第七章李氏穩(wěn)定性總結(jié)課件

第七章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1精選課件ppt1.高為炳編著：運動穩(wěn)定性基礎(chǔ)，高等教育出版社,1987年5月黃琳：穩(wěn)定性理論，北京大學(xué)出版社,1992年7月3.秦元勛、王慕秋、王聯(lián)：運動穩(wěn)定性理論與應(yīng)用,科學(xué)出版社,1980年4.王柔懷、伍卓群編：常微分方程講義,人民教育出版社,1978年5月5.黃琳：穩(wěn)定性與魯棒性的理論基礎(chǔ),科學(xué)出版社，2003年2月參考書2精選課件pptLaSalle,J.P.,StabilitybyLyapunovdirectmethod,NewYork:AcademicPress,1961.Hahn,W.,Stabilityofmotion,NewYork,Springer-Verlag,1967.Desoer,C.A.andVidyasagar,M.,Feedbacksystems:Input-outputproperties,NewYork:AcademicPress,1975.3精選課件ppt任何一個實際系統(tǒng)總是在各種偶然和持續(xù)的干擾下運動或工作的。顯然，我們首先要考慮的問題是，當(dāng)系統(tǒng)承受這種干擾之后，能否穩(wěn)妥地保持預(yù)定的運動軌跡或者工作狀態(tài)，這就是穩(wěn)定性。此外，我們知道，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，絕大部分都是近似的，這或者是由于量測誤差，或者是為使問題簡化，而不得不忽略某些次要因素。近似的數(shù)學(xué)模型能否如實反映實際的運動，在某種意義上說，也是穩(wěn)定性問題。4精選課件ppt預(yù)備知識:

微分方程解的存在性及唯一性條件、解對初值的連續(xù)依賴性。1.微分方程解的表示?？紤]微分方程：其解x(t)是自變量t的函數(shù)，而t0,x0變動時對應(yīng)的解也隨著變動，故它應(yīng)該是自變量t與初值t0、x0的函數(shù),可記為x(t,t0,x0)例如5精選課件ppt問題：當(dāng)初值變動時，對應(yīng)的解如何變動？在應(yīng)用上的意義是：初值通常是用實驗方法求得的，實驗測得的數(shù)據(jù)不可能絕對準(zhǔn)確，若微小的誤差會引起對應(yīng)解的巨大變動，那么所求的初值問題解的實用價值就很小。2.Lipschitz條件：6精選課件ppt若存在一個常數(shù)L，使得對任何都有則稱f在上滿足Lipschitz條件。這個定義可以推廣到W為任意有限n維空間的情形。注：滿足Lipschitz條件可保證微分方程解的存在性和唯一性。3.解的存在性、唯一性及對初值的連續(xù)依賴性7精選課件ppt定理1（存在性及唯一性定理）：對于微分方程若f(x,t)在W

I

域內(nèi)連續(xù)且滿足Lipschitz條件，則對任意的初始條件x(x0,t0)

W

I，總存在常數(shù)a>0，使得有唯一解x=x(t,t0,x0)在[t0

a,t0+a]上存在、對t連續(xù)，且滿足初始條件x(t0)=x0。穩(wěn)定性所要研究的是解的漸近性質(zhì)，即當(dāng)解x(t)在t

時的性狀。故總假定在[t0,)上解是存在的。8精選課件ppt定理2（解對初值的連續(xù)依賴性）：在定理1的條件下，若f(x,t)在域內(nèi)連續(xù)且滿足Lipschitz條件，則微分方程的解x(t,t0,x0)作為t,t0,x0的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的,即

0,

0,使得當(dāng)‖x(t0)

(t0)‖

時,有‖x(t,t0,x(t0))

