廣東省2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：勾股定理 模擬練習(xí)(含解析)

2024年廣東省九年級(jí)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：勾股定理模擬練習(xí)一、單選題1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，海中有一小島A，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點(diǎn)出發(fā)由西向東航行10到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測(cè)得小島A恰好在正北方向上，此時(shí)漁船與小島A的距離為（

）

A． B． C．20 D．2．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角中，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊于點(diǎn)M，N；再分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作射線交于點(diǎn)E．設(shè)，的面積分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．13．（2023·廣東廣州·一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．4．（2023·廣東揭陽(yáng)·一模）如圖，為等腰直角三角形，平分，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)；下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④5．（2023·山東濟(jì)南·一模）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)B和點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，作射線交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)度為（）

A．3 B． C． D．6．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)F在AC上，并且，點(diǎn)E為上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），將沿直線翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，的長(zhǎng)為，則邊的長(zhǎng)為（）

A． B．3 C． D．47．如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為，則的值為（）A． B． C． D．8．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．56 B． C． D．9．（2023·廣東東莞·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）

A． B． C． D．10．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的面積為10 B．C． D．點(diǎn)到直線的距離是211．三角形的三邊a，b，c滿足，則此三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形二、填空題12．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知是的角平分線，，分別是和的高，，，則點(diǎn)E到直線的距離為．

13．（2023·廣東肇慶·三模）如圖，在中，，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，若，，則線段的長(zhǎng)為．14．（2023·廣東清遠(yuǎn)·三模）如圖，在，，E為邊上的任意一點(diǎn)，把沿折疊，得到，連接．若，，則的最小值為．15．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)E在邊上，，，交于點(diǎn)D，若，，則．

16．（2023·廣東佛山·三模）如圖，在正方形中，分別為上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值是．

17．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一張直角三角形紙片ABC中，，將它沿折痕折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則．

18．如圖，在中，平分，如果點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別為上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是．

19．（若的三邊長(zhǎng)分別為，且三角形的三條高所在的直線交于三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則面積為．三、解答題20．（2023·廣東·中考真題）綜合與實(shí)踐主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．21．（2023·廣東東莞·一模）如圖，在中，．(1)作的角平分線交于點(diǎn)D；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，，過(guò)點(diǎn)D作于E，求的長(zhǎng)．22．（2023·廣東潮州·一模）如圖，在中，，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線上，且之間的距離為2，之間的距離為3，則的值．

23．（2023·廣東河·二模）如圖，在中，，，．

(1)尺規(guī)作圖：作射線，使平分，交于（保留痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，求點(diǎn)到的距離．24．（2023·廣東梅州·一模）如題圖所示，為等腰直角三角形，，點(diǎn)D為線段上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E使，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，求證：．25．（2023·廣東佛山·一模）如圖，在中，，，．(1)利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線DE，垂足為E，交AB于點(diǎn)D，（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若的周長(zhǎng)為a，先化簡(jiǎn)，再求T的值．26．（2022·廣東肇慶·一模）在修建某高速公路的線路中需要經(jīng)過(guò)一座小山．如圖，施工方計(jì)劃從小山的一側(cè)C處沿AC方向開(kāi)挖隧道到小山的另一側(cè)三點(diǎn)在同一直線上處．為了計(jì)算隧道CD的長(zhǎng)，現(xiàn)另取一點(diǎn)B，測(cè)得，，，求隧道CD的長(zhǎng)．參考答案：1．D【分析】連接，此題易得，得，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接，

由已知得：，，，∴，在中，，∴（），故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，直角三角形30度角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握勾股定理的計(jì)算．2．C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由題意得平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，利用角平分線的性質(zhì)定理得到，利用三角形的面積公式得到，即可求出答案．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，由題意得平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的作圖，角平分線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用坡度的定義得出答案．【詳解】解：由題意可得：（米），則山坡的坡度為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，通過(guò)角的計(jì)算即可得到，根據(jù)兩直角三角形中斜邊和其中一條直角邊相等，即可由勾股定理得出另一條直角邊也相等，從而得到，故①正確；再根據(jù)各角的計(jì)算可得出，故②正確；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍，從而推出，故③正確；由條件可推理得四邊形是矩形，，再由全等性質(zhì)可得，故，則④正確．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

