《自動控制原理》課件第8章

第一節(jié)采樣系統(tǒng)的基本概念第二節(jié)采樣過程及采樣定理第三節(jié)信號保持器第四節(jié)Z變換第五節(jié)采樣系統(tǒng)的數學模型第六節(jié)采樣控制系統(tǒng)的分析第八章采樣控制系統(tǒng)

第一節(jié)采樣系統(tǒng)的基本概念

一、離散時間信號

在采樣系統(tǒng)中,信號是用離散時間的數字序列表示的。序列中的第N個數字記做x(NT),全部信號序列可寫為

(8-1)

其中,N取整數。圖8-1為離散時間數字序列常用圖形描述。雖然圖中橫坐標畫成一條連續(xù)的直線,但x(NT)僅僅對于整數N值才有定義,而對于非整數N值,x(NT)是沒有定義的。圖8-1常用離散序列二、采樣控制系統(tǒng)

實際上,當控制系統(tǒng)間斷地獲得控制或測量信號時,就變成了離散系統(tǒng)。由圖8-2(a)可知,連續(xù)系統(tǒng)是利用連續(xù)的反饋信號b(t)與連續(xù)的輸入信號r(t)進行比較后的連續(xù)誤差信號e(t)來控制的。而對于離散系統(tǒng),如圖8-2(b)所示,反饋信號和輸入信號進行比較的是斷續(xù)信號(斷續(xù)信號均用帶“*”表示),誤差信號

e*(t)=r*(t)－b*(t)

也是斷續(xù)信號,系統(tǒng)是利用斷續(xù)的誤差信號控制的。圖8-2典型反饋系統(tǒng)方塊圖在圖8-2(b)中,斷續(xù)信號由采樣開關S重復地開關獲得。把連續(xù)信號變成脈沖(或數字)序列的過程就叫采樣。因此,圖8-2(b)實際就是采樣控制系統(tǒng)。其中,Gh(s)為采樣保持器。

如果圖8-2(b)采樣系統(tǒng)兩個采樣開關同步,則可等效為圖8-3,它為采樣系統(tǒng)的典型結構。圖8-38-2(b)圖的等效結構圖圖8-3中的誤差連續(xù)信號e(t)的波形圖、e(t)經采樣開關采樣后e*(t)的波形圖和采樣信號e*(t)經保持器保持后的信號eh(t)波形圖，如圖8-4所示。圖8-4波形圖采樣系統(tǒng)用數字式控制器或數字計算機作為校正裝置構成了數字式控制系統(tǒng),其原理方塊圖如圖8-5所示。圖8-5數字控制系統(tǒng)由此可見,A/D和D/A轉換器都起著模擬量和數字量之間轉換的作用。當假設轉換有足夠精度時,則可以近似認為轉換有唯一的對應關系。對系統(tǒng)特性來說,轉換器相當于前述系統(tǒng)中的一個比例系數,不對系統(tǒng)特性分析起實質影響,可以略去或歸并到其他元件中去。此時,A/D轉換器就僅相當于一個采樣開關,D/A相當于保持器,這時圖8-5可以簡化成圖8-6。圖8-6采樣、數字控制系統(tǒng)三、采樣控制系統(tǒng)的優(yōu)點

采樣和數字控制技術在自動控制領域中得到了廣泛的應用,主要原因是由于采樣控制系統(tǒng)特別是數字控制系統(tǒng)與一般連續(xù)控制系統(tǒng)比較具有下列優(yōu)點。

1.精度高

2.靈敏度好

3.抑制噪聲能力強

4.控制靈活

5.設備利用率高第二節(jié)采樣過程及采樣定理

一、采樣過程及數學描述

如前所述,在采樣系統(tǒng)中,把連續(xù)信號轉換成脈沖或數字序列的過程,稱做采樣過程。實現(xiàn)采樣的裝置叫做采樣開關或采樣器,用S表示。如果采樣開關S以周期T時間閉合,并且閉合的時間為τ,這樣就把一個連續(xù)的函數e(t)變成了一個斷續(xù)的脈沖序列e*(t)(t=0,T,2T,…),如圖8-7所示。圖8-7采樣過程由于采樣開關S閉合持續(xù)時間很短,即τ<<T,因此在分析時可以近似地認為τ≈0。這樣可看出,當采樣器輸入為連續(xù)信號e(t)時,輸出采樣信號就是一串理想脈沖,采樣瞬時e*(t)的脈沖等于相應瞬時e(t)的幅值,即e(0T),e(T),e(2T),e(3T),…,e(NT),…,如圖8-8所示。圖8-8τ≈0的采樣過程根據圖8-8可以寫出采樣過程的數學描述為

