2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第27講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（練習(xí)）（解析版）

第27講與圓有關(guān)的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離題型06求圓平移到與直線相切時(shí)圓心坐標(biāo)題型07求圓平移到與直線相切時(shí)運(yùn)動(dòng)距離題型08圓和圓的位置關(guān)系題型09判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件題型10利用切線的性質(zhì)求線段長題型11利用切線的性質(zhì)求角度題型12證明某條直線時(shí)圓的切線題型13利用切線的性質(zhì)定理證明題型14切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用題型15作圓的切線題型16應(yīng)用切線長定理求解題型17應(yīng)用切線長定理求證題型18判斷三角形外接圓圓心位置題型19求外心坐標(biāo)題型20求特殊三角形外接圓的半徑題型21由三角形的內(nèi)切圓求長度題型22由三角形的內(nèi)切圓求角度題型23由三角形的內(nèi)切圓求周長、面積題型24求三角形的內(nèi)切圓半徑題型25直角三角形周長、面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系題型26三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用題型27三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知⊙O的半徑為5，當(dāng)線段OA=6時(shí)，則點(diǎn)A與⊙OA．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)A到圓心的距離大于半徑即可求解．【詳解】解：∵OA=6>5∴A點(diǎn)在圓外，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)到圓心的距離大于半徑時(shí)點(diǎn)在圓外，等于半徑時(shí)點(diǎn)在圓上，小于半徑時(shí)點(diǎn)在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┮阎袿的半徑是8，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程x2-4A．⊙O的內(nèi)部 B．⊙C．⊙O上或⊙O的內(nèi)部 D．⊙O【答案】A【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比較d與半徑8的大小，若d>8，則點(diǎn)P在⊙O的外部，若d<8，則點(diǎn)P在⊙O的內(nèi)部，若d=8【詳解】解：解方程x2-4x-∵點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程x2∴d=5<8∴點(diǎn)P在⊙O故選A【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、解一元二次方程，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法是解答的關(guān)鍵．3．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8,tanA．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)B在圓A外B．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)B在圓A外C．點(diǎn)C、B都在圓A內(nèi)D．點(diǎn)C、B都在圓A外【答案】A【分析】由解直角三角形求出AC=4，由AC和AB與圓的半徑的大小關(guān)系，即可判斷出點(diǎn)C和點(diǎn)B與⊙【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，∴BCAC=2，即∴AC=4∴AC<8∴點(diǎn)C在⊙A∵AB>∴AB>8∴點(diǎn)B在⊙A故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握解直角三角形和會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑4．（2022·山東棗莊·校考一模）點(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙【答案】6.5cm或【分析】分點(diǎn)P在⊙O外和⊙O內(nèi)兩種情況分析；設(shè)⊙O【詳解】設(shè)⊙O的半徑為xcm當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)，根據(jù)題意得：4+2∴x=2.5當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，根據(jù)題意得：2∴x=6.5故答案為：6.5cm或2.5【點(diǎn)睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，從而完成求解．5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)P不與圓心O重合），點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的距離中，最小距離與最大距離是關(guān)于x的一元二次方程ax2-12【答案】12【分析】根據(jù)題意知⊙O【詳解】解：∵P是⊙O∴⊙O∵最小距離與最大距離是關(guān)于x的一元二次方程ax∴⊙O的直徑為-故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系．6．（2023·上海·?？家荒＃┤鐖D，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A為圓心，r為半徑作⊙A，使得點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，則半徑r【答案】6<【分析】首先利用勾股定理得出AC的長，利用以A為圓心，r為半徑作⊙A，使得點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，得出r【詳解】解：如圖，連接AC，∵矩形矩形ABCD中，AB=8，AD∴AC∵以以A為圓心，r為半徑作⊙A，使得點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)C∴半徑r的取值范圍是：6<r故答案為：6<r【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及勾股定理，利用圖形得出r的取值范圍是解題關(guān)鍵．題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系7．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以1.5為半徑的圓的圓心P的坐標(biāo)為(0,2)，將⊙P沿y軸負(fù)方向平移1.5個(gè)單位長度，則x軸與⊙P的位置關(guān)系是（A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)題意，將圓心點(diǎn)向下平移1.5個(gè)單位，即可判斷圓與x軸的位置關(guān)系．【詳解】解：如圖，∵圓心P的坐標(biāo)為(0,2)，將⊙P沿y軸負(fù)方向平移1.5∴平移后的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0.5)，∴OP∵半徑為1.5，∴PO∴圓P與x軸相交，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系，結(jié)合題意判斷圓與x軸的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=45，AC=5cm，以點(diǎn)A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相交【答案】A【分析】計(jì)算C點(diǎn)到AB上的高即可判斷；【詳解】解：如圖，過C作CD⊥AB于D，由題意得：AB×45=5，AB=254由勾股定理得：BC=AB2Rt△BCD中，CD=BCsin∠B=3cm，∵2cm＜3cm，∴圓與AB相離，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進(jìn)行判斷，即當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，直線與圓相交；圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切；圓心到直線的距離大于半徑時(shí)，直線與圓相離．【詳解】∵⊙O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm∴點(diǎn)A在以O(shè)為圓心5cm長為半徑的圓上，點(diǎn)B在以O(shè)圓心3cm長為半徑的⊙O上當(dāng)AB⊥OB時(shí)，如左圖所示，由OB=3cm知，直線AB與⊙O相切；當(dāng)AB與OB不垂直時(shí)，如右圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則OD<OB，所以直線AB與⊙O相交；∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，要確定直線與圓的位置關(guān)系，要比較圓心到直線的距離與半徑的大小，從而可確定位置關(guān)系．題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑10．（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，BC=12．分別以點(diǎn)O、D為圓心畫圓，如果⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O內(nèi)切，那么⊙

A．12<r<4 B．52<【答案】C【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AD，勾股定理求得BD=13【詳解】解：如圖所示，當(dāng)圓O與AD相切時(shí)，過點(diǎn)O作OE⊥∵矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=5，BC∴AD⊥CD，CD=AB=5∴OE∴OE=則r=

當(dāng)圓O與CD相切時(shí)，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)

