概率與統(tǒng)計(jì)(3學(xué)分)

《概率與統(tǒng)計(jì)》(3學(xué)分),《概率與統(tǒng)計(jì)》(4學(xué)分),《概率與過程》(4.5學(xué)分)課程模擬試卷第23頁共23頁《概率與統(tǒng)計(jì)》(3學(xué)分),《概率與統(tǒng)計(jì)》(4學(xué)分),《概率與過程》(4.5學(xué)分)課程模擬試卷南京理工大學(xué)統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)系編

2003年5月

注：(1)以下是3學(xué)分、4學(xué)分、4.5學(xué)分考試的參考內(nèi)容，不作為實(shí)際考試范圍，考試內(nèi)容以教學(xué)大綱和實(shí)施計(jì)劃為準(zhǔn)；(2)四學(xué)分包含所有3學(xué)分內(nèi)容；(3)4.5學(xué)分包含所有4學(xué)分內(nèi)容；(3)注明“了解”的內(nèi)容一般不考。1、能很好地掌握寫樣本空間與事件方法，會(huì)事件關(guān)系的運(yùn)算，了解概率的古典定義2、能較熟練地求解古典概率；了解概率的公理化定義3、掌握概率的基本性質(zhì)和應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算；理解條件概率的概念；掌握加法公式與乘法公式4、能準(zhǔn)確地選擇和運(yùn)用全概率公式與貝葉斯公式解題；掌握事件獨(dú)立性的概念及性質(zhì)。5、理解隨機(jī)變量的概念，能熟練寫出(0—1)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的概率分布。6、理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及性質(zhì)。7、掌握指數(shù)分布(參數(shù))、均勻分布、正態(tài)分布，特別是正態(tài)分布概率計(jì)算8、會(huì)求一維隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般方法，求一維隨機(jī)變量的概率分布或概率密度。9、會(huì)求分布中的待定參數(shù)。10、會(huì)求邊沿分布函數(shù)、邊沿概率分布、邊沿密度函數(shù)，會(huì)判別隨機(jī)變量的獨(dú)立性。11、掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度的概念及計(jì)算。(四學(xué)分)12、理解二維隨機(jī)變量的概念，理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)，理解二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及其性質(zhì)，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度及其性質(zhì)，并會(huì)用它們計(jì)算有關(guān)事件的概率。13、了解求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法。(四學(xué)分)14、會(huì)熟練地求隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。會(huì)熟練地默寫出幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差。15、較熟練地求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).16、了解矩與協(xié)方差矩陣概念。會(huì)用獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合性質(zhì)解題。17、了解大數(shù)定理結(jié)論，會(huì)用中心極限定理解題。18、掌握總體、樣本、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布概念，掌握樣本均值與樣本方差及樣本矩概念，掌握2分布(及性質(zhì))、t分布、F分布及其上百分位點(diǎn)及雙側(cè)百分點(diǎn)概念。19、理解正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理（不要求背，考試時(shí)定理內(nèi)容可列在試卷上）；會(huì)用矩估計(jì)方法來估計(jì)未知參數(shù)。20、掌握極大似然估計(jì)法，無偏性與有效性的判斷方法。21、會(huì)求單正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。會(huì)求雙正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。23、明確假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，會(huì)U檢驗(yàn)法、t檢驗(yàn)、檢驗(yàn)法、F檢驗(yàn)法解題。(三學(xué)分只考兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)法)。24、掌握兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)法。(四學(xué)分)(以下內(nèi)容僅僅針對4.5學(xué)分考試，3、4學(xué)分不作要求)25、掌握隨機(jī)過程的概念，掌握隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征。26、掌握獨(dú)立增量過程、正態(tài)過程、維納過程的判斷方法。27、了解嚴(yán)平穩(wěn)過程，掌握寬平穩(wěn)過程的判斷和基本性質(zhì)。28、了解圴方極限與圴方積分、時(shí)間均值與時(shí)間相關(guān)函數(shù)的概念，了解各態(tài)歷經(jīng)性的判定定理。29、了解時(shí)間函數(shù)的功率譜密度，掌握平穩(wěn)過程的功率譜密度概念，掌握功率譜密度的基本性質(zhì)，了解互譜密度及其性質(zhì)。

