數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)頂層設(shè)計(jì)配餐作業(yè)曲線與方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精配餐作業(yè)(五十八)曲線與方程(時(shí)間：40分鐘）一、選擇題1．已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M（－1,2）,Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且｜PM｜＝｜MQ｜，則Q點(diǎn)的軌跡方程是（)A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x,y),則P為（－2－x,4－y),代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。故選D。答案D2．已知兩定點(diǎn)A(－2，0),B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA｜＝2|PB｜，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線解析設(shè)P(x，y)，則eq\r（x＋22＋y2)＝2eq\r（x－12＋y2)，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16〉0，所以動(dòng)點(diǎn)P答案B3．已知點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，4），0）),直線l:x＝－eq\f(1,4)，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)。若過B作垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是(）A．雙曲線 B．橢圓C．圓 D．拋物線解析由已知得｜MF|＝|MB｜.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線。故選D.答案D4．已知A(0,7)，B（0，－7），C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A，B的橢圓,橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是（）A．y2－eq\f(x2,48）＝1(y≤－1） B．y2－eq\f（x2,48)＝1C．y2－eq\f（x2,48）＝－1 D．x2－eq\f(y2，48）＝1解析由題意，得｜AC｜＝13，｜BC|＝15,|AB|＝14,又|AF|＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴|AF｜－|BF|＝|BC｜－｜AC|＝2。故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的下支。∵c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴點(diǎn)F的軌跡方程為y2－eq\f（x2，48）＝1（y≤－1)。故選A.答案A5．經(jīng)過拋物線y2＝2px焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡是（)A．拋物線 B．橢圓C．雙曲線 D．直線解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（p，2），0）)，弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y），且A(x1，y1）,B(x2,y2），由點(diǎn)差法得kAB＝eq\f(2p，y1＋y2)＝eq\f（2p，2y）＝kMF＝eq\f（y,x－\f(p，2))化簡(jiǎn)得y2＝peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)）)，故軌跡為拋物線。故選A。答案A6．(2017·衡水調(diào)研卷）雙曲線M：eq\f(x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a>0,b>0)實(shí)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為A,B，點(diǎn)P為雙曲線M上除A，B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若QA⊥PA且QB⊥PB,則動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為（)A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線解析A(－a,0），B（a，0),設(shè)Q(x，y)，P（x0，y0），kAP＝eq\f（y0，x0＋a)，kBP＝eq\f(y0,x0－a）,kAQ＝eq\f（y，x＋a），kBQ＝eq\f(y,x－a），由QA⊥PA且QB⊥PB,得kAPkAQ＝eq\f（y0,x0＋a）·eq\f(y,x＋a）＝－1，kBPkBQ＝eq\f(y0,x0－a）·eq\f(y,x－a）＝－1.兩式相乘即得軌跡為雙曲線。故選C。答案C二、填空題7．長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A，B分別在x,y軸上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C（x，y)滿足eq\o（AC,\s\up6（→)）＝2eq\o(CB，\s\up6(→））,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為__________________。解析設(shè)A(a,0)，B（0，b)，則a2＋b2＝9。又C（x,y），則由eq\o(AC，\s\up6(→)）＝2eq\o(CB,\s\up6(→）），得(x－a，y）＝2(－x，b－y)。即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－a＝－2x，，y＝2b－2y，))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3x，，b＝\f（3,2）y，）)代入a2＋b2＝9,并整理，得x2＋eq\f(1，4)y2＝1。答案x2＋eq\f（1，4)y2＝18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A（1，2）與動(dòng)點(diǎn)P(x,y）滿足向量eq\o(OP，\s\up6（→））在向量eq\o(OA,\s\up6（→）)上的投影為－eq\r(5)，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________________。解析由eq\f(\o(OP，\s\up6(→))·\o(OA，\s\up6（→)）,｜\o(OA，\s\up6（→）)|）＝－eq\r（5），知x＋2y＝－5,即x＋2y＋5＝0.答案x＋2y＋5＝09．設(shè)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程是____________________。解析由題意知F(1，0），設(shè)A(x1,y1），B（x2，y2)，M(x，y）,則x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y,yeq\o\al(2，1)＝4x1,yeq\o\al(2，2）＝4x2,后兩式相減并將前兩式代入,得(y1－y2）y＝2(x1－x2）.當(dāng)x1≠x2時(shí)，eq\f(y1－y2，x1－x2)y＝2，又A，B，M，F(xiàn)四點(diǎn)共線，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y,x－1），代入上式，得y2＝2（x－1);當(dāng)x1＝x2時(shí)，M（1,0）也滿足這個(gè)方程，即y2＝2（x－1)是所求的軌跡方程。答案y2＝2（x－1）三、解答題10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1(－eq\r（2)，0)，A2(eq\r(2)，0)，P(x,y)，M（x,1），N(x,－2)，若實(shí)數(shù)λ使得λ2eq\o(OM，\s\up6(→)）·eq\o(ON,\s\up6（→）)＝eq\o（A1P,\s\up6(→））·eq\o(A2P,\s\up6（→））（O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求P點(diǎn)的軌跡方程，并討論P(yáng)點(diǎn)的軌跡類型。解析eq\o(OM,\s\up6(→)）＝(x,1)，eq\o(ON,\s\up6(→)）＝（x，－2），eq\o(A1P，\s\up6（→)）＝(x＋eq\r(2），y)，eq\o（A2P，\s\up6(→））＝（x－eq\r（2),y）?！