則OF則r∴⊙O與直線AD相交、與直線CD相離，且⊙D與⊙O故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，以C為圓心，r為半徑作圓．若該圓與線段【答案】r=3【分析】先根據(jù)題意畫出符合的兩種情況，根據(jù)勾股定理求出BC，即可得出答案．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴BC=根據(jù)三角形的面積公式得：AB?CD=AC?BC，∴CD=當(dāng)圓與時(shí)AB相切時(shí)，r=3，當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓外或圓上時(shí)，r的范圍是2＜r≤23，綜上所述：r的取值范圍是r=3或2＜r≤23，故答案為：r=3或2＜r≤23．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能求出符合題意的所有情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想．12．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,1，若⊙A與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，則⊙A的半徑為【答案】10或3【分析】利用圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，畫出符合要求的圖形進(jìn)行求解即可．【詳解】∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,1∴如圖1，當(dāng)⊙A經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，半徑為如圖2，當(dāng)⊙A與y軸相切時(shí)，半徑為點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為故答案為：10或3【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系的確定一般是利用圓心到直線的距離與半徑比較來判斷，若圓心到直線的距離是d，半徑是r，則①d>r，直線和圓相離，沒有交點(diǎn)；②d=r，直線和圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)；③d<r，直線和圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離13．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線l的距離可能是（A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【分析】根據(jù)題意得點(diǎn)O到直線l的距離小于圓的半徑，即可解答．【詳解】∵⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有∴點(diǎn)O到直線l的距離0≤d故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系．熟練掌握直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離小于半徑，是解題的關(guān)鍵．14．（2020·河北唐山·統(tǒng)考二模）已知⊙O的半徑為5，直線AB與⊙O有公共點(diǎn)，則圓心O到直線AB的距離不可能為（A．5 B．5.5 C．4.5 D．1【答案】B【分析】直線AB與⊙O【詳解】∵直線AB與⊙O∴直線AB與⊙O∴圓心距小于等于半徑∵5.5>5∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，當(dāng)圓心距大于半徑時(shí)直線和圓相離，當(dāng)圓心距等于半徑時(shí)直線和圓相切，當(dāng)圓心距小于半徑時(shí)直線和圓相交．15．（2022·北京·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)P在圖形M上，點(diǎn)Q在圖形N上，如果PQ兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M,N的“近距離”，記為d(M,N)已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），（1）d（點(diǎn)A，點(diǎn)C）＝________，d（點(diǎn)A，線段BD）＝________；（2）⊙O半徑為r，①當(dāng)r＝1時(shí)，求⊙O與正方形ABCD的“近距離”d（⊙O，正方形ABCD）；②若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，則r＝___________．（3）M為x軸上一點(diǎn)，⊙M的半徑為1，⊙M與正方形ABCD的“近距離”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，請(qǐng)直接寫出圓心M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【答案】（1）8；4；（2）①22-1；②22-1或5；（3）-6<m<2【分析】（1）圖形M，N的“近距離”的定義可求解；（2）①根據(jù)題意作圖，根據(jù)“近距離”的定義即可求解；②根據(jù)題意分圓在正方形ABCD內(nèi)部和外部分別作圖求解；（3）由題意可求∠OCB＝45°，分點(diǎn)M在x軸正半軸且⊙M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部，及點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸且⊙M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部，由題意列出不等式，即可求解．【詳解】（1）∵A（－4，0），C（4，0），d（點(diǎn)A，點(diǎn)C）＝8；∵B（0，4），D（0，－4），∴線段BD在y軸上∴d（點(diǎn)A，線段BD）為A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，即4故答案為：8；4；（2）①如圖，當(dāng)r＝1時(shí)，過點(diǎn)O作OE⊥AB于E點(diǎn)，OE與⊙O交于H點(diǎn)，則OE=12AB=12∴⊙O與正方形ABCD的“近距離”d（⊙O，正方形ABCD）=EH=OE-OH=22-1；②如圖，當(dāng)⊙O在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即EH=OE-OH=1則OH=OE-EH=22-1當(dāng)⊙O在正方形ABCD外部時(shí)，d（⊙O，正方形ABCD）＝1即BG=1則OG=OB+BG=5故答案為：22-1或5；（3）如圖，∵OB=OC，∴∠OCB＝45°，當(dāng)點(diǎn)M在x軸正半軸且⊙M在正方形ABCD的外面時(shí)，⊙M的半徑為1∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1由圖可得OM2-OC-1＜1即OM2-4-1＜1∴OM2＜6即m＜6；當(dāng)點(diǎn)M在x軸正半軸且⊙M在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，⊙M的半徑為1，過點(diǎn)M1作M1G⊥BC，∵d（⊙M，正方形ABCD）＜1∴M1G-r＜1∵M(jìn)1G=CM1·sin45°=2∴224-m解得m＞4-2∴4-2當(dāng)點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸且⊙M在正方形ABCD的外面與內(nèi)部時(shí)，同理可得-綜上，m的取值范圍為-6<m<2【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)的運(yùn)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問題，屬于中考?jí)狠S題．題型06求圓平移到與直線相切時(shí)圓心坐標(biāo)16．（2020·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，半徑r=22的⊙M在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當(dāng)⊙M與直線y=x+2A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行分情況討論，分別為圓位于直線右側(cè)并與直線相切和位于直線左側(cè)并于直線相切兩種情況，進(jìn)而根據(jù)相切的性質(zhì)及等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解即可得解．【詳解】①當(dāng)圓位于直線右側(cè)并與直線相切時(shí)，連接MA，如下圖所示：∵y∴A(0,2)，B(-2,0)，△∴AB∵r∴△ABM是等腰直角三角形，∴⊙M與直線AB相切于點(diǎn)A∵AO∴OB∴圓心M的坐標(biāo)為(2,0)；②當(dāng)圓位于直線左側(cè)并與直線相切時(shí)，過點(diǎn)M作MC⊥AB于點(diǎn)∵⊙M與直線AB相切，MC∴MC根據(jù)直線AB的解析式：y=x∴△BCM∴MB∵B∴圓心M的坐標(biāo)為(-6,0)，綜上所述：圓心M的坐標(biāo)為(2,0)或(-6,0)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及動(dòng)圓問題，熟練掌握相關(guān)幾何求解方法并進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=-34x-3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1個(gè)單位長度為半徑作⊙PA．-73,0 B．C．-37,0 D．【答案】B【分析】由題意根據(jù)函數(shù)解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根據(jù)勾股定理得到AB=5，設(shè)⊙P與直線AB相切于D，連接PD，則PD⊥AB，PD=1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵直線y=-34x-3交x軸于點(diǎn)∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，設(shè)⊙P與直線AB相切于D，連接PD，則PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PDOB∴13∴AP=53∴OP=73或OP=17∴P(-73,0)或故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維分析是解題的關(guān)鍵．18．（2022·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，直線l與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，已知B（0，3），∠BAO=30°，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，⊙P與y軸相切于點(diǎn)O，若將⊙P沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)⊙P【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）【分析】先分別求得⊙P與直線l相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再判斷⊙P與直線l相交時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍，即可求得坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)【詳解】如圖，⊙P'與⊙P″分別切AB于由B(0,3)，∠BAO=30°，易得OA連接P'D、P″E，則P'D⊥同理可得，AP″=2，則?P'?的橫坐標(biāo)為∴當(dāng)⊙P與直線l相交時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為-∴橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)、(-3,0)、(-4,0)．