《自動控制原理》課件第3章

第一節(jié)典型輸入信號第二節(jié)系統(tǒng)的時域性能指標第三節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第四節(jié)一階系統(tǒng)時域分析第五節(jié)二階系統(tǒng)時域分析第六節(jié)高階系統(tǒng)分析第七節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析第八節(jié)改善系統(tǒng)性能的措施第九節(jié)利用MATLAB進行時域分析第三章時域分析法怎樣分析系統(tǒng)：首先建模，二是規(guī)定典型信號，三是求出系統(tǒng)輸出，對系統(tǒng)進行研究分析。分析一個控制系統(tǒng)的運動,必須先判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。即使負反饋控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，它的運動質(zhì)量也有優(yōu)劣之分。圖3-1表示三個系統(tǒng)輸出變化過程。圖3-1隨動系統(tǒng)的動態(tài)性能第一節(jié)典型輸入信號

一個系統(tǒng)的時間響應c(t)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù),還同系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號有關(guān)。

規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài),即在t=0－時刻,輸出信號及其各階導數(shù)均為零。也就是說,在輸入作用加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)是相對靜止的。

1.階躍函數(shù)

階躍函數(shù)的定義為

(3-1)

式中,R為常數(shù),稱為階躍函數(shù)的階躍值。R=1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù),記為1(t),如圖3-2所示,其拉氏變換為

(3-2)圖3-2單位階躍函數(shù)

2.斜坡函數(shù)(等速度函數(shù))

斜坡函數(shù)的定義為

(3-3)

它等于階躍函數(shù)對時間的積分,斜坡函數(shù)的導數(shù)就是階躍函數(shù)。當R=1時,稱為單位斜坡函數(shù),如圖3-3所示。

單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

(3-4)圖3-3單位斜坡函數(shù)

3.拋物線函數(shù)(等加速度函數(shù))

拋物線函數(shù)的定義為

(3-5)

當R=1時,稱為單位拋物線函數(shù),如圖3-4所示。單位拋物線函數(shù)的拉氏變換為

(3-6)圖3-4單位拋物線函數(shù)

4.單位脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)又稱沖擊函數(shù)。單位脈沖函數(shù)記為δ(t),其定義為

(3-7)

拉氏變換為

(3-8)

5.正弦函數(shù)

典型正弦函數(shù)為

r(t)=Asinωt

(3-9)

式中,A為振幅，ω為角頻率。第二節(jié)系統(tǒng)的時域性能指標

一、穩(wěn)定性

若線性控制系統(tǒng)在初始擾動為單位脈沖函數(shù)δ(t)作用下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，即

則稱系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，若在初始作用影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，即

則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。二、動態(tài)性能指標

描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化狀況的指標，稱為動態(tài)性能指標。初始條件為零時，控制系統(tǒng)單位階躍響應曲線如圖3-5所示。圖3-5單位階躍響應

1.上升時間tr

系統(tǒng)的阻尼系數(shù)不同,規(guī)定上升時間的范圍也不同,如過阻尼系統(tǒng)的上升時間定義為響應由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需要的時間。而欠阻尼系統(tǒng)的上升時間則定義為響應由零值上升到第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間。

2.峰值時間tp

階躍響應由零值上升到第一個峰值所需的時間,稱為峰值時間。

3.最大超調(diào)量σ%

最大超調(diào)量(簡稱超調(diào)量)的定義如下:

(3-10)

4.調(diào)整時間ts

調(diào)整時間是指當c(t)和c(∞)之間誤差達到規(guī)定的允許值,并且以后不再超過此值所需的最短時間。調(diào)整時間又稱做過渡過程時間。用數(shù)學形式表示為滿足下列不等式所需的最短時間:

(3-11)三、穩(wěn)態(tài)性能指標(精度指標)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標用穩(wěn)態(tài)誤差ess(也稱為靜態(tài)誤差)來描述，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進行測定或計算，分別稱為位置誤差、速度誤差和加速度誤差。當時間趨于無窮時，若系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，或輸出量的期望值不等于輸出量的實際值，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。第三節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

