解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法

關(guān)于解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法12復(fù)數(shù)列收斂的條件那末對(duì)于任意給定的就能找到一個(gè)正數(shù)N,證第2頁,共108頁，2024年2月25日，星期天3從而有所以同理反之,如果第3頁,共108頁，2024年2月25日，星期天4從而有定理一說明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.[證畢]第4頁,共108頁，2024年2月25日，星期天5例4.1

判別下列數(shù)列是否收斂？如果收斂，求出其極限：解：先分解，然后分別考察和的極限，再確定數(shù)列的收斂性。（1）第5頁,共108頁，2024年2月25日，星期天6（2）（3）故原數(shù)列收斂于零。（4）發(fā)散。第6頁,共108頁，2024年2月25日，星期天7例4.2

證明：證：令，有（1）時(shí)，，由夾逼定理，可得。第7頁,共108頁，2024年2月25日，星期天8（2）時(shí)，，因?yàn)楹筒煌瑫r(shí)為零，所以（3）時(shí)，，（4），，則，，因?yàn)榕c均不存在，所以不存在。第8頁,共108頁，2024年2月25日，星期天94.1.2

級(jí)數(shù)的概念1.定義表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)最前面n

項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的部分和.部分和第9頁,共108頁，2024年2月25日，星期天10收斂與發(fā)散說明:

與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:第10頁,共108頁，2024年2月25日，星期天11定理4.1.3（柯西收斂準(zhǔn)則）復(fù)級(jí)數(shù)(4.1）收斂的充要條件為：對(duì)任給的，存在正整數(shù)，當(dāng)且為任何正整數(shù)時(shí)第11頁,共108頁，2024年2月25日，星期天122.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件證因?yàn)槎ɡ矶?2頁,共108頁，2024年2月25日，星期天13說明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題(定理二)第13頁,共108頁，2024年2月25日，星期天14解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)第14頁,共108頁，2024年2月25日，星期天15必要條件重要結(jié)論:第15頁,共108頁，2024年2月25日，星期天16不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示:判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.第16頁,共108頁，2024年2月25日，星期天173.絕對(duì)收斂與條件收斂注意應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法則判定.定理三第17頁,共108頁，2024年2月25日，星期天18證由于而根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較準(zhǔn)則,知第18頁,共108頁，2024年2月25日，星期天19由定理二可得[證畢]第19頁,共108頁，2024年2月25日，星期天20非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).說明如果

收斂,那末稱級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.定義第20頁,共108頁，2024年2月25日，星期天21所以綜上:第21頁,共108頁，2024年2月25日，星期天22例4.3

判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂：（1）；（2）；解：將級(jí)數(shù)化為，由兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)的斂散性，確定的收斂性。（1）可化為，發(fā)散。（2）可化為，收斂。第22頁,共108頁，2024年2月25日，星期天23例4.4

下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？解：（1）可化為，發(fā)散。（2）因，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。第23頁,共108頁，2024年2月25日，星期天24（3）條件收斂，而收斂，故原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂。（4）故原級(jí)數(shù)發(fā)散。第24頁,共108頁，2024年2月25日，星期天25（１）一個(gè)絕對(duì)收斂的復(fù)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可以任意重排次序，而不致改變其絕對(duì)收斂性，亦不致改變其和。（2）兩個(gè)絕對(duì)收斂的復(fù)級(jí)數(shù)可按對(duì)角線方法得出乘積級(jí)數(shù)。定理4.4第25頁,共108頁，2024年2月25日，星期天264.2冪級(jí)數(shù)4.2.1復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)為一復(fù)變函數(shù)列，其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達(dá)式

(4.2)稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記作.級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的部分和.第26頁,共108頁，2024年2月25日，星期天27和函數(shù)如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)，極限存在，則稱級(jí)數(shù)在收斂，稱為它的和。如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂，則其和是D內(nèi)的一個(gè)和函數(shù)：即對(duì)任意的，以及給定的，存在正整數(shù)，使當(dāng)時(shí)，有第27頁,共108頁，2024年2月25日，星期天28一致收斂性定義4.2.1