(t,t0,

(t0))‖

,a≤t≤b,a≤t0≤b以上定理說明：若在初始時刻x(t0)和

(t0)十分接近，則在定義域[a,b]內(nèi)的解x(t)和

(t)也會十分接近。9精選課件ppt

§7-1

李雅普諾夫穩(wěn)定性

李雅普諾夫穩(wěn)定性的概念是微分方程解對初值的連續(xù)依賴性這一概念在無窮時間區(qū)間上的推廣和發(fā)展。因此下面討論時均假定所研究方程的解在無窮區(qū)間[t0,)滿足存在和唯一性條件。一、平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性1.平衡狀態(tài)考慮系統(tǒng)：若隨著時間t的變化，狀態(tài)x=xe保持不變（即恒為常數(shù)），則稱這個狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。由于平衡狀態(tài)也是系統(tǒng)的一個狀態(tài)，故它是上述微分方程10精選課件ppt的一個解，即的解。2.簡化的平衡狀態(tài)在初始時刻t0時,干擾引起的狀態(tài)向量x0與平衡狀態(tài)xe之差稱為初始擾動向量。由x0所決定的運動過程是11精選課件ppt12精選課件ppt滿足F(0,t)=0(7-2)(7-1)因此，在下面考慮一般的時變、非線性、多變量系統(tǒng)時，我們總假定它的微分方程其中x為n維向量，F(xiàn)(x,t)為n維的函數(shù)向量。這時方程（7-1）有解x=0(滿足x(t0)=0)，稱為（7-1）的顯然解或零解。在以下討論平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性時，只需要討論零解這個平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性就可以了。13精選課件ppt設(shè)有一個初始擾動，使系統(tǒng)的狀態(tài)偏離了平衡狀態(tài)x=0。若初始擾動為x(t0)=x0，顯然在這個初始擾動作用下，方程（7-1）所決定的運動是下列初值問題的解。將這個解表示為3.李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義14精選課件ppt可見，即使初始值微小地偏離了平衡狀態(tài)，且在任意有限的時間內(nèi)其解有界，但最終將發(fā)散。15精選課件ppt事實上無論初始擾動多么大，最終將收斂到平衡狀態(tài)。以上兩個例子是熟悉的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的例子。從第一個例子還可以看到，盡管在任意有限的時間內(nèi)解是有界的，但若討論時間趨于無窮(或在工程上，當(dāng)時間“很長”）時系統(tǒng)的行為，則這種發(fā)散的特性就是完全不能接受的了。Lyapunov

穩(wěn)定性就是要研究微分方程的解在t

[t0，+）上的有界性。16精選課件ppt根據(jù)微分方程解對初值的連續(xù)依賴性質(zhì)，可知只要x0充分小，對于[t0,T]之間的任一時刻，x(t,t0,x0)偏離x=0（平衡狀態(tài)）也可以任意小?，F(xiàn)在要研究這一性質(zhì)是否對[t0,+

)均成立。定義7-1對于任意的

＞0，都存在

(t0,

)0，使得當(dāng)‖x(t0)‖＜

(t0,

)時有‖x(t,

t0,x0)‖＜

t≥t0成立。則稱系統(tǒng)關(guān)于平衡狀態(tài)（或原點）x=0是（李雅普諾夫意義下）穩(wěn)定的。定義7-2若定義7-1中的

=

(

)，即

與t0無關(guān)(關(guān)于t0一致)，則稱所定義的穩(wěn)定為一致穩(wěn)定。‖x(t0)

0‖‖x(t,

t0,x0)

0‖＜

17精選課件ppt定義7-1（李雅普諾夫意義下穩(wěn)定）的圖示：

tt01.此處

隨著

、t0而變化；

2.‖x(t,t0,x0)‖＜

t≥t0對于任意的

＞0，都存在

(t0,

)0，使得當(dāng)‖x(t0)‖＜

(t0,

)時有‖x(t,t0,x0)‖＜

t≥t0成立初值變化充分小時，解的變化(

t≥t0)可任意小(不是無變化)；3.顯然，

(t0,

)

。x(t0)18精選課件ppt

(t0,

)x0x(t)定義7-1對于任意的

＞0，都存在

(t0,

)0，使得當(dāng)‖x(t0)‖＜

(t0,

)時有‖x(t,

t0,x0)‖＜

t≥t0李雅普諾夫意義下穩(wěn)定19精選課件ppt例：討論下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性和一致穩(wěn)定性：20精選課件ppt21精選課件ppt