故答案為：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，分別求得⊙P與直線l相切時(shí)點(diǎn)P題型07求圓平移到與直線相切時(shí)運(yùn)動(dòng)距離19．（2021上·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑OC=10cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AB=16cm，則l沿OC所在直線向下平移cm時(shí)與⊙O相切．【答案】4【分析】根據(jù)垂徑定理可求出AH=12AB=8cm，再利用勾股定理可得OH=6cm，從而CH=4cm，再由l與⊙O相切，則點(diǎn)O到直線l的距離等于【詳解】解：∵直線l⊥OC，AB=16cm，∴AH=12AB=8∵OA=OC在Rt△AOHOH=A∴CH=OC若l與⊙O相切，則點(diǎn)O到直線l的距離等于OC=10cm，∴l(xiāng)沿OC所在直線向下平移的距離等于CH即l沿OC所在直線向下平移4cm時(shí)與⊙O故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．（2020·九年級(jí)單元測試）已知⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1，函數(shù)y=x與⊙O交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)Px,0在x軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P且與OA平行的直線與【答案】-2≤x【分析】由題意得x有兩個(gè)極值點(diǎn)，過點(diǎn)P與⊙O相切時(shí)，x取得極值，作出切線求解即可.【詳解】將OA平移至P1D的位置，使P1D與圓相切，連接OD如下圖所示：由題意得，OD故可得OP1=2，即同理當(dāng)點(diǎn)P在y軸左邊時(shí)也有一個(gè)極值點(diǎn)P2，此時(shí)x取得極小值-綜上可得x的范圍為：-2≤x故填：-2≤x【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，找出兩個(gè)極值是關(guān)鍵.21．（2020上·全國·九年級(jí)期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，求平移的距離．【答案】1或5．【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可．【詳解】當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5．故答案為：1或5．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．題型08圓和圓的位置關(guān)系22．（2023·吉林四平·校聯(lián)考三模）如圖，已知長方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C,DA．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)D、點(diǎn)E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內(nèi)切，AB=4，圓B的半徑為∴圓A的半徑為5∵AD=3∴點(diǎn)D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，AC∴點(diǎn)C在圓A上故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵23．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知兩圓相交，當(dāng)每個(gè)圓的圓心都在另一個(gè)圓的圓外時(shí)，我們稱此兩圓的位置關(guān)系為“外相交”．已知兩圓“外相交”，且半徑分別為2和5，則圓心距的取值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)兩圓“外相交”的定義，得到圓心距是大于較大圓的半徑且小于兩個(gè)圓的半徑之和，進(jìn)行解答即可.【詳解】解：設(shè)圓心距為d，由題意得，圓心距是大于較大圓的半徑且小于兩個(gè)圓的半徑之和，即5<d<5+2∴5<d<7A．4＜5，故選項(xiàng)錯(cuò)不可以，不符合題意；B,5＝5，故選項(xiàng)不可以，不符合題意；C．5<6<7，故選項(xiàng)可以，符合題意；D．7＝7，故選項(xiàng)不可以，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系兩圓“外相交”，得出圓心距d滿足5<d<7是解答此題的關(guān)鍵．24．（2021·四川綿陽·一模）如圖，⊙O1的直徑AB長度為12，⊙O2的直徑為8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直線O1O2平移，當(dāng)⊙O2平移到與⊙O1和AB所在直線都有公共點(diǎn)時(shí)，令圓心距O1O2＝x，則x的取值范圍是（）A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤43 D．2≤x≤8【答案】D【分析】由題意得出點(diǎn)O2在點(diǎn)O1的右側(cè)，⊙O2與⊙O1和AB所在直線都有公共點(diǎn)時(shí)，O1O2的最大值和最小值，分別畫出圖形求解得出x的取值范圍，根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)O2在點(diǎn)O1的左側(cè)時(shí)的結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)O2在點(diǎn)O1的右側(cè)時(shí)，當(dāng)⊙O2向左移動(dòng)到與直線AB相切時(shí)，如圖1所示，設(shè)切點(diǎn)為M，則O2M=4，又∵∠AO2O1=30°，∴O1O2=2?O2M=8，當(dāng)⊙O2繼續(xù)向左移動(dòng)到與⊙O1內(nèi)切時(shí)，如圖2所示，此時(shí)O1O2=6-4=2，所以當(dāng)⊙O2平移到與⊙O1和AB所在直線都有公共點(diǎn)時(shí)，2≤x≤8；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、平移的性質(zhì)，求出符合條件的x的最大值和最小值是解決問題的關(guān)鍵．25．（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）【問題提出】用n個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？【問題探究】為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論．探究一：如圖1，一個(gè)圓能把平面分成2個(gè)區(qū)域．探究二：用2個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？如圖2，在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個(gè)圓有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個(gè)區(qū)域，所以，用2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)區(qū)域．探究三：用3個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？如圖3，在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成2×2=4部分，從而增加4個(gè)區(qū)域，所以，用3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)區(qū)域．（1）用4個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖．（2）【一般結(jié)論】用n個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前(n-1)個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成______________部分，從而增加___________________個(gè)區(qū)域，所以，用n（3）【結(jié)論應(yīng)用】①用10個(gè)圓最多能把平面分成_________個(gè)區(qū)域；②用___________個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域．【答案】（1）在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成2×3=6部分，從而增加6個(gè)區(qū)域，所以，用4個(gè)圓最多能把平面分成14個(gè)區(qū)域；（2）2n-2；2n-2；n【分析】（1）在探究三的基礎(chǔ)上，新增加的圓與前3個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成2×3=6部分，所以，用4個(gè)圓最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3個(gè)區(qū)域；（2）為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前(n-1)個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成（2n-2）部分，從而增加（2n-2）個(gè)區(qū)域，所以，用n個(gè)圓最多能把平面分成（3）①用n=10，代入規(guī)律，求代數(shù)式的值即可；②設(shè)n個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域，利用規(guī)律構(gòu)造方程，可得方程n2【詳解】解：（1）在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成2×3=6部分，從而增加6個(gè)區(qū)域，所以，用4個(gè)圓最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14個(gè)區(qū)域；（2）為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前(n-1)個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成（2n-2）部分，從而增加（2n-22+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)，=2+2(1+2+3+…+n-1)，=2+2×1=2+=n2故答案為：（2n-2）；（2n-2）；n2（3）①用10個(gè)圓，即n=10，n2②設(shè)n個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域，可得方程n2整理得n2因式分解得n-解得n=21或∴用21個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域．故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題考查圖形分割規(guī)律探究問題，圓與圓的位置關(guān)系，利用新增圓被原來每個(gè)圓都分成兩個(gè)交點(diǎn)，其交點(diǎn)數(shù)就是新增區(qū)域數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后列式求和，利用規(guī)律解決問題，涉及數(shù)列n項(xiàng)和公式，代數(shù)式求值，解一元二次方程，仔細(xì)觀察圖形，掌握所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型09判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件26．（2020·安徽蕪湖·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是(

