2024屆五年高考數(shù)學(xué)（文課）真題分類訓(xùn)練：十 概率、統(tǒng)計(jì)

專題十概率、統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)28隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型

題組

一、選擇題

1.12023全國卷甲，5分］某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2

名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級

的概率為（D）

1112

%%D.-

［解析］記高一年級2名學(xué)生分別為由,a2，高二年級2名學(xué)生分別為瓦，b2,

則從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演的基本事件有（內(nèi),a2）,

（%,瓦），（的也），（。2,比），（。2也），（瓦也），共6個(gè)，其中這2名學(xué)生來

自不同年級的基本事件有（的,瓦），（%_,&）,（。2”1），（。2*2），共4個(gè)，所以

這2名學(xué)生來自不同年級的概率P=；=；,故選D.

2.［2023全國卷乙，5分］某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從

中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為

（A）

A.-B.-C.-D.-

6323

［解析］甲、乙兩位同學(xué)抽到相同主題的情況有6種，故抽到不同主題的概率為

3.［2023全國卷乙，5分］設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（%,y）|lW

/+y2《4｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為4,則直線。4的傾斜角不大于:的概率

為（C）

［解析］如圖所示，題中所給區(qū)域?yàn)橐粓A環(huán)形區(qū)域，其面積為4TT-n=3n.由題

意，知2點(diǎn)應(yīng)在圖中陰影部分內(nèi)(包含邊界)，其中NBO%=?,該部分區(qū)域的

面積占整個(gè)圓環(huán)面積的;，故所求概率為；，故選C.

44

4.［2022新高考卷I,5分］從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2

個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(D)

A.-11B.i1C.-2D.-

6323

［解析］從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有21種取法，取得的2個(gè)數(shù)互質(zhì)

的情況有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},［3,

8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共

14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為蓑=|.故選D.

5.［2022全國卷甲，5分］從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨

機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(C)

A.-11B.i2C.-D.-2

5353

［解析］從寫有1，2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地抽取2張，共有15種取

法，它們分別是

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),

(4,6),(5,6),其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是

(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6種取法，所以所求概率是P=2=|.

故選C.

6.［2021全國卷乙，5分］在區(qū)間(0,)隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于|的概率

為(B)

AA.-3c

4-i

機(jī)取1個(gè)數(shù),則取到的數(shù)小于!的概率P=|嚀=|.故選B.

7.［2021全國卷甲，5分］將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的

概率為(C)

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

［解析］把3個(gè)1和2個(gè)0排成一行，共有10種排法，分別是00111,1001L

11001,11100,01011,01101,OHIO,10101,10110,11010,其中2個(gè)0不

相鄰的排法有6種，分別是01011,01101,OHIO,10101,10110,11010,所

以所求概率P=2=0.6.故選C.

10

8.［2020全國卷1,5分］設(shè)。為正方形4BCD的中心，在。，A,B,C,。中

任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(A)

1214

A.-B.-C.-D.-

5525

［解析］根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在。中任取3點(diǎn)，有10種可

能情況，分別為(O4B),(CMC),(04。),(OBC),(OBD),(OCD),

(ABC),(ABD),(4CD),(BCD),其中取至U的3點(diǎn)共線有(04C)和(0BD)2

種可能情況，所以在。,A,B,C,D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為卷=

由故選A.

9.［2020新高考卷I,5分］某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)

生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既

喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是(C)

A.62%B.56%C.46%D.42%

［解析］解法一不妨設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為100,既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生人

數(shù)為x,則100X96%=100X60%—％+100X82%,所以X=46,所以既喜

歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.選C.

解法二設(shè)喜歡足球?yàn)槭录?，喜歡游泳為事件B，由題意知,P(2)=0.6,P(B)=

0.82,P(AUB)=0.96，所以P(4CB)=P⑷+P(B)-P(AUB)=0.6+0.82-

0.96=0.46.故選C.

