3.3 一元一次不等式（解析版）

3.3一元一次不等式1.理解一元一次不等式的概念2.理解一元一次不等式的解的概念，并會在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解3.掌握解一元一次不等式的一般步驟，并會運用該步驟解一元一次不等式4.會在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解5.會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列一元一次不等式，并會利用一元一次不等式解決簡單的實際問題知識點一一元一次不等式的概念1.一元一次不等式不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是一次,這樣的不等式叫做一元一次不等式[喚醒舊知]單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.2.一元一次不等式與一元一次方程的異同名稱相同點不同點一元一次不等式①兩邊都是整式；②都只含有一個未知數(shù);③含未知數(shù)的項的最高次數(shù)都是一次用不等號連接一元一次方程用等號連接即學(xué)即練1（2023上·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，進(jìn)而判斷得出即可．【詳解】解：A、含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；B、是一元一次不等式，符合題意；C、不含未知數(shù)，是不等關(guān)系，不是一元一次不等式，不符合題意；D、未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次不等式，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查一元一次不等式的定義，正確把握一元一次不等式的要素是解決問題的關(guān)鍵．一元一次不等式的識別方法：(1)看式子是不是由不等號連接而成;(2)看化簡(去括號、移項、合并同類項)后的不等式兩邊是否為整式(分母中是否含有未知數(shù));(3)看是否只含有一個未知數(shù);(4)看含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是否為1.知識點二不等式的解集(不等式的解)能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集,簡稱為不等式的解.注意：不等式的解通常是一個實數(shù)的集合,是由使不等式成立的未知數(shù)的值的全體組成的.即學(xué)即練1（2023上·浙江湖州·八年級校聯(lián)考期中）求適合不等式的所有非負(fù)整數(shù)是．【答案】，【分析】本題考查了求不等式非負(fù)整數(shù)解，先解不等式，進(jìn)而根據(jù)不等式的解集，寫出非負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：，去括號得，，移項得，，合并同類項，得，化系數(shù)為1，得，，∴所有非負(fù)整數(shù)是，，故答案為：，．即學(xué)即練2（2023上·浙江杭州·八年級?？计谥校┙獠坏仁剑海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了解一元一次不等式；按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解一元一次不等式，即可求解．【詳解】解：去括號，移項，合并同類項，化系數(shù)為1，知識點三一元一次不等式的解法解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類似,解一元一次不等式的一般步驟和根據(jù)如下：序號步驟根據(jù)1去分母不等式的基本性質(zhì)32去括號單項式乘多項式法則3移項不等式的基本性質(zhì)24合并同類項，得或合并同類項法則5兩邊同除以不等式的基本性質(zhì)3注意：(1)去括號時,注意符號,當(dāng)括號前是“-”,去掉“-”和括號時,括號內(nèi)的各項一定要改變符號;(2)合并同類項時,同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變；(3)解不等式時，五個步驟不一定都能用到，并且不一定按照這個順序進(jìn)行,應(yīng)根據(jù)不等式的特點靈活安排求解步驟.即學(xué)即練1（2023上·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）解下列不等式，并把解表示在數(shù)軸上(1)(2)【答案】(1)，見解析(2)，見解析【分析】本題考查解一元一次不等式，用數(shù)軸表示不等式的解集．（1）根據(jù)解不等式的步驟進(jìn)行求解，再用數(shù)軸表示不等式的解集即可；（2）根據(jù)解不等式的步驟進(jìn)行求解，再用數(shù)軸表示不等式的解集即可．掌握解不等式的步驟，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：；數(shù)軸表示如下：

（2）去分母，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：；數(shù)軸表示如下：用數(shù)軸表示不等式的解時，應(yīng)特別注意邊界點是用實心圓點還是用空心圓圈表示.若表示出的解包括邊界點，則用實心圓點，否則用空心圓圈.知識點四利用一元一次不等式解應(yīng)用題列一元一次不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟類似，即:審:認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中的不等關(guān)系；設(shè):設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；列:根據(jù)題中的不等關(guān)系,列出不等式；解:解出所列不等式的解；答:寫出答案,并檢驗答案是否符合題意.