一、穩(wěn)定的基本概念

設系統(tǒng)處于某平衡狀態(tài),由于擾動的作用,系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài),但當擾動消失后,經(jīng)過足夠長的時間,系統(tǒng)恢復到原來的起始平衡狀態(tài),則稱這樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的,或具有穩(wěn)定性;否則,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉擾動以后,系統(tǒng)自身的一種恢復能力,是系統(tǒng)本身固有的特性。它僅僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù),而與初始條件及輸入信號無關(guān)。二、勞斯(Routh)判據(jù)

1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

1)一階系統(tǒng)

一階系統(tǒng)的特征方程為

特征方程的根為

2)二階系統(tǒng)

設二階系統(tǒng)的特征方程為

特征方程式的根為

3)高階系統(tǒng)

設高階系統(tǒng)的特征方程式為

(3-12)式中,p1、p2、…、pn為特征根。由式(3-53)求得特征根與

系數(shù)的關(guān)系為

(3-13)

2.勞斯判據(jù)

1)勞斯行列表

應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)時,必須借助特征方程式的系數(shù)編制一個表格,此表格稱為勞斯行列表,其編制方法如下所示。

設系統(tǒng)特征方程式為編制出的勞斯行列表為表中各元素由下列公式計算直到其余的b值均為零。

2)勞斯判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:勞斯行列表左邊第一列所有元素均為正值或同號,即特征根均位于s左半平面;反之,如果第一列元素出現(xiàn)負值,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,且元素符號改變的次數(shù)等于特征方程右根的個數(shù)。

3)判斷穩(wěn)定性

應用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,不需求出特征根,這對高階系統(tǒng)尤為方便。然而,勞斯判據(jù)不能說明為了避免系統(tǒng)不穩(wěn)定,應該采取的校正途徑。

例3-1

系統(tǒng)的特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解根據(jù)編制勞斯行列表的方法,編制勞斯行列表如下:

例3-2

已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-6所示。試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。圖3-6例3-2結(jié)構(gòu)圖

解閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

特征方程式為勞斯行列表為

為使系統(tǒng)穩(wěn)定,勞斯行列表第一列元素全部為正值,即

例3-3

設控制系統(tǒng)的特征方程式為

試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解作勞斯行列表對于出現(xiàn)某一行元素全為零的情況,可用靠該行上面一行的元素作為系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程式:

Q(s)=s4+3s2+2=0

并用對s求一次導數(shù)所得到的新方程式:

4s3+6s=0

的系數(shù)代替全為零的該行的系數(shù),繼續(xù)完成勞斯行列表。對該題繼續(xù)完成行列第一列元素符號并不改變,所以系統(tǒng)無右半s平面的根,但因為原來有一行元素為零,所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。說明特征方程有位于s平面虛軸上的根。這類根可由輔助方程式求得。由輔助方程式得

所以有

例3-4

某系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。

解在編制勞斯行列式時,如發(fā)現(xiàn)某一行中的第一列元素為零,而其他元素不為零,即可判定該系統(tǒng)不穩(wěn)定。這時如需了解根的情況,可用一個很小的正數(shù)ε代替這個為零的元素,并繼續(xù)完成勞斯行列表。本例屬于這種情況,即

3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應用

為了使穩(wěn)定的控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，即不僅

要求系統(tǒng)的全部特征根在s左半平面而且還希望能與虛軸有一定的距離α,α通常稱為給定穩(wěn)定度，簡稱穩(wěn)定度。應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以確定穩(wěn)定度α,使系統(tǒng)特征根全部位于

s=－α垂線之左的參數(shù)取值范圍，還可以確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，即確定一個或兩個使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。

例3-5

設比例-積分(PI)控制系統(tǒng)如圖3-7所示。其中，K1為與積分器時間常數(shù)有關(guān)的待定參數(shù)。已知參數(shù)ζ=0.2及ωn=86.6,試用勞斯判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部位于s=－1垂線之左，問此時K1取值范圍應取多少？圖3-7比例-積分控制系統(tǒng)解根據(jù)圖3-7可寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