關(guān)于不穩(wěn)定的定義：定義：若對任意給定的

＞0，無論

多么小，總可以找到滿足‖x(t0)‖＜

的某一初值x0，使得從它出發(fā)的運動軌線x(t,t0,x0)在某一時刻t1>t0，有‖x(t,t0,x0)‖=

，則稱系統(tǒng)(7-1)的零解是不穩(wěn)定的。x(t0)

tt0t122精選課件ppt定義7-3若(a)x=0是穩(wěn)定的。(b)存在

(t0)0，使得對任意的

＞0，存在T(

,t0,x0)，當(dāng)‖x(t0)‖＜

(t0)，t

t0

+T(

,t0,x0)時，有‖x(t,t0,x0)‖＜

。則稱x=0為漸近穩(wěn)定。t0

(t0)

t0

+T(

,t0,x0)1.此處

(t0)是固定的一個范圍(稱為吸引區(qū)，不是任意小的)；2.‖x(t,t0,x0)‖＜

，t

t0

+T(

,t0,x0)(a)x=0是穩(wěn)定的,x在t

t0的行為已決定(b)是t充分大時的性質(zhì)。23精選課件ppt討論：定義7-3的第二部分(b)又稱為關(guān)于零解是吸引的。它反映的是解的漸近性質(zhì)。可以將(b)改成：存在

(t0)0，使得‖x(t0)‖＜

(t0)蘊涵穩(wěn)定和吸引（即(a)和(b)）是相互獨立的概念，對于一般的系統(tǒng)，它們之間不存在蘊涵關(guān)系。蘇聯(lián)人給出了一個著名的反例(參見黃琳“穩(wěn)定性理論”，1992，p.7

），表明一個微分方程的解是吸引的但卻不是穩(wěn)定的。24精選課件ppt定義7-4若

x=0是一致穩(wěn)定的。存在

0

0，使得對任意的

＞0，存在T(

)，當(dāng)‖x(t0)‖＜

0

,t

t0

+T(

)時有‖x(t,t0,x0)‖＜

。則稱x=0為一致漸近穩(wěn)定，即正數(shù)

(t0)稱為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的吸引區(qū)。若吸引區(qū)是整個空間，稱系統(tǒng)是關(guān)于原點全局漸近穩(wěn)定的。這里，一致性在于：

0不依賴于t0、且T僅依賴于

，不依賴于t0

、x0。25精選課件ppt定義7-5若存在

＞0，對任意的

＞0，存在

(

)＞0，使得當(dāng)‖x(t0)‖＜

(

)，就有‖x(t,t0,x0)‖＜

e

(t

t0)

t≥

t0成立。則稱x=0是按指數(shù)漸近穩(wěn)定的。這里所定義的穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、一致漸近穩(wěn)定和按指數(shù)漸近穩(wěn)定都是局部的概念，即定義中的條件只要在x=0的附近成立即可。但在工程技術(shù)上，特別是在控制系統(tǒng)中，所發(fā)生的初始偏差并非任意的小，而是有限的或是任意大的。幸好，就我們所討論的線性系統(tǒng)而言，全局和局部是一致的。

顯然，以上定義關(guān)于t0、x0是一致的。26精選課件ppt指數(shù)漸近穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定一致穩(wěn)定各種穩(wěn)定性之間的關(guān)系27精選課件ppt例：討論下列系統(tǒng)是否穩(wěn)定、是否一致穩(wěn)定、是否漸近穩(wěn)定：28精選課件ppt例：討論下列系統(tǒng)是否一致穩(wěn)定、是否漸近穩(wěn)定、是否一致漸近穩(wěn)定：解：容易解出：29精選課件ppt30精選課件ppt二、運動的穩(wěn)定性前一節(jié)討論了動態(tài)系統(tǒng)的一種特殊的運動——平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，現(xiàn)在來討論系統(tǒng)(7-1)任一運動的穩(wěn)定性問題。我們已經(jīng)知道，每一個初始狀態(tài)x(t0)=x0確定唯一的解一個系統(tǒng)隨著初始條件不同可以有很多不同的運動?，F(xiàn)在，設(shè)我們關(guān)心(7-1)的某一個運動:我們欲研究這個運動的穩(wěn)定性。我們稱這個運動為給定運動，或未被擾運動。31精選課件ppt進而，設(shè)于初始時刻t0，系統(tǒng)受到干擾，狀態(tài)由x0變成x0+y0從這一初始狀態(tài)出發(fā)的運動，即初值問題的解，稱為被擾運動。類比于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性（李氏穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定等等），我們也可以相應(yīng)地定義相對于給定運動的穩(wěn)定性（李氏穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定等等）。32精選課件ppt定義對于任意的