南京理工大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)系E-mail:stat@辦公室:理學(xué)院118室電話:4315586理學(xué)院科技處理學(xué)院科技處二號(hào)路二號(hào)路轉(zhuǎn)盤招待所時(shí)間招待所時(shí)間廣場[模擬試卷1]一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。二、（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求：（1）參數(shù)；（2）；（3）的分布列。。三、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，（1）求的聯(lián)合概率密度（2）求關(guān)于、的邊緣概率密度（3）判斷與的獨(dú)立性。四、（12分）設(shè),，且與相互獨(dú)立，試求和的相關(guān)系數(shù)（其中、是不全為零的常數(shù)）。五、（12分）設(shè)從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試求這1000粒種子中至少有880粒發(fā)芽的概率。六、（12分）設(shè)總體的概率密度為是取自總體的簡單隨機(jī)樣本。求：（1）的矩估計(jì)量；（2）的方差。七、（12分）設(shè)服從，是來自總體的樣本，＋。試求常數(shù)，使得服從分布。八、（15分）從一批木材中抽取100根，測量其小頭直徑，得到樣本平均數(shù)為，已知這批木材小頭直徑的標(biāo)準(zhǔn)差，問該批木材的平均小頭直徑能否認(rèn)為是在以上？（取顯著性水平＝0.05）附表一：,,,,[模擬試卷2]一、(14分)已知50只鉚釘中有3只是次品，將這50只鉚釘隨機(jī)地用在10個(gè)部件上。若每個(gè)部件用3只鉚釘，問3只次品鉚釘恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）參數(shù)；（2）；（3）。三、（14分）設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布以點(diǎn)(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量的方差。四、(12分）已知的概率密度函數(shù)為．（1）求與的相關(guān)系數(shù)；（2）試判斷與的獨(dú)立性。五、（10分）設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨(dú)立。已知每戶每天用電量（單位：度）在[0，20]上服從均勻分布?，F(xiàn)要以0.99的概率滿足該地區(qū)居民供應(yīng)電量的需求，問供電站每天至少需向該地區(qū)供應(yīng)多少度電？六、（8分）在總體，從中隨機(jī)抽取容量為6的樣本.求樣本均值與總體均值之差的決對值大于2的概率。七、（14分）設(shè)總體的密度函數(shù)為 其中是未知參數(shù)，且。試求的最大似然估計(jì)量。八、（14分）已知在正常生產(chǎn)的情況下某種汽車零件的重量（克）服從正態(tài)分布，在某日生產(chǎn)的零件中抽取10件，測得重量如下：55.153.854.252.154.255.055.855.155.3如果標(biāo)準(zhǔn)差不變，該日生產(chǎn)的零件的平均重量是否有顯著差異（?。?？附表一：,,,,,,，.[模擬試卷3]填空（16分）1、設(shè)A、B為隨機(jī)事件，P（A）=0.92，P(B)=0.93，=0.85，則___________.P（）=___________.2、袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球，今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個(gè)人取得黃球的概率是___________.3、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為用Y表示對X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件{X}出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y=2}___________.4、設(shè)X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z相互獨(dú)立，則U=4X+3Y-Z的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.5、設(shè)…是來自正態(tài)分布N（）的樣本，且已知，是樣本均值，總體均值的置信度為的置信區(qū)間是___________.二、（12分）設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有m只白球，n只紅球，乙袋中裝有M只白球,N只紅球。今從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，問該球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？三、?2分）某信息服務(wù)臺(tái)在一分鐘內(nèi)接到的問訊次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，已知任一分鐘內(nèi)無問訊的概率為，求在指定的一分鐘內(nèi)至少有2次問訊的概率。四、（12分）設(shè)（X、Y）具有概率密度1）求常數(shù)c；2）求P{Y2X}；3）求F（0.5，0.5）五、（12分）設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）具有密度函數(shù)求E（X），E（Y），COV（X、Y）。