代入已知的ζ與ωn,得列出相應的勞斯表為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，令勞斯表中第一列各元素為正，求得K1的取值范圍為

0<K1<34.6

當要求閉環(huán)極點全部位于s=－1垂線左邊時，可令s=

s1－1,代入原特征方程，得到如下新特征方程：

整理得相應的勞斯表為

令勞斯表中第一列各元素為正，得使全部閉環(huán)極點位于

s=－1垂線之左的K1取值范圍:

1<K1<32.3

例3-6

圖3-8為由一個積分環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)所組成的閉環(huán)系統(tǒng)，試分析系統(tǒng)中增益K及時間常數(shù)T1和T2的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖3-8三階閉環(huán)系統(tǒng)

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)增益。系統(tǒng)的特征方程為列出相應的勞斯表為系統(tǒng)穩(wěn)定時，應滿足

即

所以，當K>Kc時，系統(tǒng)不穩(wěn)定；當K=Kc時，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。三、霍爾維茨(Hurwitz)判據(jù)

設系統(tǒng)的特征方程為

并且an為正值。用各項系數(shù)按下列格式構(gòu)成霍爾維茨行列式霍爾維茨判據(jù)系統(tǒng)特征方程的全部根都為穩(wěn)定根的充分和必要條件是霍爾維茨行列式的各階主子式均大于零，即

例3-7

設系統(tǒng)特征方程為

試用霍爾維茨判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解觀察特征方程，可知滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。所以，列出的4階霍爾維茨行列式如下：

不難求出：D1=1>0,D2=－7<0,D3=－45<0,D4=－450<0。

所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

第四節(jié)一階系統(tǒng)時域分析

由一階微分方程描述的系統(tǒng),稱為一階系統(tǒng)。圖3-9所示的自動控制系統(tǒng)就是一階控制系統(tǒng)。它的傳遞函數(shù)為

(3-14)

式中,T>0,系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。圖3-9一階控制系統(tǒng)一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應

因為單位階躍輸入信號的拉氏變換為

則輸出信號的拉氏變換為求C(s)的拉氏反變換,可得單位階躍響應為

(3-15)

或?qū)懗?/p>

式中,css=1,代表穩(wěn)態(tài)分量;代表暫態(tài)分量。

當t趨于無窮,ctt衰減為零。單位階躍響應曲線如圖3-10所示。圖3-10一階系統(tǒng)單位階躍響應響應曲線的初始斜率

(3-16)時間常數(shù)T是表征響應特性的唯一參數(shù)。它與輸出值有確定的對應關(guān)系:二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

(3-17)求式(3-17)的拉氏反變換,得單位斜坡響應的表達式為

(3-18)

式中,響應的穩(wěn)態(tài)分量css=t－T;暫態(tài)分量

當時間t趨于無窮時,暫態(tài)分量衰減為零。顯然,一階系統(tǒng)的單位斜坡響應存在穩(wěn)態(tài)誤差。輸入信號即是輸出量的期望值,穩(wěn)態(tài)誤差為

即穩(wěn)態(tài)誤差等于時間常數(shù)T,如圖3-11所示。圖3-11一階系統(tǒng)單位斜坡響應三、一階系統(tǒng)單位脈沖響應

若輸入信號為單位脈沖函數(shù),則

(3-19)

求式(3-19)的拉氏反變換,得單位脈沖響應表達式

(3-20)由于單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)有以下關(guān)系

(3-21)

因此單位斜坡響應的導數(shù)是單位階躍響應,單位階躍響應的導數(shù)為單位脈沖響應。

單位脈沖響應曲線如圖3-12所示。圖3-12一階系統(tǒng)單位脈沖響應

第五節(jié)二階系統(tǒng)時域分析

一、典型二階系統(tǒng)

典型的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-13所示。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(3-22)圖3-13典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(3-23)

式中,ζ為典型二階系統(tǒng)的阻尼比,ωn為無阻尼振蕩頻率或自然振蕩角頻率。二階系統(tǒng)的特征方程為

(3-24)

方程的特征根為

(3-25)二、典型二階系統(tǒng)的階躍響應

1.欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應

在二階系統(tǒng)中,欠阻尼二階系統(tǒng)尤屬多見。閉環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)特征根為

