高考數(shù)學一輪復習試題第9節(jié) 函數(shù)模型及其應用

第9節(jié)函數(shù)模型及其應用

考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解”指數(shù)

爆炸對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義2通過收集、閱讀一些現(xiàn)實生

活、生產(chǎn)實際等數(shù)學模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用.

知識診斷?基礎夯實

知識梳理

1.指數(shù)、對數(shù)、鬲函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)y=axy=logoxy=xfl

（?>1）（?>D（心0）

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨〃值

圖象隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表

變化而

的變化現(xiàn)為與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行

各有不同

值的比較存在一個X0,當x>xo時，有l(wèi)ogox〈爐

2.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix)=ax+b(a,。為常數(shù)，aWO)

2

二次函數(shù)模型fix）=ox+Z?x+c（a9b,c為常數(shù)，aWO）

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型fix）=ba':+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,0W0）

與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型7（x）=blogd+c（a,b,c為常數(shù)，a〉0且aWl,bWO）

與幕函數(shù)相關(guān)的模型j{x）=a^,+b{a,b,n為常數(shù)，a#0）

常用結(jié)論

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增

長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越

來越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)

學結(jié)果對實際問題的合理性.

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若

按九折出售，則每件還能獲利.()

(2)函數(shù)y=2'的函數(shù)值比＞=/的函數(shù)值大.()

⑶不存在X0,使心＜X0＜logaXO.()

(4)在(0,+8)上，隨著X的增大，)=爐(&＞1)的增長速度會超過并遠遠大于＞=

必。＞0)的增長速度.()

答案(l)x⑵*(3)X(4)7

9

解析(1)9折出售的售價為100(1+10%)X—=99(TG).

???每件賠1元，(1)錯誤.

(2)當x=2時，2了=/=4.不正確.

(3)如a=x()=g,〃=；,不等式成立，因此(3)錯誤.

2.(2021.全國甲卷)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測

量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)

記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lg憶已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則

其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為:標21259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案C

解析由題意知4.9=5+lgV,得lgV=—0.1,得丫=10-5心0.8,所以該同學視

力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

3.(多選)(2021.青島質(zhì)檢)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量,

收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)

據(jù)，繪制了下面的折線圖.

月接待游客量（萬人）

O1234567891011121234567891()1112123456789101112

2014年2015年2016年

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較

平穩(wěn)

答案BCD

解析由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A錯誤.其余

全部正確.

4.某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價

定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價每降低（升高）0.5元，則可多（少）

銷售40瓶，在每月的進貨當月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應定

為（）

A.3.75元/瓶B.7.5元/瓶

C.12元/瓶D.6元/瓶

答案D

解析設銷售價每瓶定為x元，利潤為y元，貝1]y=（x—3）（4OO+M^X4O]=8O（X

-3）-（9-X）=-80（X-6）2+720（X^3）,所以x=6時，y取得最大值.

5.在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則對x,y最適合的擬合函數(shù)是（）

A.y=2xB.y=x1—1

C.y=2x~2D.y=log2X

答案D

解析當x=0.99時，y=0.01,可排除A,當x=2.01時，y=0.98,可排除B、

C,故選D.

IX力

6.(2022.北京豐臺一模)大氣壓強片受;余積,它的單位是“帕斯卡”(Pa.lPa=

1N/m2),大氣壓強p(Pa)隨海拔高度/z(m)的變化規(guī)律是。=00晨幼伙=0.000126m

'),po是海平面大氣壓強.已知在某高山4,上兩處測得的大氣壓強分別為“，

P2,片=；.那么4,4兩處的海拔高度的差約為(參考數(shù)據(jù)：ln2—.693)()

A.550mB.l818m

C.5500mD.8732m

答案C

解析方nip小o?e""="書=用力01,故加—3華in2心瑞069標3=55oom.

□考點突破?題型剖析

考點一利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程

1.某“跑團”為了解團隊每月跑步的平均里程,收集并整理了2021年1月至2021

年11月期間“跑團”每月跑步的平均里程(單位：千米)的數(shù)據(jù).繪制了下面的折

線圖.