應(yīng)特別注意:列不等式時，兩邊所表示的量應(yīng)該相同，并且單位要統(tǒng)一.即學(xué)即練（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中甲產(chǎn)品每件成本為10元，銷售價格為12元；乙產(chǎn)品每件成本為7元，銷售價格為8.5元；甲、乙兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當(dāng)天全部售出．(1)第一個月該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品的總成本為5800元，銷售總利潤為1200元，求這個月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件？(2)下個月該公司計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共800件，且使總利潤不低于1350元，則乙產(chǎn)品至多要生產(chǎn)多少件？【答案】(1)生產(chǎn)甲產(chǎn)品300件，乙產(chǎn)品400件(2)乙產(chǎn)品至多生產(chǎn)500件【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程組和不等式組是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，根據(jù)題意列出方程組，求出即可；（2）設(shè)乙產(chǎn)品生產(chǎn)m件，則甲產(chǎn)品生產(chǎn)件，根據(jù)題意列出不等式組，求出即可．【詳解】（1）設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，根據(jù)題意，得，解這個方程組，得，所以，生產(chǎn)甲產(chǎn)品300件，乙產(chǎn)品400件（2）設(shè)乙產(chǎn)品生產(chǎn)m件，則甲產(chǎn)品生產(chǎn)件，根據(jù)題意，得，解這個不等式，得．所以，乙產(chǎn)品至多生產(chǎn)500件．題型1一元一次不等式的定義例1（2023下·陜西寶雞·八年級校考階段練習(xí)）下列各式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義逐項判斷即可．【詳解】A．，指數(shù)為未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；B．，符合一元一次不等式的定義，符合題意；

C．，分母含有未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；D．，有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意．故選B．【點睛】本題考查一元一次不等式的定義．掌握含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2023下·山東棗莊·八年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.【答案】【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，未知數(shù)的次數(shù)是1且系數(shù)不為0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式是一元一次不等式，∴且，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的定義，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．舉一反三2（2023下·陜西榆林·八年級?？计谥校┮阎顷P(guān)于x的一元一次不等式，求m的值．【答案】【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可確定出m的值．含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．【詳解】解：依題意得，且，．【點睛】此題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關(guān)鍵．題型2列一元一次不等式例2（2023上·浙江杭州·八年級杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考期中）a與2的和大于0，用不等式表示為．【答案】【分析】根據(jù)題意寫出不等式即可，讀懂題意，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a與2的和大于0，∴，故答案為：舉一反三1（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）用不等式表示“7與m的3倍的和是非正數(shù)”就是．【答案】/【分析】讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號表示的不等式；根據(jù)和是非正數(shù)，那么最后算的和應(yīng)小于等于0，列出不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：．故答案為：．舉一反三2（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）根據(jù)數(shù)量關(guān)系：的倍加上是負(fù)數(shù)，可列出不等式：．【答案】【分析】本題考查了列一元一次不等式的知識點，根據(jù)已知條件，讀懂題目列出一元一次不等式是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題目條件，的倍加上是負(fù)數(shù)，即小于零，可以列出關(guān)于的一元一次不等式．【詳解】解：依題意得：故答案為．題型3求一元一次不等式的解集例3（2023上·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的值是．