(8-2)

或

(8-3)式(8-3)也可寫成

(8-4)圖8-9采樣脈沖調制過程二、采樣定理

一般采樣控制系統(tǒng)加到控制對象上的信號都是連續(xù)的信號,那么如何將離散的采樣信號不失真地恢復到原來的形狀,也就是采樣頻率如何選取的問題。采樣定理便說明了這一問題。首先,求取單位脈沖序列δT(t)的富氏級數。因為δT(t)為周期函數,可以展開為復數形式的富氏級數,即

(8-5)式中,ωs為采樣角頻率,T為采樣周期,CN為富氏級數系數,它由下式確定

(8-6)

因為δT(t)僅在t=0處有值,而在積分區(qū)間其余時間為零,故

(8-7)將式(8-7)代入式(8-5),得

(8-8)

將式(8-8)代入式(8-4),得

(8-9)對式(8-9)進行拉氏變換,用E*(s)表示,可得

根據拉氏變換的位移定理,如果輸入連續(xù)信號e(t)的拉氏變換為E(s),則

(8-10)相應可以得到采樣信號的頻率特性為

(8-11)

E(jω)為連續(xù)信號e(t)的頻率特性,｜E(jω)｜為e(t)的頻譜。一般說來,連續(xù)信號的頻帶寬度是有限的,其頻譜如圖8-10(a)所示,包含的最高頻率為ωmax。采樣信號E*(t)具有以采樣頻率ωs為周期的無限多個頻譜,如圖8-10(b)所示。圖8-10e(t)和e*(t)的頻譜如果連續(xù)信號e(t)所含的最高頻率為ωmax,則相鄰兩頻譜互不重疊的條件為

ωs≥2ωmax

(8-12)

即如果被采樣的連續(xù)信號e(t)的頻譜為有限寬度，且頻譜的最大寬度為ωmax,又如果采樣角頻率ωs≥2ωmax,并且采樣后再加上如圖8-11所示理想濾波器,則連續(xù)信號e(t)可以不失真地恢復出來。這就是著名的采樣定理，也稱為香農定理(ShannonTheorem)。圖8-11理想濾波器的頻率特性第三節(jié)信號保持器

一、保持器

為了實現(xiàn)系統(tǒng)的控制,采樣信號就需要恢復成連續(xù)的信號。根據采樣定理,當ωs≥2ωmax時,離散信號的頻譜彼此互不重疊。這時用一個具有圖8-11特性的理想濾波器濾掉高頻頻譜分量,保留主頻譜,從而可無失真地復現(xiàn)原有的連續(xù)信號。二、零階保持器

零階保持器的作用:使采樣信號e*(t)每一采樣時刻NT的采樣值e(NT)(N=0,1,2,…)不增不減地一直保持到下一個采樣時刻(N+1)T,從而使采樣信號e*(t)變成階梯信號eh(t),其關系如圖8-12所示。因為eh(t)在每個采樣區(qū)間內的值均為常數,其導數為零,故稱之為零階保持器。圖8-12零階保持器的輸入-輸出特性三、零階保持器的數學描述

為了方便地分析系統(tǒng),有必要求出零階保持器的傳遞函數和頻率特性。由零階保持器的作用可知,在某一瞬時,如果零階保持器輸入為單位理想脈沖函數δ(t),那么零階保持器的輸出是幅值為1、持續(xù)時間為T的脈沖響應函數gh(t),如圖8-13(a)所示。圖8-13零階保持器的脈沖響應函數根據疊加原理,零階保持器的脈沖響應函數可分解為兩個階躍函數之和,即可表示為

如圖8-13(b)所示。對上式進行拉氏變換,可得

(8-13)