六、（12）一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成。在運(yùn)行期間，每個(gè)部件損壞的概率為0.1，而為了使整個(gè)系統(tǒng)正常工作，至少必需有85個(gè)部件工作，求整個(gè)系統(tǒng)工作的概率。七、（12分）設(shè)總體的密度函數(shù)為 其中是未知參數(shù)，且。試求的最大似然估計(jì)量。八、（12分）某工廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力測試（斤）服從正態(tài)分布N（576，64），某日抽取10根銅絲進(jìn)行折斷力試驗(yàn)，測得結(jié)果如下：578572570568572570572596584570是否可以認(rèn)為該日生產(chǎn)的銅絲折斷力的標(biāo)準(zhǔn)差是8斤（）[模擬試卷4]一、（12分）（1）已知,證明：（2）證明：若則二、（14分）設(shè)X~N（），。求（1）（2）Y=1-2X的概率密度三、（12分）設(shè)X與Y是具有相同分布的隨機(jī)變量，X的概率密度為已知事件和相互獨(dú)立，且求（1）常數(shù)a（2）四、（14分）設(shè)（X、Y的概率密度為求：（1）相關(guān)系數(shù)（2）五、（12分）設(shè)供電站供應(yīng)某電去1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨(dú)立，已知每戶日用電（單位：度）在[0，20]上服從均勻分布，現(xiàn)要以0.99的概率保證該地區(qū)居民供應(yīng)電量的需要，問供電站每天至少向該地區(qū)供應(yīng)多少度電？六、（12分）設(shè)總體X~N（），，假設(shè)我們要以0.997的概率保證偏差，試問在時(shí)，樣本容量n應(yīng)為多少？七、（12分）設(shè)為來自總體概率密度為的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量。八、（12分）電工器材廠生產(chǎn)一批保險(xiǎn)絲，取10根測得其熔化時(shí)間（min）為42，65，75，78，59，57，68，54，55，71。問是否可以認(rèn)為整批保險(xiǎn)絲的平均熔化時(shí)間為70（min）？（，熔化時(shí)間為正態(tài)變量）[模擬試卷5]一、（12分）從5雙尺碼不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：（1）所取的4只中沒有兩只成對；（2）所取的4只中只有兩只成對（3）所取的4只都成對二、（12分）甲袋中有兩個(gè)白球四個(gè)黑球，已袋中有四個(gè)白球兩個(gè)黑球?，F(xiàn)在擲一枚均勻的硬幣，若得到正面就從甲袋中連續(xù)摸球n次（有返回），若得反面就從乙袋中連續(xù)摸球n次（有返回）。若已知摸到的n個(gè)球均為白球，求這些球是從甲袋中取出的概率。三、（12分）（1）設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量（件）服從參數(shù)為7的泊松分布，求一個(gè)月內(nèi)至少售出2件的概率（2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)求常數(shù)A及X的數(shù)學(xué)期望和方差四、（14分）某種電池的壽命X服從正態(tài)分布，a=300（小時(shí)），=35（小時(shí)），（1）求電池壽命在250小時(shí)以上的概率（2）求x，使壽命在a-x與a+x之間的概率不小于0.9（3）任取1000個(gè)這種電池，求其中最多有50個(gè)壽命在250小時(shí)以下的概率。五、（12分）設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）具有密度函數(shù)（1）求X與Y的相關(guān)系數(shù)（2）問X與Y是否不相關(guān)（3）X與Y是否獨(dú)立，為什么？六（12分）（1）在總體N（52，）中隨機(jī)抽一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到54.8之間的概率。（2）設(shè)總體，假如我們要以0.997的概率保證偏差，則樣本容量n應(yīng)為多少？七、（12分）設(shè)總體X服從指數(shù)分布，它的密度函數(shù)為（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)（2）驗(yàn)證所得的估計(jì)量的無偏性八、（14分）化肥廠用自動(dòng)打包機(jī)裝化肥，某日測得8包化肥的重量（斤）如下：98.7100.5101.298.399.799.5101.4100.5已知各包重量服從正態(tài)分布N（）（1）是否可以認(rèn)為每包平均重量為100斤（?。?？（2）求參數(shù)的90%置信區(qū)間。[模擬試卷6]一、(12分)一袋中有十個(gè)質(zhì)地、形狀相同且編號(hào)分別為1、2、…、10的球。今從此袋中任意取出三個(gè)球并記錄球上的號(hào)碼，求（1）最小號(hào)碼為5的概率；（2）最大號(hào)碼為5的概率；（3）一個(gè)號(hào)碼為5，另外兩個(gè)號(hào)碼一個(gè)大于5，一個(gè)小于5的概率。12分)設(shè)隨機(jī)變量,求的分布函數(shù)與概率密度。10分)設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X與孵化為成蟲數(shù)Y的聯(lián)合分布律。(14分)設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為,確定常數(shù)的值;是否相互獨(dú)立?為什么?是否不相關(guān)?