【答案】2【分析】先解一元一次不等式，然后結(jié)合數(shù)軸x的取值范圍，建立一元一次方程，求得a的值．【詳解】解：解不等式得：，圖中x的解集是有，解得：，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式的解，解一元一次不等式的步驟是：去分母，移項，合并同類項，系數(shù)化為1；注意同除以負(fù)值，不等式的符號要發(fā)生改變．舉一反三1（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）求下列不等式的解集，并將解集在數(shù)軸上表示出來．(1)；(2)．【答案】(1)，將解集在數(shù)軸上表示見解析(2)，將解集在數(shù)軸上表示見解析【分析】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步驟是關(guān)鍵；（1）先移項，合并同類項，再把未知數(shù)的系數(shù)化為“1”即可，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；（1）先去括號，再移項，合并同類項，再把未知數(shù)的系數(shù)化為“1”即可，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；在數(shù)軸上表示不等式的解集如下：.（2）∵，∴，∴，解得：.在數(shù)軸上表示不等式的解集如下：.舉一反三2（2023下·福建泉州·七年級校考期中）（1）解方程；（2）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】（1）原方程的解為；（2）原不等式的解集為，解集表示在數(shù)軸上見詳解【分析】（1）根據(jù)解方程的方法“去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為”即可求解；（2）運用不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式，并把解集表示在數(shù)軸上，根據(jù)不等式的取值方法即可求解．【詳解】解：（1）去分母得，去括號得，移項得，合并同類項得，系數(shù)化為得，，∴原方程的解為；（2）去分母得，去括號得，移項得，合并同類項得，，系數(shù)化為得，，∴原不等式的解集為，解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，

．【點睛】本題主要考查解一元一次方程，一元一次不等式等知識，掌握解方程，解不等式的方法是解題的關(guān)鍵．題型4在數(shù)軸上表示不等式的解集例4（2023下·陜西榆林·八年級?？计谥校┎坏仁降慕饧跀?shù)軸上表示正確的是（

）

B．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟，去分母，移項、合并同類項、系數(shù)化為可得不等式解集，再將不等式解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：，去分母得，，移項合并同類項得，，系數(shù)化為1得：，解集在數(shù)軸上表示為：

故選：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，將不等式解集表示在數(shù)軸上，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．舉一反三1（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）解不等式，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析．【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：，去分母，得：，移項，得：，合并，得：，系數(shù)化為1，得：；將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵．不等式的解集在數(shù)軸上表示時，空心圈表示不包含該點，實心點表示包含該點．舉一反三2（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，圖見解析【分析】先去括號，再移項得到，然后合并即可，再用數(shù)軸表示解集．【詳解】解：，去括號得，移項得，合并同類項得，系數(shù)化為1得：，用數(shù)軸表示為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式：根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．也考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．題型5求一元一次不等式的整數(shù)解例5（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）不等式的正整數(shù)解是．【答案】1【分析】此題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解，關(guān)鍵是首先移項合并同類項，算出不等式的解集，再在解集范圍內(nèi)找出符合條件的正整數(shù)解．【詳解】解：，移項得：，合并同類項得：，把的系數(shù)化為1得：，則正整數(shù)解為：1．故答案為：1．舉一反三1（2023上·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的不等式的正整數(shù)解是．【答案】1【分析】先解出不等式，然后求滿足條件的正整數(shù)解即可．【詳解】解：，，，，，不等式的正整數(shù)解是1．故答案為：1．【點睛】本題考查了解一元一次不等式及其正整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關(guān)鍵．舉一反三2求不等式的非負(fù)整數(shù)解．【答案】0，1【分析】根據(jù)去分母，移項，合并同類項，求出不等式的解集，即可求出．