專題04 五大類概率與統(tǒng)計-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項訓(xùn)練（新高考新題型專用）（學(xué)生版）

專題04五大類概率與統(tǒng)計題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項訓(xùn)練（原卷版）【題型1獨立性檢驗問題】【題型2線性回歸及非線性回歸問題】【題型3超幾何分布問題】【題型4二項分布問題】【題型5正態(tài)分布問題】獨立性檢驗問題分層抽樣一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的。注：①求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．②已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．③分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個體數(shù)量)”頻率分布直方圖（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)．（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和，即有，其中為每個小長方形底邊的中點，為每個小長方形的面積．獨立性檢驗（1）定義：利用獨立性假設(shè)、隨機變量來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨立性檢驗的具體步驟如下：①計算隨機變量的觀測值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．注意：算出的k2在那個區(qū)間內(nèi)，從而求出k0在那個區(qū)間4月15日是全民國家安全教育日．以人民安全為宗旨也是“總體國家安全觀”的核心價值.只有人人參與，人人負責，國家安全才能真正獲得巨大的人民性基礎(chǔ)，作為知識群體的青年學(xué)生，是強國富民的中堅力量，他們的國家安全意識取向?qū)野踩葹橹匾?某校社團隨機抽取了600名學(xué)生，發(fā)放調(diào)查問卷600份（答卷卷面滿分100分）．回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之間．同時根據(jù)560份有效答卷的分數(shù)，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值，并求出這560份有效答卷得分的中位數(shù)和平均數(shù)n（同一組數(shù)據(jù)用該組中點值代替）.(2)如果把75分及以上稱為對國家安全知識高敏感人群，74分及以下稱為低敏感人群，請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為學(xué)生性別與國家安全知識敏感度有關(guān)．高敏感低敏感總計男生80女生80總計560附：獨立性檢驗臨界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828公式：，其中．某市閱讀研究小組為了解該城市中學(xué)生閱讀與語文成績的關(guān)系，在參加市中學(xué)生語文綜合能力競賽的各校學(xué)生中隨機抽取了500人進行調(diào)查，并按學(xué)生成績是否高于75分（滿分100分）及周平均閱讀時間是否少于10小時，將調(diào)查結(jié)果整理成列聯(lián)表.現(xiàn)統(tǒng)計出成績不低于75分的樣本占樣本總數(shù)的，周平均閱讀時間少于10小時的人數(shù)占樣本總數(shù)的一半，而不低于75分且周平均閱讀時間不少于10小時的樣本有100人.周平均閱讀時間少于10小時周平均閱讀時間不少于10小時合計75分以下不低于75分100合計500(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出表格中和的值，并分析能否有以上的把握認為語文成績與閱讀時間是否有關(guān)；(2)先從成績不低于75分的樣本中按周平均閱讀時間是否少于10小時分層抽樣抽取9人進一步做問卷調(diào)查，然后從這9人中再隨機抽取3人進行訪談，記抽取3人中周平均閱讀時間不少于10小時的人數(shù)為，求的分布列與均值.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.010.0050.0016.6357.87910.8281．某校在課外活動期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動和體育鍛煉類活動，為了解學(xué)生對這兩類活動的參與情況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計男女合計(1)通過計算判斷，有沒有的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)系？(2)為收集學(xué)生對課外活動建議，在參加文化藝術(shù)類活動的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取了名同學(xué).若在這名同學(xué)中隨機抽取名，求所抽取的名同學(xué)中至少有名女生的概率.附表及公式：其中，.2．軟筆書法又稱中國書法，是我國的國粹之一，琴棋書畫中的“書”指的正是書法.作為我國的獨有藝術(shù)，軟筆書法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對藝術(shù)的審美還能開發(fā)孩子的智力，拓展孩子的思維與手的靈活性，對孩子的身心健康發(fā)展起著重要的作用.近年來越來越多的家長開始注重孩子的書法教育.某書法培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了該機構(gòu)學(xué)習軟筆書法的學(xué)生人數(shù)（每人只學(xué)習一種書體），得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：書體楷書行書草書隸書篆書人數(shù)2416102010(1)該培訓(xùn)機構(gòu)統(tǒng)計了某周學(xué)生軟筆書法作業(yè)完成情況，得到下表，其中.認真完成不認真完成總計男生女生總計60若根據(jù)小概率值的獨立性檢驗可以認為該周學(xué)生是否認真完成作業(yè)與性別有關(guān)，求該培訓(xùn)機構(gòu)學(xué)習軟筆書法的女生的人數(shù).(2)現(xiàn)從學(xué)習楷書與行書的學(xué)生中用分層隨機抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，記4人中學(xué)習行書的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：.0.100.050.012.7063.8416.6353．甲、乙兩醫(yī)院到某醫(yī)科大學(xué)實施“小小醫(yī)生計劃”，即通過對畢業(yè)生進行筆試，面試，模擬診斷這3項程序后直接簽約一批畢業(yè)生，已知3項程序分別由3個部門獨立依次考核，且互不影響，當3項程序全部通過即可簽約．假設(shè)該校口腔醫(yī)學(xué)系170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”的具體情況如下表（不存在通過3項程序考核后放棄簽約的現(xiàn)象）．