為什么?(10分)一批種子中良種占1/6，從中任取6000粒，問能以0.99的概率保證其中良種的比例與1/6相差多少？這時(shí)相應(yīng)的良種粒數(shù)落在哪個(gè)范圍？(12分)設(shè)總體服從二項(xiàng)分布，它的概率分布為,,，求未知參數(shù)的極大似然估計(jì).(12分)某種儀器間接測量硬度，重復(fù)測量5次，所得數(shù)據(jù)是175，173，178，174，176，而用別的精確方法測量硬度為179（可看作硬度的真值），設(shè)測量硬度服從正態(tài)分布，問此種儀器測量的硬度是否顯著降低（）？(10分)已知隨機(jī)過程的均值，協(xié)方差函數(shù)，試求的均值和協(xié)方差函數(shù).(8分)設(shè)是平穩(wěn)過程，且=0，，（|τ|≤1），Y=，求和.附：,,,[模擬試卷1答案]一、解：設(shè)事件表示“顧客買下該箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。則，，，，，。由全概率公式得；由貝葉斯公式。二、解：(1)由，得=1；（2）；（3）。三、解：（1）區(qū)域G的面積為（X、Y）的聯(lián)合概率密度為（2）X的邊緣概率密度為=Y的邊緣概率密度為=（3）顯然，所以X與Y不獨(dú)立。四、解：，，則解：設(shè)這批種子發(fā)芽數(shù)為，則，由中心極限定理得所求概率為 。六、解：（1）。 從而，則用代替得的矩估計(jì)量為。（2）由于 則。七、解：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)知，，則，，從而，，又由于，相互獨(dú)立及分布的可加性知＋，則當(dāng)時(shí)，服從分布。解：檢驗(yàn)假設(shè)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，的拒絕域?yàn)?。由于顯著性水平＝0.05，查表得＝1.645。因?yàn)?gt;1.645則拒絕原假設(shè)，即在顯著性水平＝0.05下，認(rèn)為該批木材的平均小頭直徑在12以上。[模擬試卷2答案]一、解：假設(shè)每個(gè)鉚釘都已編號(hào)，則樣本空間S中的樣本點(diǎn)總數(shù)[S]=…。設(shè)Ai=“3個(gè)次品鉚釘恰好用在第i個(gè)部件上”，i=1，2，…，10A=“3個(gè)次品鉚釘恰好用于同一部件”Ai中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)[Ai]=…，P(Ai)=[Ai]/[S]=1/19600。P(A)==1/1960。解：(1)由歸一性，得三、解：由題意，的聯(lián)合密度函數(shù)為 則 得則 同理，。 則。 則。四、解：（1） 故（2） X與Y不獨(dú)立。五、解：設(shè)第K戶居民每天用電量為度，1000戶居民每天用電量為度，10，=。再設(shè)供應(yīng)站需供應(yīng)L度電才能滿足條件，則 即 ，則L=10425度。六、解：設(shè)總體由題意：，則，所求概率為 ＝＝=七、解：設(shè)是的子樣觀察值，那么樣本的似然函數(shù)為 ，就有 ，于是，似然方程為 ，從而，可得 八、解：按題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)是 ，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，的拒絕域?yàn)椤Ｓ?，查正態(tài)表得臨界值，由樣本值算得 因?yàn)?，故接受假設(shè)，即在時(shí)，即可以認(rèn)為該日生產(chǎn)的零件的平均重量與正常生產(chǎn)時(shí)無顯著差異。[模擬試卷3答案]一、（每空2分）0.829；0.9882、2/53、9/64；-3；34725、二、解：設(shè)事件A=“從甲袋中取出一白球”，事件B=“從乙袋中取出一白球”。解：，且即≈0.9826四、解：1）由歸一性2）3）五、解：，解：系統(tǒng)中能夠正常工作的部件數(shù)X服從二項(xiàng)分布：X~B(100,0.9)。于是≈七、解：設(shè)是的子樣觀察值，那么樣本的似然函數(shù)為 ，就有 ，于是，似然方程為 ，從而，可得 解：需要檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，拒絕域?yàn)?計(jì)算可得=575.2，s=，從而=10.65對，自由度=9，查表得因?yàn)?，所以接受假設(shè)，即可以認(rèn)為該日生產(chǎn)的銅絲折斷力的標(biāo)準(zhǔn)差是8斤。[模擬試卷4答案]證明（1）（2）二、（1）所以≈進(jìn)而X~N（72，）所以Y~N（-143，）三、（1）因?yàn)閄與Y同分布，所以P（A）=P（B），又A與B獨(dú)立所以，（舍去）又所以=進(jìn)而（2）四、因?yàn)?，所以所以所以，，所以?五、解：設(shè)第K戶居民每天用電量為度，1000戶居民每天用電量為度，10，=。再設(shè)供應(yīng)站需供應(yīng)L度電才能滿足條件，則 即 ，則L=10425度。六、~，所以進(jìn)而七、所以故需要檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，的拒絕域?yàn)橛?jì)算得：=62.4s=11.04所以所以故接受原假設(shè)[模擬試卷5答案]一、（1）（2）1-（3）二、設(shè)事件A表示擲得正面，事件B表示所摸到的球?yàn)閚個(gè)白球，由題意AB表示從甲袋中摸到n個(gè)白球，所以，表示從甲袋中摸到n個(gè)白球，所以=三、（1）設(shè)商店每月銷售某種商品的數(shù)量為，則（2），所以A=1，四、（1），所以（2），x=57.58（3）設(shè)任一此種電池壽命在250小時(shí)以下的概率為p，則則1000個(gè)電池中，壽命在250小時(shí)以下的電池?cái)?shù)X服從二項(xiàng)分布五、（1）解：，，所以（2）不相關(guān)（3）不獨(dú)立，