【詳解】解：去分母，得，移項，得，合并同類項，得．∴不等式的非負(fù)整數(shù)解是0，1．【點睛】本題考查解一元一次不等式，熟記運算法則是關(guān)鍵．題型6根據(jù)不等式的整數(shù)解求待定字母范圍例6（2022下·廣西賀州·七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的不等式只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出一元一次不等式的解集為，再根據(jù)不等式只有兩個正整數(shù)解得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵關(guān)于x的不等式只有2個正整數(shù)解，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式的解集情況求參數(shù)，正確得到是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2020上·浙江寧波·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式只有3個正整數(shù)解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根據(jù)不等式只有三個正整數(shù)解，可得到一個關(guān)于a的不等式，最后求得a的取值范圍即可．【詳解】解：解不等式，解得：，不等式有三個正整數(shù)解，一定是1、2、3，根據(jù)題意得：，解得：，故選：A．【點睛】本題主要考查了不等式的整數(shù)解，正確求解不等式得到解集是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式你只有兩個正整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出關(guān)于x的一元一次不等式的解集，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定a的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于x的不等式ax-a+6＞0只有兩個正整數(shù)解，∴a＜0，∴不等式的解集為x＜，又∵關(guān)于x的不等式ax-a+6＞0只有兩個正整數(shù)解，∴2＜≤3，解得-6＜a≤-3，故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解，掌握一元一次不等式的解法以及整數(shù)解定義是正確解答的關(guān)鍵．舉一反三3（2022下·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）關(guān)于的不等式：有3個負(fù)整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根據(jù)不等式有3個負(fù)整數(shù)解即可得到一個關(guān)于a的不等式，求得a的值．【詳解】解：解不等式得：，∵不等式有3個負(fù)整數(shù)解，則一定是-1，-2，-3，∴，故選：A．【點睛】本題考查了不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．題型7求一元一次不等式解的最值例7不等式的最大整數(shù)解是．【答案】4【分析】求出不等式的解集，即可得出答案．【詳解】解：不等式兩邊同時乘以6得：，即解得故該不等式的最大整數(shù)解是4故答案為：4【點睛】本題考查了解一元一次不等式和不等式的整數(shù)解等知識點，能求出不等式的解集是解此題的關(guān)鍵．舉一反三1不等式3(x﹣1)＞2﹣x的最小整數(shù)解是．【答案】2．【分析】根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟，去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1，依次計算求得x的范圍，據(jù)此可得．【詳解】去括號，得：3x﹣3＞2﹣x，移項，得：3x+x＞2+3，合并同類項，得：4x＞5，系數(shù)化為1，得：，則不等式組的最小整數(shù)解為2．故答案為：2．【點睛】本題考查了解一元一次不等式的基本步驟，去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1．舉一反三2代數(shù)式12-6m的值不小于2(1-2m)的最大正整數(shù)m是．【答案】5【分析】根據(jù)題意直接建立關(guān)于m的不等式求解即可．【詳解】由題意可得：，解得：，故答案為：5．【點睛】本題考查解一元一次不等式，理解題意并準(zhǔn)確建立不等式是解題關(guān)鍵．舉一反三3（2023下·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求a的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出方程的解，再根據(jù)方程的解滿足，得到關(guān)于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根據(jù)該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，可得，即可求解．【詳解】（1）解方程，得，∵該方程的解滿足，∴，解得．（2）解不等式，得，則最大的整數(shù)解是．把代入，解得．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．舉一反三4已知：是不等式的最大整數(shù)解，是不等式的最小整數(shù)解，求的值．【答案】1【分析】先解關(guān)于的一元一次不等式，根據(jù)其解集求得最大整數(shù)解，從而確定的值，同理求得的值，進(jìn)而求得代數(shù)式值．【詳解】解：不等式的解集，則最大整數(shù)解；不等式的解集，則最小整數(shù)解；則．