)上的單調性與f(x)在區(qū)間(m,n)上的單調性相同；

當O〈aG時，若f(x)在區(qū)間(m,n)上(其中(m,n)三D)具有單調性，則函數y=

d在區(qū)間(m,n)上的單調性與f(x)在區(qū)間(m,n)上的單調性相反.

20.對數式的化簡與求值方法

-----喑加利用塞的運算把底數或真數進行變形「花'；

拆分成分數指數幕的形式，使嘉的底數最簡，然后再：

亍」［用對數的運算性質化簡合并：

」福需藪元面面同底薪需薪而萩一至「花藏運戴二

合并然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數：

J一；的積、商、嘉的運算：

21.對數函數圖象的識別及應用方法

(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐

標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.

(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合

法求解.

22.比較對數值的大小的方法

函廟嬴f利甫分駁函編畫單篇出比威.

一數值4響真數工利用囪豪法或轉花方同底數對數的函數在第

』豪「真藪而示周｛成入用商富麗二工b?i辱3

23,解對數不等式的函數及方法

(1)形如logx>logb的不等式，借助y=log,x的單調性求解，如果a的取值不

確定，需分a>l與0<a<l兩種情況討論：

(2)形如log,x>b的不等式，需先將b化為以a為底的對數式的形式.

24.函數圖象的畫法

國函數解析元(最無形后一的解標五)一顯熟云的基：

直接法本函數時，就可根據這些函數的特征找出圖象的

送鍵我驟作出圖(象____________________：

轉化法含有絕蠅值得官加函藏可脫蠢函需宿客號，轉

.化為分段函數來畫圖象：

若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、

圖衾翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注

溫器意變換順序，對不能直接找到熟悉的基本函數的

要先變形，并應注意平移變換的順序對變換單位

及解析式的影響___________________!

25.函數圖象的辨識方法

(1)抓住函數的性質，定性分析

①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象上下位置;

②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；

④從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(2)抓住函數的特征，定量計算

利用函數的特征點、特殊值的計算，分析解決問題,

26.判斷函數零點所在區(qū)間的方法

方法解讀適合題型

利用函數零點的存在性定理進能夠容易判斷區(qū)間端點值所對

定理法

行判斷應函數值的正負

畫出函數圖象，通過觀察圖象

與X軸在給定區(qū)間上是否有交

圖象法容易畫出函數的圖象

點來判斷

27.判斷函數零點個數的3種方法

(D方程法：令f(x)=O,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間［a,］上是連續(xù)不斷的曲線，且

f(a)-f(b)<0,還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對

稱性)才能確定函數有多少個零點.

(3)圖形法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，先畫出兩個函數的圖象，

看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

28.根據函數零點的情況求參數有三種常用方法

(D直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參

數范圍.

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決.

(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，

然后數形結合求解.

29.判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的方法

(D構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時,先建立函數模型，再結合

模型選圖象.

(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，

驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇符合實際情況的答案.

30.嵌套函數零點個數的判斷

破解此類問題的主要步驟

(1)換元解套，轉化為t=g(x)與尸f(t)的零點.

(2)依次解方程，令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判斷圖象交點個

數.

31.求曲線切線方程的步驟

(1)求出函數y=f(x)在點x=x，處的導數，即曲線y=f(x)在點P(x,f(x))處

切線的斜率.

(2)由點斜式方程求得切線方程為y-f(x)=f(x)?(x-x).

32.導數的運算方法

=建乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導;

導...................".......................

數「分式形式：觀察函數的結構特征，先化為整式函;

的|數或較為簡單的分式函數,再求導：

運*’對數形式：先化為和、差的形式，再求導

算二二二二二二二二二二二二二二二二二二

方根式形式：先化為分數指數寢的形式，再求導：

法一三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形

式再求導：

33.利用導數的幾何意義求參數的基本方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數

滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍.