10.［2019全國卷II,5分］生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指

標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為(B)

[解析]設(shè)3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)的兔子為a,B,C,另2只兔子為a力，從這5只

兔子中隨機(jī)取出3只，則基本事件共有10種，分別為(4B,C),

(4B,d),Q4,B,b),(4C,a),Q4,C,b),Q4,a,b),

(B,C,a),(B,C,b),(B,a,b),(C,a,b),其中“恰有2只測量過該指標(biāo)”的取法有

6種,分別為(4B,a),(A,B,b),Q4,C,a),(4C,b),(B,C,a),(B,C,b)，因此所求的

概率為2=I，選B-

105

11.[2019全國卷III,5分]兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同

學(xué)相鄰的概率是(D)

A.-11B.i1C.-1D.-

6432

[解析]將兩位男同學(xué)分別記為AlA,兩位女同學(xué)分別記為B],B2,則四位同學(xué)

排成一列，情況有A1A2B1B2，A1A2B2B1,A2A1B1B2，A2A1B2B1,

A1B1A2B2，A1B2A2B1,A2B1A1B29A2B2A1B1,B1A1A2B29B1A2A1B2，

B2A1A2B1,B2A2A1B1,A]B]B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1,A2B2B1A1,

B1B2A1A2，BiB2A2A1,B2B1A1A2，B2B1A2A1,

B1A1B2A2,B1A2B2A1,B2A1B1A2,B2A2BlAl,共有24種,其中2名女同學(xué)相鄰的

有12種，所以所求概率P=].故選D.

二、填空題

12.[2022全國卷乙，5分]從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工

作，則甲、乙都入選的概率為j

TU

[解析]甲、乙等5名同學(xué)分別標(biāo)記為的，。2，。3,。4,。5,其中甲標(biāo)記為內(nèi)，

乙標(biāo)記為。2.從中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作的事件有｛的，"3｝，｛的，

,。4｝，｛。19'｛。2，"4｝，｛。29,a§｝'｛。3，"5｝，｛。1，

a3,a4]>｛的，a3,a5],｛a2,a4,a5],｛%,a4,a5),共計(jì)10種.甲、乙都入

aaaa

選的事件有｛的,a2,a3)(i>2，aJ，[i>2Qs｝，共計(jì)3種，故所求概率

P10.

13.[2020江蘇，5分]將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的

點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是，

［解析］將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)共有36種情

況，其中點(diǎn)數(shù)和為5的情況有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種，則所求概

率為e=J-

考點(diǎn)29抽樣方法與用樣本估計(jì)總體

題組一

一、選擇題

1.12022全國卷乙，5分］分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)

時(shí)長(單位:h),得如下莖葉圖：

5.

85306.3

75327.46

64218.12256666

9.0238

10.

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(C)

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

［解析］對于A,甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的中位數(shù)為空手=7.4,故選項(xiàng)A

正確；對于B,乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大部分在8h以上，故平均數(shù)大于

8,故選項(xiàng)B正確；對于C,甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率為《=

0.375<0.4,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D,乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概

率為蘭=0.8125>0.6,故選項(xiàng)D正確.故選C.

16

2.［2021天津，5分］從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部,統(tǒng)計(jì)其評分?jǐn)?shù)

據(jù),將所得400個(gè)評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：［66,70),［70,74)，…，［94,98］,并整理得

到如下的頻率分布直方圖,則評分在區(qū)間［82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是(D)

頻率/組距

［解析］由頻率分布直方圖可知評分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品的頻率為0.05X

4=0.2，又共有400部影視作品，所以評分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品的數(shù)量為

400X0.2=80，故選D.［4T］

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】頻率分布直方圖的縱軸不是頻率，而是黑，即頻率分布直方圖

組距

中小矩形的面積表示頻率.

3.［2020全國卷III,5分］設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)%1,￡2，…，出的方差為0.01，則數(shù)

據(jù)10%,10x2,10xn的方差為（C）

A.0.01B.0.1C.1D.10

［解析］已知樣本數(shù)據(jù)尤1,%2的方差為0.01,由方差的性質(zhì)可得樣本數(shù)據(jù)

10石,10x2，…，10久n的方差為X0.01=1,故選C.

4.［2019全國卷I,5分］某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生

編號(hào)為1,2,...,1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行

體質(zhì)測驗(yàn).若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（C）

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

［解析］由系統(tǒng)抽樣可知第一組學(xué)生的編號(hào)為1?10,第二組學(xué)生的編號(hào)為11?

20,……，最后一組學(xué)生的編號(hào)為991?1000.設(shè)第一組取到的學(xué)生編號(hào)為“,

則第二組取到的學(xué)生編號(hào)為％+10,以此類推，所取的學(xué)生編號(hào)為10的倍數(shù)加

%.因?yàn)?6號(hào)學(xué)生被抽到，所以％=6,所以616號(hào)學(xué)生被抽到，故選C.