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通過解一元一次不等式求得的值是解題的關(guān)鍵．題型8解絕對值不等式例8（2023下·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)絕對值性質(zhì)分、，去絕對值符號后解相應(yīng)不等式可得x的范圍．【詳解】解：①當(dāng)，即時，原式可化為：，解得：，；②當(dāng)，即時，原式可化為：，解得：，，綜上，該不等式的解集是，故選：C．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的能力，根據(jù)絕對值性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（1）【閱讀理解】“”的幾何意義是：數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，所以“”可理解為：數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離不小于，則：①“”可理解為；②請列舉兩個符號不同的整數(shù)，使不等式“”成立，列舉的的值為和．我們定義：形如“，，，”（為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對值不等式，能使一個絕對值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對值不等式的解集．（2）【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式．由上圖可以得出：絕對值不等式的解集是或，絕對值不等式的解集是．則：①不等式的解集是．②不等式的解集是．（3）【拓展應(yīng)用】解不等式，并畫圖說明．【答案】（1）①數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離小于；②；3；（2）①或；②；（3）或，見解析．【分析】（1）①類比題目所給的信息即可解答；②寫出符合題意的兩個整數(shù)即可（答案不唯一）；（2）①類比題目中的解題方法即可解答；②類比題目中的解題方法即可解答；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義可知，不等式的解集，就是數(shù)軸上表示數(shù)的點到表示與的點的距離之大于的所有的值，由此即可確定不等式的解集．【詳解】（1）①由題意可得，“”可理解為數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離小于．故答案為：數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離小于；②令，使不等式“”成立的整數(shù)為，，故答案為：，．（2）①由題意可知，不等式的解集是或，故答案為：或；②由題意可知，不等式的解集為：，即，故答案為：；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義可知，不等式的解集就是數(shù)軸上表示數(shù)的點，到表示與的點的距離之和大于的所有的值，如下圖所示，可知不等式的解集是或．【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三2若關(guān)于的不等式有解，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義，可把視為數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)-1(1個)，-2(2個)，-3(3個)，-4(4個)，-5(5個)的點的距離之和，得到當(dāng)x位于第8個點時，取得最小值15，即可求出a的取值范圍．【詳解】解：由絕對值的幾何意義可得，把視為數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)-1(1個)，-2(2個)，-3(3個)，-4(4個)，-5(5個)的點的距離之和，∴當(dāng)x位于第8個點時，即當(dāng)x=-4時，的最小值為15，∵，∴當(dāng)關(guān)于的不等式有解時，a的取值范圍是．故答案為：．【點睛】此題考查了絕對值的幾何意義和不等式性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求得的最小值．題型9用一元一次不等式解決幾何問題例9（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是一個鋼架結(jié)構(gòu)，在角內(nèi)部最多只能構(gòu)造5根等長的鋼條，且滿足，設(shè)，則x的取值范圍是．

【答案】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，以及不等式的應(yīng)用，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，依次求得，，，，，再根據(jù)角內(nèi)部最多只能構(gòu)造5根等長的鋼條，得出最多只能取到點，從而列出不等式求解即可，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，，∴，，又∵，∴，，又∵，∴，，又∵，∴，，又∵，∴，，∵角內(nèi)部最多只能構(gòu)造5根等長的鋼條，∴最多只能取到點，∵存在點，∴，解得：，∵最多只能取到點，∴，解得：，∴x的取值范圍是：．故答案是：．舉一反三1如圖，是等邊三角形，是邊上一點，且的度數(shù)為，則的值可能是（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】利用三角形外角的性質(zhì)得出與的關(guān)系，再根據(jù)的范圍，就可以確定出x的取值范圍，從而找到答案.【詳解】∵是等邊三角形，∴∵∴∵∴故選B【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及不等式，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.