34.討論函數f(x)單調性的步驟

(1)確定函數f(x)的定義域；

⑵求導數f|(x),并求方程f(x)=O的根；

(3)利用f(x)=O的根將函數的定義域分成若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討

論f(x)的正負，由符號確定f(x)在該區(qū)間上的單調性，

35.利用導數求函數單調區(qū)間的方法

(1)當導函數不等式可解時，解不等式f(x)>0或f(x)<0求出單調區(qū)間.

(2)當方程f'(x)=0可解時，解出方程的實根，按實根把函數的定義域劃分區(qū)

間，確定各區(qū)間內f(x)的符號，從而確定單調區(qū)間.

(3)當導函數的方程、不等式都不可解時，根據f(x)的結構特征，利用圖象與

性質確定f(x)的符號，從而確定單調區(qū)間.

36.由函數的單調性求參數的取值范圍的方法

(1)由可導函數f(x)在D上單調遞增(或遞減)求參數范圍問題，可轉化為

f(x)NO(或f(x)WO)對xGD恒成立問題，再參變分離，轉化為求最值問題,

要注意“=”是否取到.

(2)可導函數在某一區(qū)間上存在單調區(qū)間，實際上就是f(x)>0(或f(x)〈O)

在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數的單調性問題轉化成不等式問題，

(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數時，可先求出f(x)的單

調區(qū)間，令I是其單調區(qū)間的子集，從而可求出參數的取值范圍.

37.利用導數研究函數極值問題的一般步驟

.求定義域］

1求導If(X)|

求〈，，用

極1極殖

(解方程3(x)=o［(知方程f(x)碗的情況1

,I、,I:

［驗根左右f(x)的符號)得關于參數的方程函等式)

TT7,1-、~

(W)?參數值(范圍)：

38.求函數f(x)在［a,b］上最值的方法

⑴若函數在區(qū)間［a,b］上單調遞增或遞減，f(a)與f(b)一個為最大值，一個為

最小值.

(2)若函數在閉區(qū)間［a,b］內有極值，要先求出［a,b］上的極值，與f(a),f(b)

比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

(3)函數f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)

值點，此結論在導數的實際應用中經常用到，

39.判斷函數零點個數的3種方法

直接法令f(x)=0,則方程解的個數即為零點的個數

畫圖法轉化為兩個易畫出圖象的函數，看其交點的個數

定理法利用零點存在性定理判定，可結合最值、極值去解決

40.象限角的2種判斷方法

在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知

圖象法

角是第幾象限角

先將已知角化為k-360°+a(0°Wa<360°,kdZ)的形式，即

轉化法找出與已知角終邊相同的角a,再由角a終邊所在的象限判斷已知角

是第幾象限角

41.求減n。（nGN）所在象限的步驟

n

①將0的范圍用不等式（含有k,且kez）表示;

②兩邊同除以n或乘以n;

③對k進行討論，得縱敝nO（ndN）所在的象限.

42.三角函數值符號的判斷方法

要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據

正、余弦函數值在各象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在的象限，那

就要進行分類討論求解.

43.sina±cosa與sinacosa關系的應用方法

(1)通過平方，sina+cosa,sina-cosa,sinacosa之間可建立聯

系，若令sina+cosa=t,則sinacos?；^',sinu—cosu

困

士2-t（注意根據a的范圍選取正、負號）.

⑵對于sina+cosa,sina—cosa,sinacosa這三個式子，可以矢口

一求二.

44.誘導公式的用法

①化負為正，化大為小，化到銳角為止;

②角中含有加雪的整數倍時，用公式去考的整數倍.

45.常見的互余和互補的角寫法

K+_0等；

—;+嗚:44

②常見的互補的角：-，。蠟/=般4+0,猾uO等.

46.三角函數公式活用方法

①逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；

②tanatan0,tana+tanB(或tana-tanB),tan(a+B)(或tan(a

-B))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用，

47.三角函數公式逆用和變形使用方法

①公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關系；

②注意特殊角的應用，當式子中同%亳，3等這些數值時，一定要考慮引

入特殊角，把"值變角”以便構造適合公式的形式.