二、填空題

5.［2020江蘇，5分］已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是2.

［解析］由平均數(shù)公式可得4+2a+(31a)+5+6=4,解得。=2.

6.［2019江蘇，5分］已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9』0,則該組數(shù)據(jù)的方差是|.

［解析］數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10的平均數(shù)是6+7+818+9+1。=&,則方差是4+i+°：°+i+4=

66

5

3?

三、解答題

7.［2023全國卷乙，12分］某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理

效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)

地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為期,%(i=

1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率陽545533551522575544541568596548

伸縮率%536527543530560533522550576536

記Zj=Xi-yz(i=1,2,*1,z2,z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s?.

(1)求2,s2.

［答案］由題意，求出4的值如表所示，

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

4968-8151119182012

則2=卷X(9+6+8—8+15+11+19+18+20+12)=11,

2

s2=±x［(9-11)2+(6-II)+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+

(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-II)2+(12-11)2］=61.

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮

率是否有顯著提高(如果2篇，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較

乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

［答案］因?yàn)?—=2V6A=V244,z=11=V121>V244,

所以可認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸

縮率有顯著提高.

8.［2020全國卷I,12分］某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位:

件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、

C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每

件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工

成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接

加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等

級，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)一40202020

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD

頻數(shù)28173421

（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

［答案］由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知，

甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為蕓=0.4;

乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為名=0.28.

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依

據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

［答案］由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤6525-5-75

頻數(shù)40202020

因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

65x40+25x20—5x20-75x20《廣

-------------------------------=15.

100

由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為

利潤70300-70

一頻數(shù)一28173421

因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為

70X28+30X17+0X34-70X21.八

-----------------------------------=10.

100

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).

題組二

一、選擇題

1.［2022全國卷甲，5分］某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知

識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回

答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確

率如圖，則（B）

00%

95%

90%-----------?-------

<85%--?---------------

80%-----?--?-------?--

黑

H75%*------------------*—*講座刖

70%■”?講座后

65%

60

%;-----*-------------

o--*----------------

2J_____I____I____I_____I」_I____I.

345678910

居民編號(hào)

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

［解析］對于A,講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是誓吃=72.5%,所以A

錯(cuò)誤；對于B,講座后問卷答題的正確率分別是80%,85%,85%,85%,

85%,90%,90%,95%,100%,100%,其平均數(shù)顯然大于85%,所以B

正確；對于C,由題圖可知，講座前問卷答題的正確率波動(dòng)較大，講座后問卷

答題的正確率波動(dòng)較小，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后問

卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯(cuò)誤；對于D,講座前問卷答題的正確率的

極差是95%-60%=35%,講座后問卷答題的正確率的極差是100%-80%=

20%,所以講座前問卷答題的正確率的極差大于講座后問卷答題的正確率的極

差，所以D錯(cuò)誤.故選B.

2.［2021全國卷甲，5分］為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)

行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(C)

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

［解析］對于A，根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比

率估計(jì)為(0.02+0.04)X1=0.06,故A正確；

對于B,根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比

率估計(jì)為(0.04+0.02+0.02+0.02)X1=0.10,故B正確；

對于C,根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值估計(jì)為3X0.02+

4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+

11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(萬元),故C錯(cuò)誤；

對于D,根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之

間的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.10+0.14+0.20+0.20)X1=0.64,故D正確.

3.［2019全國卷II,5分］演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，

評定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7

個(gè)有效評分.7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(A)

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

［解析］記9個(gè)原始評分分別為a,b,c,d,e,f,g,h,i（按從小到大的順序排

列），易知e為7個(gè)有效評分與9個(gè)原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是

中位數(shù)，故選A.

【方法技巧】平均數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)是把一組數(shù)據(jù)從小到

大或從大到小排列，若該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則取中間的數(shù)據(jù)，若該組數(shù)據(jù)

的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).平均數(shù)和中位數(shù)都能反映一組數(shù)據(jù)

的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差和方差都能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.

二、填空題

4.［2019全國卷II,5分］我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的

高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有

10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值

為0.98.

［解析］由題意得，經(jīng)停該站的高鐵列車中正點(diǎn)的列車總數(shù)約為10x0.97+20X

0.98+10X0.99=39.2,經(jīng)停該站的高鐵列車總數(shù)為10+20+10=40,所

以經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率約為要=0.98.