舉一反三2已知一個三角形的三條邊的長分別為：n+6，3n，n+2．（n為正整數(shù)）（1）若這個三角形是等腰三角形，求它的三邊長；（2）若這個三角形的三條邊都不相等，直接寫出n的最大值為．【答案】（1）它的三邊長分別為；（2）7．【分析】（1）分①和②兩種情況，分別解方程求出的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出答案；（2）先根據(jù)和可得和，再分，和三種情況，分別根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，結(jié)合為正整數(shù)即可得．【詳解】解：（1）由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)，即時，這個三角形是等腰三角形，它的三邊長分別為，，滿足三角形的三邊關(guān)系定理，符合題意；②當(dāng)，即時，這個三角形是等腰三角形，它的三邊長分別為，，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去；綜上，它的三邊長分別為；（2）這個三角形的三條邊都不相等，和，解得和，①當(dāng)時，長為的邊是最長邊，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，解得，不符題設(shè)，舍去；②當(dāng)時，長為的邊是最長邊，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，解得，則此時的取值范圍是，為正整數(shù)，此時；③當(dāng)時，長為的邊是最長邊，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，解得，則此時的取值范圍是，為正整數(shù)，此時的所有可能取值是；綜上，符合條件的的所有可能取值是，則所求的的最大值是7，故答案為：7．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關(guān)系定理、一元一次不等式的應(yīng)用等知識點，較難的是題（2），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．舉一反三3若是△ABC的兩邊且（1）試求的值，并求第三邊的取值范圍．（2）若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長．（3）若另一等腰三角形DEF，其中一個內(nèi)角為x°，另一個內(nèi)角為(2x-20)°，試求此三角形的各內(nèi)角度數(shù)．【答案】（1）；（2）10或11；（3）三角形三個內(nèi)角為50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得的范圍；（2）分腰長為3或4兩種情況進(jìn)行計算；（3）分這兩個內(nèi)角一個為頂角和兩個都是底角三種情況，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得，可得出三個角的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵，，，，；（2）當(dāng)腰長為3時，此時三角形的三邊為3、3、4，滿足三角形三邊關(guān)系，周長為10；當(dāng)腰長為4時，此時三角形的三邊長為4、4、3，滿足三角形三邊關(guān)系，周長為11；綜上可知等腰三角形的周長為10或11；（3）當(dāng)?shù)捉菫?、頂角為時，則根據(jù)三角形內(nèi)角和為可得，解得，此時三個內(nèi)角分別為、、；當(dāng)頂角為、底角為時，則根據(jù)三角形內(nèi)角和為可得，解得，此時三個內(nèi)角分別為、、；當(dāng)?shù)捉菫?、時，則等腰三角形性質(zhì)可得，解得，此時三個內(nèi)角分別為、、；綜上可知三角形三個內(nèi)角為50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等、兩底角相等是解題的關(guān)鍵．題型10用一元一次不等式解決實際問題例10（2023上·浙江·八年級校聯(lián)考期中）污水治理，保護(hù)環(huán)境，某市治污公司決定購買A，B兩種型號污水處理設(shè)備共12臺，已知A，B兩種型號的設(shè)備，每臺的價格，月處理污水量如表：經(jīng)調(diào)查：購買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多3萬元，購買1臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少3萬元．A型B型價格（萬元/臺）ab處理污水量（噸/月）220180(1)求a，b的值；(2)經(jīng)預(yù)算：市治污公司購買污水處理設(shè)備的資金不超過50萬元，你認(rèn)為該公司有哪幾種購買方案；(3)在（2）問的條件下，若每月要求處理的污水量不低于2260噸，為了節(jié)約資金，請你為治污公司設(shè)計一種最省錢的購買方案．【答案】(1)(2)有四種購買方案：①A型設(shè)備1臺，B型設(shè)備11臺；②A型設(shè)備2臺，B型設(shè)備10臺；③A型設(shè)備3臺，B型設(shè)備9臺．④A型設(shè)備4臺，B型設(shè)備8臺(3)選購A型設(shè)備3臺，B型設(shè)備9臺【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)價格關(guān)系列關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺，B型設(shè)備臺，根據(jù)“資金不超過50萬元”列不等式，求出不等式的正整數(shù)解即可；（3）根據(jù)“每月要求處理的污水量不低于2260噸”列不等式，結(jié)合（2）中結(jié)論，求出x的正整數(shù)解，從中選擇最省錢的方案即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，解得：；（2）解：設(shè)購買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺，B型設(shè)備臺，根據(jù)題意得，，∴，∵x取正整數(shù)，∴，2，3，4，∴，10，9，8，∴有四種購買方案：①A型設(shè)備1臺，B型設(shè)備11臺；②A型設(shè)備2臺，B型設(shè)備10臺；③A型設(shè)備3臺，B型設(shè)備9臺；④A型設(shè)備4臺，B型設(shè)備8臺；（3）解：由題意：，∴，又∵，∴，∵x取正整數(shù)，∴x為3，4．