即單位脈沖響應函數的拉氏變換,就是零階保持器的傳遞函數。用jω代替式(8-13)中的s,可得零階保持器的頻率特性若以采樣頻率ωs=2π/T來表示,則

(8-14)

圖8-14表示了零階保持器的幅頻特性｜Gh(jω)｜和相頻特性∠Gh(jω)。圖8-14零階保持器的幅頻和相頻特性曲線四、零階保持器的特點

從圖8-14可看出,零階保持器的幅值隨頻率ω的增大而衰減,具有明顯的低通濾波特性。因此,可將零階保持器看成低通濾波器,但不是理想的低通濾波器。五、零階保持器的實現(xiàn)

零階保持器可采用無源網絡來近似實現(xiàn)。如果將零階保持器傳遞函數中的展開成冪級數,即假若取級數的前兩項,可得

(8-15)

這可用圖8-15所示的RC無源網絡來實現(xiàn)。假若取冪級數的前三項,則

(8-16)

式(8-16)可用圖8-16所示的RLC無源網絡來實現(xiàn)。圖8-15用RC無源網絡近似實現(xiàn)零階保持器圖8-16用RLC無源網絡近似實現(xiàn)零階保持器第四節(jié)Z變換

在連續(xù)量的系統(tǒng)中,采用了拉氏變換求解微分方程,并直接定義了傳遞函數,成為研究控制系統(tǒng)的基本工具。在采樣系統(tǒng)中,連續(xù)量離散成了離散量,將拉氏變換用于離散量中,就得到了所謂的Z變換。一、Z變換定義

對式(8-3)進行拉氏變換,有

(8-17)

式中,e－Ts是s的超越函數,直接運算不方便,為此,引入變量

(8-18)式中,z和s一樣是復變量,或者說是z平面定義的復變量,T為采樣周期。把式(8-18)代入式(8-17),就得到了以z為自變量的函數E(z),即有

(8-19)

定義式(8-19)為采樣信號e*(t)的Z變換,用下列符號表示

(8-20)因為Z變換只對采樣點上信號起作用,所以也可寫成

(8-21)

式(8-17)~(8-21)表明，Z變換就是對采樣信號e*(t)進行拉普拉斯變換并通過變量替換而推演得出。二、典型函數的Z變換

1.單位脈沖函數

設e(t)=δ(t),因e*(t)=δ(t)，所以e*(t)的拉氏變換為

由式(8-18)可得,代入上式可得

(8-22)

2.單位階躍函數

設e(t)=1(t),因

所以故

(8-23)

3.單位速度函數

設e(t)=t,由式(8-19)可得對式(8-23)中的等式兩邊求導數,并將和式與導數交換,得

兩邊同乘(－Tz),得

(8-24)

4.指數函數

設e(t)=e－at,a為實常數。根據Z變換定義可得e－at的Z

變換為

因上式為等比級數,所以當｜e－aTz－1｜＜1時,該級數可表示為

(8-25)

5.正弦函數

設e(t)=sinωt,根據歐拉公式可知

因此,再根據式(8-25)就可以得到sinωt的Z變換表達式為

(8-26)

6.控制系統(tǒng)中G(s)的Z變換

設

(8-27)

首先將G(s)進行部分分式展開為

其次求G(s)的拉氏反變換最后利用式(8-23)和式(8-25)求出式(8-27)函數的Z變換

為

(8-28)

要注意G(s)與G*(s)的本質區(qū)別,不能直接將代入G(s)中求得G(z)。因為G(s)≠G*(s)。

表8-1列出了常用函數的拉氏變換式和對應的Z變換式。表中,e(N)就是e(t)在采樣時刻的值E(NT)的簡寫。三、Z變換基本定理

Z變換的基本定理反映了Z變換的重要性質和運算關系,利用這些性質和關系,可以方便地求出某些函數的Z變換,或者根據Z變換求出原函數。

1.線性定理

設e1(t)和e2(t)的Z變換分別為E1(z)和E2(z),并且A和B為常數,則有

(8-29)

證明根據Z變換定義

2.滯后定理

設e(t)的Z變換為E(z),則有

(8-30)

