2024年大連市高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷附答案解析

年大連市高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷注意事項：1．請在答題紙上作答，在試卷上作答無效．2．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)3．方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．且4．已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，且，則5．將六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（

）A．12種 B．18種 C．36種 D．54種6．若，且，則（

）A． B． C． D．17．設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓M的半徑為a（M為圓心），且，使得，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．已知，若，則B．復(fù)數(shù)滿足，則C．復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線D．復(fù)數(shù)z滿足，則10．已知函數(shù)，若，且，都有，則（

）A．在單調(diào)遞減B．的圖象關(guān)于對稱C．直線是一條切線D．的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)是偶函數(shù)11．已知函數(shù)是定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)，若，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．是減函數(shù)C． D．是的極小值點(diǎn)第Ⅱ卷三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）12．“函數(shù)是奇函數(shù)”的充要條件是實數(shù)．13．在邊長為4的正方形ABCD中，如圖1所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點(diǎn)，分別沿AE，AF及EF所在直線把和折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐，如圖2所示，則三棱錐外接球的表面積是；過點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球所得截面的面積的取值范圍是．14．已知實數(shù)，且，則的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖多面體ABCDEF中，面面，為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，，且，H，G分別為CE，CD的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求平面BCEF與平面FGH所成角的余弦值；(3)作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AD交點(diǎn)為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）．16．已知函數(shù)．(1)若恒成立，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：．17．一個不透明的盒子中有質(zhì)地、大小均相同的7個小球，其中4個白球，3個黑球，現(xiàn)采取不放回的方式每次從盒中隨機(jī)抽取一個小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時，停止取球．(1)求停止取球時盒中恰好剩3個白球的概率；(2)停止取球時，記總的抽取次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望：(3)現(xiàn)對方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個球分裝在甲乙兩個盒子中，甲盒裝3個小球，其中2個白球，1個黑球：乙盒裝4個小球，其中2個白球，2個黑球．采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機(jī)抽取一個小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望，并從實際意義解釋X與Y的數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為G．(1)求曲線G的方程：(2)若P，C，D為曲線G上的三個動點(diǎn)，的平分線交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)Q到直線PC的距離為1．（?。┤酎c(diǎn)Q為重心，用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ⅱ）若，求a的取值范圍．19．對于數(shù)列，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列，其中，且．這種“T變換”記作，繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束．(1)寫出數(shù)列A：3，6，5經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列：(2)若不全相等，判斷數(shù)列不斷的“T變換”是否會結(jié)束，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列A：2020，2，2024經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求k的最小值．1．C【分析】由補(bǔ)集和交集的定義運(yùn)算.【詳解】集合，集合，則，有.故選：C2．B【詳解】評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差，故選B.點(diǎn)睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）．在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度．3．D【分析】分焦點(diǎn)在x軸，y軸兩種情況討論，寫出m范圍即可.【詳解】方程表示橢圓，若焦點(diǎn)在x軸上，；若焦點(diǎn)在y軸上，.綜上：實數(shù)的取值范圍是且故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了學(xué)生概念理解，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．D【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對各項進(jìn)行分析即可．【詳解】若，則a，b可以是平行，也可以是相交或異面，故A錯誤；若，則或，故B錯誤；若且，當(dāng)時，不能證明，C選項錯誤；若，且，在上取一點(diǎn)，作，由面面垂直的性質(zhì)定理可得且，既與重合，可得，故D正確.故選：D5．B【分析】先平均分組，再利用全排列可求不同分配方法的總數(shù).【詳解】將余下四人分成兩組，每組兩人，有種分法，故不同的分配方法共有種，故選：B.6．A【分析】先利用三角恒等變換公式化簡可得，結(jié)合可得，進(jìn)而可得.【詳解】由得，即，因為，所以，所以，結(jié)合，且，得，所以.故選：A.7．C【分析】觀察題設(shè)條件與所求不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)說明其奇偶性和單調(diào)性，從而將所求轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.【詳解】因為，所以，設(shè)，顯然定義域為，，又，所以為上的奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，又，則，所以，即，所以，解得，則滿足的的取值范圍是．故選：C．8．A【分析】向量坐標(biāo)化并結(jié)合雙曲線定義與等面積得點(diǎn)點(diǎn)距列方程得代入雙曲線求出離心率.【詳解】設(shè)，由對稱性不妨設(shè)A在第一象限，此時M也在第一象限，因為，所以，所以，又，解得，所以，所以，解得，所以，代入雙曲線方程得：，解得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查雙曲線的離心率，關(guān)鍵是向量坐標(biāo)化并充分利用曲線定義確定A的坐標(biāo).9．BCD【分析】根據(jù)虛數(shù)不能比較大小可知A錯誤；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算，可判斷D.【詳解】對A，虛數(shù)不能比較大小，可知A錯誤；對B，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義知，當(dāng)時，，則，故B正確；對C，因為復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到兩點(diǎn)間的距離相等，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為兩點(diǎn)構(gòu)成線段的中垂線，即在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為一條直線，故C正確；因為，則，又，故D正確，故選：BCD.10．