當(dāng)時，購買資金為（萬元），當(dāng)時，購買資金為（萬元），，∴為了節(jié)約資金，應(yīng)選購A型設(shè)備3臺，B型設(shè)備9臺．舉一反三1（2023上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）好筍知時節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生．竹筍是中國傳統(tǒng)佳肴，味香質(zhì)脆，在中國自古被當(dāng)作“菜中珍品”．寧波地區(qū)竹林資源豐富，出產(chǎn)普通毛筍的地方也很多，但稱得上精品毛筍——“黃泥拱”的只有在大雷．已知，李先生買10千克普通毛筍的錢等于買6千克精品毛筍的錢，買10千克精品毛筍比6千克普通毛筍貴64元．(1)普通毛筍和精品毛筍每千克進(jìn)價多少元？(2)若李先生計劃總共購買20千克毛筍，但總支出不超過180元，則李先生最多可以購買多少千克的精品毛筍？【答案】(1)普通毛筍的進(jìn)價為6元/千克，精品毛筍的進(jìn)價為10元/千克(2)15千克【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．（1）設(shè)普通毛筍的進(jìn)價為x元/千克，精品毛筍的進(jìn)價為y元/千克，根據(jù)“買10千克普通毛筍的錢等于買6千克精品毛筍的錢，買10千克精品毛筍比6千克普通毛筍貴64元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)李先生可以購買m千克的精品毛筍，則購買千克的普通毛筍，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過180元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)普通毛筍的進(jìn)價為x元/千克，精品毛筍的進(jìn)價為y元/千克，根據(jù)題意得：，解得：答：普通毛筍的進(jìn)價為6元/千克，精品毛筍的進(jìn)價為10元/千克；（2）設(shè)李先生可以購買m千克的精品毛筍，則購買千克的普通毛筍，根據(jù)題意得：，解得：，∴x的最大值為15．答：李先生最多可以購買15千克的精品毛筍．舉一反三2（2023上·浙江寧波·八年級?？茧A段練習(xí)）“雙11”期間，某個體戶在淘寶網(wǎng)上購買某品牌、兩款羽絨服來銷售，若購買3件，4件，需支付2400元，若購買2件，2件，則需支付1400元．(1)求、兩款羽絨服在網(wǎng)上的售價分別是多少元?(2)若個體戶從淘寶網(wǎng)上購買A款羽絨服25件，按每件600元進(jìn)行零售，銷售一段時間后，把剩下的羽絨服全部6折銷售完，若總獲利不低于3800元，求個體戶讓利銷售的羽絨服最多是多少件？【答案】(1)款羽絨服在網(wǎng)上的售價是400元，款羽絨服在網(wǎng)上的售價是300元(2)個體戶讓利銷售的羽絨服最多是5件【分析】（1）設(shè)款羽絨服在網(wǎng)上的售價是元，款羽絨服在網(wǎng)上的售價是元，根據(jù)題意列方程組并求解即可；（2）設(shè)個體戶讓利銷售的羽絨服是件，則讓利銷售前共銷售件，根據(jù)總獲利不低于3800元，列出不等式，求出最大整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設(shè)款羽絨服在網(wǎng)上的售價是元，款羽絨服在網(wǎng)上的售價是元，根據(jù)題意，可得，解得，答：款羽絨服在網(wǎng)上的售價是400元，款羽絨服在網(wǎng)上的售價是300元；（2）設(shè)個體戶讓利銷售的羽絨服是件，則讓利銷售前共銷售件，根據(jù)題意，可得，解得，所以，的最大整數(shù)解為5，答：個體戶讓利銷售的羽絨服最多是5件．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解．一、單選題1．以下是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查一元一次不等式的定義，理解定義是解答的關(guān)鍵．一元一次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，左右兩邊都是整式的不等式，叫做一元一次不等式．【詳解】解：A、含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；B、是一元一次不等式，符合題意；C、未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次不等式，不符合題意；D、沒有未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意，故選：B．2．某品牌電腦的成本價為2400元，標(biāo)價為3150元，如果商店要以利潤不低于的售價打折銷售，最低可打（

）折出售．A．八 B．七 C．九 D．六【答案】A【分析】設(shè)打x折出售，根據(jù)利潤不低于列出不等式求解即可．【詳解】解：設(shè)打x折出售，由題意得，，解得，∴最低可打八折出售，故選A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的不等式是解題的關(guān)鍵．3．已知是不等式的一個解，則整數(shù)k的最小值為（