40

三、解答題

5.［2023新高考卷II,12分］某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患

病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病

者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

頻率/組距

o40

o.o38

o.o36

o.o34

o.

0.010---------------------------------------

。707580859095100105

未患病者

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為

陽性，小于或等于C的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為

陰性的概率，記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c).假

設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c);

［答案］由題圖知(100-95)x0.002=1%>0.5%，所以95<c<100,

設(shè)X為患病者的該指標(biāo)，

則p(c)=P(X<c)=(c-95)x0.002=0.5%,(從頻率分布直方圖中正確讀

取相關(guān)數(shù)據(jù)是求解問題的關(guān)鍵)

解得c=97.5.

設(shè)丫為未患病者的該指標(biāo)，

則q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)X0.01+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+q(c).當(dāng)ce［95,105］時(shí)，求/(c)的解析式，并求/(c)

在區(qū)間［95,105］的最小值.

［答案］當(dāng)95WCW100時(shí)，(提醒：注意分類討論思想的應(yīng)用)

p(c)=(c-95)x0.002=0.002c-0.19,

q(c)=(100-c)x0.01+5x0.002=-0.01c+1.01,

所以/(c)=P(c)+q(c)=-0.008c+0.82；

當(dāng)100<c<105時(shí),

p(c)=5x0,002+(c-100)x0.012=0.012c-1.19,

q(c)=(105—c)x0.002=-0.002c+0.21,

所以/(c)=p(c)+q(c)=0.01c—0.98.

綜上所述，穴c)=+882,95<c<100,

""卬八)(0.01c-0.98,100<c<105.

由一次函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)/(c)在［95,100］上單調(diào)遞減，在(100,105］上單

調(diào)遞增，(提示：對于一次函數(shù)y=kx+b(k0),當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞

增；當(dāng)左<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減)

作出/(c)在區(qū)間［95,105］上的大致圖象(略)，可得/(c)在區(qū)間［95,105］的最

小值/(c)min=/(100)=-0.008x100+0.82=0.02.

6.［2021全國卷乙，12分］某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備

生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)

品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為7和7,樣本方差分

別記為黃和登.

(1)求1，y,S2；

[答案]由題中數(shù)據(jù)可得，元=2X(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+

10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0，歹=裔x(10.1+10.4+10.1+10.0+

10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

s”總X[(9.8-10.0)24-(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+

(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+

(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036,

s上2x[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+

(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+

(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果

7-丁之2傳則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提

高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

［答案］由（1）知歹一元=10.3-10.0=0.3,2=2］。。3；；0.04=

2,0.0076,

則0.3=70^09>2V0.0076=V0.0304,

所以可判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

7.［2020全國卷II,12分］某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生

動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的

200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得

到樣本數(shù)據(jù)=1,2，…,20）,其中期和%分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋

2020

面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得2/=60,2%=

202020

1200,2(修一。2=80,￡(%-=9000-?)(%—力=800.

i=li=li=l

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣

區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

1*20

［答案］由已知得樣本平均數(shù)歹=92%=60，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的

zui=l

估計(jì)值為60X200=12000.

（2）求樣本國,%）（?=1,2,...,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）;

［答案］樣本（如％）（i=1,2,...,20）的相關(guān)系數(shù)

20

E(xt-x)(yi-y)

8002A/2八…

r=-.=—a0.94.

2020780X90003

區(qū)8-為2區(qū)歷2

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表

性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的

抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)r=-1.414.

i=li=l

［答案］分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個(gè)地塊進(jìn)

行分層抽樣.

理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相

關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異

也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提

高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

8.［2019北京，12分］改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移

動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式

的使用情況,從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩

種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分

布情況如下：

支付金額不大于2000元大于2000元

支付方式

僅使用A27人3人

僅使用B24人1人

（I）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

［答案］由題知，樣本中僅使用A的學(xué)生有27+3=30人,僅使用B的學(xué)生有

24+1=25人，

A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.

故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.

估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為益XI000=400.

（II）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2

000元的概率；

［答案］記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的

支付金額大于2000元”，則P（C）=/=0.04.

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)

生中隨機(jī)抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合（II）的結(jié)果，能否

認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.

［答案］記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，該學(xué)生本月的支

付金額大于2000元”.

假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由

(II)知,P(E)=0.04.

答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下：

P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月支

付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.

答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下：

事件E是隨機(jī)事件,P(E)比較小，一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無法

確定有沒有變化.