BC【分析】依題意可得即可求出，再根據(jù)函數(shù)的最大值求出，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、D，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，即可判斷C.【詳解】對A，因為，所以，又，且，都有，所以，所以，解得，即，又，所以，解得，又，所以，所以，當(dāng)時，又在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故A錯誤；對B，因為，所以的圖象關(guān)于對稱，故B正確；對C，因為，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，所以或，解得或，又，因為，即，解得，所以，即直線是函數(shù)在處的切線，故C正確；對D，將的圖象向右平移個單位長度后得到，顯然是非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：BC11．ACD【分析】令求出，令可確定奇偶性，將當(dāng)作常數(shù)，作為變量，對原式求導(dǎo)，然后可通過賦值，解不等式求單調(diào)性及極值.【詳解】令，得，令，得，所以是奇函數(shù)，A正確；令，又，，令，，，或在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，是的極小值，故CD正確，B錯誤.故選：ACD.12．0【分析】結(jié)合三角函數(shù)奇偶性、冪函數(shù)奇偶性以及奇偶性的定義即可運(yùn)算求解.【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)，也就是恒成立，從而只能.故答案為：0.13．【分析】補(bǔ)體法確定外接球直徑進(jìn)而求得表面積；利用球的截面性質(zhì)確定面積最值.【詳解】由題意，將三棱錐補(bǔ)形為邊長為2，2，4長方體，如圖所示：三棱錐外接球即為補(bǔ)形后長方體的外接球，所以外接球的直徑，所以三棱錐外接球的表面積為，過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面為圓，其中最大截面為過球心的大圓，此時截面圓的面積為，最小截面為過點(diǎn)垂直于球心與連線的圓，此時截面圓半徑（其中MN長度為長方體前后面對角線長度），故截面圓的面積為，所以過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為．故答案為：;14．【分析】利用消元法得到的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性后可求最小值.【詳解】，設(shè)，其中，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，此時，故的最小值為.故答案為：.15．(1)證明見解析(2)(3)，作圖見解析【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，從而證明出線線垂直；（2）由面面垂直得到線面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向量，進(jìn)而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出輔助線，得到線線平行，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】（1）在正方形中，，∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，；（2）為等邊三角形，設(shè)中點(diǎn)為，∴，又平面平面，面面面，則面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為，則，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為則，取得，所以，設(shè)平面的一個法向量為則，取得，所以，所以，所以平面與與平面成角的余弦值為；（3）如圖所示：在上取一點(diǎn)，使得，連接，因為，，所以，即，所以為平行四邊形，故，因為H，G分別為CE，CD的中點(diǎn)，所以，故，即共面，故.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基礎(chǔ)上得到，，再構(gòu)造函數(shù)得到，得到，從而得到結(jié)論；法二：即證，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再對分子求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，得到，證明出結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，在上恒成立，設(shè)，解得，，解得，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，即，；（2）法一：由（1）知時，恒成立，取，得成立，時取等號．所以當(dāng)時，，設(shè)，故時，，在上為增函數(shù)，，．所以時，，即．由此可證，當(dāng)時，，結(jié)論得證．法二：當(dāng)時，若證成立．即證，設(shè)，，設(shè)，當(dāng)時，在上為增函數(shù)．，在上為增函數(shù)，，由此可證，當(dāng)時，成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.17．(1)(2)分布列見解析，(3)，在將球分裝時，甲盒取完后直接取乙盒，此時甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低．【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得概率；（2）先確定的取值，再就每一個取值的意義結(jié)合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先確定的取值，再設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為，根據(jù)題設(shè)得到三者之間的關(guān)系，再結(jié)合古典概型的概率公式可求分布.【詳解】（1）設(shè)“停止取球時盒中恰好剩3個白球”為事件，則；（2）的可能取值為3，4，5，6，，，，，所以的分布列為3456的數(shù)學(xué)期望；（3）的可能取值為3，4，5，6，設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為，因為乙盒中兩種小球個數(shù)相同，所以無論甲盒剩余小球什么顏色，乙盒只需取完一種顏色即可，，，，，的數(shù)學(xué)期望，在將球分裝時，甲盒取完后直接取乙盒，此時甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低．18．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）對向量坐標(biāo)化，整理得曲線軌跡方程；（2）法一：由條件得，結(jié)合斜率和重心坐標(biāo)公式得P坐標(biāo)，由角分線意義得，平方化簡得是方程的兩根，直線與曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出P坐標(biāo)，即可求解；法二：由圓切線方程抽方程可知直線的方程為，與圓聯(lián)立得，結(jié)合韋達(dá)定理得P坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，即，，，，化簡得曲線的方程：；（2）（ⅰ）解法1：設(shè)，為的角平分線．為重心為的中線，S三線合一可得，為重心①設(shè)直線方程為：，直線方程為：，是的平分線，點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離為1，，可得同理，即是方程的兩根，，聯(lián)立可得：，，同理，點(diǎn)為重心，，即，又，故點(diǎn)的坐標(biāo)為②聯(lián)立①②可得即（ⅱ）由（?。┲?，，等價于時滿足題意．（?。┙夥?：是的平分線，點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離為1，直線與圓相切，設(shè)直線與圓的切點(diǎn)分別為，設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得，整理得，結(jié)合，進(jìn)一步可得直線方程為：，同理直線方程為，因為點(diǎn)在兩條直線上，所以可知直線的方程為，代入圓方程可得：即：設(shè)直線的斜率，直線的斜率為，即，聯(lián)立直線與拋物線方程，，可得：，，同理可得，點(diǎn)為重心，，即，又故點(diǎn)的坐標(biāo)為②其余過程同解法1．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線位置關(guān)系,關(guān)鍵是利用角分線的意義抽方程或直線,進(jìn)而得韋達(dá)定理求出P坐標(biāo).19．(1)0，1，1(2)不會，理由見解析(3)507【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的新定義寫出經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列即可；（2）先假設(shè)數(shù)列經(jīng)過不斷的“T變換”結(jié)束，不妨設(shè)最后的數(shù)列，由數(shù)列往前推，則非零數(shù)量可能通過“T變換”結(jié)束，或者數(shù)