）A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】A【分析】將不等式的解代入得出關(guān)于k的不等式，再求出解集，確定答案即可．【詳解】∵是不等式的一個解，∴，解得，∴整數(shù)k的最小值是3．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式確定最小值，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．4．某次知識競賽共20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分，小英得分不低于90分．設(shè)她答對了x道題，則根據(jù)題意可列出不等式為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)她答對了x道題，則答錯或不答道題，根據(jù)小英得分大于或等于90分列出不等式即可．【詳解】解：設(shè)她答對了x道題，則答錯或不答道題，根據(jù)題意得：．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不等關(guān)系列出不等式．5．已知關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．1≤＜3 C．-3＜＜2 D．【答案】A【分析】方程變形后求出解，根據(jù)解為非負(fù)數(shù)求出k的范圍即可．【詳解】解：方程，移項得：，∴根據(jù)題意得：，解得：．故選A．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出關(guān)于k的不等式，并熟練掌握解一元一次不等式的步驟和依據(jù)．6．（2023上·甘肅武威·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）若代數(shù)式的值不大于的值，則x的最大整數(shù)值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】先根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式，解不等式可得答案．【詳解】解：由題意知，，∴，解得：，則符合條件的x的最大整數(shù)值是6，故選：A．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號方向要改變．二、填空題7．（2023上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）“與5的差大于的4倍”用不等式表示為．【答案】【分析】根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式即可，讀懂題意，正確列出不等式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：“與5的差大于的4倍”用不等式表示為，故答案為：8．（2022下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的最小值為．【答案】【分析】把當(dāng)作已知數(shù)表示出方程的解，根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)列出不等式，確定出的范圍即可．【詳解】解：方程，解得：，∵關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，∴，解得：，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程和一元一次不等式．根據(jù)題意得出不等式是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·新疆阿克蘇·七年級?？计谀┎坏仁降恼麛?shù)解．【答案】1，2，3，4，5【分析】先求出不等式的解集，進(jìn)而求解．【詳解】解：解不等式，得，∴不等式的正整數(shù)解為；1，2，3，4，5；故答案為：1，2，3，4，5．【點睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確求得不等式的解集是關(guān)鍵．10．（2023上·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）現(xiàn)有150噸泥沙需要搬運，搬運的貨車每輛的承載量為4噸，則至少需要輛貨車才能把這些泥沙一次性搬運完畢．【答案】38【分析】假設(shè)至少需要輛貨車才能把這些泥沙一次性搬運完畢，可列不等式，由于是正整數(shù)，所以可求得答案．本題主要考查了一元一次不等式的實際應(yīng)用，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)至少需要輛貨車才能把這些泥沙一次性搬運完畢．則由題意得．解得．由于應(yīng)為正整數(shù)．所以．故答案為38．11．（2023下·四川遂寧·七年級射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的取值范圍是．【答案】【分析】將已知等式右邊提取，根據(jù)絕對值的代數(shù)意義得到為非正數(shù)，列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集得到的取值范圍．【詳解】解：，，解得：．故答案為：．【點睛】此題考查了一元一次不等式的解法，以及絕對值的代數(shù)意義，其中不等式的代數(shù)意義為：正數(shù)的絕對值等于它本身；負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值還是0．12．（2023上·浙江寧波·八年級寧波市海曙外國語學(xué)校?？计谥校┤舨坏仁降慕馐?，則不等式的解是．【答案】【分析】先解第一個不等式，根據(jù)不等式的解得到，，再代入第二個不等式中求解即可．【詳解】解：解不等式得，∵該不等式的解是，∴該不等式的解為，且，∴，則，∵，∴，則，∴不等式可化為，即，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式和一元一次不等式的解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法，利