)A．點(diǎn)(0，3) B．點(diǎn)(1，3) C．點(diǎn)(6，0) D．點(diǎn)(6，1)【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理的性質(zhì)得出圓心所在位置，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出，當(dāng)O'B⊥BF時(shí)F點(diǎn)的位置即可．【詳解】∵過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，∴由垂徑定理可得圓心為：O'(2,0)，如圖所示，由切線性質(zhì)可知當(dāng)O'B⊥BF時(shí)，BF與圓相切，當(dāng)△BO'D≌△BFA時(shí)，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°，此時(shí)O'B⊥BF，BF與圓相切，AF=O'D=1，AB=BD=2，∴F坐標(biāo)為（1,3），同理可得F'（5,1），所以滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)為：(5,1)或(1,3)，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查由垂徑定理確定圓心和切線的性質(zhì)，確定圓心是本題的關(guān)鍵.27．（2019下·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以C為圓心作⊙CA．8 B．4 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，先利用勾股定理求得BC的長，再利用三角形的面積公式求得CD的長即可.【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠C=90°，AB=10∴BC=∵S△ABC=1∴CD=則以C為圓心CD為半徑作⊙C與AB相切故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定，勾股定理，三角形的面積公式，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).28．（2022·吉林長春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知∠AOB=30°，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當(dāng)OM=cm時(shí)，⊙【答案】4【分析】過M作MN⊥OA于點(diǎn)N，此時(shí)以MN為半徑的圓⊙M與OA相切，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半可得OM的長【詳解】解：如圖，過M作MN⊥OA于點(diǎn)N，∵M(jìn)N=2cm，∠AOB∴OM=4cm，則當(dāng)OM=4cm時(shí)，⊙M與OA相切故答案為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查切線判定，直角三角形中30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).29．（2019下·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）Rt△ABC的斜邊AB=5cm，直角邊AC=3cm，圓心為C，半徑為2cm和3cm的兩個(gè)圓⊙C1和【答案】⊙C1與AB相離；⊙C2與AB相交；當(dāng)半徑為125cm【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，利用勾股定理求得BC的長，再利用三角形的面積公式求得CD的長，進(jìn)而判定圓⊙C1和⊙C2【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB在Rt△∠ACB∴BC由面積公式，得AC·∴CD∵12∴⊙C1與∵12∴⊙C2與當(dāng)半徑為125cm時(shí)，AB與⊙【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系，切線的判定，勾股定理等，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).題型10利用切線的性質(zhì)求線段長30．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P，若AC=PC=3A．3 B．32 C．23 D【答案】D【分析】連接OC，根據(jù)AC=PC，OC=OA，證出∠A=∠OCA=∠P，求出∠A=∠OCA=∠【詳解】解：連接OC，如圖所示，∵AC=∴∠A∵OC=∴∠A∴∠A∵PC是⊙O∴∠OCP∵∠A∴∠A在Rt△OPC中，tan∠∴OC=PC×∵PB=OP-∴PB=3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．31．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O是斜邊AB邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O恰好與邊BC相切于點(diǎn)D，連接AD．若AD=BDA．94 B．332 C．3【答案】B【分析】連接OD，可證明OD∥AC，進(jìn)而證明∠BAD=∠CAD=∠B【詳解】解：連接OD，則OD=∴∠BAD∵⊙O與邊BC相切于點(diǎn)D∴BC⊥∴∠ODB∴OD∥∴∠ODA∴∠BAD∵AD=∴∠BAD∴∠BAD∵∠BAD∴∠BAD∴∠BOD∵OD=3∴AD=∴CD=故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．32．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預(yù)測）如圖，在半徑為10cm和6cm的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則弦AB的長為cm．【答案】16【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AC=12AB【詳解】解：∵AB是小圓O的切線，∴OC⊥AB，∵AB是大圓O的弦，∴AC=12AB在Rt△AOC中，AC=OA2-OC2則AB=2AC=16（cm），故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．33．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E為AD上一點(diǎn)，且AE=2，F(xiàn)為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為EF直徑作⊙O，當(dāng)⊙O【答案】2或92或【分析】⊙O與矩形的邊相切，但沒有具體說與哪個(gè)邊相切，所以該題有三種情況：第一種情況是圓與邊AD、BC相切，此時(shí)BF=AE；第二種情況是圓與邊AB相切，利用中位線定理以及勾股定理可求出BF的長；第三種是圓與邊CD相切，同樣利用中位線定理以及勾股定理求得BF【詳解】解：①當(dāng)圓與邊AD、BC相切時(shí)，如圖1所示此時(shí)∠AEO所以四邊形AEFB為矩形即BF=AE=2；②當(dāng)圓與邊AB相切時(shí)，設(shè)圓的半徑為R，切點(diǎn)為H，圓與邊AD交于E、N兩點(diǎn)，與邊BC交于M、F兩點(diǎn)，連接EM、HO，如圖2所示此時(shí)OE=OF=OH=R，點(diǎn)O、H分別是EF、AB的中點(diǎn)∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在Rt△EFM中，∵EM=AB=6，EF=2R∴62解得R=將R=134代入BF∴BF=③當(dāng)圓與邊CD相切時(shí)，設(shè)圓的半徑為R，切點(diǎn)為H，圓與邊AD交E、D兩點(diǎn)，與邊BC交M、F兩點(diǎn)，如圖3所示此時(shí)OE=OF=OH=R∵AE=2∴ED=6∵點(diǎn)O、H分別是EF、CD的中點(diǎn)∴2OH=ED+FC即FC=2R-6∵BM=AE=2∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R∵EM=AB=6，EF=2R∴在Rt△EMF中即62解得R=∵BF=∴BF=【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、中位線定理以及勾股定理，關(guān)鍵是分清楚情況，數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題．題型11利用切線的性質(zhì)求角度34．（2022·廣西南寧·校聯(lián)考一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE,CD相切于A,CA．144° B．130° C．129° D．108°【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．【詳解】解：∵AE、CD切⊙O于點(diǎn)A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五邊形ABCDE的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：5-2×180°5∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．35．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過點(diǎn)A的切線交CB的延長線于點(diǎn)D，若∠BAD=35°，則∠【答案】35【分析】連接AO并延長，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，首先根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠BAE=90°，再根據(jù)AD為⊙【詳解】解：如圖，連接AO并延長，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE∵AE為⊙∴∠ABE∴∠E∵AD為⊙∴∠DAE∴∠BAE∴∠E∴∠C故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．36．（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，⊙O過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D，與BC相切于點(diǎn)C，若∠【答案】64°/64度【分析】根據(jù)同弧對(duì)應(yīng)的圓心角是圓周角的2倍計(jì)算出∠DOC，再根據(jù)AB//OC【詳解】如下圖所示，連接OC從圖中可以看出，∠DAC是圓弧DC對(duì)應(yīng)的圓周角，∠DOC是圓弧得∠DOC∵BC是圓O的切線∴OC⊥∵∠∴AB∴AB//∴∠ADO故答案為：64°【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A和平行線的相關(guān)知識(shí)．37．（2023·江蘇連云港·校考一模）如圖，射線AB與⊙O相切于點(diǎn)B，經(jīng)過圓心O的射線AC與⊙O相交于點(diǎn)D、C，連接BC，若∠A=40°，則∠ACB=°．【答案】25【分析】連接OB，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算∠C的度數(shù)．【詳解】解：連接OB，如圖，∵邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，∴∠C=12∠AOB=25°故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．題型12證明某條直線時(shí)圓的切線38．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點(diǎn)(1)判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=4【答案】(1)證明見解析(2)6-【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明AB⊥AC（2）如圖，連接OD，先證明∠AOD=2∠ABC=90°,∠BOD=90°,再利用陰影部分的面積等于三角形【詳解】（1）證明：∵∠ABC=45°，AB=∴∠ACB∴∠BAC=90°,即∵A在⊙∴AC為⊙（2）如圖，連接OD，∵∠ABC=45°∴∠AOD=2∠∵AB=4∴OA=2∴S△ABC=S扇形AOD∴S【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，扇形面積的計(jì)算，掌握“切線的判定方法與割補(bǔ)法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關(guān)鍵．39．（2023·云南昆明·校考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD是⊙O的直徑，E是DB(1)求證：CE是⊙O(2)若DE=45，AC=2【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，得出∠A+∠ABC=90°，根據(jù)圓周角定理得到（2）根據(jù)tanA=tanD得出【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O∴∠ACB∴∠A∵BC=∴∠A又∵∠DEC∴∠D∴∠DCE∴CD⊥∵OC為⊙O∴CE是⊙O（2）由（1）知CD⊥在Rt△ABC和∵∠A=∠D∴tanA即BCAC∴CD=2在Rt△CD2+∴2CE解得CE=4【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合題，熟練掌握?qǐng)A周角定理，切線的判定，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．40．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)O在BC邊上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)