48.三角公式求值中變角的解題方法

①當"已知角”有兩個時，”所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形

式：

②當“已知角”有一個時，此時應著眼于〃所求角"與"已知角”的和或差的關

系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”，

49.常見的配角方法

(2+B(I-B

2a=(a+B)+(a-B),a=(a+B)-B,8=二一-a=

50.三角函數名的變換方法

明確各個三角函數名稱之間的聯系，常常用到同角關系、誘導公式，把正弦、余

弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦.

51.求三角函數單調區(qū)間的兩種方法

⑴代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角u(或

t),利用復合函數的單調性列不等式求解.

(2)圖象法：畫出三角函數的圖象，結合圖象求它的單調區(qū)間.

52.三角函數值域的求法

(1)利用y=sin*和y=cosx的值域直接求.

(2)把所給的三角函數式變換成y=Asin(wx+4>)+b(或y=Acos(wx+e)+b)

的形式求值域.

(3)把sinx或cosx看作一個整體，將原函數轉換成二次函數求值域.

(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關系將原函數轉換成二次函數求值域，

53.已知函數單調性求參數必須明確一個不同，掌握兩種方法

(1)明確一個不同.“函數f(x)在區(qū)間上單調”與“函數f(x)的單調區(qū)間為A”

兩者的含義不同，顯然是N的子集.

(2)掌握兩種方法.已知函數在區(qū)間上單調求解參數問題，主要有兩種方法：

一是利用已知區(qū)間與單調區(qū)間的子集關系建立參數所滿足的關系式求解；二是利

用導數，轉化為導函數在區(qū)間上的保號性，由此列不等式求解.

54.三角函數奇偶性的判斷方法

三角函數中奇函數一般可化為丫=八5[[1X的形式，而偶函數一

般可化為丫=人(205wx+b的形式.

55.三角函數周期的計算方法

利用函數y=Asin(x+6)(a>0),y=Acos(ax+小)(w>0)的最小正周期為

，函數y=Atan(ux+4>)(@>0)的最小正周期“求解

3M

56.三角函數圖象的對稱軸和對稱中心的求解思路和方法

(1)思路：函數y=Asin(x+6)圖象的對稱軸和對稱中心可結合y=sinx圖

象的對稱軸和對稱中心求解.

(2)方法：利用整體代換的方法求解，令，，.lh-，k￡Z,解得x=

kGZ,即對稱軸方程；令wx+@=kn,kez,解得x=

23

蟹二J,kez,即對稱中心的橫坐標(縱坐標為0).對于丫=八(:。5由*+<1>),丫

=Atan(x+6),可以利用類似方法求解(注意y=Atan(ex+6)的圖象無對

稱軸).

57.解決三角函數圖象與性質綜合問題的方法

先將y=f(x)化為y=asinx+bcosx的形式，然后用輔助角公式化為丫=

Asin(wx+6)的形式,再借助y=Asin(6x+6)的性質(如周期性、對稱性、

單調性等)解決相關問題，

58.三角函數中@值的求法

(1)利用三角函數的周期T求解

Ow

解決此類問題的關鍵在于結合條件弄清周期g-與所給區(qū)間的關系，從而建

立不等關系.

(2)利用三角函數的單調性求解

根據正弦函數的單調遞增區(qū)間，確定函數g(x)的單調遞增區(qū)間，根據函數g(x)

=2sinox(a>0)在區(qū)間6'i上單調遞增，建立不等式，即可求a的取值

范圍.