證明根據Z變換定義由圖8-17可知,當N＜k時,e(NT－kT)=0,因此上式中第一項等于零,第二項中令m=N－k,則圖8-17e(t－kT)和e(t+kT)的波形圖

例8-1

已知e(t)=1(t－mT),求它的Z變換。

解由式(8-23)可知,根據滯后定理可求得

3.超前定理

設e(t)的Z變換為E(z),則有

(8-31)

證明根據Z變換定義

4.復數位移定理

設e(t)的Z變換為E(z),則

(8-32)

證明根據Z變換定義令z1=ze±aT,則上式為

例8-2

已知E(t)=e－atsinωt,求它的Z變換。

解根據復數位移定理,用z1=eaTz代替式(8-26)中的z,得

5.初值定理

設e(t)的Z變換為E(z),并存在極限則

(8-33)

證明根據Z變換定義因為

所以

6.終值定理

設e(t)的Z變換為E(z),并且存在,則

(8-34)

證明根據Z變換定義又根據超前定理

將上兩式相減，得對上式兩邊分別取極限后得到

比較左右兩邊式子,從中得到

7.復微分定理

設e(t)的Z變換為E(z),則有

(8-35)

證明根據Z變換定義對上式兩邊對z求導數后得到

所以

8.相似定理

設e(t)的Z變換為E(z),則有

(8-36)

(8-37)證明式(8-36),根據Z變換定義

所以

同理可證明式(8-37)。四、Z反變換

對Z域函數求時間域函數的過程稱為Z反變換。用符號

表示,即

求反變換的方法有級數展開法、部分分式法和反演積分法等三種。

1.級數展開法

級數展開法又稱長除法,即把E(z)展開成為z－1升冪排列的冪級數。

一般E(z)是z的有理函數,可表示為兩個z的多項式之比,即

(8-38)

對上式用分子除以分母,并將商按z－1升冪的規(guī)律排列后為

(8-39)根據Z變換定義,可得

由此可見,z－k次項的系數ck就是在采樣時刻t=kT的函數值e(kT),即ck=e(kT)。因此,只要求出系數c1,c2,c3,…,ck,便可得到時間函數e(t)在采樣點的函數值序列。

例8-3

設求Z反變換。

解

可列如下長除式:從而得到

2.部分分式法

例8-4

設用部分分式法求e*(t)。

解首先將E(z)/z用部分分式法分解

所以從表8-1中查得

因此有即

所以

這個結果與例8-3完全一致。

3.反演積分法

應用復變函數中的柯西定理,可將Z域函數通過反演積分求出相應時間函數,即Z變換。反演積分公式為

(8-40)

該積分可用留數法求得,即

(8-41)

Res指求留數,zi是E(z)的極點,n為E(z)極點個數。

例8-5

求例8-3中的E(z)反變換(用反演積分法)。

解

第五節(jié)采樣系統(tǒng)的數學模型

一、差分方程

1.差分的概念

設連續(xù)函數為e(t),其采樣函數為e(NT),為書寫方便,令

則一階前向差分定義為

(8-42)二階前向差分定義為

(8-43)

n階前向差分定義為

(8-44)

同理,一階后向差分定義為

(8-45)二階后向差分定義為

(8-46)

n階后向差分定義為

(8-47)

2.采樣系統(tǒng)的差分方程

對連續(xù)系統(tǒng)而言,系統(tǒng)的數學模型可用微分方程來表示,即

(8-48)設連續(xù)輸入信號r(t)如圖8-18所示,采樣周期為T,當T足夠小時,t=NT處的函數的一階導數近似為

上式可簡寫為

(8-49)圖8-18連續(xù)函數r(t)的采樣同理,可導出二階差分為

(8-50)

如此可以一直寫出n階導數。

同樣方法,輸出信號c(t)的各階導數也能寫出。所以,采樣系統(tǒng)的一般差分方程的表達式為

(8-51)

3.差分方程的求解

例8-6

用Z變換法求下式二階差分方程。

(8-52)

其中,初始條件為c(0)=0,c(T)=1。

解設c(N)的Z變換為C(z),即根據超前和滯后定理,可得

(8-53)

(8-54)

