有限元中的半解析法

有限元中的半解析法學(xué)院：交通學(xué)院姓名：胡光勝學(xué)號：11S032019在實(shí)際生活中，由于求解的問題復(fù)雜、規(guī)模較大，常規(guī)的有限單元法的費(fèi)用較高，已經(jīng)不適用。因此，我們希望找到其他的方法以減少計算工作量，降低費(fèi)用。這時，半解析法具有其優(yōu)勢，它是一種離散與解析相結(jié)合的方法。目前，常用的半解析法有三種：有限條法；組合條---元法和有限元線法。1.有限條法〔FiniteStripMethod〕有限條法是由張佑啟先生提出的一種方法，用以解決規(guī)那么形體問題。本方法具有工作量小、精度高的優(yōu)點(diǎn)。下面將以薄板為例，介紹位移場的構(gòu)造方法。如圖1所示，有一矩形薄板，設(shè)每條邊界的支承條件相同，圖中表示了三種支承情況，用一些與邊界線平行的直線將板分割成假設(shè)干窄長的條帶以此組成有限元分析中的單元。下面介紹這種條帶單元位移場的建立思路。圖1矩形薄板與有限條離散示意圖確定位移模式對于薄板來說，撓度ω可用別離變量形式表示(1)邊界條件確實(shí)定本例中也可取Xm(x)滿足條帶兩端的邊界條件的梁振形函數(shù)，它是如下微分方程的解：〔2〕式中---是振型參數(shù)，由邊界條件確定圖1(a)所示的是一端固定一端簡支的情況，那么有：〔3.1〕式中，振型參數(shù)由tg=tanh確定，具體取值見表1。表1的取值m：123≥43.92667.068510.2102≈其他對邊約束條件情況振型函數(shù)Xm(x)為：(1)兩端簡支=mπ〔3.2〕(2)兩端固定〔3.3〕由cosch=1確定，取值如下表2。表2的取值m：123≥44.730047.853210.955608≈〔3〕兩端自由〔3.4〕在m≥3時，由表2中取得?！?〕一端固定一端自由〔3.5〕由cosch=-1確定，取值如下表3。表3的取值m：123：1.8754.694≈〔5〕一端簡支一端自由〔3.6〕從m=2開始，按表1取值。在以上各式中，S、T、U、V是振動理論中的克雷洛夫函數(shù)，即〔3.7〕由于振型函數(shù)的正交性，Xm(x)存在如下正交關(guān)系m≠n〔4〕確定位移場在此過程中，沿短邊方向上條間節(jié)線的未知位移為參數(shù)，在滿足收斂性準(zhǔn)那么的前提下由形函數(shù)插值構(gòu)造。對只有外節(jié)線的條元，設(shè)左右兩側(cè)節(jié)線位移參數(shù)矩陣為δ1m、δ2m，相應(yīng)的形函數(shù)矩陣為N1、N2，那么有fm(y)=[N1N2][δT1mδT2m]T〔5〕假設(shè)為內(nèi)節(jié)線的高階條元，記內(nèi)節(jié)線位移參數(shù)與形函數(shù)為δ3m、N3那么fm(y)=[N1N2N3][δT1mδT2mδT3m]T其余的可類推。假設(shè)僅以節(jié)線位移為參數(shù)時，那么fm(y)=[][ω1mω2m]T當(dāng)以節(jié)線位移和轉(zhuǎn)角為參數(shù)時，有fm(y)=[N1N2N3N4][ωT1mδT1mω2mδ2m]T上式中Ni為梁的Hermite函數(shù)。將fm(y)、Xm(x)帶入(1)式，整理后即可得到位移場的標(biāo)準(zhǔn)形式。本例為薄板，那么條帶單元的位移場為ω(x,y)=NδTe(6)本例中的思路也可用來構(gòu)造二維、三維等問題的位移場，對于三維問題來說有由于任意函數(shù)均可展為完備的正交函數(shù)，因此，只要級數(shù)項(xiàng)數(shù)足夠大，就可保證位移場沿條帶長邊方向趨于精確。如果有一方向可取解析解，離散僅在另外方向進(jìn)行，從而使得未知量數(shù)目大大減少，二維問題降為一維、三維降為二維。如采用的是正交函數(shù)集，對一些問題由于正交性，各級數(shù)項(xiàng)積分不耦聯(lián)，這也會減少工作量。有限條法的缺乏雖然樣條法在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，但依然有一定的局限性：〔1〕條元不可能在長邊方向連接有限元或其它單元。〔2〕當(dāng)結(jié)構(gòu)的某一邊界并非同一支承情況，如矩形板的四條邊線，每條邊上均同時存在多種支承情況，顯然在邊界條件不同的相鄰條元間，由于Xm(x)不同，當(dāng)然不可能保證位移間的協(xié)調(diào)性，因此，有限條將無法使用?！?〕即使邊界支承條件在同一邊界完全相同，但如本例中第一局部薄板情況Xm(x)有6種情況，程序比擬繁瑣。2.組合條---元法〔CombinatoryStrip-ElementMethod〕為了克服有限條的局限性，而又能保存有限條的一些優(yōu)點(diǎn)，我們又提出了所謂的組合條---元法。這是一種將有限條和有限元的特點(diǎn)組合起來的方法。下面我來介紹組合條---元法的構(gòu)造思路。與條元法一樣，也以窄長條帶為單元，但不同的是，節(jié)線的兩端設(shè)置有結(jié)點(diǎn)。由于任一函數(shù)均可由完備函數(shù)集中的基函數(shù)來表達(dá)，可采用如下兩步法構(gòu)造單元位移場：〔1〕由結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)，采用形函數(shù)插值構(gòu)造條帶單元的節(jié)線位移，這一步與有限元一樣?！?〕以上述節(jié)線位移作參數(shù)，沿條帶短邊方向進(jìn)行多項(xiàng)式插值，從而構(gòu)造條帶的位移場。經(jīng)過以上兩步，即可得到〔7〕式中-----由結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)構(gòu)造的位移局部；-------沿長邊方向由級數(shù)構(gòu)造的位移局部。然后就可以按普通有限元進(jìn)行分析。這種方法克服了有限條法的缺陷，幣有限元減少了很多未知量。使用這種方法我們解決了平面問題、薄板問題、折板與平面殼體等的線性與非線性、靜力與動力分析；并聯(lián)合應(yīng)用了有限元、組合條元與映射無限元求解過路面力學(xué)問題。是一種可行的方法。有限元線法〔FiniteElementMethodofLines〕有限元線法〔FEMOL〕是袁駟提出的一種以常微分方程求解器為支撐軟件的新型半解析法。有限元線法的構(gòu)造思路有以下幾步：〔1〕建立參數(shù)FEMOL的單元映射。為適應(yīng)復(fù)雜形體問題的計算，可建立母單元與子單元的映射關(guān)系。〔2〕構(gòu)造參數(shù)FEMOL的變量場：單元上的變量場可由節(jié)線未知函數(shù)ui〔η〕通過ξ方向的形函數(shù)Ni(ξ)插值得到?！?〕式中〔3〕參數(shù)FEMOL的能量泛函確實(shí)定：結(jié)構(gòu)中每個單元的能量為∏e，它是η的函數(shù)。那么整個求解域的能量為：〔9〕〔4〕建立常微分方程體系：常微分方程建立后，經(jīng)過一系列的處理后即可用求解器〔Solver〕來求未知節(jié)線位移函數(shù)。有限線元法中，由于引入?yún)?shù)單元，是可用于不規(guī)那么區(qū)域的求解；由于未知節(jié)線位移是通過解常微分方程組得到的，