對(duì)于級(jí)數(shù)(4.2），如果在點(diǎn)集D上有一個(gè)函數(shù)，使對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的都有則稱級(jí)數(shù)(4.2）在D上一致收斂于。定理4.2.1(柯西一致收斂準(zhǔn)則）級(jí)數(shù)(4.2)在點(diǎn)集D上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是：任給存在正整數(shù)，使當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有第28頁,共108頁，2024年2月25日，星期天29一致收斂的充分條件（優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則）：如果有正數(shù)列，使對(duì)一切都有且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則在點(diǎn)集D上絕對(duì)收斂且一致收斂。例4.5

級(jí)數(shù)在閉圓上一致收斂。第29頁,共108頁，2024年2月25日，星期天30定理4.2.2

設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在點(diǎn)集E上連續(xù)，并且在C上一致收斂于，則和函數(shù)也在E上連續(xù).定理4.2.3

設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在曲線C上連續(xù)，并且在C上一致收斂于，則沿C可以逐項(xiàng)積分：定義4.2.2

設(shè)函數(shù)定義于區(qū)域D內(nèi)，若級(jí)數(shù)在D內(nèi)任意有界閉集上一致收斂，則稱此級(jí)數(shù)在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂。第30頁,共108頁，2024年2月25日，星期天31定理4.2.4(維爾斯特拉斯定理）設(shè)（1）函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析；（2）在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)：則（1）函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析；（2）。

（3）在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于。

第31頁,共108頁，2024年2月25日，星期天324.2.2冪級(jí)數(shù)或稱為冪級(jí)數(shù)。阿貝爾（Abel)定理如果級(jí)數(shù)在收斂，那么對(duì)滿足的，級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂，如果在級(jí)數(shù)發(fā)散，那么滿足的，級(jí)數(shù)必發(fā)散。第32頁,共108頁，2024年2月25日，星期天33證：第33頁,共108頁，2024年2月25日，星期天34第34頁,共108頁，2024年2月25日，星期天35收斂圓與收斂半徑一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂情況，可分為以下幾類：第35頁,共108頁，2024年2月25日，星期天36（1）在全平面內(nèi)處處收斂；（2）僅在原點(diǎn)收斂；（3）在以原點(diǎn)為中心的圓周內(nèi)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；在外，級(jí)數(shù)發(fā)散，稱為收斂圓，的半徑稱為收斂半徑。收斂圓周上級(jí)數(shù)的斂散性，根據(jù)具體情況分析確定。例1

求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù)。第36頁,共108頁，2024年2月25日，星期天37解：級(jí)數(shù)的部分和為當(dāng)時(shí)，有；從而有當(dāng)時(shí)，由于時(shí)，級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨于零，故級(jí)數(shù)發(fā)散。由阿貝爾定理知級(jí)數(shù)的收斂范圍為一單位圓域，在此圓域內(nèi)，級(jí)數(shù)不僅收斂，而且絕對(duì)收斂，收斂半徑為1，并有第37頁,共108頁，2024年2月25日，星期天38冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法定理2（比值法）如果，則收斂半徑。第38頁,共108頁，2024年2月25日，星期天39第39頁,共108頁，2024年2月25日，星期天40第40頁,共108頁，2024年2月25日，星期天41定理3（根值法）如果，則收斂半徑。例2

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：1）（并討論在收斂圓周上的情形）；2）（并討論時(shí)的情形）；3）。第41頁,共108頁，2024年2月25日，星期天42解：1）R=1；在圓周上，級(jí)數(shù)收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。2）R=1；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，發(fā)散。3）因?yàn)?，所以?jù)比值法可得收斂半徑。第42頁,共108頁，2024年2月25日，星期天43冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1）設(shè)則其中。2）如果當(dāng)時(shí)，；又在第43頁,共108頁，2024年2月25日，星期天44

時(shí)，解析且滿足，則當(dāng)時(shí)，有定理4

設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，那么1）它的和函數(shù)，即是收斂圓：內(nèi)的解析函數(shù)。2）在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，即第44頁,共108頁，2024年2月25日，星期天453）在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即或。例3