性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計男生582785女生424385合計10070170(1)判斷是否有的把握認為這170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計劃”能否簽約與性別有關(guān)；(2)該?？谇会t(yī)學(xué)系準備從專業(yè)成績排名前5名的畢業(yè)生中隨機挑選2人去參加乙醫(yī)院的考核，求專業(yè)排名第一的小華同學(xué)被選中的概率．參考公式與臨界值表：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6354．某大學(xué)保衛(wèi)處隨機抽取該校1000名大學(xué)生對該校學(xué)生進出校園管理制度的態(tài)度進行了問卷調(diào)查，結(jié)果見下表：男生（單位：人）女生（單位：人）總計贊成400300700不贊成100200300總計5005001000(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該校大學(xué)生贊成學(xué)生進出校園管理制度與學(xué)生的性別是否有關(guān)；(2)為答謝參與問卷調(diào)查的同學(xué)，參與本次問卷調(diào)查的同學(xué)每人可以抽一次獎，獲獎結(jié)果及概率如下：獎金（單位：元）01020獲獎概率若甲?乙兩名同學(xué)準備參加抽獎，他們的獲獎結(jié)果相互獨立，記兩人獲得獎金的總金額為（單位：元），求的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.8285．民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)員，據(jù)統(tǒng)計某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男學(xué)生600人，女學(xué)生400人，男女各有100名學(xué)生有報名意向．(1)完成給出的列聯(lián)表，并分別估計男、女學(xué)生有報名意向的概率；有報名意向沒有報名意向合計男學(xué)生女學(xué)生合計(2)判斷是否有的把握認為該校高三學(xué)生是否有報名意向與性別有關(guān)．附：，其中：，0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.8286．“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽”的簡稱.在2023年火爆“出圈”后，“村超”熱度不減.2024年1月6日，萬眾矚目的2024年“村超”新賽季在“村味”十足的熱鬧中拉開帷幕，一場由鄉(xiāng)村足球發(fā)起的“樂子”正轉(zhuǎn)化為鄉(xiāng)村振興的“路子”.為了解不同年齡的游客對“村超”的滿意度，某組織進行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取年齡超過35周歲和年齡不超過35周歲各200人作為樣本，每位參與調(diào)查的游客都對“村超”給出滿意或不滿意的評價.設(shè)事件“游客對“村超”滿意”，事件“游客年齡不超過35周歲”，據(jù)統(tǒng)計，，.(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表并說明理由；年齡滿意度合計滿意不滿意年齡不超過35周歲年齡超過35周歲合計(2)由（1）中列聯(lián)表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為游客對“村超”的滿意度與年齡有關(guān)聯(lián)？附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8287．某校在課外活動期間設(shè)置了文化藝術(shù)類活動和體育鍛煉類活動，為了解學(xué)生對這兩類活動的參與情況，統(tǒng)計了如下數(shù)據(jù)：文化藝術(shù)類體育鍛煉類合計男100300400女50100150合計150400550(1)通過計算判斷，有沒有90%的把握認為該校學(xué)生所選擇課外活動的類別與性別有關(guān)系？(2)“投壺”是中國古代宴飲時做的一種投擲游戲，也是一種禮儀．該校文化藝術(shù)類課外活動中，設(shè)置了一項“投壺”活動．已知甲、乙兩人參加投壺活動，投中1只得1分，未投中不得分，據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲每只投中的概率為，乙每只投中的概率為，若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分數(shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，．8．隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國家開始大力推行科技特長生招生扶持政策，教育部也出臺了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進教育信息化工作的指導(dǎo)意見（征求意見稿）》為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準備.某調(diào)研機構(gòu)調(diào)查了兩個參加國內(nèi)學(xué)科競賽的中學(xué)，從兩個中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機抽取了60人統(tǒng)計其參賽獲獎情況，并將結(jié)果整理如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次中學(xué)116中學(xué)349(1)試判斷是否有的把握認為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中任選3人進行深度調(diào)研，求所選的3人中恰有2人來自中學(xué)的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635線性回歸及非線性回歸問題線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點的中心．非線性回歸建立非線性回歸模型的基本步驟（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預(yù)報變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．2023年，國家不斷加大對科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)投入研發(fā)的信心，增強了企業(yè)的創(chuàng)新動能.某企業(yè)在國家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過技術(shù)革新和能力提升，極大提升了企業(yè)的影響力和市場知名度，訂單數(shù)量節(jié)節(jié)攀升，右表為該企業(yè)今年1~4月份接到的訂單數(shù)量.