對式(8-52)進行Z變換,并將式(8-53)和式(8-54)及初始條件

代入,經整理得查表8-1,可求出上式Z反變換為

所以二、脈沖傳遞函數(Z傳遞函數)

1.脈沖傳遞函數定義

在線性連續(xù)系統(tǒng)中,當系統(tǒng)的初始條件為零時,把系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比,定義為系統(tǒng)的傳遞函數,并用它來分析和研究系統(tǒng)的性能。在圖8-19(a)所示的采樣系統(tǒng)中,脈沖傳遞函數為

(8-55)

若已知R(z)和G(z),則在零初始條件下,可求出系統(tǒng)的輸出采樣信號為圖8-19采樣系統(tǒng)結構圖

2.脈沖傳遞函數求法

(1)若已知系統(tǒng)的傳遞函數G(s)或脈沖響應函數g(t),則可以通過對G(s)進行Z變換或根據式(8-19)求出g(NT)的Z變換G(z)。

(2)若已知系統(tǒng)的差分方程,則對差分方程進行Z變換,從而求出脈沖傳遞函數。

例8-7

求圖8-20所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。

解將系統(tǒng)的G(s)用部分分式法展開圖8-20例8-7采樣系統(tǒng)由表8-1可查到

所以

3.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數

在采樣系統(tǒng)中,環(huán)節(jié)相串有兩種不同的情況,如圖8-21和圖8-22所示。圖8-21中間有采樣器的開環(huán)串聯(lián)系統(tǒng)圖8-22中間無采樣器的開環(huán)串聯(lián)系統(tǒng)

1)串聯(lián)之間有采樣器

如圖8-21所示,采樣器K1和K2是同步的,顯然

所以,開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為

(8-56)上式表明,被采樣器分隔的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時,其脈沖傳遞函數等于這兩個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數的乘積。這個結論可以推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣器分隔的情況。此時,整個開環(huán)系統(tǒng)總脈沖傳遞函數等于各個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數的乘積。即

(8-57)

2)串聯(lián)之間無采樣器

如圖8-22所示,G1(s)和G2(s)之間無采樣器。此時應把G1(s)和G2(s)合并看成一個環(huán)節(jié)，即

G(s)=G1(s)G2(s)

這樣就可對G(s)求Z變換,從而求出開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為

(8-58)注意:式(8-56)與式(8-58)是有區(qū)別的,即

G1(z)G2(z)≠G1G2(z)

式(8-58)表明,無采樣器分隔的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時,其脈沖傳遞函數等于這兩個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數之積的Z變換。顯然,這個結論也可以推廣到n個環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。即

(8-59)

例8-8

求圖8-23所示兩種串聯(lián)連接系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。

解對圖8-23(a)所示系統(tǒng),根據式(8-56)可求得系統(tǒng)的

脈沖傳遞函數為圖8-23例8-8兩種串聯(lián)連接采樣系統(tǒng)對圖8-23(b)所示系統(tǒng),由式(8-58)求得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為

顯然

G1(z)G2(z)≠G1G2(z)

4.帶有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數

帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)如圖8-24(a)所示。圖中,零階保持器的傳遞函數為圖8-24帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)在圖8-24(b)中,把輸出采樣信號C*(t)看成是由兩部分組成,一部分是r*(t)經過G2(s)所產生的響應c1*(t),所對應的Z變換為

C1(z)=G2(z)R(z)

其中,另一部分是r*(t)經e－TsG2(s)所產生的響應c*2(t),由于

e－Ts是延遲了一個采樣周期T的延遲環(huán)節(jié),因此,c*2(t)比

c*1(t)延遲了一個采樣周期。根據Z變換的滯后定理可知

c*2(t)的Z變換為

所以故開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為

(8-60)

例8-9

求圖8-25所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。

解由圖可知,圖8-25例8-9系統(tǒng)結構圖對上式進行Z變換,即

根據式(8-60)可求得系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為

5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數

1)常見的閉環(huán)采樣系統(tǒng)

圖8-26為比較常見的采樣系統(tǒng)結構圖。圖中輸入端和輸出端的采樣開關是為了便于分析而虛設的(圖中虛線所示),并且都以周期T同步工作。圖8-26閉環(huán)采樣系統(tǒng)結構圖由圖8-26可知,