設(shè)有冪級(jí)數(shù)與，求的收斂半徑。第45頁,共108頁，2024年2月25日，星期天46解：容易驗(yàn)證，與的收斂半徑都等于1，但級(jí)數(shù)的收斂半徑。注意使成立的收斂圓域仍應(yīng)為，不能擴(kuò)大。例4

把函數(shù)表示成形如的冪級(jí)數(shù)，其中與是互不相等的復(fù)常數(shù)。第46頁,共108頁，2024年2月25日，星期天47第47頁,共108頁，2024年2月25日，星期天48第48頁,共108頁，2024年2月25日，星期天494.3解析函數(shù)的泰勒展開式本節(jié)主要內(nèi)容：1.泰勒定理、泰勒級(jí)數(shù)的相關(guān)概念；2.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況；3.初等函數(shù)的泰勒展開法（直接法、間接法）第49頁,共108頁，2024年2月25日，星期天504.3.1泰勒定理定理4.3.1（泰勒定理）設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，為內(nèi)的一點(diǎn)，為到內(nèi)邊界上各點(diǎn)的最短距離，當(dāng)時(shí)，成立，其中。上式稱為在的泰勒展開式。等式右邊稱為在的泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)稱為馬克勞林級(jí)數(shù)。第50頁,共108頁，2024年2月25日，星期天51證明要點(diǎn)：由柯西積分公式，有然后利用已知冪級(jí)數(shù)展開式將被積式展開成的冪級(jí)數(shù)即得。定理4.3.2

函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是在D內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展開成的冪級(jí)數(shù)，即泰勒級(jí)數(shù)。第51頁,共108頁，2024年2月25日，星期天524.3.2冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況定理4.3.3

如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，且則在收斂圓周上至少有一奇點(diǎn)，即不可能有這樣的函數(shù)存在，它在內(nèi)與恒等，而在C上處處解析。由以上定理可得一確定收斂半徑R的方法：第52頁,共108頁，2024年2月25日，星期天53如果在解析，則使在的泰勒展開式成立的圓域的半徑就等于從到的距最近一個(gè)奇點(diǎn)之間的距離，即。任何一個(gè)解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的。4.3.3一些初等函數(shù)的泰勒展開式直接算出各階導(dǎo)數(shù)后利用泰勒定理求得函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的方法稱為直接展開法。借助已知函數(shù)展開式，利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)求得函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的方法稱為間接展開法。第53頁,共108頁，2024年2月25日，星期天54常用的冪級(jí)數(shù)展開式：第54頁,共108頁，2024年2月25日，星期天55其中是指主值，是復(fù)數(shù)。第55頁,共108頁，2024年2月25日，星期天56例1

求下列函數(shù)在的泰勒展開式。解：（1）因?yàn)樵谌矫鎯?nèi)解析，所以又第56頁,共108頁，2024年2月25日，星期天57故在的泰勒展開式為（2）在從－1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的，－1是它的一個(gè)奇點(diǎn)，所以它在內(nèi)可以展開成的冪級(jí)數(shù)。第57頁,共108頁，2024年2月25日，星期天58由兩邊積分可得（3）函數(shù)有一奇點(diǎn)，而在內(nèi)處處解析，故可在內(nèi)展開成的冪級(jí)數(shù)，由兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，可得第58頁,共108頁，2024年2月25日，星期天59例2

將分別展開為和的冪級(jí)數(shù)，并求出收斂半徑。解：展開為的冪級(jí)數(shù)，可得由，可得收斂半徑為。展開為的冪級(jí)數(shù)，可得第59頁,共108頁，2024年2月25日，星期天60由，可得收斂半徑為。練習(xí)：（1）將在展開為泰勒級(jí)數(shù)。（2）將展開為的泰勒級(jí)數(shù)。答案：第60頁,共108頁，2024年2月25日，星期天61例3

求冪函數(shù)（為復(fù)數(shù)）的主值：在處的泰勒展開式。第61頁,共108頁，2024年2月25日，星期天62解：法1：待定系數(shù)法。對(duì)求導(dǎo)可得，設(shè)代入上式，并注意到，比較兩邊系數(shù)可得所求展開式為第62頁,共108頁，2024年2月25日，星期天63法2：設(shè)，則，從而，兩邊求導(dǎo)，得繼續(xù)求導(dǎo)，可得令，得，從而可得展開式如法1中所示。第63頁,共108頁，2024年2月25日，星期天64定義4.4.1