月份t1234訂單數(shù)量y（萬件）5.25.35.75.8附：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，，.(1)試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性強弱（，則認為y與t的線性相關(guān)性較強，，則認為y與t的線性相關(guān)性較弱）.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量.數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂的商業(yè)化模式進一步完善，市場將持續(xù)擴大，下表為2018—2022年中國車載音樂市場規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對應(yīng)的代碼分別為1—5．年份代碼x12345車載音樂市場規(guī)模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1）；(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟環(huán)境及疫情等因素，某預(yù)測公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程后，通過修正，把b-1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率，請根據(jù)2022年中國車載音樂市場規(guī)模及修正后的年平均增長率預(yù)測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模．參考數(shù)據(jù)：1.9433.821.71.6其中，．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為．某新能源汽車公司對其產(chǎn)品研發(fā)投資額x（單位：百萬元）與其月銷售量y（單位：千輛）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計表和散點圖.x12345y0.691.611.792.082.20(1)通過分析散點圖的特征后，計劃用作為月銷售量y關(guān)于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計表和參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)公司決策層預(yù)測當投資額為11百萬元時，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷.根據(jù)以往的經(jīng)驗，當投資11百萬元進行產(chǎn)品促銷后，月銷售量的分布列為：345Pp結(jié)合回歸方程和的分布列，試問公司的決策是否合理.參考公式及參考數(shù)據(jù)：，，.y0.691.611.792.082.20（保留整數(shù)）256891．某企業(yè)擬對某產(chǎn)品進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入（萬元）與科技升級直接收益（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號123456723468101313223142505658根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立了與的兩個回歸模型：模型①：模型②：.(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①?②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高?更可靠的模型；(2)根據(jù)（1）選擇的模型，預(yù)測對該產(chǎn)品科技升級的投入為100萬元時的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)越大，模型的擬合效果越好）2．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中、、、均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，令，，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？(2)根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）附：相關(guān)系數(shù)回歸直線中：，．3．一座城市的夜間經(jīng)濟不僅有助于拉動本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時間，帶動當?shù)亟?jīng)濟發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標．數(shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），設(shè)2017—2022年對應(yīng)的年份代碼依次為1~6．年份代碼x123456中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模y/萬億元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（a，b的值精確到0.01）；(2)某傳媒公司發(fā)布的2023年中國夜間經(jīng)濟城市發(fā)展指數(shù)排行榜前10名中，吸引力超過90分的有4個，從這10個城市中隨機抽取5個，記吸引力超過90分的城市數(shù)量為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：3.36673.28217.251.16其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，．4．當前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表．12345611.53612(1)公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗回歸方程；（計算過程保留到小數(shù)點后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）(2)根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測年投入額為百萬元時，產(chǎn)品的銷售量是多少?經(jīng)驗回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，．5．碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因．2009年世界氣候大會，中國做出了減少碳排放的承諾，2010年被譽為了中國低碳創(chuàng)業(yè)元年．2020年中國政府在聯(lián)合國大會發(fā)言提出：中國二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．碳中和是指主體在一定時間內(nèi)產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實現(xiàn)正負抵消，達到相對“零排放”．