(1)試判斷直線AC與⊙O(2)若CE=3，求⊙【答案】(1)直線AC與⊙O(2)⊙O的半徑為3【分析】（1）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=30°，∠BAO=∠B=30°，求得（2）連接AE，推出△AOE是等邊三角形，得到AE=OE，∠AEO=60°【詳解】（1）直線AC與⊙O理由：連接OA，

∵AB=AC，∴∠B∵OA=∴∠BAO∴∠AOC∴∠OAC=180°-60°-30°=90°，即∵OA是⊙O∴直線AC與⊙O（2）解：連接AE，∵OA=OE，∴△AOE∴AE=OE，∴∠EAC∴∠EAC∴AE=∴AE=即⊙O的半徑為3【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．41．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D

(1)判斷直線DE與⊙O(2)若∠BCD=30°，【答案】(1)DE與⊙O(2)陰影部分的面積為25【分析】（1）連接OE，如圖，先利用OE為△ABC的中位線得到OE∥AB，再證明∠COE=∠DOE，接著證明△OCE（2）先計(jì)算出∠B=60°，BC=10，則根據(jù)圓周角定理得到∠COD=2∠B=120°【詳解】（1）解：DE與⊙O連接OE，OD，如圖：

∵E是AC中點(diǎn)，O為BC∴OE為△∴OE∴∠COE=∠B∵OB∴∠B∴∠COE在△OCE和△OC=∴△OCE∴∠ODE∴OD⊥DE∴DE為⊙（2）解：∵∠ACB=90°，∠A∴∠B=60°，∴在Rt△ABC中，∴BC=則OB=即⊙O的半徑為5∴∠COD∵∠COE∴OE⊥CD，設(shè)OE與CD交于點(diǎn)∴OF=12∴CD=2則S△∵∠COD=120°，∴S扇形∴陰影部分圖形的面積S陰影∴S陰影∴陰影部分的面積為25π【點(diǎn)睛】本題考查了圓與幾何圖形的綜合，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，切線的證明方法，含30°角的直角三角形三邊的關(guān)系、圓周角和扇形的面積公式等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型13利用切線的性質(zhì)定理證明42．（2023·福建福州·福建省福州楊橋中學(xué)?？寄M預(yù)測）AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC，垂足為D，過點(diǎn)A作⊙O(1)如圖1，求證∠B(2)如圖2，連接AD，若⊙O的半徑為2，OE=3，求【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）證明∠ODB=∠OAE=90（2）證明ΔODB～ΔOAE，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂徑定理求出BC，進(jìn)而利用勾股定理求出AC【詳解】（1）解：∵OD⊥∴∠ODB∵AE是⊙O∴∠OAE在ΔODB和ΔOAE中，∠ODB∴∠B（2）解：如圖，連接AC．∵⊙O的半徑為2∴OA=OB=∵在ΔODB和Δ∠ODB=∠OAE∴ΔODB～∴ODOA=OB∴OD=在RtΔODB中，由勾股定理得：∴DB=∵OD⊥BC，OD經(jīng)過∴CD=∴BC=2∵AB是⊙O的直徑，C是⊙∴∠ACB在RtΔACB中，由勾股定理得：∴AC=在RtΔACD中，由勾股定理得：∴AD=【點(diǎn)睛】本題考查切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)，通過證明ΔODB～ΔOAE43．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AM是⊙O的切線，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長，交AM于點(diǎn)(1)求證：∠CAB(2)若⊙O的半徑r=5,AC=8【答案】(1)見解析(2)32【分析】（1）根據(jù)AM是⊙O的切線，得出∠BAM=90°．根據(jù)CD⊥AB，可證AM（2）連接AD．根據(jù)直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)得出，∠CDB+∠ADC=90°．可證∠ADC=∠C．得出AD【詳解】（1）證明：∵AM是⊙O∴∠BAM∵CD∴∠CEA∴AM//∴∠CDB∵∠CAB∴∠CAB（2）解：如圖，連接AD．∵AB為直徑，∴∠ADB∴∠CDB∵∠CAB∠∴∠ADC∴AD=∵AB=2∴BD=∵∠BAP∠ABD∴△ADB∴ABPB∴PB=∴DP=【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，同弧所對(duì)圓周角性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角性質(zhì)和三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．44．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線EF，交AB的延長線于點(diǎn)E，交(1)求證：AF⊥(2)若CF=1，AC=2，AB=4【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接OD，根據(jù)AD平分∠CAB，可得∠CAD=∠OAD，從而得到（2）由△ODE∽△AFE，可得OE:AE=OD【詳解】（1）證明：連接OD，∵AD平分∠CAB∴∠CAD∵OA=∴∠OAD∴∠CAD∴OD∥∵EF為⊙O∴OD⊥∴AF⊥（2）解：由（1）得：OD∥∴△ODE∵AC=2，CF∴AF=3∵AB=4∴OD=2，OB∴OE:設(shè)BE為x，∴OE=∴2+x解得：x=2即BE的長為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．45．（2020·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=13，BD=8，求EF【答案】（1）見解析；（2）2．【分析】（1）連接OD，根據(jù)CD是⊙O的切線，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根據(jù)OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根據(jù)OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可證明；（2）設(shè)半徑為r，根據(jù)在Rt△OCD中，sinC=13，可得OD=r，OC=3r，AC=2r，由AB為⊙O的直徑，得出∠ADB=90°，再根據(jù)推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行線分線段成比例定理可得【詳解】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設(shè)半徑為r，在Rt△OCD中，sinC∴ODOC∴OD=∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴OEBD∴OE=4，∵OFBD∴OF=6∴EF=【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是90°，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．題型14切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用46．（2020·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，AB是△ABC外接圓的直徑，O為圓心，CH?AB，垂足為H，且∠PCA=∠ACH，