對上兩式進行采樣后得

(8-61)

(8-62)其中

將式(8-62)代入(8-61),可得

對上式進行Z變換后為所以系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數為

(8-63)

對式(8-62)進行Z變換,得

上式經整理后為E(z)稱為系統(tǒng)誤差信號的Z變換,所以系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數為

(8-64)

與連續(xù)系統(tǒng)相似,把Φ(z)或Φe(z)看做為零的等式,即閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為

1+GH(z)=0

(8-65)

式中,GH(z)為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數。對于單位反饋系統(tǒng),H(s)=1,閉環(huán)脈沖傳遞函數分別為

(8-66)

(8-67)從上兩式可看出,采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數在形式上與連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數相似,但要注意:

2)有數字校正裝置的閉環(huán)采樣系統(tǒng)

圖8-27所示的系統(tǒng)中,在前向通道上設置一個數字校正裝置D(s),并在D(s)與G(s)之間引入一個采樣開關。圖8-27具有數字校正裝置的閉環(huán)采樣系統(tǒng)由圖可知,

對以上各式分別采樣,得從以上式子中可求得

相應的Z變換為所以,系統(tǒng)的脈沖傳遞函數為

(8-68)

3)r*(t)不存在的閉環(huán)采樣系統(tǒng)

在圖8-28中,連續(xù)信號r(t)直接進入連續(xù)環(huán)節(jié)。

由圖可知,圖8-28r*(t)不存在的閉環(huán)采樣系統(tǒng)從以上各式可求得

對上式采樣,有

對上式進行Z變換得所以

(8-69)

因為

采樣后對上式Z變換后為

將式(8-69)代入上式得

(8-70)第六節(jié)采樣控制系統(tǒng)的分析

一、穩(wěn)定性

1.S域到Z域的映射

設在s平面上有s=σ+jω(ω=－∞～+∞),經Z變換后,

s平面的s點在z平面上的映象為

(8-71)當σ=0時,｜z｜=1,表示s平面的虛軸映射到z平面上是一個單位圓周。

當σ>1時,｜z｜＞1,表示s平面的右半平面映射到z平面上是單位圓以外的區(qū)域。

當σ＜1時,｜z｜＜1,表示s平面的左半平面映射到z平面上是單位圓的內部區(qū)域。如圖8-29所示。圖8-29s平面的左半平面在z平面上的映像

2.穩(wěn)定條件

上述采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件可用一個采樣控制系統(tǒng)(如圖8-30所示)來說明。圖8-30采樣控制系統(tǒng)根據式(8-64),可得

(8-72)

令r(t)=δ(t)、R(z)=1,則根據式(8-63)可知系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數為

(8-73)

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

(8-74)為了便于討論,設特征方程的根均為單根z1,z2,…,zn,且R(z)=1。這樣C(z)可分解為

(8-75)

對上式兩邊取Z反變換可得

(8-76)由式(8-76)可知,當

｜zi｜＜1

時,即系統(tǒng)特征方程的根全部在單位圓內時,e*(t)收斂,系統(tǒng)穩(wěn)定。如果有一個根在單位圓外,e*(t)發(fā)散,系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果有一個根在單位圓上,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

3.穩(wěn)定判據

通過直接求解采樣系統(tǒng)特征方程根來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,一般用于二階以下的系統(tǒng)。對于高階采樣控制系統(tǒng),這種方法用起來很困難。所以希望找到一種類似于連續(xù)系統(tǒng)的代數判據方法,即利用系統(tǒng)特征方程的系數來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此,需要對特征方程進行下列變換,稱為W變換。令

(8-77)

(8-78)

式(8-77)與式(8-78)表明，復變量z與w互為線性變換，故W變換又稱為雙線性變換。

1)Z域到W域的映射

設z=x+jy,w=u+jv,將z=x+jy代入式(8-78),得

(8-79)圖8-31z平面與w平面的對應關系

2)W域中的勞斯判據

設采樣控制系統(tǒng)的特征方程式為

D(z)=0

例8-10

設采樣控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解用代入上述方程式,得

用(w－1)3同乘上式兩邊,整理得由上式可知系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng),因為D(w)方程的系數符號不相同。為判定不穩(wěn)定系統(tǒng)在Z域單位圓外的極點個數,需列出勞斯行列式表,具體如下：