如圖為本世紀來，某省的碳排放總量的年度數(shù)據(jù)散點圖．該數(shù)據(jù)分為兩段，2010年前該省致力于經(jīng)濟發(fā)展，沒有有效控制碳排放；從2010年開始，該省通過各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號，記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年開始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統(tǒng)計表（單位：億噸）年份2011201220132014201520162017年份代號x1234567年度碳排放量y（單位：億噸）2.542.6352.722.802.8853.003.09(1)若關(guān)于x的線性回歸方程為，根據(jù)回歸方程估計若未采取措施，2017年的碳排放量；并結(jié)合表一數(shù)據(jù)，說明該省在控制碳排放舉措下，減少排碳多少億噸？(2)根據(jù)，設(shè)2011~2017年間各年碳排放減少量為，建立z關(guān)于x的回歸方程．①根據(jù)，求表一中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.001）；②根據(jù)①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實現(xiàn)碳達峰？參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．6．近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產(chǎn)生了很大的影響，當然也影響著我們的旅游習慣，鄉(xiāng)村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現(xiàn)“微度假”的概念．在國家有條不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某鄉(xiāng)村抓住機遇，依托良好的生態(tài)環(huán)境、厚重的民族文化，開展鄉(xiāng)村旅游．通過文旅度假項目考察，該村推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應(yīng)．該村推出了六條鄉(xiāng)村旅游經(jīng)典線路，對應(yīng)六款不同價位的旅游套票，相應(yīng)的價格x與購買人數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表．旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅套票型號ABCDEF價格x/元394958677786經(jīng)數(shù)據(jù)分析、描點繪圖，發(fā)現(xiàn)價格x與購買人數(shù)y近似滿足關(guān)系式，即，對上述數(shù)據(jù)進行初步處理，其中，，，2，…，6．附：①可能用到的數(shù)據(jù)：，，，．②對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計值分別為，．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于x的回歸方程．(2)按照相關(guān)部門的指標測定，當套票價格時，該套票受消費者的歡迎程度更高，可以被認定為“熱門套票”．現(xiàn)有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意一款的可能性相等．若三人買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望．7．數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽．參考數(shù)據(jù)：17500.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.(1)賽前小明進行了一段時間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；(，用分數(shù)表示)(2)小明和小紅玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機變量X的分布列及均值．8．為了加快實現(xiàn)我國高水平科技自立自強，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1～10分別對應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型，并進行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下表所示的一些統(tǒng)計量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型?并說明理由；(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大?附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.超幾何分布問題超幾何分布（1）在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．01……超幾何分布和二項分布的區(qū)別區(qū)別1：超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；區(qū)別2：超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項分布是“有放回”抽取（獨立重復(fù)），在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.鄉(xiāng)村民宿立足農(nóng)村，契合了現(xiàn)代人遠離喧囂?親近自然?尋味鄉(xiāng)愁的美好追求.某鎮(zhèn)在旅游旺季前夕，為了解各鄉(xiāng)村的普通型民宿和品質(zhì)型民宿的品質(zhì)，隨機抽取了8家規(guī)模較大的鄉(xiāng)村民宿，統(tǒng)計得到各家的房間數(shù)如下表：民宿點甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品質(zhì)型民宿6164101110912(1)從這8家中隨機抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下，求這3家的品質(zhì)型民宿的房間均不低于10間的概率；(2)從這8家中隨機抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.已知某排球特色學(xué)校的校排球隊來自高一、高二、高三三個年級的學(xué)生人數(shù)分別為7人、6人、2人．(1)若從該校隊隨機抽取3人拍宣傳海報，求抽取的3人中恰有1人來自高三年級的概率．(2)現(xiàn)該校的排球教練對“發(fā)球、墊球、扣球”這3個動作技術(shù)進行訓(xùn)練，且在訓(xùn)練階段進行了多輪測試，規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．