CD平分∠ACB，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，AP=2．（1）判斷直線PC是否為⊙O的切線，并說明理由；（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的長．（3）若tan∠ACP=12，求⊙O【答案】（1）PC是⊙O的切線，理由見解析；（2）AC=2；BC=23；BD=22；（3）⊙O的半徑為【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及垂直的定義得到∠PCA+∠OCA=90°，即可證明PC是⊙O的切線；（2）根據(jù)∠P=30°，可求得∠AOC=60°，進(jìn)而得到∠OAC=60°，求出∠PCA=30°，AC=AP=2，利用∠ABC=12∠AOC=30°，求出AB=2AC=4，利用勾股定理求出BC，利用垂徑定理得到AD=BD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出BD（3）根據(jù)直徑和切線的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACH，由tan∠ABC=tan∠ACP=12得到ACBC=12，再證明△PAC∽△PCB，得到PA【詳解】（1）PC是⊙O的切線理由：連接OC，∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC∵CH?AB∴∠ACH+∠OAC=90°∵∠PCA=∠ACH∴∠PCA+∠OAC=90°即：∠PCA+∠OCA=90°∵OC為⊙O的半徑∴PC是⊙O的切線（2）連接AD，∵PC是⊙O的切線∴∠PCO=90°∵∠P=30°∴∠AOC=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∴∠ACP=∠OAC-∠P=30°∴AC=AP=2∵∠ABC=12∠AOC=1∴AB=2AC=2×2=4∴BC∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD與弧BD相等，∴AD=BD∵AB為⊙O的直徑∴∠ADB=90°∴△ABD是等腰直角三角形；∴BD=（3）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∴∠ACH+∠BCH=90°∵CH?AB∴∠B+∠BCH=90°∴∠ABC=∠ACH∴tan∠ABC=tan∠ACP=1∴AC∵∠PCA=∠ACH∴∠PCA=∠ABC∵∠P=∠P∴△PAC∽△PCB∴PA∵AP=2∴PC=4∴PB=8∴AB=6∴⊙O的半徑為3．【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的性質(zhì)與判定綜合，解題的關(guān)鍵是熟知切線的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及相似三角形的判定與性質(zhì)．47．（2020·甘肅酒泉·統(tǒng)考二模）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連接CD，（1）求證：DE是⊙O（2）若BD=4，CD=3，求【答案】（1）見解析；（2）AC=【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線以及等腰三角形的性質(zhì)得出，∠EDC=∠ECD，∠（2）首先根據(jù)勾股定理求出BC的長度，然后證明△BCD∽△BAC【詳解】（1）證明：連接OD，如圖，∵BC是⊙O∴∠BDC∴∠ADC∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE=∴∠EDC∵OD=OC∴∠ODC∵AC切⊙O于點(diǎn)C∴AC⊥∴∠EDC∴DE⊥∴DE是⊙O（2）解：在Rt△∵BD=4，CD∴BC∵∠BDC=∠BCA∴△BCD∴CDAC即3AC∴AC=【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合問題，掌握切線的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．48．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，延長(1)求證：DE是⊙O(2)若AEDE=2【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；（2）連接CF，證OD是△ABC的中位線，得CF=2DE，再證DE是△FBC的中位線，得CF=2DE,設(shè)AE=2x，DE=3k，則CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，從而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得⊙O的半徑OA【詳解】（1）證明：連接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位線，∵AC是⊙O∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE∴BE=EF，即DE是△FBC的中位線，∴CF=2DE,∵AEDE∴設(shè)AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13,即⊙O的半徑為13【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的判定與性質(zhì)，證OD是△ABC的中位線，DE是△FBC的中位線是解題的關(guān)鍵．49．（2021·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）如圖，AC為⊙O的直徑，B為AC延長線上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD為⊙O的弦，連接BD，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)M．(1)求證：直線BD是⊙O的切線；(2)求⊙O的半徑OD的長；(3)求線段BM的長．【答案】(1)見解析(2)1；(3)3【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求得∠ODB＝90°，按照切線的判定定理可得答案；（2）利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及圓的半徑相等可得答案；（3）先由勾股定理求得BE的長，再連接DM，利用有兩個(gè)角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得比例式，從而求得答案．【詳解】（1）證明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD為⊙O的半徑，∴直線BD是⊙O的切線；（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，∴OD＝12OB∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半徑OD的長為1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝22∴BE＝BD2+如圖，連接DM，∵DE為⊙O的直徑，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴BMBD∴BM＝BD∴線段BM的長為37【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，三角形相似的判定是解題的關(guān)鍵．題型15作圓的切線50．（2022·北京海淀·人大附中?？寄M預(yù)測）已知：⊙O和圓外一點(diǎn)P，求作：過點(diǎn)P的⊙作法：①連接OP；②分別以O(shè)，P為圓心，大于12OP長為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，連接MN，交③以C為圓心，OC長為半徑作⊙C，交⊙O于點(diǎn)④作直線PA，所以直線PA，PB為