月跑步平均里程/千米

根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是()

A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應的平均里程數(shù)

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月

D.1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平

穩(wěn)

答案D

解析由折線圖知，月跑步平均里程的中位數(shù)為5月份對應的平均里程數(shù)，A錯

誤；

月跑步平均里程不是逐月增加的，B錯誤；

月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C錯誤，故選D.

2.（2022.鄭州質(zhì)檢）水池有兩個相同的進水口和一個出水口，每個口進出水的速度

如圖甲、乙所示，某天。時到6時該水池的蓄水量如圖丙所示，給出以下3個論

斷：

①。時到3時只進水不出水；

②3時到4時不進水只出水；

③4時到5時不進水也不出水.

則一定正確的論斷是（填序號）.

答案①

解析由甲、乙、丙圖可得進水速度為1,出水速度為2,結(jié)合丙圖中直線的斜

率可知，只進水不出水時，蓄水量增加的速度是2,故①正確；

不進只出水時，蓄水量減少的速度為2,故②不正確；

兩個進水，一個出水時，蓄水量減少的速度也是0,故③不正確.

3.（2022.武漢調(diào)研）為研究西南高寒山區(qū)一種常見樹的生長周期中前10年的生長

規(guī)律，統(tǒng)計顯示，生長4年的樹高為;米，如圖所示的散點圖，記錄了樣本樹的

生長時間/（年）與樹高M米）之間的關(guān)系.請你據(jù)此判斷，在下列函數(shù)模型：①尸

2'—a；②/—+砥/；③④y=3+a中（其中a為正的常數(shù)），生長年

數(shù)與樹高的關(guān)系擬合最好的是（填寫序號），估計該樹生長8年后的樹高

為米.

4

3

*

2.?*

1*

~O]~~1234567/

答案②￥

解析由散點圖的走勢，知模型①不合適.

曲線過點（4,則后三個模型的解析式分別為②y=g+log2/；③/=夕+/；④y

=3+g,當/=1時，代入④中，得＞=*與圖不符，易知擬合最好的是②.

將f=8代入②式，得y=§+log28=w（米）.

感悟提升判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合

模型選圖象.

（2）驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，

驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

考點二已知函數(shù)模型解決實際問題

例1（2021?承德二模）我國在2020年進行了第七次人口普查登記，到2021年4月

以后才能公布結(jié)果.人口增長可以用英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯提出的模型：y=

yo-erl,其中r表示經(jīng)過的時間（單位：年），yo表示f=0時的人口數(shù)（單位：億），r

表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記（已

上報戶口）的全國總?cè)丝?2.43億人（不包括香港、澳門和臺灣地區(qū)）和2010年第

六次人口普查登記（已上報戶口）的全國總?cè)丝?3.33億人（不包括香港、澳門和臺

灣地區(qū)）為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型估計我國2020年年末（不包括香港、

澳門和臺灣地區(qū)）的全國總?cè)丝跀?shù)為（13.332=177.6889,口.43』154.5049）（）

A.14.30億B.15.20億

C.14.62億D.15.72億

答案A

1333

解析由馬爾薩斯人口增長模型，得13.33=12.43/°。即所以我國

13332177.6889

2020年年末的全國總?cè)丝跀?shù)約為丫=13.335°，=置方=（億）.

12.4314.30

感悟提升1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點.

⑴認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

訓練1（2021.益陽二模）我們檢測視力時會發(fā)現(xiàn)對數(shù)視力表中有兩列數(shù)據(jù)，分別是

小數(shù)記錄與五分記錄，如圖所示（已隱去數(shù)據(jù)），其部分數(shù)據(jù)如下表:

小數(shù)

0.10.120.150.2????.??1.01.21.52.0

記錄X

五分

4.04.14.24.3???4.7???5.05.15.25.3

記錄y

現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y=5+lgx,②y=5+小忌，x表示小數(shù)E印

xUIE

記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下Ems

mEIUE

問題：小明同學檢測視力時，醫(yī)生告訴他視力為4.7,則小明同Einam

mEmUJE

學的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（參考數(shù)據(jù)：10一°320.5,5-°-22弋0.7,m3-2

標準對數(shù)視力表

10-01^0.8）（）

A.0.3B.0.5

C.0.7D.0.8

答案B

解析由題中數(shù)據(jù)可知，當尤=1時，y=5,兩個函數(shù)模型都符合；

當x=0.1時，由y=5+lgx,得y=5+lg0.1=4,與表中的數(shù)據(jù)符合，而y=5

4-j7;lg7=5.1,與表中的數(shù)據(jù)不符，

1\JA-

所以選擇模型y=5+lgx更合適，

此時令y=4.7,則lgx=—0.3,

所以x=10a3?=：o.5.