＞0，都存在

(t0,

)0，使得當(dāng)‖x(t0)–f(t0)‖＜

(t0,

)時有‖x(t,

t0,x0)–f(t,

t0,x0)‖＜

t≥t0成立。則稱系統(tǒng)關(guān)于給定運動x=f(t,

t0,x0)是（李雅普諾夫意義下）穩(wěn)定的。

但需要指出，關(guān)于給定運動的穩(wěn)定性可以變換成關(guān)于零解的穩(wěn)定性問題，故上述定義事實上是不必要的。33精選課件ppt為此，考慮變換y=x–f，則擾動方程定義為：則顯然這說明，通過上述變換可以將給定運動（或稱為未被擾運動）的穩(wěn)定性問題化為(7-3)的零解穩(wěn)定性問題。也就是說，今后討論運動的穩(wěn)定性時，可先列出其擾動方程，然后討論擾動方程(7-3)零解的穩(wěn)定性就可以了，而沒有必要再給出運動穩(wěn)定性的其它定義。34精選課件ppt三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特點

（7-4）式比一般的方程（7-1）式的結(jié)構(gòu)要簡單，因此它在穩(wěn)定性方面有更多的簡單特性。定理7-1對于方程(7-4)所表示的線性系統(tǒng)，若有一個運動穩(wěn)定，則其所有運動穩(wěn)定。因此，對線性系統(tǒng)而言，今后可籠統(tǒng)地說“系統(tǒng)是穩(wěn)定的”，而一般的非線性系統(tǒng)并不具備這一特性。(7-4)考慮其對應(yīng)的齊次方程為：35精選課件ppt證明：1)設(shè)(7-4)的一個運動x1(t)是穩(wěn)定的，即對任給的

＞0，使得對滿足(7-4)的任一運動x(t)，只要‖x(t0)–x1(t0)‖＜

(t0,

)，就有

‖x(t)–x1(t)‖＜

，

t≥t0(A-1)成立。但則上式（擾動方程）等價于@p3836精選課件ppt現(xiàn)在，設(shè)y1(t)為(7-4)的另一個運動，y(t)為(7-4)的任一運動，則當(dāng)‖y(t0)

y1(t0)‖＜(t0,

)，必有‖y(t0)

y1(t0)‖＜

，

t≥t0

成立。這里，

只要選擇得與(A-1)式相同就可以了。事實上，與前面的分析一樣，考慮37精選課件ppt比較式（A-2)@p36和（A-3)，它們顯然有相同的形式，故上述結(jié)論成立。證完。38精選課件ppt結(jié)論從上面的分析可以看出，討論線性系統(tǒng)在任意輸入u作用下任一實際運動的穩(wěn)定性，等價于討論其所對應(yīng)的齊次方程關(guān)于零解的穩(wěn)定性且(B.1)具有什么性質(zhì)的穩(wěn)定性等價于(B.2)具有同一種性質(zhì)的穩(wěn)定性。39精選課件ppt例：討論如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性：根據(jù)上面的分析，只需要討論所對應(yīng)的齊次方程的零解穩(wěn)定性即可。齊次方程漸近穩(wěn)定，故原系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。此外，注意到在這個例子中，系統(tǒng)的響應(yīng)是無界的。這是由于輸入信號是無界的。這和系統(tǒng)的穩(wěn)定性不是同一個概念。t未被擾運動被擾運動40精選課件ppt四、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)由于線性動態(tài)方程的穩(wěn)定性等價于其對應(yīng)的齊次方程的零解的穩(wěn)定性，故這里只討論齊次方程對于（7-5）零解的穩(wěn)定性問題。由于A(t)不是常量矩陣，因此一般不能用特征值來討論系統(tǒng)運動的性質(zhì)，而應(yīng)該用與系統(tǒng)運動關(guān)系密切的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