(3-26)當輸入信號為單位階躍函數(shù)時,求C(s)的拉氏反變換,得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

(3-27)通常將式(3-27)化簡為

(3-28)

式中,

(3-29)

響應曲線如圖3-14所示。圖3-14典型二階系統(tǒng)階躍響應

2.臨界阻尼狀態(tài)的單位階躍響應

ζ=1時,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(3-30)

在單位階躍函數(shù)作用下,系統(tǒng)輸出的拉氏變換為

(3-31)求上式拉氏反變換,得單位階躍響應

(3-32)

由圖3-14可知,臨界阻尼狀態(tài)的單位階躍響應是單調(diào)上升的,不出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。

3.過阻尼狀態(tài)的單位階躍響應

過阻尼二階系統(tǒng)的特征根是兩個不相等的負實數(shù),即

當輸入信號為單位階躍函數(shù)時,輸出量的拉氏變換為

(3-33)對式(3-30)進行部分分式展開,其拉氏反變換為

(3-34)

將s1

和s2

值代入上式

(3-35)

4.無阻尼狀態(tài)的單位階躍響應

無阻尼二階系統(tǒng)的特征根為一對純共軛虛數(shù),其實質(zhì)與欠阻尼系統(tǒng)相似。將欠阻二階系統(tǒng)的單位階躍響應表示式(3-28)中的ζ用0代替,即得到無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應:

(3-36)表3-1給出了二階系統(tǒng)特征根在s平面上的位置及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)ζ、ωn與單位階躍響應的關(guān)系。ζ越小,系統(tǒng)響應的振蕩越激烈,當ζ≥1時,c(t)變成單調(diào)上升,變成非振蕩過程。三、典型二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標

由圖3-15知,衰減系數(shù)σ(σ=ζωn)是閉環(huán)極點到虛軸的距離;振蕩頻率是閉環(huán)極點到實軸之間的距離。無阻尼振蕩頻率ωn是閉環(huán)極點到原點的距離;若直線0s1與負實軸的夾角為j,則阻尼比ζ就等于j角的余弦,即

ζ=cosj

(3-37)

而此j角就是欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應的初相角。圖3-15欠阻尼二階系統(tǒng)特征根與特征量

1.上升時間tr

根據(jù)定義,當t=tr時,c(tr)=1。由欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應式(3-28)得

則因為所以上式成立必須是

即上升時間為

(3-38)

或

(3-39)

增大自然頻率ωn或減小阻尼比ζ,均能減小tr,從而加快系統(tǒng)的初始響應速度。

2.峰值時間tp

把式(3-28)的兩邊對時間求導,并令其等于零,可得移項得

因為所以由定義知,tp為第一個峰值所需時間,取n=1,得到

(3-40)

或

(3-41)

3.最大超調(diào)量

當t=tp時,系統(tǒng)響應出現(xiàn)最大值,把式(3-40)代入式(3-28),得因為所以

(3-42)

最大超調(diào)量僅由阻尼比ζ決定。ζ愈小,σ%愈大,σ%與ζ的關(guān)系見圖3-16。圖3-16二階系統(tǒng)σ%與ζ的關(guān)系

4.調(diào)整時間ts

根據(jù)調(diào)整時間的定義,ts應由下式求得

(3-43)但是,由式(3-43)求解ts

十分困難,我們用衰減正弦振蕩的包絡線近似地代替正弦衰減振蕩,描述單位階躍響應的包絡線是如圖3-17所示。響應曲線總是在上下包絡線之間,故可將式(3-43)近似寫為

即

(3-44)圖3-17ζ

與ts

的關(guān)系對于Δ=0.05,有

(3-45)

對于Δ=0.02,有

(3-46)

例3-8

單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

若K=16s－1、T=0.25s,試求:

(1)典型二階系統(tǒng)的參數(shù)ζ、ωn;

(2)暫態(tài)性能指標σ%、ts;

(3)欲使σ%=16%,當T不變時K應取何值。

解

(1)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表示式(3-20)相比較得

(2)