(3)利用三角函數的對稱性求解

三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”摩相鄰的

對稱軸和對稱中心之間的"水平間隔”愛j這就說明，我們可根據三角函數的

對稱性來研究其周期性，進而可以研究””的取值.值得一提的是，三角函數

的對稱軸必經過其圖象上的最高點(極大值)或最低點(極小值)，函數f(x)=

Asin(ax+<D)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點，這就說明，我們也可利用

三角函數的極值點(最值點)、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定

“W”的取值.

(4)利用三角函數的最值求解

利用三角函數的最值與對稱或周期的關系，可以列出關于w的不等式，進而求出

的值或取值范圍.

59.函數丫二人5皿0*+中)(人>0">0)的圖象的兩種作法

TI3

設Z=x+6,由Z取0,,Ji,o,2兀來求出相應的X,通

五點法

過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象

由函數y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(wx+@)的圖象，

圖象變換法

有兩種主要途徑”先平移后伸縮"與"先伸縮后平移”

60.確定產Asin(wx+。)+b(A>0,w>0)的步驟和方法

(1)求A,b,確定函數的最大值和最小值m,

r,V-m,V,m

則1.b

22

(2)求，確定函數的最小正周期T,則可得副匚

(3)求小，常用的方法有：

①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A,,b已知)或代入圖象與直線

y=b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)；

②特殊點法：確定6值時，往往以尋找"最值點"為突破口，具體如下：

節(jié)點“(印圖象的“峰也”)時s+(AeZ);“最小值

(即圖象的“谷點”州寸3H?='"+2An(Aez)

2

61.求解三角函數圖象與性質的綜合問題的方法

先將y=f(x)化為y=Asin(x+6)+B的形式，再借助y=Asin(wx+6)的圖

象和性質(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調性等)解決相關問題.

(1)正、余弦定理的選用

①利用正弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊

或角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊或角；

②利用余弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊

或角；二是已知三邊求角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解

也是唯一的.

(2)三角形解的個數的判斷

已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，

該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判

斷.

62.判定三角形形狀的兩種常用途徑

通過正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數

恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷

通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用=

角恒等變換得出三角形內角之間的關系進行

判斷：

63.求三角形面積的方法

(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結合題意求解這個

角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積：

(2)若已知三角形的三邊，可先求其中一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公

式求面積，總之，結合圖形恰當選擇面積公式是解題的關鍵.

64.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求這個角的兩邊的關系，利用面積公式列方程求解；

(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關聯的角，利用面積公式列方程求解.

共人丁證麗向量共練對于向量a,b,若存在一實藪X,

線

向便歸AbQ關0)一，則2與9共繾........."1

量

定：定前芝百美磁「碧春石羹薪二通B1贏、：

理..則A,B,C三點共線.......................

的

兼參藪前宿「莉南買面向夏比顯比向基相辱的

應I

用「條件列方程(組)求參數的值.............；

65.巧建系妙解題，常見的建系方法如下

(1)利用圖形中現成的垂直關系

若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點的兩條直線(如矩形、直角梯形等)，可以

利用這兩條直線建立坐標系.

(2)利用圖形中的對稱關系

圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點的兩條直線，但有一定對稱關系(如：等腰

三角形、等腰梯形等)，可利用自身對稱性建系.建立平面直角坐標系的基本原

則是盡可能地使頂點在坐標軸上，或在同一象限.

66.求向量的模或其范圍的方法

(1)定義法：Ia|=a=a,a,Ia±b|=(a±b)?=a±2a,b+b.

(2)坐標法:設a=(x,y),則|a|=Jx+y.

(3)幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用

解三角形的相關知識求解.

67.處理平面向量與三角函數的綜合問題方法

(1)題目條件給出的向量坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等

式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解.

(2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形

式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域

等.

68.由遞推關系求數列的通項公式的常用方法

珈然注?形如an=pan-l+mGp、m為常數，mWO)時，；

構超運；構造等比數列

,________________________________________，

累加法［形如a=an-l+f(n)(If(n))可求和)時'用累加法］

:'求解j

累積法：形如皿河(n)(鵬(加｝前棚)時，用累積法求解：

'........arthl....................................................................'