設(shè)f(z)在解析區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)a的值為零,則a為解析函數(shù)f(z)的零點(diǎn).4.4解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性4.4.1解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性如果在|z-a|<R內(nèi),解析函數(shù)f(z)不恒為零,我們將它在點(diǎn)a展成冪級(jí)數(shù),此時(shí),冪級(jí)數(shù)的系數(shù)不必全為零.故必有一正數(shù)m(m≥1),使得合乎上述條件的m稱為零點(diǎn)a的級(jí),a成稱f(z)的m級(jí)零點(diǎn).特別是當(dāng)m=1時(shí),a也稱為f(z)的簡(jiǎn)單零點(diǎn).第64頁,共108頁，2024年2月25日，星期天65定理4.17

不恒為零的解析函數(shù)f(z)以a為m級(jí)零點(diǎn)的充要條件為:其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且上式是具有m階零點(diǎn)a的解析函數(shù)的解析表達(dá)式。例4.4.1

考察函數(shù)在原點(diǎn)z=0的性質(zhì)。例4.4.2

求的全部零點(diǎn)，并指出它們的階。解：由知z=0為的三階零點(diǎn)。其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且上式是具有m階零點(diǎn)a的解析函數(shù)的解析表達(dá)式。例4.4.1

考察函數(shù)在原點(diǎn)z=0的性質(zhì)。例4.4.1

考察函數(shù)解：由知z=0為的三階零點(diǎn)。其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且例4.4.1

考察函數(shù)在原點(diǎn)z=0的性質(zhì)。例4.4.1

考察函數(shù)例4.4.1

考察函數(shù)例4.4.1

考察函數(shù)在原點(diǎn)z=0的性質(zhì)。例4.4.1

考察函數(shù)其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且上式是具有m階零點(diǎn)a的解析函數(shù)的解析表達(dá)式。第65頁,共108頁，2024年2月25日，星期天66解：在z平面上解析，由可知為在z平面上的全部零點(diǎn)。又由可知都是在z平面上的二階零點(diǎn)。第66頁,共108頁，2024年2月25日，星期天67一個(gè)實(shí)變可微函數(shù)的零點(diǎn)不一定是孤立的，例如：都是它的零點(diǎn)。因故不是的孤立零點(diǎn)。但在復(fù)變函數(shù)中，我們有下述定理第67頁,共108頁，2024年2月25日，星期天68定理4.18

如在|z-a|<R內(nèi)解析的函數(shù)f(z)不恒為零,a為其零點(diǎn),則必有a的一個(gè)鄰域,使得f(z)在其中無異于a的零點(diǎn).(簡(jiǎn)單來說就是,不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的.)

證設(shè)a為f(z)的m級(jí)零點(diǎn),于是,由定理(4.17)其中在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且從而在點(diǎn)a連續(xù).于是由例1.28知存在一鄰域|z-a|<r使得于其中恒不為零.故f(z)在其中無異于a的其它零點(diǎn).第68頁,共108頁，2024年2月25日，星期天69推論4.19

設(shè)(1)f(z)在鄰域K:|z-a|<R內(nèi)解析;(2)在K內(nèi)有f(z)的一列零點(diǎn)收斂于a,則f(z)在K內(nèi)必恒為零.證：因?yàn)閒(z)在點(diǎn)a連續(xù),且,讓n趨于無窮取極限,即得f(a)=0.故a是一個(gè)非孤立的零點(diǎn).由定理4.18知f(z)在K內(nèi)恒為零.定理4.20