(3)為使σ%=16%,可計算出ζ=0.5(也可查閱圖3-17)。

即K值應減小4倍。

例3-9

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-18所示。要求系統(tǒng)性能指標為σ%=20%,tp=1(s)。試確定系統(tǒng)的K值和A值,并計算tr和ts值。圖3-18例3-2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解由結(jié)構(gòu)圖求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

與標準形式相比較,得由給定的σ%求取相應的阻尼比ζ,即

解得ζ=0.456。根據(jù)tp值求取自然頻率ωn,即

則再由2ζωn=1+KA,解得最后,用公式計算tr、ts

例3-10已知單位負反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖3-19所示，試求出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。圖3-19例3-10系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

解由系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，直接求出超調(diào)量

σ%=30%=0.3

峰值時間

tp=0.1(s)由超調(diào)量和峰值時間的計算式(3-53)和式(3-52),得求解上述兩式,得到

于是二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為四、具有零點的二階系統(tǒng)分析

當二階系統(tǒng)具有閉環(huán)零點時,它的階躍響應與典型二階系統(tǒng)不同。假定二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(3-47)

它是在典型二階系統(tǒng)基礎上增加一個零點－z=－1/τ而形成的,閉環(huán)傳遞函數(shù)也可寫成以下形式

(3-48)如果系統(tǒng)為欠阻尼,輸入信號為單位階躍函數(shù),則有

單位階躍響應為

(3-49)為了定量說明附加零點對二階系統(tǒng)性能的影響,用參數(shù)α表示附加零點與典型二階系統(tǒng)復數(shù)極點至虛軸距離之比,即

(3-50)

系統(tǒng)階躍響應既與阻尼比ζ、自然頻率ωn有關(guān),還與零點或α有關(guān)。對于一定的ζ值,以α為參變量和以ωnt為橫坐標作出的單位階躍響應曲線如圖3-20所示。圖3-20具有零點二階系統(tǒng)單位階躍響應五、欠阻尼二階系統(tǒng)的單位斜坡響應

當輸入信號為單位斜坡函數(shù)時,將上式展開成部分分式,然后進行拉氏反變換得

(3-51)

式中,由式(3-51)可以看出,二階系統(tǒng)單位斜坡響應由兩部分組成,一部分是穩(wěn)態(tài)分量,即

另一部分是暫態(tài)分量,即

系統(tǒng)響應曲線如圖3-21所示。圖3-21二階系統(tǒng)單位斜坡響應由于系統(tǒng)的誤差為

當t趨于無窮大時,穩(wěn)態(tài)誤差為第六節(jié)高階系統(tǒng)分析

為研究方便,將高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表示為零、極點的形式。假定零點均為實數(shù),則

(3-53)當輸入信號為單位階躍函數(shù)時,則有

(3-54)假定系統(tǒng)所有極點各不相同,將式(3-54)用部分分式展開,并求拉氏反變換,得系統(tǒng)單位階躍響應的一般表示式為

(3-55)第七節(jié)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

一、穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念

1.穩(wěn)態(tài)誤差定義

設系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-22所示。圖3-22典型閉環(huán)控制系統(tǒng)所謂誤差,一般是指給定信號r(t)與主反饋信號b(t)之間的差,以e(t)表示,即

當時間t→∞時,此差值就是穩(wěn)態(tài)誤差,以ess表示,即

(3-56)對于單位反饋系統(tǒng)輸出量的希望值就是輸入信號r(t),因而兩種誤差定義的方法是一致的。對于圖3-18所示的非單位反饋系統(tǒng),兩種定義的誤差具有如下簡單的關(guān)系:

(3-57)

2.系統(tǒng)的分類

由于穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān),故介紹控制系統(tǒng)按其開環(huán)結(jié)構(gòu)特點的分類方法。

設開環(huán)傳遞函數(shù)有以下形式:

(3-58)二、誤差傳遞函數(shù)

1.原理性誤差傳遞函數(shù)

設控制系統(tǒng)如圖3-23所示,誤差信號為

(3-59)由式(3-59)可得原理性誤差傳遞函數(shù)

(3-60)