已知在某一輪測試的3個動作中，甲同學(xué)每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，乙同學(xué)每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，且每位同學(xué)的每個動作互不影響，甲、乙兩人的測試結(jié)果互不影響．記X為甲、乙二人在該輪測試結(jié)果為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2023年是全面貫徹落實黨二十大精神的開局之年，也是實施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵之年，今年春季以來，各地出臺了促進經(jīng)濟發(fā)展的各種措施，經(jīng)濟增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進的可喜現(xiàn)象.服務(wù)業(yè)的消費越來越火爆，紹興一些超市也紛紛加大了廣告促銷.現(xiàn)隨機抽取7家超市，得到其廣告支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）數(shù)據(jù)如下：超市ABCDEFG廣告支出1246101320銷售額19324440525354(1)建立關(guān)于的一元線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)若將超市的銷售額與廣告支出的比值稱為該超市的廣告效率值，當時，稱該超市的廣告為“好廣告”.從這7家超市中隨機抽取4家超市，記這4家超市中“好廣告”的超市數(shù)為，求的分布列與期望.附注：參考數(shù)據(jù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.1．當AIGC（生成式人工智能）領(lǐng)域的一系列創(chuàng)新性技術(shù)有了革命性突破，全球各大科技企業(yè)積極擁抱AIGC，我國有包括A在內(nèi)的5家企業(yè)加碼布局AIGC生成算法賽道，有包括B、C在內(nèi)的5家企業(yè)加碼布局AIGC的自然語言處理賽道，某傳媒公司準備發(fā)布（2023年中國AIGC發(fā)展研究報告），先期準備從上面的10家企業(yè)中隨機選取4家進行采訪.(1)若在布局不同的賽道中各選取2家企業(yè)，求選取的4家企業(yè)中，企業(yè)A，B，C至少有2家的概率.(2)記選取的4家科技企業(yè)中布局AIGC的是生成算法賽道的企業(yè)個數(shù)為X，求X的分布列與期望.2．某校高三年級名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、、．(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)；(2)從這次數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人，該人中成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．3．水果按照果徑大小可分為四類：標準果?優(yōu)質(zhì)果?精品果?禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下：等級標準果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)個10254025(1)若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率；(2)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取20個，再從抽取的20個水果中隨機地抽取2個，用表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.4．某公司為了解市場對其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進行評分，其中對產(chǎn)品功能滿意程度的評分服從正態(tài)分布，對產(chǎn)品外觀滿意程度評分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評分90分以上（不含90分）視為非常滿意.

(1)本次調(diào)查對產(chǎn)品功能非常滿意和對產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(2)若這250人中對兩項都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對產(chǎn)品功能非常滿意和對產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機抽取3人，設(shè)3人中兩項都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若，則，）5．呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時間和范圍內(nèi)，制作中式面點和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進入決賽．為能進入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機抽取了中式面點和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點和2道中式熱菜得到認可．(1)若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機抽取中式面點、中式熱菜各2道，由此來估計小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；(2)若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認可的頻率作為該類菜品被評委認可的概率，經(jīng)師傅對小李進行強化訓(xùn)練后，每道中式面點被評委認可的概率不變，每道中式熱菜被評委認可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測小李能否進入決賽？6．某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A，B兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測試方案如下：A，B兩名學(xué)生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率都是，A，B兩名同學(xué)作答問題相互獨立．(1)求A，B兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率；(2)若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生，簡要說明理由．7．一袋中有個均勻硬幣，其中有個普通硬幣，普通硬幣的一面為面值，另一面為花朵圖案，如下圖，其余個硬幣的兩面均為面值.每次試驗從袋中隨機摸出兩個硬幣各擲一次，用事件表示“兩個硬幣均是面值朝上”，用事件表示“兩個硬幣均是花朵圖案朝上”，又把兩個硬幣放回袋中，如此重復(fù)次試驗.