設(shè)(1)函數(shù)與在區(qū)域D內(nèi)解析;(2)D內(nèi)一個(gè)收斂于a∈D的點(diǎn)列，在其上與等值,則和在D內(nèi)恒等.證：令我們只須證明f(z)在D內(nèi)恒為零就行了.4.4.2唯一性定理第69頁,共108頁，2024年2月25日，星期天70由假設(shè)知f(z)在D內(nèi)解析,且在D內(nèi)有一系列零點(diǎn)收斂于a∈D.如果D本身就是以a為心的圓,或D就是整個(gè)z平面,則由推論4.19,即知.定理就證明了.一般情況下,可用所謂圓鏈法來證明.K0a0=aa1K1a2LKt-1at-1atKtan=bD圖4.2設(shè)b是D內(nèi)任意固定的點(diǎn)(圖4.2).在D內(nèi)可作一折線L連接a及b,以d表示L與邊界間的最短距離(見第三章定理3.3注,d>0).在L上依次取一串點(diǎn),使相鄰兩點(diǎn)間的距離小于定數(shù)R(0<R<d).顯然,由推論4.19,在圓內(nèi).在圓又重復(fù)推論4.19,即知內(nèi).這樣繼續(xù)下去,第70頁,共108頁，2024年2月25日，星期天71直到最后一個(gè)含有點(diǎn)b為止,在該圓內(nèi),特別說來,f(b)=0.因?yàn)閎是D內(nèi)任意的點(diǎn),故證明了D內(nèi).推論4.21

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)及在D內(nèi)的某一子區(qū)域(或一小段弧)相等,則它們?cè)贒內(nèi)恒等.推論4.22

一切在實(shí)軸上成立的恒等式(例如等等),在z平面上也成立,只要這個(gè)恒等式的兩邊在z平面上都是解析的.定理4.23(最大模原理)

設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則|f(z)|在D內(nèi)任何點(diǎn)都不能達(dá)到最大值,除非在D內(nèi)f(z)恒等于常數(shù).第71頁,共108頁，2024年2月25日，星期天72一、問題的引入問題1:負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂收斂4.5洛朗級(jí)數(shù)第72頁,共108頁，2024年2月25日，星期天73收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分R第73頁,共108頁，2024年2月25日，星期天74結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...第74頁,共108頁，2024年2月25日，星期天75例如，都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而2.問題2:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級(jí)數(shù)?第75頁,共108頁，2024年2月25日，星期天76所以即內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù).也可以展開成級(jí)數(shù)：第76頁,共108頁，2024年2月25日，星期天77二、洛朗級(jí)數(shù)的概念定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞

的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.為洛朗系數(shù).第77頁,共108頁，2024年2月25日，星期天78證對(duì)于第一個(gè)積分:Rr.z..第78頁,共108頁，2024年2月25日，星期天79對(duì)于第二個(gè)積分:第79頁,共108頁，2024年2月25日，星期天80其中第80頁,共108頁，2024年2月25日，星期天81下面證明第81頁,共108頁，2024年2月25日，星期天82則第82頁,共108頁，2024年2月25日，星期天83如果C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線.則可用一個(gè)式子表示為:[證畢]第83頁,共108頁，2024年2月25日，星期天84說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).

1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法.第84頁,共108頁，2024年2月25日，星期天85定理4.5.2

洛朗級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂，其和函數(shù)是收斂圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)，而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)。顯然，泰勒級(jí)數(shù)是洛朗級(jí)數(shù)的特殊情形。第85頁,共108頁，2024年2月25日，星期天86三、函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法1.直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫出缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.第86頁,共108頁，2024年2月25日，星期天87根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)捷,快速.2.間接展開法第87頁,共108頁，2024年2月25日，星期天88例1解由定理知:其中第88頁,共108頁，2024年2月25日，星期天89故由柯西–古薩基本定理知:由高階導(dǎo)數(shù)公式知:第89頁,共108頁，2024年2月25日，星期天90另解本例中圓環(huán)域的中心z=0既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),第90頁,共108頁，2024年2月25日，星期天91例2內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).解第91頁,共108頁，2024年2月25日，星期天92oxy1第92頁,共108頁，2024年2月25日，星期天9312oxy由且仍有第93頁,共108頁，2024年2月25日，星期天942oxy由此時(shí)第94頁,共108頁，2024年2月25日，星期天95仍有第95頁,共108頁，2024年2月25日，星期天96注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn).