為隨機(jī)變量的分布函數(shù)

關(guān)于為隨機(jī)變量的分布函數(shù)§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量

定義設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，對任意實(shí)數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù)或密度.二、性質(zhì)下頁幾何意義：

f(x)下方x軸上方所圍面積為1一、定義第2頁,共22頁，2024年2月25日，星期天(4)在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處有(5)連續(xù)型隨機(jī)變量取任何實(shí)數(shù)值

a

的概率等于0.即

P{X=a}=0由性質(zhì)(5)可得下頁f(x)第3頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

例1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求(1)常數(shù)a;(2)分布函數(shù)F(x).

解:(1)由解得A=－1/2.下頁三、分布函數(shù)求法從而得第4頁,共22頁，2024年2月25日，星期天求(2)分布函數(shù)F(x).當(dāng)0≤x＜2時(shí)，當(dāng)x≥2時(shí),由定義有下頁當(dāng)x<0時(shí),

例1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為第5頁,共22頁，2024年2月25日，星期天下頁從而得分布函數(shù)為另：第6頁,共22頁，2024年2月25日，星期天例2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

求常數(shù)A.解：下頁因?yàn)镕(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，所以F(x)為連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可得即A=1.第7頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

如果隨機(jī)變量X的概率密度為分布函數(shù)為則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,記為X～U[a,b].得X落在[a,b]內(nèi)任一小區(qū)間[c,d]內(nèi)的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的位置無關(guān)．四、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布下頁1.均勻分布第8頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

例3.設(shè)隨機(jī)變量X在[2,8]上服從均勻分布，求二次方程

y2+2Xy+9=0有實(shí)根的概率.解：由于X在[2,8]上服從均勻分布，故X的概率密度為從而，P{y2+2Xy+9=0有實(shí)根}=P{X≥3}+P{X≤-3}=1-P{X<3}+P{X≤-3}下頁方程有實(shí)根等價(jià)于4X2-36≥0,即X≥3或X≤-3,第9頁,共22頁，2024年2月25日，星期天2.指數(shù)分布則稱X服從參數(shù)為l的指數(shù)分布,記作X～E[l].l>0為常數(shù).分布函數(shù)為

指數(shù)分布常用來作各種“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命；動(dòng)物的壽命；電話問題中的通話時(shí)間都常假定服從指數(shù)分布．若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為下頁第10頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

例4.

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(單位:分鐘)服從參數(shù)l=1/5的指數(shù)分布.等待服務(wù)時(shí)間若超過10分鐘，顧客就會(huì)離去.若該顧客一個(gè)月到銀行5次,以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.該顧客未得到服務(wù)事件為{X>10}，其概率為所以Y的分布律為下頁解：X的分布函數(shù)第11頁,共22頁，2024年2月25日，星期天若X的概率密度為分布函數(shù)F(x)x其中m,s(s

>0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為m,s

2的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記作X～N(m

,

s

2).f(x)0x下頁3.正態(tài)分布⑴

正態(tài)分布定義第12頁,共22頁，2024年2月25日，星期天①曲線關(guān)于x=m對稱.②當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)f(x)達(dá)到最大值，最大值為下頁f(x)mm+hm-h⑵

概率密度的特點(diǎn)③拐點(diǎn)(m

±s

，f(m

±s));水平漸近線為ox軸.第13頁,共22頁，2024年2月25日，星期天④固定s

，改變m值，曲線f(x)形狀不變，僅沿x軸平移.可見m確定曲線f(x)的位置.⑤固定m，改變s值，則s愈小時(shí)，f(x)圖形的形狀愈陡峭，X

落在m附近的概率越大.m1m2f(x)xf(x)xs=2s=0.5s=1下頁第14頁,共22頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)m=0,s=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

記作X～N(0,1).下頁⑶

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)第15頁,共22頁，2024年2月25日，星期天⑷標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn)下頁第16頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

例5.設(shè)X～N(0,1),計(jì)算：①P{X≤2.35}；②P{-1.64≤X＜0.82}；③P{|X|≤1.54}.解：①P{X≤2.35}=Φ(2.35)=0.9906.②P{-1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)-Φ(-1.64)=Φ(0.82)-[1-Φ(1.64)]=0.7434.③P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)–Φ(-1.54)=2Φ(1.54)–1=0.8764.下頁⑸標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算查頁表第17頁,共22頁，2024年2月25日，星期天即下頁⑹一般正態(tài)分布查表計(jì)算方法：轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布情形后，再查表.轉(zhuǎn)換：于是有顯然，第18頁,共22頁，2024年2月25日，星期天解：①P{X＞-2}=1-

P{X≤-2}=1-F(-2)=1－φ(-1.5)=φ(1.5)=0.9932.=0.9938-0.9332=0.0606.=1–[φ(1.5)-φ(-2.5)]=φ(2.5)-φ(1.5)③P{|X|＞4}=1-P{|X|≤4}=1-

P{-4≤X≤4}②=0.9772－0.6915=0.2857.下頁

例6.

設(shè)X~N(1,4)，求：①P{X＞-2}；②P{2＜X＜5}；③P{|X|＞4}.第19頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

例7

（“三σ”原則）設(shè)X~N(μ,σ2)，

求P{|X―μ|＜σ}，P{|X―μ|＜2σ}，P{|X―μ|＜3σ}解

P{|X―μ|＜σ}=P{μ―σ＜X＜μ+σ}= = 第20頁,共22頁，2024年2月25日，星期天

例9.公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?解:

設(shè)車門高度為h(cm),則碰頭事件可表示為{X≥h}，依題意有

P{X≥h}≤0.01.因?yàn)閄～N(170,62),所以P