考點三構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題

角度1構(gòu)造二次函數(shù)模型

例2某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%（即每銷售

100元征稅R元），若每年銷售量為（30—|R）萬件，要使附加稅不少于128萬元，

則R的取值范圍是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

答案A

解析根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需（30一|H）X160XH%228,

整理得衣一12尺+32W0,解得4WRW8,即g4,8].

角度2構(gòu)造指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

例3（1）（2022.青島檢測）一個放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年就有1

的質(zhì)量發(fā)生衰變.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的1%,則至少需要的年數(shù)是

（）

A.6B.5C.4D.3

答案C

解析設這種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,經(jīng)過MxWN）年后，剩余量是〉，

則有y=（4）-

依題意得（JW焉.

則叫2100,解得x24.

所以至少需要的年數(shù)是4.

⑵（2022.武漢檢測）人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級d（x）（單位:dB）

與聲音強度x（單位：W/n?）滿足d（x）=91gy^*-6一般兩人小聲交談時，聲音的

1入1U

等級約為54dB,在有50人的課堂上講課時，老師聲音的等級約為63dB,那么

老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的（）

A.1倍B.10倍

C.100倍D.1000倍

答案B

解析設老師上課時聲音強度、一般兩人小聲交談時聲音強度分別為加W/n?,

X2W/m2,

riY-)

根據(jù)題意得d(xi)=91g[1A乂1[八U_M=63,解得1zxxi=1U106,d(x2)=91g[乂[八_]?=54,

解得X2=10?所以號=10,

因此，老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍.

角度3構(gòu)建分段函數(shù)模型

例4小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某

小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本川⑴

萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)=￥+x(萬元).在年產(chǎn)量不小于8萬件時,

W(x)=6x+千一38(萬元).每件產(chǎn)品售價5元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品當

年能全部售完.

(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤=年銷

售收入一固定成本一流動成本)

⑵年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是

多少？

解(1)每件產(chǎn)品售價為5元，

則x萬件產(chǎn)品的銷售收入為5x萬元.

當0令＜8時，

L(x)=5x-&C2+x)-3=-$+4x-3,

當x28時,

L(x)=5x-38)-3

(,100

=35_^+—

—gf+dx—3,0<r<8,

故L(x)=

(,100

35-lx+V,,工28.

(2)當0令＜8時,

L（x）———3=—g（x—6）2+9；

當x=6時，L（x）取最大值為￡（6）=9（萬元）;

當*28時，L（x）=35—[+雪）

釜35-2\^?手=15（萬元），

（當且僅當％=等，即尤=10時，取等號）

綜上，當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利

潤為15萬元.

感悟提升（1）在應用函數(shù)解決實際問題時需注意以下四個步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.

②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知

識，建立相應的函數(shù)模型.

③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學結(jié)論.

④還原：將數(shù)學結(jié)論還原為實際意義的問題.

（2）通過對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識和方法構(gòu)

建函數(shù)模型解決問題，提升數(shù)學建模核心素養(yǎng).

訓練2（1）（多選）已知一容器中有A,8兩種菌，且在任何時刻A,B兩種菌的個

數(shù)乘積均為定值107為了簡單起見，科學家用Pn=lg〃A來記錄A菌個數(shù)的資

料，其中〃A為A菌的個數(shù).現(xiàn)有以下幾種說法，其中正確的是（）

A.PQl

B.PAWIO

C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多

10

D.假設科學家將B菌的個數(shù)控制為5萬,則此時5<PA<5.5（注：1g2^0.3）

答案BD

解析當〃4=1時，PA=O,故A錯誤；

又riA-nB=1O10且1,

10

."后10叫：.PA^\g10=10,故B正確;

若PA=1,則〃A=10；若PA=2,則〃A=100,故C錯誤；

設5菌的個數(shù)為"8=5X104,

101（）

=5*]04=2*105,

則Pa=lg（〃A）=5+lg2.