例8-11

設采樣控制系統(tǒng)如圖8-32所示,試用勞斯判據方法確定系統(tǒng)開環(huán)增益K的穩(wěn)定范圍。

解系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為圖8-32例8-11的采樣控制系統(tǒng)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數為

系統(tǒng)的特征方程式為令代入上式,得

將上式兩邊同乘以(w－1)2,經整理后為由上式可列出勞斯表,具體如下：為使該系統(tǒng)穩(wěn)定,則必須勞斯表中第一列元素均大于零,即

所以,當0＜K＜17.3時,系統(tǒng)穩(wěn)定。

例8-12

設具有零階保持器的采樣系統(tǒng)如圖8-33所示,采樣周期T=0.2s,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由圖8-33可知系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為圖8-33例8-12的采樣控制系統(tǒng)系統(tǒng)的特征方程式為

將代入上式,經整理后得根據上式列出勞斯表如下:

例8-13

已知采樣系統(tǒng)如圖8-34所示。要求：

(1)計算系統(tǒng)的開、閉環(huán)脈沖傳遞函數G(z)、Φ(z);

(2)確定使該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的取值范圍，并討論K、Ts對穩(wěn)定性的影響。圖8-34采樣系統(tǒng)結構圖

解

(1)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數為

閉環(huán)脈沖傳遞函數為

(2)閉環(huán)特征方程為

則閉環(huán)極點z1為若系統(tǒng)穩(wěn)定，則

即二、穩(wěn)態(tài)誤差

在連續(xù)控制系統(tǒng)中,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅與系統(tǒng)的結構、參數有關,還與輸入信號的性質有關。采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與連續(xù)系統(tǒng)類似,也與這些因素有關。

設采樣控制系統(tǒng)如圖8-35所示。由圖8-35可知,系統(tǒng)為單位反饋采樣系統(tǒng)，由式(8-72)可得

(8-80)圖8-35采樣控制系統(tǒng)根據終值定理,可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(8-81)

在z平面上極點z=1與s平面上s=0相對應,因此,采樣控制系統(tǒng)也可以按其開環(huán)脈沖傳遞函數G(z)有0,1,2,…個z=1的極點而分為0型、Ⅰ型、Ⅱ型、…系統(tǒng)。

1.單位階躍輸入

當r(t)=1(t)時,則

將上式代入式(8-81),得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(8-82)定義

(8-83)

為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數。

對于0型系統(tǒng),由于G(z)中沒有z=1的極點,由式(8-83)可知,Kp為有限值。

由式(8-82)可知對于Ⅰ型或Ⅰ型以上的采樣控制系統(tǒng),由于G(z)中含有一個或一個以上z=1的極點,由式(8-83)可知

所以

2.單位速度輸入

當r(t)=t時,則將上式代入式(8-81),可得

(8-84)

定義

(8-85)

為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數。

0型系統(tǒng)

Kv=0e(∞)=∞

Ⅰ型系統(tǒng)

令式中,G1(z)中沒有z=1的極點。由式(8-85),得

Ⅱ型系統(tǒng)

因G(z)中含有兩個z=1的極點,所以

Kv=∞,e(∞)=0

Ⅱ型以上系統(tǒng)

kv=∞,e(∞)=0

3.單位加速度輸入

當時,則將上式代入式(8-81),得

(8-86)

定義

(8-87)

為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數。

0型和Ⅰ型系統(tǒng)

由式(8-87)和式(8-86)可知

Ⅱ型系統(tǒng)

因G(z)中含有兩個z1=1的極點,所以可將G(z)表示為

其中,G1(z)中不含有z=1的極點。根據式(8-87),可得

Ⅲ型以上系統(tǒng)

由于系統(tǒng)中含有3個以上z=1極點,因此

例8-14已知采樣控制系統(tǒng)如圖8-36所示。

(1)計算開、閉環(huán)脈沖傳遞函數G(z)、Φ(z)；

(2)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍；

(3)計算輸入r(t)=atU(