擀?eq\o(OM，\s\up6(→)）·eq\o(ON，\s\up6（→)）＝eq\o(A1P，\s\up6(→))·eq\o（A2P,\s\up6(→))，∴（x2－2）λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2)x2＋y2＝2（1－λ2）為點(diǎn)P的軌跡方程。①當(dāng)λ＝±1時(shí)，方程為y＝0，軌跡為一條直線；②當(dāng)λ＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝2,軌跡為圓；③當(dāng)λ∈(－1，0)∪（0,1)時(shí)，方程為eq\f（x2,2)＋eq\f(y2，21－λ2)＝1，軌跡為中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；④當(dāng)λ∈(－∞,－1）∪（1，＋∞)時(shí),方程為eq\f(x2，2）－eq\f(y2,2λ2－1)＝1,軌跡為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。答案見解析11．（2016·安徽淮南二模)已知點(diǎn)A(－2，0），P是⊙O：x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，P在x軸上的射影為Q，eq\o(QP,\s\up6(→)）＝2eq\o(QG，\s\up6（→)），動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為C，直線y＝kx(k≠0)與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N.（1）求軌跡C的方程；（2)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由。解析（1）設(shè)G（x，y),∴Q(x，0），∵eq\o(QP,\s\up6（→））＝2eq\o(QG,\s\up6(→））,∴P（x，2y）,∵P在⊙O：x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4.∴軌跡C的方程為eq\f（x2，4)＋y2＝1.（2)經(jīng)過定點(diǎn).設(shè)點(diǎn)E(x0，y0）（不妨設(shè)x0〉0）,則點(diǎn)F(－x0，－y0)。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,4)＋y2＝1，））消去y得x2＝eq\f(4,1＋4k2)。所以x0＝eq\f(2,\r(1＋4k2))，則y0＝eq\f(2k，\r(1＋4k2)）。所以直線AE的方程為y＝eq\f(k,1＋\r（1＋4k2）)（x＋2)則Meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（2k,1＋\r（1＋4k2)））)。同理可得點(diǎn)Neq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f(2k，1－\r（1＋4k2）)））。所以｜MN|＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（2k，1＋\r(1＋4k2））－\f(2k，1－\r(1＋4k2)）））＝eq\f（\r（1＋4k2),｜k｜）。設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，－\f(1，2k）)）。則以MN為直徑的圓的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y＋\f（1，2k))）2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（1＋4k2)，2｜k|））)2，即x2＋y2＋eq\f(1，k)y＝1。令y＝0，得x2＝1，即x＝1或x＝－1。故以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點(diǎn)(1，0)，(－1，0）。答案（1）eq\f(x2,4)＋y2＝1（2）經(jīng)過兩定點(diǎn)(1,0）,(－1，0)(時(shí)間:20分鐘)1．“點(diǎn)M在曲線y2＝4x上”是“點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程2eq\r（x)＋y＝0"的(）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件解析點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程2eq\r(x）＋y＝0,則點(diǎn)M在曲線y2＝4x上,是必要條件；但當(dāng)y>0時(shí)，點(diǎn)M在曲線y2＝4x上，點(diǎn)M的坐標(biāo)不滿足方程2eq\r（x）＋y＝0，不是充分條件.故選B。答案B2．動(dòng)圓M經(jīng)過雙曲線x2－eq\f（y2，3）＝1的左焦點(diǎn)且與直線x＝2相切，則圓心M的軌跡方程是（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析雙曲線x2－eq\f(y2，3）＝1的左焦點(diǎn)F(－2，0)，動(dòng)圓M經(jīng)過F且與直線x＝2相切，則圓心M到點(diǎn)F的距離和到直線x＝2的距離相等，由拋物線的定義知軌跡是拋物線，其方程為y2＝－8x。故選B。答案B3．(2016·湖南東部六校聯(lián)考）已知兩定點(diǎn)A（0，－2)，B(0,2），點(diǎn)P在橢圓eq\f(x2，12)＋eq\f（y2,16）＝1上，且滿足｜eq\o(AP，\s\up6(→）)|－|eq\o（BP，\s\up6(→））|＝2,則eq\o（AP，\s\up6（→))·eq\o（BP,\s\up6(→)）為(）A．－12 B．12C．－9 D．9解析由｜eq\o(AP,\s\up6(→））|－|eq\o(BP,\s\up6(→））|＝2，可得點(diǎn)P(x,y）的軌跡是以兩定點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且2a＝2，c＝2,∴b＝eq\r（3).∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2－eq\f（x2，3)＝1(y≥1)。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(x2,12)＋\f（y2，16）＝1，,y2－\f(x2,3)＝1，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝9，，y2＝4，）)所以eq\o（AP，\s\up6（→)）·eq\o（BP,\s\up6(→）)＝(x，y＋2)·（x，y－2)＝x2＋y2－4＝9＋4－4＝9，故選D.答案D4．（2016·全國卷Ⅱ）已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)。(1）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；(2）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程。解析由題知Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，0))。設(shè)l1：y＝a，l2:y＝b,則ab≠0，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a2,2)，a))，Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(b2，2)，b）），Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，a））,Qeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，b）），Req\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，\f(a＋b，2）））。記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x－（a＋b)y＋ab＝0。（1）證明：由于F在線段AB上，故1＋ab＝0。記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2,則k1＝eq\f(a－b,1＋a2)＝eq\f(a－b，a2－ab)＝eq\f(1，a）＝eq\f(－ab，a)＝－b＝k2.所以AR∥FQ。（2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1，0)，則S△ABF＝eq\f(1,2)｜b－a|｜FD|＝eq\f（1,2）|b－a｜eq\b\lc\｜\rc