又lg2Ao.3,：.5<PA<5.5,D正確.

（2）（2020.全國in卷）Logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領(lǐng)域.

有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)m的單位：天）的

Logistic模型：?f）=I+e-，其中K為最大確診病例數(shù).當/（力=0.95K時，

標志著已初步遏制疫情，則/約為（In19心3）（）

A.60B.63C.66D.69

答案C

解析因為/（/）=]+e-（）.23V-53>'所以當/?*）=0.95K時，]+e-0.23丁-53）=

O.95^1+e-o.23（rt-53>=o.95=>1+e°23（產(chǎn)-53）=念=e023"*—53）=念一]=

e°23（，*-53）=]9=0.23（r—53）=ln19=廣=$4+532高+53p66.

I分層訓練?鞏固提升

||A級基礎鞏固

1.（2021.張家口一模）溶液酸堿度是通過pH計算的，pH的計算公式為pH=

-lgfH+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，人體血液的氫離

子的濃度通常在1X107.45?1義10-7.35之間，如果發(fā)生波動，就是病理現(xiàn)象，那

么，正常人體血液的pH值的范圍是（）

AJ7.25,7.55]B」7.25,7.45]

C.[7.25,7.35]D.[7.35,7.45]

答案D

解析依題意，令pHi=—lg[lX10-7.45]=745,pH2=—lg[IX10-7.35]=7.35,因

此,正常人體血液的pH值的范圍是[7.35,7.45].

2.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準備用下列

四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—21)

C.y=log2XD.^=log-x

答案B

解析由題中表格可知函數(shù)在（0,+8）上是增函數(shù)，且y的變化隨尤的增大而增

大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.

3.（多選）甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同

學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路

程y（km）與時間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）

A.甲同學從家出發(fā)到乙同學家走了60min

B.甲從家到公園的時間是30min

C.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快

D.當0WxW30時，y與x的關(guān)系式為

答案BD

解析在A中，甲在公園休息的時間是lOmin,所以只走了50min,A錯誤；

由題中圖象知，B正確；

甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以

甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；

當0Wx〈30時，設伏#0）,則2=30%,解得k=七，D正確.

4.（多選）某工廠一年中各月的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中

正確的是（）

A.收入最高值與收入最低值的比是3：1

B.結(jié)余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個月的平均收入為40萬元

答案ABC

解析由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3：1,

故A正確；

由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80—20=60（萬元），故B正確；

由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故

C正確；

由題圖可知，前6個月的平均收入為上義（40+60+30+30+50+60）=45（萬元），

故D錯誤.

5.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵

樹與兩墻的距離分別是4m和am（0<?<12）,不考慮樹的粗

細.現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD

設此矩形花圃的最大面積為u,若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，

則函數(shù)“=%）（單位：n?）的圖象大致是（）

答案B

解析設長為x,則CZ）長為16-x.

又因為要將P點圍在矩形ABCO內(nèi),

所以

則矩形ABC。的面積為x(16—x).

當0VaW8時，當且僅當尤=8時，”=64.

當8VaV12時,〃=>(16—a),

'64,0VaW8,

所以u=\/,、

a(16—(2),8<cz<12,

分段畫出函數(shù)圖象，可得其形狀與B選項中圖象接近.

6.(2021.阜陽期末)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙

古四子王族預定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精

度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與

“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為11.2

m/s,這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水

漂”的速率為上一次的93%,若要使石片的速率低于7.84m/s,則至少需要“打

水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取In0.7=-0.357,In0.93=—0.073)()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析設石片第"次“打水漂”時的速率為弘，則％=11.2X0.93"」

由11.2X0.93"-iV7.84,得0.93”-1<0.7,則(〃-l)ln0.93Vin0.7,

In0.7-0.357

即〃一1>ln0.93=-0.073%4,89.

則”>5.89,故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

7.某商品在最近30天內(nèi)的價格加)與時間X單位：天)的函數(shù)關(guān)系是_/U)=f+10(。

VfW30,/GN),銷售量g⑺與時間t的函數(shù)關(guān)系是g")=-/+35(OVfW3O"GN),

則這種商品的日銷售金額的最大值是.