(1)若，①求次試驗中摸出普通硬幣個數(shù)的分布列；②求次試驗中事件發(fā)生的次數(shù)的期望；(2)設(shè)次試驗中事件恰好發(fā)生次的概率為，當取何值時，最大？8．2023年9月26日，第十四屆中國（合肥）國際園林博覽會在合肥駱崗公園開幕.本屆園博會以“生態(tài)優(yōu)先，百姓園博”為主題，共設(shè)有5個省內(nèi)展園?26個省外展園和7個國際展園，開園面積近3.23平方公里.游客可通過乘坐觀光車?騎自行車和步行三種方式游園.(1)若游客甲計劃在5個省內(nèi)展園和7個國際展園中隨機選擇2個展園游玩，記甲參觀省內(nèi)展園的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：游園方式游園結(jié)果觀光車自行車步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160用頻率估計概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時乙能參觀完所有展園的概率.二項分布問題二項分布（1）一般地，在次獨立重復(fù)試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應(yīng)項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．注：①各次試驗中的事件是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機變量是這次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．④二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．若，則，．為進一步加強學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，推進校園文化建設(shè)，倡導(dǎo)真善美，用先進人物的先進事跡來感動師生，用身邊的榜樣去打動師生，用真情去發(fā)現(xiàn)美，分享美，弘揚美，某校以爭做最美青年為主題，進行“最美青年”評選活動，最終評出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。學(xué)校準備從這10位“最美青年”中每次隨機選出一人做事跡報告.(1)若每位“最美青年”最多做一次事跡報告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，；(2)根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、高二、高三學(xué)生和全體教師做4場事跡報告，記這4場事跡報告中做報告的男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.某大型商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放8個大小相同的小球，其中4個為紅色，4個為黑色．抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球．如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎．(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由．某公司對新生產(chǎn)出來的300輛新能源汽車進行質(zhì)量檢測，每輛汽車要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進行一次質(zhì)量檢測，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測不合格的將被列為不合格汽車，有且只有一名質(zhì)檢員檢測不合格的汽車需要重新由甲、乙兩人各進行一次質(zhì)量檢測，重新檢測后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測不合格，也會被列為不合格汽車.假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測相互獨立，每一次檢測不合格的概率為.(1)求每輛汽車被列為不合格汽車的概率；(2)公司對本次質(zhì)量檢測的預(yù)算支出是4萬元，每輛汽車不需要重新檢測的費用為60元，需要重新檢測的前后兩輪檢測的總費用為100元，所有汽車除檢測費用外，其他費用估算為1萬元，若300輛汽車全部參與質(zhì)量檢測，實際費用是否會超出預(yù)算?1．某校開展科普知識團隊接力闖關(guān)活動，該活動共有兩關(guān)，每個團隊由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān)，該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束.已知團隊每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.(1)若，用表示團隊闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；(2)記團隊第位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團隊人數(shù)，求.2．在某公司舉辦的職業(yè)技能競賽中，只有甲?乙兩人晉級決賽，已知決賽第一天采用五場三勝制，即先贏三場者獲勝，當天的比賽結(jié)束，決賽第二天的賽制與第一天相同.在兩天的比賽中，若某位選手連勝兩天，則他獲得最終冠軍，決賽結(jié)束，若兩位選手各勝一天，則需進行第三天的比賽，第三天的比賽為三場兩勝制，即先贏兩場者獲勝，并獲得最終冠軍，決賽結(jié)束.每天每場的比賽只有甲勝與乙勝兩種結(jié)果，每場比賽的結(jié)果相互獨立，且每場比賽甲獲勝的概率均為.(1)若，求第一天比賽的總場數(shù)為4的概率；(2)若，求決出最終冠軍時比賽的總場數(shù)至多為8的概率.3．為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻書籍”兩類.已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為，若前一次選擇借閱“文獻書籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為.(1)設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若小明同學(xué)第二次借閱“文獻書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說明理由.4．已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；(2)從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．附：若，取，．5．某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．(1)據(jù)往年統(tǒng)計，顧客消費額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計該天消費額在內(nèi)的人數(shù)；附：若，則．(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．