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接MP，∵M(jìn)P=MO，∴MN是線段OP的______（______∴CP=∵OP為⊙O的直徑，A，∴∠OAP=∠OBP∴半徑OA⊥AP，半徑∴直線PA，PB為⊙O【答案】(1)見解析(2)垂直平分線；到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；（2）先由垂直平分線的判定可得MN是線段OP的垂直平分線，從而得到CP=CO，再由圓周角定理可得【詳解】（1）解：如圖，PA、

；（2）解：連接MP，

，∵M(jìn)P=MO，∴MN是線段OP∴CP=∵OP為⊙O的直徑，A，∴∠OAP∴半徑OA⊥AP，半徑∴直線PA，PB為故答案為：垂直平分線；到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖，此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)．51．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：⊙O，使圓心O在斜邊AB上，經(jīng)過點(diǎn)B且與邊

【答案】見解析【分析】作∠ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點(diǎn)O，以O(shè)【詳解】解：如圖，作∠ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點(diǎn)O，以O(shè)

∵BE平分∠ABC∴∠CBE∵EO⊥AC，∴∠AEO∴EO∥∴∠OEB∴∠OEB∴OE=又∵EO⊥∴邊AC與⊙O相切于點(diǎn)E∴⊙O【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行的作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，本題涉及到兩個(gè)基本作圖（作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線），角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，等腰三角形的判定等知識(shí)．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．52．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，已知菱形ABCD．求作⊙O，使得⊙O與菱形的四條邊都相切要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（

【答案】見解析【分析】連接AC、BD，交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，以O(shè)為圓心，【詳解】如圖，1.連接AC、BD，交點(diǎn)為2.以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接OM，交AB于點(diǎn)H，則3.以O(shè)為圓心，OH為半徑作圓．則⊙O∵OH⊥AB,OH∴AB與⊙O∵⊙O和菱形ABCD都是中心對(duì)稱圖形，且⊙O的圓心與菱形∴⊙O為菱形ABCD【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，基本作圖—作垂線，切線的判定．熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．53．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于點(diǎn)O，以O(shè)B為半徑作⊙（2）如圖2，某濕地公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，∠ABC=90°．現(xiàn)要修一條圓弧形水上棧道，要求該圓弧形水上棧道所在的⊙O，圓心在BC上且與AB，CD

【答案】（1）直線AC是⊙O的切線，理由見解析；（2【分析】（1）過點(diǎn)O作OD⊥AC與點(diǎn)D，利用角平分線的性質(zhì)可得（2）延長BA，CD相交于點(diǎn)E，作∠BEC的平分線交BC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB【詳解】解：（1）直線AC是⊙O理由：過點(diǎn)O作OD⊥AC與點(diǎn)

，∵∠ABC=90°，AO平分∴OB=∴直線AC是⊙O（2）如圖所示，⊙O

．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型16應(yīng)用切線長定理求解54．（2022·江西·模擬預(yù)測）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD=12，PA=8，則A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】連接OA，根據(jù)切線長的性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【詳解】解：連接OA∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．55．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，連接OB、AB，若∠ABO=25°，則∠A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出PA=PB，∠PBO=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA=PB，∠OBP=90°，又∵∠ABO=25°，∴∠PBA=90°-25°=65°=∠PAB，∴∠P=180°-65°-65°=50°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵．56．（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，PA?PB切⊙O于A?B，若∠APB=

A．53 B．6 C．8 D．【答案】B【分析】連接PO，證明Rt△PAO≌Rt△【詳解】解：連接PO，如圖所示：

∵PA、PB切⊙O∴PA=PB，OA⊥∵在Rt△PAO和Rt△∴Rt△∴∠APO∴PO=2AO=6故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠APO57．（2021·湖北隨州·一模）如圖：PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于CA．∠APO=∠BPO B．PA=PB C．AB⊥【答案】D【分析】利用切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)、切割線定理即可得出．【詳解】∵PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)是A、∴PA=PB∴選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；∵PA=PB∴OP∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)已知不能得出C是PO的中點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長定理，屬于基礎(chǔ)題．題型17應(yīng)用切線長定理求證58．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）已知：如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，BC是直徑，AB交PO于點(diǎn)M，⊙O的半徑為3，(1)求證：AC∥(2)求AC的長【答案】(1)見解析(2)18【分析】（1）連接AO，根據(jù)切線長定理可得PA=PB，AO=BO，則（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得∠C=∠POB，根據(jù)同角的余角相等可得∠ABC=∠BPO，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBP=90°，勾股定理求得【詳解】（1）連接AO，則AO=根據(jù)切線長定理可得PA=∴PO⊥∵BC∴AC⊥∴AC∥（2）∵AC∴∠C∵AC⊥∴∠C∵PO⊥∴∠POB∴∠ABC∵PB是⊙∴OB在Rt△POB中，∴PO∴sin∠ABC=∴ACBC∵BC=2∴AC=【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，切線長定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，根據(jù)正弦求邊長，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．59．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知⊙O的圓心在BC上，AC、AB分別為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為C、D，⊙O交BC