考點(diǎn)30回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

題組一

一、選擇題

1.12023天津，5分］調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示.其

中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列說法正確的是(C)

花萼長度

A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性

B.花瓣長度和花萼長度呈負(fù)相關(guān)

C.花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245

［解析］因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r=0.8245>0.75,所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較

強(qiáng)，并且呈正相關(guān)，所以選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)與樣本的

數(shù)據(jù)有關(guān)，所以當(dāng)樣本發(fā)生變化時(shí)，相關(guān)系數(shù)也會(huì)發(fā)生變化，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤

故選C.

2.［2020全國卷I,5分］某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y

和溫度》(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)?,%)(i=1,2,...,20)得到下面的散點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10。(：至40。(：之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽

率y和溫度久的回歸方程類型的是(D)

A.y—a+bxB.y—a+bx2C.y—a+bexD.y—a+binx

［解析］根據(jù)題中散點(diǎn)圖，用光滑的曲線把圖中各點(diǎn)依次連起來(圖略)，由圖

并結(jié)合選項(xiàng)可排除A,B,C,故選D.

二、解答題

3.［2022全國卷甲，12分］甲、乙兩城之間的長途客車均由4和B兩家公司運(yùn)營.

為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)

班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

［答案］由題表可得a公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為=

240+20

12

13，

B公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為="

210+308

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬

公司有關(guān)？

附.1(2_」(ad-bc)2

叩,—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

500X(240X30-20X210)2

［答案］K2的觀測值/c=?3.205>2.706

(240+20)x(210+30)x(240+210)x(20+30)

所以有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有

關(guān).

4.［2021全國卷甲，12分］甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級

品和二級品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件

產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

―"■級品二級品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)一270130400

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

［答案甘艮據(jù)表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是黑=0.75,乙

機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率是黑=0.6.

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附:依二,「*爐,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

［答案甘艮據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得K2的觀測值/C=以80二20：：0）2=嚶

10.256.

因?yàn)?0.256>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)

品質(zhì)量有差異.

5.［2019全國卷I,12分］某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和

50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià),得到下面列聯(lián)

表：

滿意不滿意

項(xiàng)顧客4010

女顧客3020

（1）分別估計(jì)男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率;

［答案］由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為為=0.8，因此男顧

客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.

女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為為=0.6，因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的

概率的估計(jì)值為06

（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異？

n(ad-bc)2

(a+匕)(c+d)(a+c)(匕+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

［答案］K2的觀測值k=1%黑時(shí)詈2X4.762.

由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差

異.

題組二

解答題

1.12023全國卷甲，12分］一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40

只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)

組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)

間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.試驗(yàn)結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.8

26.527.530.132.634.334.835.6

35.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.5

18.018.819.219.820.221.622.8

23.623.925.128.232.336.5

（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

［答案］試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)為/X（7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+

16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+

28.2+32.3+36.5)=19.8.

(2)(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小

于血與不小于血的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：

<m>m

對照組

試驗(yàn)組

［答案］將40個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序依次排列，得最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)即第

20個(gè)和第21個(gè)數(shù)據(jù)分別為23.2和23.6，則40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)

列聯(lián)表如下:

<m>m

對照組614

試驗(yàn)組146

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境

中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？

n(ad-bc)2

(a+匕)(c+d)(a+c)(乃+d)

Pg>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

n{ad-bc)2_4OX(6X6-14X14)2_

［答案］K2==6.4>3,841,

(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)20X20X20X20

故有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量

有差異.

2.［2022全國卷乙，12分］某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青

山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹

的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面0.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=0.038，2W=1.6158=0.2474.

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;

10

ZXi

[答案]估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積歹=+=詈=0.06,

10

Syioo

估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的材積量歹=號(hào)丁=詈=0.39.

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到

0.01)；

1010

［答案］2(勾一元)3-刃=2勾％-10雙=0.0134,

1=11=1

1010

￡(%i—x)*2=￡*-10叵y=0.002,

i=li=l

1010

￡(%一9)2=￡*—10(y)2=0.0948,

i=li=l

1010______________________________________________________

J2(%i-君22(%_歹)2=Vo.002x0.0948=V0.0001x1.896?0.01x

i=li=l

1.377=0.01377,

10

所以樣本相關(guān)系數(shù)r=,1=1x鬻1?0.97.

|10100.01377

2(Xi-x)2￡(y-y)2

Ji=ii=i￡

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根

部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利

用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.