①求顧客獲得乙獎品的概率；②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．6．某商場在開業(yè)當天進行有獎促銷活動，規(guī)定該商場購物金額前200名的顧客，均可獲得3次抽獎機會.每次中獎的概率為，每次中獎與否相互不影響.中獎1次可獲得100元獎金，中獎2次可獲得300元獎金，中獎3次可獲得500元獎金.(1)已知，求顧客甲獲得了300元獎金的條件下，甲第一次抽獎就中獎的概率.(2)在（1）的條件下，已知該商場開業(yè)促銷活動的經(jīng)費為4.5萬元，問該活動是否會超過預(yù)算?請說明理由.7．一座小橋自左向右全長100米，橋頭到橋尾對應(yīng)數(shù)軸上的坐標為0至100，橋上有若干士兵，一陣爆炸聲后士兵們發(fā)生混亂，每個士兵爬起來后都有一個初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都為1米每秒，中途不會主動改變方向，但小橋十分狹窄，只能容納1人通過，假如兩個士兵面對面相遇，他們無法繞過對方，此時士兵則分別轉(zhuǎn)身后繼續(xù)前進（不計轉(zhuǎn)身時間）.(1)在坐標為10，40，80處各有一個士兵，計算初始方向不同的所有情況中，3個士兵全部離開橋面的最長時間（提示：兩個士兵面對面相遇并轉(zhuǎn)身等價于兩個士兵互相穿過且編號互換）；(2)在坐標為10、20、30、……、90處各有一個士兵，初始方向向右的概率為，設(shè)最后一個士兵離開獨木橋的時間為秒，求的分布列和期望；(3)若初始狀態(tài)共個士兵，初始方向向右的概率為，計算自左向右的第個士兵（命名為指揮官）從他的初始方向離開小橋的概率，以及當取得最大值時取值．8．某校為高三學(xué)生舉辦了一場以“學(xué)憲法，做有為青年”為主題的成人禮儀式.儀式結(jié)束后學(xué)校為了了解學(xué)生對憲法的學(xué)習情況，對全體高三學(xué)生進行了一次線上測試：每位同學(xué)隨機抽取3道題（均為選擇題）作答.若答對2道或3道，則測試合格，否則測試不合格.若測試不合格，則需要再做20道習題進行鞏固訓(xùn)練，已知線上測試時，小明答對每道題的概率均為，小強答對每道題的概率均為，且每道題是否答對相互獨立.(1)分別求小明和小強測試合格的概率；(2)記小明、小強兩位同學(xué)需要做的鞏固訓(xùn)練的習題數(shù)之和為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布問題隨機變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實數(shù)，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計．原則若，則對于任意的實數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．某手機APP公司對喜歡使用該APP的用戶年齡情況進行調(diào)查，隨機抽取了100名喜歡使用該APP的用戶，年齡均在周歲內(nèi)，按照年齡分組得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計使用該視頻APP用戶的平均年齡的第分位數(shù)（小數(shù)點后保留2位）；(2)若所有用戶年齡近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，試估計喜歡使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的比例；(3)用樣本的頻率估計概率，從所有喜歡使用該APP的用戶中隨機抽取8名用戶，用表示這8名用戶中恰有名用戶的年齡在區(qū)間歲的概率，求取最大值時對應(yīng)的的值；附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：3D打印即快速成型技術(shù)的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．中國的3D打印技術(shù)在飛機上的應(yīng)用已達到規(guī)模化、工程化，處于世界領(lǐng)先位置．我國某企業(yè)利用3D打印技術(shù)生產(chǎn)飛機的某種零件，8月1日質(zhì)檢組從當天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測每個零件的某項質(zhì)量指標，得到下面的檢測結(jié)果：質(zhì)量指標頻率(1)根據(jù)頻率分布表，估計8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標的平均值和方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)由頻率分布表可以認為，該種零件的質(zhì)量指標，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①若，求的值；②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問這500件零件中質(zhì)量指標不少于的件數(shù)最有可能是多少？附參考數(shù)據(jù)：，若，則，，．某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進行針對性檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，并隨機抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值;(2)若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，．初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不獲獎．已知某學(xué)生進入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設(shè)他獲得二等獎的概率為，求的最小值．附：若隨機變昰服從正態(tài)分布，則，1．某報社組織“鄉(xiāng)村振興”主題征文比賽，一共收到500篇作品，由評委會給每篇作品打分，下面是從所有作品中隨機抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58．(1)計算樣本平均數(shù)和樣本方差；(2)若這次征文比賽作品的得分服從正態(tài)分布，其中和的估計值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差，該報社計劃給得分在前50名的作品作者評獎，則評獎的分數(shù)線約為多少分？參考數(shù)據(jù)：．2．2024年甲辰龍年春節(jié)來臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況.隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值；(2)由樣本估計總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，計算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標值的概率；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若，則，，.3．某省舉辦了一次高三年級化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗，該省及各市本次模