(1)求證：DE∥(2)若AC=6，AB=10，求【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）連接OD，證明出∠AOC=∠DEO（2）先由勾股定理求出BC，再利用DE∥AO，利用平行線分線段成比例定理求出半徑，最后由△BDE【詳解】（1）證明：連接OD，

∵AC、AB分別為⊙∴AC=AD在Rt△OAC和OA=∴Rt∴∠AOC∵OD∴∠ODE∵∠COD∴∠AOC∴DE（2）解：在Rt△∵AC=6，∴由勾股定理，得BC=設(shè)OC=x，則BO=∵AD=AC∴BD由（1）知DE∥∴BE即8-2x解得x=3經(jīng)檢驗(yàn)，x=3∴OC在Rt△由勾股定理，得OA=∵DE∴△BDE∴DE即DE3解得DE=【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．60．（2021·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC是直角三角形，以斜邊AB為直徑作半圓，半圓的圓心為O，過A、C兩點(diǎn)作半圓的切線，交點(diǎn)為D，連接DO交AC于點(diǎn)E．

(1)求證：OD∥BC；(2)若AC＝2BC，求證：AB＝AD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】對(duì)于（1），連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADO＝∠CDO，求得DO⊥AC，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；對(duì)于（2），先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B＝∠EOA，進(jìn)而說明AE＝EC，求得∠EOA＝∠EAD，再推出BC＝AE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖所示，∵DA、DC是半圓O的切線，∴AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，又OA＝OC，OD＝OD，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，即DO是∠ADC的平分線，∴DO⊥AC，又BC⊥AC，∴OE∥BC；

（2）證明：由（1）知：OE∥BC，DO垂直平分AC，∴∠B＝∠EOA，AE＝EC，又DA⊥AO，∴∠EOA＝∠EAD，∴∠EAD＝∠B.∵AC＝2BC，∴BC＝AE，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴AB＝AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．61．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．連接OP交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，(1)求證：C是AB的中點(diǎn)；(2)若AC=OC=2【答案】(1)見解析；(2)2【分析】（1）證明△APC≌△BPC（SAS），得到AC（2）連接AO．先證明△AOC是等邊三角形，得到∠AOP=60°，由PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∠PAO=90°，在Rt【詳解】（1）證明：∵PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B∴AP=BP，又∵PC=∴△APC≌△BPC∴AC=∴AC=∴C是AB的中點(diǎn)；（2）解：連接AO．∵AC=OC，∴AC=∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOP∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A∴OA⊥∴∠PAO在Rt△APO中，tan∠∴AP=【點(diǎn)睛】此題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)定理、圓中的弧和弦之間的關(guān)系、解直角三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度不大，熟練掌握相關(guān)定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．題型18判斷三角形外接圓圓心位置62．（2023·河北邢臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在格點(diǎn)上．下列三角形中，外心不是點(diǎn)O的是（

）A．△ABC B．△ABD C．△ABE【答案】C【分析】設(shè)小正方形邊長為1，再通過勾股定理求出O到所有頂點(diǎn)長度，不相等的就是外心不在的三角形．【詳解】解：設(shè)小正方形邊長為1，則：OA=OE=2根據(jù)三角形外心到各頂點(diǎn)距離相等可以判斷：點(diǎn)O是△ABD不是△ABE故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查外心的定義，掌握勾股定理求出外心到各頂點(diǎn)距離是關(guān)鍵．63．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）船航行的海岸附近有暗礁，為了使船不觸上暗礁，可以在暗礁的兩側(cè)建立兩座燈塔.只要留心從船上到兩個(gè)燈塔間的角度不超過一定的大小，就不用擔(dān)心觸礁.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A,B,C,D,P,M,N是網(wǎng)格線交點(diǎn)，當(dāng)船航行到點(diǎn)P的位置時(shí)，此時(shí)與兩個(gè)燈塔

A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D【答案】B【分析】先利用格點(diǎn)找出△MNP的外接圓的圓心，再判斷哪個(gè)點(diǎn)在△【詳解】解：如圖，

由網(wǎng)格可知，點(diǎn)O是MN和MP垂直平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)O是△MNP∵OM=∴點(diǎn)M在△MNP∴∠MPN∴船處于位置B時(shí)，也一定無觸礁危險(xiǎn)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，三角形的外心，勾股定理與網(wǎng)格問題等，解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是找出△MNP64．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中（小正方形的連長為1），有6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F，若過A、B、C三點(diǎn)作圓O，則點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)中在圓O外的有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由圖可知∠ABC=90°，故過A、B、C三點(diǎn)作圓O，直徑為AC，圓心O在AC的中點(diǎn)，然后根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)用勾股定理計(jì)算半徑和點(diǎn)D、E、【詳解】解：如圖，∵∠ABC∴過A、B、C三點(diǎn)作圓O，直徑為AC，圓心O在AC的中點(diǎn)，∴OA=OD=OEOF=3>∴點(diǎn)F在圓O外，點(diǎn)D、E在圓O上，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)上，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是關(guān)鍵網(wǎng)格的特點(diǎn)找到圓心的位置．65．（2018·廣東汕尾·校考三模）如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)A，B，C．

(1)用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)設(shè)△ABC是等腰三角形，底邊BC=8cm，腰AB【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O；（2）構(gòu)建直角△BOE【詳解】（1）解：作法：分別作AB和AC的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為O，則O為所求圓的圓心；

（2）連接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=∴AE⊥∴BE=在Rt△ABE中，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt∴OB即R2∴R=答：圓片的半徑R為256【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)，要注意作圖和解題中垂徑定理的應(yīng)用．題型19求外心坐標(biāo)66．（2022·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,-3，B2,-1，C2,3．則△ABCA．0,0 B．-1,1 C．-2,-1 D【答案】D【分析】由BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到直線BC∥y軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=1，再由外心的定義可知△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，則設(shè)△ABC的外心為P（a，-1），利用兩點(diǎn)距離公式和外心的性質(zhì)得到PA【詳解】解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴直線BC∥y軸，∴直線BC的垂直平分線為直線y=1，∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，∴△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，設(shè)△ABC的外心為P（a，1），∴PA∴a2解得a=-2∴△ABC外心的坐標(biāo)為（-2，1），故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．67．