答案506

2

解析日銷售金額y=(—/+35)。+10)=—1一曰+350+竽，

VreN..\z=12或13時，>ax=506.

8.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某

品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R=crjA(a為常數(shù))，廣告

效應為0=9-4.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應，投入的廣告費應

為（用常數(shù)a表示）.

答案（次

解析令，=近020）,則A=P,

2

.".D=at-i1=~2a）+1/,

...當即A=、/時，。取得最大值.

9.（2021?廣州測試）據(jù)報道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗蟲災害.在所有的農(nóng)業(yè)

害蟲中，沙漠蝗蟲對人類糧食作物危害最大.沙漠蝗蟲的繁殖速度很快，遷徙能

力很強.已知某蝗蟲群在適宜的環(huán)境條件下，每經(jīng)過15天，數(shù)量就會增長為原來

的10倍.該蝗蟲群當前有1億只蝗蟲，則經(jīng)過_______天，蝗蟲數(shù)量會達到4000

億只.（參考數(shù)據(jù)：1g2^0.30,1g3-0.48）

答案54

解析由題意知，每經(jīng)過15天，蝗蟲的數(shù)量就會增長為原來的10倍，設每天的

15

增長率為a,則有（l+a）i5=10,解得。=才布一1?

設經(jīng)過x天后，蝗蟲數(shù)量會達到4000億只，

貝I有IX（1+^=4000,

xx

所以10^=4000,即行=lg4000,

X

故記=3+lg4=3+21g2-3+2X0.3=3.6,所以x=54,

故經(jīng)過54天，蝗蟲數(shù)量會達到4000億只.

10.盡管目前人類還無法準確地預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所

了解，例如，地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為

lgE=4.8+1.5M.

⑴已知地震等級劃分為里氏12級，根據(jù)等級范圍又分為三種類型，其中小于2.5

級的為“小地震”，介于2.5級到4.7級之間的為“有感地震”，大于4.7級的

為“破壞性地震”，若某次地震釋放能量約IO】?焦耳，試確定該次地震的類型；

（2）2008年汶川地震為里氏8級，2011年日本地震為里氏9級，問：2011年日本

地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的多少倍？（取9=3.2）

解（1）某次地震釋放能量約10D焦耳，即E=l（）i2代入］gE=4.8+I.5M,化簡

1g1012—4.812-4.8

得M==4.8.

1.51.5

因為4.8>4.7,所以該次地震為“破壞性地震”.

（2）設汶川地震、日本地震所釋放的能量分別為e，及.

由題意知，1gB=4.8+1.5X8=16.8,lgE2=4.8+1.5X9=18.3,

即⑻&=10區(qū)3,

所以卷<^10=3.2,得后=32.

故2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的32倍.

11.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點.研究表明：“活

水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度。（單位：千克

/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù).當x不超過4尾/立方米時，。的值為

2千克/年；當4〈尤W20時，。是x的一次函數(shù)；當x達到20尾/立方米時，因缺

氧等原因，。的值為0千克/年.

⑴當0VxW20時，求函數(shù)。關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并

求出最大值.

解（1）由題意得當0V光W4時，0=2；

當4VxW20時，設0=奴+仇

顯然。=<2x+Z>在（4,20］內(nèi)是減函數(shù),

20a+/?=0,

由已知得解得,

4a+b=2,p=|,

所以V=—|x+|,

2,0?4,

故函數(shù)v='

4VxW20.

（2）設年生長量為/U）千克/立方米，依題意并由（1）可得,

'2x,0<啟4,

*)—^x2+|x,4<xW20,

當0Vx<4時，?r)為增函數(shù)，故/U)max=/(4)=4X2=8；

當4VxW20時，兀0=一'+|九=一點＞2—20%)=一上。：一10)2+夸，Xx)max=/(10)

=12.5.

所以當x=10時，?x)的最大值為12.5.

即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5

千克/立方米.

|B級能力提升

12.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，

我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)

問題是地面與探測器的通信聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲

橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日上點的軌道運行心點是平衡點，位于地月連

線的延長線上.設地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,心點到月球的

距離為「，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

JM2/pi必

(R+r)2+_戶一依十乃天心

r3a3+

設a=S由于a的值很小，因此在近似計算的?(匚工)2--3a3,則/?的近似值

答