數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)頂層設(shè)計(jì)配餐作業(yè)等比數(shù)列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精配餐作業(yè)（三十三）等比數(shù)列（時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1．已知等比數(shù)列｛an｝中,a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，則a6＋a7等于()A．2 B．2eq\r(2）C．4 D．4eq\r(2）解析因?yàn)閍2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比數(shù)列，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2,所以(a4＋a5）2＝（a2＋a3)(a6＋a7），解得a6＋a7＝4。故選C.答案C2．（2017·山西四校聯(lián)考)等比數(shù)列｛an}滿足an〉0，n∈N*,且a3·a2n－3＝22n(n≥2），則當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a2＋……＋log2a2A．n（2n－1) B．（n＋1)2C．n2 D．（n－1)2解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3·a2n－3＝aeq\o\al(2，n）＝22n,從而得an＝2n.解法一：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2log2［(a1a2n－1）·(a2a2n－2)·…·（an－1an＋1）an］＝log2[（22n)n－1·2n］＝log22n（2n－1）＝n（2n解法二：取n＝1，log2a1＝log22＝1,而（1＋1）2＝4,（1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4,排除答案A3．若正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿足lgan＋1＝1＋lgan,且a2001＋a2002＋…＋a2010＝2016，則a2011＋a2012＋…＋a2020的值為（）A．2015×1010 B．2015×1011C．2016×1010 D．2016×1011解析∵lgan＋1＝1＋lgan，∴l(xiāng)geq\f（an＋1，an）＝1，∴eq\f（an＋1，an）＝10,∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∵a2001＋a2002＋…＋a2010＝2016,∴a2011＋a2012＋…＋a2020＝1010(a2001＋a2002＋…＋a2010)＝2016×1010。故選C。答案C4．(2016·河北三市聯(lián)考)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織,日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?"根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30,該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8C．9 D．10解析設(shè)該女子第一天織布x尺,則eq\f(x1－25，1－2）＝5,解得x＝eq\f（5，31），所以前n天所織布的尺數(shù)為eq\f(5，31）(2n－1).由eq\f(5,31)（2n－1）≥30,得2n≥187,得n的最小值為8，故選B。答案B5．（2016·廣西適應(yīng)性測試）設(shè)等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝3，且a2015＋a2016＝0,則S101等于(）A．3 B．303C．－3 D．－303解析∵a2015＋a2015q＝0，∴q＝－1，∴an＋an＋1＝0,∴S101＝a1＝－3。故選C。答案C6．已知Sn是等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，若存在m∈N＊，滿足eq\f(S2m,Sm）＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f（5m＋1，m－1），則數(shù)列{an}的公比為()A．－2 B．2C．－3 D．3解析設(shè)公比為q，若q＝1，則eq\f（S2m，Sm)＝2，與題中條件矛盾,故q≠1.∵eq\f（S2m，Sm)＝eq\f（\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q)）＝qm＋1＝9，∴qm＝8?！鄀q\f（a2m，am)＝eq\f（a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1，m－1），∴m＝3，∴q3＝8,∴q＝2。故選B。答案B二、填空題7．等比數(shù)列｛an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1,則公比q為________。解析由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1得a4－a3＝2（S3－S2）＝2a3∴a4＝3a3,∴q＝eq\f(a4,a3）＝3.答案38．等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a1＝1,則對任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________。解析由題意知a3＋a2－2a1＝0，設(shè)公比為q則a1（q2＋q－2)＝0。由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1（舍去），則S5＝eq\f(a11－q5，1－q)＝eq\f（1－－25，3)＝11.答案119．在等比數(shù)列｛an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.解析∵S99＝30，即a1(299－1)＝30.又∵數(shù)列a3,a6，a9，…，a99也成等比數(shù)列且公比為8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝eq\f（4a11－833,1－8）＝eq\f(4a1299－1，7)＝eq\f（4，7)×30＝eq\f（120,7)。答案eq\f（120，7)三、解答題10．(2016·東北三省四市二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝511,a6＝－eq\f(1,2），且數(shù)列｛an｝的每一項(xiàng)加上1后成為等比數(shù)列。(1)求an；(2）令bn＝|log2(an＋1)｜，求數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和Tn。解析(1）由題意知數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則a1＋1＝512，a6＋1＝eq\f（1，2）＝512×q5,解得q＝eq\f(1,4),則數(shù)列{an＋1｝是以512為首項(xiàng),eq\f（1,4）為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝211－2n，an＝211－2n－1。