不同輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差,可由終值定理求得,即

(3-61)

例3-11

如圖3-23所示控制系統(tǒng),已知

求系統(tǒng)輸入單位階躍信號和單位斜坡信號時的穩(wěn)態(tài)誤差。

解系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為

當輸入單位階躍信號時,R(s)=1/s，則穩(wěn)態(tài)誤差為

當輸入單位斜坡信號時,則穩(wěn)態(tài)誤差為

2.干擾誤差傳遞函數(shù)

1)干擾信號作用在系統(tǒng)的前向通道

在圖3-24(a)所示的控制系統(tǒng)中,干擾信號作用在前向通道中,為了研究干擾信號所引起的系統(tǒng)誤差,根據(jù)線性系統(tǒng)

的疊加原理,令輸入信號為零,系統(tǒng)等效方塊圖如圖3-24(b)

所示。圖3-24有干擾的控制系統(tǒng)由圖可得

(3-62)

在輸入信號為零的情況下

(3-63)故干擾誤差傳遞函數(shù)為

(3-64)

干擾引起系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(3-65)對于圖3-24(a)所示系統(tǒng),如果給定的輸入信號和干擾信號同時作用時,由式(3-60)和式(3-64)可知總的誤差傳遞函數(shù)為

(3-66)

2)干擾信號作用在反饋回路中

干擾信號源作用點在反饋回路的結(jié)構(gòu)圖及等效方塊圖如圖3-24(c)、(d)所示。同樣假定輸入信號為零,擾動輸出與擾動信號的關(guān)系為

(3-67)

(3-68)

(3-69)干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為

(3-70)三、靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差

1.位差誤差系數(shù)Kp

在單位階躍r(t)=1(t)輸入下,R(s)=1/s,根據(jù)輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差,由式(3-61)得

令

(3-71)式中,Kp

稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù),則穩(wěn)態(tài)誤差可寫成

(3-72)

2.速度誤差系數(shù)Kv

在單位斜坡函數(shù)r(t)=t作用下,R(s)=1/s2。根據(jù)輸入信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差,由式(3-61)得

令Kv稱為系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(3-73)

3.加速度誤差系數(shù)Ka

在單位拋物線函數(shù)作用下,R(s)=1/s3。由輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差,可通過式(3-61)得到，即

(3-74)

令

(3-75)式中,Ka

稱為系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(3-76)現(xiàn)將三種典型輸入信號作用下,0型、Ⅰ型、Ⅱ型三種類型系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差列于表3-2中。當系統(tǒng)的輸入信號利用疊加原理可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

例3-12

單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求:(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)；(2)當參考輸入分別為r×1(t)、rt×1(t)和rt2×1(t)時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解根據(jù)誤差系數(shù)公式，有

位置誤差系數(shù)為

速度誤差系數(shù)為加速度誤差系數(shù)為參考輸入為r×1(t),即階躍函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

參考輸入為rt×1(t),即斜坡函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為參考輸入為rt2×1(t),即拋物線函數(shù)輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

例3-13單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

輸入信號為r(t)=A+ωt,A為常量，ω=0.5(rad/s)。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解實際系統(tǒng)的輸入信號，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號的組合。此時，輸入信號的一般形式可表示為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可應用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起的誤差的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式計算：

對于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為本題給定的開環(huán)傳遞函數(shù)中只含一個積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，所以

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

例3-14

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-25所示。假設輸入信號為r(t)=at(a為任意常數(shù)）。試通過適當?shù)卣{(diào)節(jié)Ki的值，使系統(tǒng)對斜坡輸入的響應的穩(wěn)態(tài)誤差能達到零。圖3-25例3-14控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

即因此

當輸入信號為r(t)=at時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為要使系統(tǒng)對斜坡輸入的響應的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即ess=0,必須滿足

1－KKi=0

所以第八節(jié)改善系統(tǒng)性能的措施

一、改善系統(tǒng)暫態(tài)性能的措施

1.誤差信號的比例-微分控制

圖3-26是為提高典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標具有比例微分控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)的被控對象同時受誤差信號和誤差微分信號的控制。τd為微分時