2023-2024學年廣西欽州市靈山縣天山中學高一（上）入學數學試卷（含解析）

2023-2024學年廣西欽州市靈山縣天山中學高一（上）入學數學

試卷

一、單選題（本大題共6小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若％—y=-1,則/—y3+3%y=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.已知。是△4BC的邊AB上的一點，過點。作DE〃BC交4c于E,若4D：DB=2：3,則SUOE：

S四邊^(qū)BCED=（）

A.2：3B.4：9C.4：5D.4：21

3.若，~^-上=2,則/+妥=（）

A.4B.6C.34D.36

4.我們知道，在RtaABC中，Z.C=90°,sinA=cosA=tanA=77,由此發(fā)現：

1

即=嗎.根據此結論解題：若為銳角，且cos2a--

t4a2-8

2smacosa+sina

A.-4B.2C.8D.16

5.有一塊橡皮泥的體積為2,起初做成一個長，寬，高依次為a,b,1的長方體,現要將它的

長增加1,寬增加2,做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（）

1111

Bc

---

A.84D.2

16

6.在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,且G為重心，。為內心，貝心。=（）

A；23B.7c.1D.2

34

二、多選題（本大題共2小題，共10.0分。在每小題有多項符合題目要求）

7.下列命題正確的有（）

A.若a>b>0,則！>-B.若Q>b,則ac?>be2

ba

QQ3

C.若>b,c>df貝!Jac>bdD.若>b,則a，>ft

8.將下列多項式因式分解，結果中含因式（％+1）的有（）

A.x2+12%4-11B.x3—%24-%—1

C.x3+2x2+5%+4D.（%2—3x）2_2（%2—3%）—8

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

9.不等式|2%—1|的解為.

10.把二次函數y=/+必+?的圖象向下平移1個單位，再向左平移3個單位，得到函數丫=

一的圖像，則b+c=.

11.黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質文化遺產名錄,如圖是黎錦上的圖案，每個圖

案都是由相同菱形構成的，若按照第1個圖至第4個圖中的規(guī)律編織圖案，則第8個圖中有

個菱形.

第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖

12.如圖，在Rt△力BC中，AACB=90°,CB=4,CA=6,0C的

半徑為2,P為圓上一動點，連接AP,BP,則AP+^BP的最小值為

四、解答題（本大題共4小題，共40.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

13.（本小題小.0分）

11

己知關于x的方程式+（21一3）久+--3=0有兩個實數根%1，x2,且與+久2=元+石，求

k的值.

14.（本小題10.0分）

已知a>0,b>0,a+2b=1.

（1）求5+￡的最小值；

（2）求a?+6ab+4爐的最大值.

15.（本小題10.0分）

解關于％的不等式a/-（a+2）x+2>0.

16.（本小題10.0分）

《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作，在《幾何原本》第六卷給出了

內角平分線定理，其內容為：在一個三角形中，三角形一個內角的角平分線內分對邊所成的

兩條線段，與這個角的兩鄰邊對應成比例.例如，在△4BC中（圖1）,4D為MAC的平分線，則

有AB：AC=BD：DC.

(1)試證明角平分線定理；

(2)如圖2,已知△ABC的重心為G,內心為/,若G,/的連線G/〃BC.求證：AB+AC=2BC.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：丫％-丫=-1,

???x3—y3+3xy=(x—y)(x2+xy+y2)+3xy=-x2—xy-y2+3xy=—x2—y2+2xy=

—(%—y)2——(—I)2=—1.

故選：B.

直接利用立方差公式展開化簡，再整體代入即可.

本題考查了多項式的化簡，立方差公式，是基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：作DE〃BC交4C于E,若AD：DB=2：3,

可得△AOEsA/lBC,

目SAADE：S4ABe=AD2：AB2—4：25,

即有SAADE：S四邊形BCED=4：21.

故選：D.

由題意可得△ACE-△力BC,可得面積比為相似比的平方，即可得到所求面積的比.

本題考查三角形的相似和性質，考查面積比喻邊長的比的關系，考查運算能力，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：由題意(C—專)2=4,

即％—2+-=4,

x

1

%+-=6,

x

而％2+?=(%+―)2—2=36—2=34.

故選：C,

直接利用完全平方公式，整體代入即可.

本題考查了指數幕的運算，完全平方公式，是基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：一cos2a="左邊算式同時除以cos2a可得，

2sinacosa+sinay

則T；------2-=o，BP(tana+4)(tana-2)=0,

2tana+tan"a8'，'"

a為銳角，

則tana>0,

則tana=2.

故選:B.

左邊算式同時除以cos?。，再結合a的范圍，即可求解.

本題主要考查三角函數的同角公式，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：依題意ab=2,設新長方體高為九，

則(a+l)(b+2)/i=2,

健福h=----2----=-----2----=----2--V,-2---,=_2=—1,

g1J(a+l)(b+2)ab+2a+b+24+2a+b-4+2>T2ab84’

當且僅當2a=b,即Q=1,b=2時取等號，

??.九的最大值為;.

4

故選：C.

由體積公式得ab=2,長寬高變化后，根據條件得到(a+l)(b+2)/i=2,得到九=：

I(XIX)I"I乙J

再利用基本不等式能求出結果.

本題考查長方體的結構特征、體積公式、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：如圖，在ZiABC中，AB=AC=13,BC=10,

取BC中點0,連接4。，

則8D=DC=5,AD1BC,

AD=VAC2-CD2=7132-52=12,

???S4ABe=2xBCxAD=60,

vG為△ABC的重心，

GD=；AD=4,

v0為△ABC的內心，

二。到AABC的三邊距離相等，設為d,

11

:.S〉ABC=/Q4B+AC+BC)xd=搟x(13+13+10)xd=60,

??.d=孚即OD=y,

in2

GO=GD-OD=4-y=|.