，，，平分，，，，，，，，故①正確，，，，故②正確，平分，，，，，，，，，故③正確，在和中，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，，故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)并采用等量代換的方法是解題關(guān)鍵．5．C【詳解】根據(jù)作圖可知，由已知條件可知，根據(jù)勾股定理，可得的長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)作圖可知，，，，，，根據(jù)勾股定理，得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)折疊可得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，在中，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及翻折的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】本題考查了表示數(shù)軸上的點(diǎn)，實(shí)數(shù)，及勾股定理，能求出的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)圖示，可得：點(diǎn)是以為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的求法，求出的值．【詳解】解：如圖，由勾股定理得：，，點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，且在左側(cè)，．故選：．8．B【分析】延長(zhǎng)至，使，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證，得，，再證，得，，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得，則，，進(jìn)而求出，再利用即可解決問(wèn)題．【詳解】解：延長(zhǎng)至，使，連接，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：

為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形變化類，由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，先用勾股定理求出第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而找到與之間的關(guān)系，依次類推，得出規(guī)律，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，故選：A．10．A【分析】求出，根據(jù)三角形的面積公式可以判斷A；根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷B；根據(jù)勾股定理可以判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的意義可以判斷D．【詳解】解：，，，，，故B、C正確，不符合題意；，故A錯(cuò)誤，符合題意；設(shè)點(diǎn)到直線的距離是，，，，點(diǎn)到直線的距離是2，故D正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理．先根據(jù)完全平方公式對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定．【詳解】解：∵，∴，∴，∴三角形是直角三角形．故選：B．12．/【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得點(diǎn)D到的距離等于點(diǎn)D到的距離的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】解：∵是的角平分線，，分別是和的高，，∴，又，∴，設(shè)點(diǎn)E到直線的距離為x，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分定理，勾股定理等知識(shí)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理，由勾股定理得出，由折疊的性質(zhì)知，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，由折疊的性質(zhì)知，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即：，解得：；故答案為：．14．4【分析】本題考查翻折變換，最短路線問(wèn)題，勾股定理，先確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線，并確定最小時(shí)點(diǎn)所在位置，再求出的長(zhǎng)度即可．確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵沿折疊，得到，∴，∴點(diǎn)F在以B為圓心6為半徑的圓上，設(shè)以B為圓心6為半徑的圓與交于點(diǎn)，則，的最小值為的長(zhǎng)；在中，∵，，∴，∴，∴的最小值為4，故答案為：4．15．【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)G，利用平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)求得，利用三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理和勾股定理解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)G，

∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴為的垂直平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，依據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)，由勾股定理將用含的式子表示，再配方即可求出最小值．【詳解】四邊形是正方形，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、配方法等知識(shí)點(diǎn)，能夠?qū)⒂煤氖阶颖硎?，并正確的配方是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．【分析】由折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則．在中運(yùn)用勾股定理列方程，解方程即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題和勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時(shí)，設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．18．【分析】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，此時(shí)的值最小，再由三角形的面積求出邊上的高即為所求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵平分，∴，∴，此時(shí)的值最小，因?yàn)?，故是直角三角形，故的面積，∴，∴的值最小為，故答案為：．

19．6【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的面積等于兩條直角邊的乘積的一半進(jìn)行計(jì)算．【詳解】∵，∴是直角三角形，∴的面積是，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；（2）證明是等腰直角三角形即可.【詳解】（1）解：（2）證明：連接，

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則，，，為等腰直角三角形，∵，∴為等腰直角三角形，，故【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．21．(1)作圖見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．（1）利用尺規(guī)作出的角平分線即可．（2）利用角平分線的性質(zhì)定理證明，再利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）的角平分線如圖所示．（2）∵平分，作于E，，∴，∴，∵，∴．22．【分析】過(guò)、點(diǎn)作的垂線構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)三角形全等求出，由勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出．【詳解】解：作于，作于，∵，∴又∴，在和中，∴，∴，∵，且之間的距離為之間的距離為3，在中，根據(jù)勾股定理，得，在中，根據(jù)勾股定理，得．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定勾股定理的應(yīng)用，此題要作出平行線間的距離，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算．23．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法解答即可；（2）作，垂足為，則為點(diǎn)到的距離，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得，證明，得到，勾股定理求出，在中，設(shè)，則，，由勾股定理得，求出x即可．【詳解】（1）解：如圖1，射線為所求；（2）圖2，作，垂足為，則為點(diǎn)到的距離，由作法知：平分∵∴，∵，∴，∴，∵在中，設(shè)，則，，則解得∴．

【點(diǎn)睛】此題考查了基本作圖—角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，全等三