69.解決數列單調性問題的三種方法

①用作差比較法，根據a+-a,的符號判斷數列｛a)是遞增數列、遞減數列還是

常數列；

拉'',iJ巧用作商陵法,根據典〈0)與1的大小關系進行判斷：

4

③結合相應函數的圖象直觀判斷.

70.求數列最大項或最小項的方法

①可以利用不等式田‘'''(n'2)找到數列的最大項；

，(n22)找到數列的最小項。

電Wa+I

71.解決數列周期性問題的方法

先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.

推斷數列的通項公式

解答此類問題的具體步驟：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相鄰項的變化特征；

(3)拆項后的特征；

(4)各項的符號特征和絕對值特征；

(5)化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母

之間的關系；

(6)對于符號交替出現的情況，可用(一1)'或(一l),kGN處理.

72.等差數列的判定與證明方法

如果一個數例m,也從第2項起11每l項陸宏的弓

定義法

前一項的差等于同一個常數，那么可以判斷

教列［"］為等差數列_______________________

等差中加果一個數列（副。對任意的正整數n都滿足

項法2時亍a+p+4那么可以判斷｛a,J方等差數列

通項公如果一個數冽匣，的通項公式滿足afpn+g依

式法吸常數%的形式，那么可以得出｛qn1尾首項

為R+3公'差為P的等差數列

如果一個數列Na”的前n項和'公'式楠足5=人〃

前n項

和公式法+Bn（4,B為常數％的形?式，那么可以得出數列.

73.求等差數列㈤的前n項和S的最值的方法

二次當公差dWO時，將S,南-作關于n的二次函數,

函數法運用配方法I,借助函數的單調性及數1形結合”

使問題得解

通項|-

_-求使a,訓（或a,《0）成立的最火n值即可得S,的

公式衽一，犀木?建被值

1

聿i助S“持大時，|有I,SeSzT,5?2,n邛*）,解|［-

不等

式組法,此不等式剃確定11的范圍，進而確定n的隼和對

應'的值（該值即為S的耳大值），類似可求最小

值

74.等比數列的判定與證明

.如果一個數列［a/從第2項起，每一項與它的

定義法—幡-項的比等于同一個非零常數但即吧L

q（qWO）,那么數列｛a,｝是等比數列

等比中如果對任意退整數m都存於a■-公源，且制

—

項法#0,那么數列54為等比數列

通項公如果數列l(wèi)a"的通項公式滿足aj=c-lg~11（2g

均是不為0的常數），那么數列是首項為

式法的公比為q的等比數列

前n項和如果數列加］的前n項和滿足S二kq〃rk（媯常

公式法數且kW0,?W0,“，那么數列｛卜）［是等比數列（

75.數列求和的五種常用方法

(1)分組轉化求和法

一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求

和時可用分組求和法，分別求和后再相加減.

(2)裂項相消法

把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其

和.

(3)錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那

么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法

推導的.

(4)倒序相加法

如果一個數列｛a｝的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個

常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公

式即是用此法推導的.

⑸并項法

一個數列的前n項和中，可兩兩結合求和，稱為并項法求和，形如：(一l)”f(n)

類型，可考慮利用并項法求和.

76.用錯位相減法求和的方法及步驟

(1)掌握解題“3步驟”

m八"把數列的通項化為等差數列、等比數列的通

I均分析J項的積，并求出等比數列的公比

國裊免列出前n項和的表達式，然后乘以等比數'

WJ牽5M列的公比得到一個新的表達式，兩式作差.

超菽)T酊根據差式制版進行海確翱..........：

(2)注意解題“3關鍵”

①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形.

②在寫出"S"與"qS”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步

準確寫出"S-qS”的表達式.

③在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比g=l和q#l

兩種情況求解.