故選：A.

由題意，△ABC中為等腰三角形，可得重心和內心在高線AD上，再由三角形的重心與外心的性質

可求解.

本題考查等腰三角形的性質，屬于中檔題，熟練掌握三角形的重心與外心的性質是解答本題的關

鍵.

7.【答案】AD

11

定有

一-<-

【解析】解：根據不等式的性質可知，若a>b>0時,ah

B.取c=0,則四2>比2不成立，故8錯誤；

C.根據a>b,c>d,取a=1,b=-1,c=2,d=-2,

則ac>bd不成立，故C錯誤；

。若a>b,則由幕函數y=/在R上單調遞增可知，。3>人3成立，故。正確.

故選：AD.

根據各選項的條件取特殊值或利用不等式的基本性質，即可判斷.

本題考查了不等式的基本性質，屬基礎題.

8.【答案】ACD

【解析】解：對于選項4,因為爐+12x+11=(x+l)(x+11),正確；

對于選項B,因為+X—1=/(X—])+久—1=(》—])。2+1),不正確；

對于選項C,因為爐+2x2+5x+4=x3+2%2+x+4尤+4=x(x+I)2+4(%+1)=(x+

l)(x2+x+4),正確；

對于選項D,因為(—-3x)2—2(%2—3x)—8=(%2—3x—4)(%2—3x+2)=(%+l)(x-

4)(x-2)(%-1),正確.

故選：ACD.

利用十字相乘法、配湊法等，逐一對各個選項分析判斷即可求出結果.

本題考查因式分解，屬于基礎題.

9.【答案】｛x|x<，或%>1)

【解析】解：由—得到2%—1>%或2%—1V—%,

即%>1.或％<所以|2%-1|>%解集為<孑或%>1],

故答案為：｛x|x<：或X>1｝.

利用絕對值不等式的解法即可求出結果.

本題主要考查絕對值不等式的解法，屬于基礎題.

10.【答案】4

【解析】解：先將二次函數y=/的圖象向右平移3個單位，得到函數y=(x-3)2的圖象，

再將所得圖象向上平移1個單位，可得到函數y=(x-3y+1=/_6%+10的圖象，

所以b=—6,c=10,則b+c=4.

故答案為：4.

利用函數的平移變換，逆向推得原二次函數的解析式，從而得解.

本題主要考查了二次函數圖象的平移，屬于基礎題.

11.【答案】113

【解析】解：設第n(n6N)個圖中有％個菱形，

則4—1,a2=5,a3—13>a4=25,

歸納得a；,=2n2-2n+1,

則a8=113,即第8個圖中有113個菱形.

故答案為：113.

設第MneN)個圖中有與個菱形，根據題干，可寫出數列｛aj的前四項，進而歸納出數列｛即｝的

通項，由此得解.

本題考查歸納推理，屬于基礎題.

12.【答案】<37

【解析】解：如圖，連接CP,在CB上取點。，使CO=1,則有保=若=￡

又4PCD=ABCP,:.4PCD?&BCP,

pn111

：,？=".?.PD=3BP,：.AP+3BP=AP+PD.

DrLLL

-1一

要使AP+加P最小，只要4P+P。最小，

當點力，P,。在同一條直線時，AP+PD最小，即4P+^BP最小值為4。，

在RM4CD中，CD=1,AC=6,

AD=VAC2+CD2=V_37>

所以AP+；8P的最小值為V■節(jié).

故答案為：<37.

利用三角形相似，將問題轉化為求4P+P。的最小值AD,從而得解.

本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬中檔題.

2

13.【答案】解：關于%的方程/+(2k-3)x+k-3=0有兩個實數根與，x2>

則與+x2=—(2k—3),%1%2=1-3,

???/一3=1或-(2k-3)=0,解得k=±2或|,

當k=2時，/<0,不符合題意，

故k=-2或|.

【解析】根據已知條件，結合韋達定理，以及二次函數的判別式法，即可求解.

本題主要考查韋達定理的應用，是基礎題.

14.【答案】解：(1)因為a+2b=1,

所以2+：=2+””=2+￡+224,當且僅當a=b=:時取等號，

ababab3

所以:的最小值為4.

ab

(2)因為Q+2b=1,

所以M+6ab+4b2=(a+2b)2+2ab=14-2ab<1+(土產產=當且僅當a=2b,即b=

a=：時取等號，

所以M+6ab+4b2的最大值為"

4

【解析】(1)根據條件得到5+*=2+!+會再利用均值不值式即可求出結果；

(2)根據條件得到a?+6ab+4b2=1+2ab,再利用均值不值式即可求出結果.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于中檔題.

15.【答案】解：將原不等式化為(ax-2)(x-l)>0,

(1)當a=0時，有x<1：

(2)當a>0時，有-—1)>0,???(》-；)。-1)>0,

d2a-2

Vl-a=—

當a>2時2<1,.,?X<2或%>1；當a=2時，-=1,/.%G/?,且工。1；

aaa

當0<aV2時，有白>1,???％V1或X>?;

aa

(3)當a<0時，(x-|)(x-1)<0,.-.^<x<l.

綜上，a=0時，不等式的解集為｛x|x<1｝；0<a<2時，不等式的解集為｛x|x<1或x>勺；當

Q=2時，不等式的解集為｛%|xCR,且x。1｝；

當Q>2時，不等式的解集為｛%[%<1或%>1｝；當a<0時，不等式的解集為｛%|[<