（2)bn＝|11－2n|，當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝10n－n2，當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝n2－10n＋50，所以Tn＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(10n－n2，n≤5，，n2－10n＋50，n≥6。)）答案（1)an＝211－2n－1（2）Tn＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（10n－n2，n≤5,，n2－10n＋50，n≥6）)11．已知數(shù)列{an｝和{bn｝滿足a1＝λ，an＋1＝eq\f（2,3)an＋n－4,bn＝(－1)n（an－3n＋21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)。(1）證明：對任意實(shí)數(shù)λ，數(shù)列｛an}不是等比數(shù)列；（2)證明：當(dāng)λ≠－18時(shí)，數(shù)列{bn｝是等比數(shù)列.證明(1）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使{an}是等比數(shù)列，則有aeq\o\al(2,2）＝a1a3，即eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)λ－3))2＝λeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（4，9)λ－4）)?eq\f（4,9）λ2－4λ＋9＝eq\f（4，9)λ2－4λ?9＝0，矛盾.所以{an｝不是等比數(shù)列。(2)bn＋1＝（－1）n＋1［an＋1－3（n＋1）＋21]＝(－1）n＋1eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，3)an－2n＋14))＝－eq\f（2,3)（－1）n·（an－3n＋21）＝－eq\f（2，3）bn。又λ≠－18，所以b1＝－（λ＋18)≠0。由上式知bn≠0，所以eq\f(bn＋1,bn）＝－eq\f（2，3)（n∈N*）。故當(dāng)λ≠－18時(shí)，數(shù)列{bn}是以－(λ＋18)為首項(xiàng)，－eq\f（2，3）為公比的等比數(shù)列.（時(shí)間：20分鐘)1．設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積（i＝1,2，…)，則｛An}為等比數(shù)列的充要條件是（)A．{an｝是等比數(shù)列B．a(chǎn)1,a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…,a2n，…是等比數(shù)列C．a(chǎn)1，a3,…,a2n－1，…和a2，a4，…，a2n,…均是等比數(shù)列D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1,…和a2,a4,…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同解析∵Ai＝aiai＋1，若{An｝為等比數(shù)列,則eq\f（An＋1，An）＝eq\f(an＋1an＋2，anan＋1）＝eq\f(an＋2，an)為常數(shù)，即eq\f(A2，A1）＝eq\f（a3，a1），eq\f(A3，A2）＝eq\f（a4，a2），…?！郺1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比數(shù)列,且公比相等。反之,若奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為q，則eq\f（An＋1,An)＝eq\f（an＋2，an）＝q，從而{An｝為等比數(shù)列。故選D。答案D2．（2016·安慶二模）數(shù)列｛an｝滿足an＋1＝λan－1（n∈N＊，λ∈R，且λ≠0)，若數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列,則λ的值等于（）A．1 B．－1C.eq\f（1,2) D．2解析由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(an－\f（2，λ）))，因?yàn)閿?shù)列{an－1}是等比數(shù)列，所以eq\f（2，λ)＝1,即λ＝2。故選D。答案D3．(2017·衡水模擬)已知Sn和Tn分別為數(shù)列{an｝與數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5,an＝ebn(n∈N＊），則當(dāng)Tn取得最大值時(shí)，n的值為（）A．4 B．5C．4或5 D．5或6解析由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5(n≥2),兩式相減，得an＝ean＋1，由a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5,得a2＝e3，所以{an}是首項(xiàng)為e4，公比為eq\f（1，e)的等比數(shù)列，所以an＝e5－n。因?yàn)閍n＝ebn，所以bn＝lne5－n＝5－n，則由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（bn≥0，，bn＋1≤0,））即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(5－n≥0，，5－n＋1≤0，))解得4≤n≤5，所以當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，Tn取得最大值。故選C.答案C4．（2016·四川高考）已知數(shù)列｛an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q〉0，n∈N＊。（1)若2a2，a3,a2＋2成等差數(shù)列,求數(shù)列｛an(2)設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2，a\o\al（2，n)）＝1的離心率為en，且e2＝eq\f（5,3)，證明:e1＋e2＋…＋en〉eq\f（4n－3n,3n－1)。解析（1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1,Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得到an＋2＝qan＋1，n≥1。又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan對所有n≥1都成立。所以，數(shù)列｛an}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列。從而an＝qn－1。由2a2，a3,a22a3＝3a2＋2，得2q2＝3q＋2,則(2q＋1)（由已知，q>0，故q＝2。所以an＝2n－1(n∈N*）。（2）證明：由(1)可知,an＝qn－1.所以雙曲線x2－eq\f