Φ(t,t0)。例7-2齊次方程如下41精選課件pptA的特征值為

1，

1。

當(dāng)t

時，只要x2(0)0，就有‖x(t)‖趨于無窮，故零解不穩(wěn)定。因此，簡單地由特征值來判斷將導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。42精選課件ppt定理7-2設(shè)A(t)是連續(xù)（或分段連續(xù)）的函數(shù)矩陣，則有以下充分必要條件成立：（7-5)漸近穩(wěn)定（（7-5））穩(wěn)定

存在某常數(shù)N(t0)，使得對于任意的t0和t≥t0有

‖

Φ(t,t0)‖≤N(t0)（7-6）（7-5）一致穩(wěn)定

1)中的N(t0)與t0無關(guān)。（7-5）一致漸近穩(wěn)定

存在N、C>0，使得對于任意的t0和t≥t0有43精選課件ppt李氏穩(wěn)定等價于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣范數(shù)的有界性；一致穩(wěn)定等價于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣范數(shù)的一致有界性；漸近穩(wěn)定等價于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣范數(shù)趨向于零；一致漸近穩(wěn)定等價于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣按指數(shù)規(guī)律穩(wěn)定。結(jié)論：對線性系統(tǒng)44精選課件ppt討論：1）定理7-2所給出的線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)，完全是由2）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有全局性質(zhì)。定義：系統(tǒng)的零解稱為是全局（一致）漸近穩(wěn)定的，若其零解是（一致）漸近穩(wěn)定的且無論初始擾動多大，均有45精選課件ppt定理7-2之(3)、(4)清楚地表明，對于線性系統(tǒng)=A(t)x而言，若其零解是（一致)漸近穩(wěn)定的，那么由狀態(tài)空間任一點為起點的運動軌線都要收斂到原點，即原點的漸定穩(wěn)定的吸引區(qū)遍及整個狀態(tài)空間，這就是上面定義所述的全局（一致）漸近穩(wěn)定或大范圍（一致）漸近穩(wěn)定的概念。定義對任意的x(0),均有x(t)有界,則稱=A(t)x的零解是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。是全局漸近穩(wěn)定的。46精選課件ppt3)對于線性系統(tǒng)而言，零解的吸引性蘊涵其穩(wěn)定性，而一般的非線性系統(tǒng)則不具備這一性質(zhì)（此性質(zhì)將進一步討論）。4）再回到方程已經(jīng)證明，其擾動運動的穩(wěn)定性等價于對應(yīng)的齊次方程零解的穩(wěn)定性。根據(jù)定理7-2，如下推論為顯然：推論1：若(7-4)穩(wěn)定，則它的所有解或同時有界，或同時無界。47精選課件ppt

故任一初始條件下的解x(t,t0,x0)有界與否等價于其特解的有界與否。而上式是所有解共有的。故只要有一個解有界，則說明上式必定有界，從而所有的解均有界；反之，若有一個解無界，則說明上式必定無界，從而所有的解均無界。證完。推論2的證明：因為(7-4)的穩(wěn)定性等價于其對應(yīng)的齊次方程=A(t)x的穩(wěn)定性，由定理7-2之(1)或(2)可知此時(一致)有界。而(7-4)的解為48精選課件pptdx/dt=A(t)x(t)（7-5））穩(wěn)定

存在某常數(shù)N(t0)，使得對于任意的t0和t≥t0有

‖

Φ(t,t0)‖≤N(t0)

（7-6）若則49精選課件ppt50精選課件ppt必要性。因為零解x=0穩(wěn)定，故對任意給定的

>0，存在

(t0,

)>0，只要‖

x(t0)‖<

，就有‖

Φ(t,t0)x0‖<

t≥t0今取顯然，‖

x0‖

/2<

，且

Φ(t,t0)的第j列是故有界。依此可證明所有列，從而Φ(t,t0)有界。證完。51精選課件pptdx/dt=A(t)x(t)

（7-5）一致穩(wěn)定

1)中的N(t0)與t0無關(guān)：‖

Φ(t,t0)‖≤N

（7-6）證明：與1)類似。

（7-5)漸近穩(wěn)定充分性。因

Φ(t