77.裂項求和的基本步驟

裂項H觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式

:累加將數列裂項后的備項相加■

將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限

〔強啰J一項相加，得到數列的前n項和

78.處理數列與不等式的綜合問題的方法

(1)判斷數列問題的一些不等關系，可以利用數列的單調性比較大小或借助數列

對應的函數的單調性比較大小，

(2)以數列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉化為函數的最值.

(3)考查與數列有關的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進行證明，有

時也可以通過構造函數進行證明，

79.解決數列問題的七大常用方法

方法一巧用性質減少運算

等差數列、等比數列的通項公式與求和公式中均涉及多個量，解題中可以不必求

出每個量，從整體上使用公式.

方法二巧用升降角標法實現轉化

在含有a,S,對任意正整數n恒成立的等式中，可以通過升降角標的方法再得出

一個等式，通過兩式相減得出數列遞推式，再根據遞推式求得數列的通項公式和

解決其他問題.

方法三巧用不完全歸納找規(guī)律

解數列問題時要注意歸納推理的應用，通過數列前面若干項滿足的規(guī)律推出其一

般性規(guī)律.

方法四巧用輔助數列求通項

已知數列的遞推式求數列的通項公式時，基本思想就是通過變換遞推式把其轉化

為等差數列、等比數列(輔助數列)，求出輔助數列的通項，再通過變換求出原數

列的通項公式.

(1)當出現a,=a,-;+m(n，2)時，構造等差數列；

(2)當出現a,=xa-+y(n±2)時，構造等比數列.

方法五巧用裂項求和

裂項相消法是數列求和的基本方法之一，在通項為分式的情況下，注意嘗試裂項,

裂項的基本原則是a,=f(n)-f(n+1).

方法六巧用分組妙求和

分組求和方法是分類與整合思想在數列求和問題中的具體體現，其基本特點是把

求和目標分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的結果得出整體和，

方法七巧用特值驗算保準確

使用”錯位相減法〃求和的方法學生都能夠掌握，但求解的結果容易出現錯誤,

應該在求出結果后使用a=S進行檢驗，如果出現aWS,則說明運算結果一定

錯誤，這時可以檢查解題過程找出錯誤、矯正運算結果，

80.空間幾何體概念辨析問題的常用方法

緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的

管Q去’情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等

基本元素，根據定義進行判定

三區(qū)、二'ii忘左祠前面加福缸施行解后「血羹視詢二不屆

的心沙；論是錯誤的，只要舉出一個反例即可

81.三類幾何體表面積的求法

只需將它們沿著棱"剪開"展成平面圖形，利用求

求多面體的表面積

平面圖形面積的方法求多面體的表面積.

可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其

展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線

求旋轉體的表面積

長與對應側面展開圖中的邊長關系.

通常將所給兒何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，

先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再

求不規(guī)則幾何體的表面積

通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

82.處理不規(guī)則幾何體體積問題的步驟

指的是轉換底面與高，將原來不容易求面積的

茸-底面轉換為容易求面積的底面，或將原來不容

易看出的高轉換為容易看出并容易求解的高

'指的是將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個簡單

而的幾何體，便于計算

指的是將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如

有時將一個三校錐復原成一個三校柱，將一

分個三棱柱復原成一個四棱柱，還臺為錐，這

些都是拼補的方法

83.求幾何體體積的常用方法

直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者

把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的

割補法

幾何體，便于計算

等體選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用

積法三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換

84.共面、共線、共點問題的證明方法

⑴證明點或線共面：

①首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）

在這個平面內；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

⑵證明點共線：

①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都

在同一條特定的直線上.

⑶證明線共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.

85.空間兩直線位置關系的判斷方法

空

間

：定理法或反證法

兩

直

平行直線：可利用中位線性

線判斷

質、公理4、線面、面面平行-技巧

的

的性質定理

位

置

垂直關系：利用線面垂直的

關

性質判定

系

方法

判定

行的

面平

、平

.直線

86

.

條件

視的

易忽

理中