數學復習分類匯編平面向量

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第五章平面向量第一節(jié)平面向量的線性運算及其坐標表示題型59向量的概念及共線向量1.（2016北京理4）設是向量,則“”是“”的（）.A。充分而不必要條件B。必要而不充分條件C。充分必要條件D.既不充分也不必要條件1.D解析因為,所以由此可知，“"是“”的既不充分也不必要條件。故選D。題型60平面向量的線性表示1.（2013浙江理17)設為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于________.2。（2014浙江理8）記，,設為平面向量，則(）.A. B.C。D。題型61向量共線的應用1.（2013江蘇10）設分別是的邊上的點，，，若（為實數），則的值為.2．(2015全國2理13）設向量不平行，向量與平行，則實數．2。解析根據向量平行的條件，因為向量與平行，所以，則有解得,所以．3。（2017全國3理12）在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為(）.A．3 B． C。 D．23。解析解法一：由題意，作出圖像，如圖所示．設與切于點，聯結．以點為坐標原點，為軸正半軸,為軸正半軸建立直角坐標系，則點坐標為．因為，．所以．因為切于點．所以⊥．所以是斜邊上的高．，即的半徑為．因為點在上．所以點的軌跡方程為．設點的坐標為，可以設出點坐標滿足的參數方程，而，,．因為,所以,．兩式相加得（其中，），當且僅當，時，取得最大值為3．故選A。解法二:如圖所示，考慮向量線性分解的等系數和線,可得的最大值為3。2。(2017浙江理15）已知向量，滿足，，則的最小值是，最大值是.解析解法一：如圖所示，和是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線,則,是以為圓心的單位圓上的一動點，構造2個全等的平行四邊形，平行四邊形．所以．易知當，B，C三點共線時,最小，此時；當時,最大，此時．解法二：（是向量，的夾角）.所以當時，取得最小值4；當時,取得最大值。題型62平面向量基本定理及應用1。（2013天津理12）在平行四邊形中，，，為的中點．若,則的長為．2．（2013江西理12）設，為單位向量．且，的夾角為，若，，則向量在方向上的射影為．3．（2013四川理12）在平行四邊形中，對角線與交于點，，則____________．4。（2014大綱理4)若向量滿足：，，，則().A．2B．C．1D．5.（2014廣東理5)已知向量則下列向量中與成夾角的是（）。A．B.C.D.6。（2014天津理8）已知菱形的邊長為2，，點分別在邊上，，.若，，則(）.A.B。C。D。7。(2014新課標2理3）設向量滿足，，則（）.A。B。C.D。8。（2014江蘇理12）如圖,在平行四邊形中，已知，，，，則的值是．9.（2014江西理14）已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為,則.10.（2014山東理12）在中，已知，當時，的面積為。11。（2014新課標1理15）已知是圓上的三點,若，則與的夾角為.12．（2015全國1理7）設為所在平面內一點,,則（).A．B．C．D．12．解析由題可得，所以，所以．故選A．13．（2015北京理13）在中，點,滿足，。若,則；.13．解析在中，點滿足，點滿足，則，因此，.14.(2016四川理10)在平面內，定點，,,滿足,=﹒=﹒=，動點，滿足,,則的最大值是（）.A。B.C.D.14.B解析甴已知易得,.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，則，，。設，由已知，得。又,所以,所以。因此。它表示圓上的點與點距離平方的，所以.故選.15.(2017江蘇12）如圖所示，在同一個平面內，向量,,的模分別為，,，與的夾角為，且,與的夾角為．若，則．15。解析解法一：由題意（*)而由，得，,．將（＊）式化簡為式①加式②，得．故填．解法二（坐標法）：如圖所示，以所在的直線為軸,過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標系,由題意結合解法一可得，，，由，得，即，解得,故．故填．解法三（解三角形）:由，可得,，如圖所示，根據向量的分解，易得，即，即，解得，所以．題型63平面向量的坐標運算1.(2014福建理8）在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（）。A。B.C.D.2。(2014湖南理16）在平面直角坐標系中，為原點,，，，動點滿足，則的最大值是________.3.（2014陜西理13）設，向量，若，則_______.4.（2014陜西理18）在直角坐標系中，已知點，點在三邊圍成的區(qū)域(含邊界）上。（1）若，求；（2）設，用表示，并求的最大值.5．(2015年江蘇6）已知向量，,若,則的值為．5．解析由題意,從而，解得，故．評注也可以將用與線性表示，如:．6。（2017江蘇13）在平面直角坐標系中,點，，點在圓上．若，則點的橫坐標的取值范圍是．6.解析不妨設，則，且易知．因為，故．所以點在圓上，且在直線的左上方(含直線）.聯立，得，，如圖所示，結合圖形知．故填．評注也可以理解為點在圓的內部來解決，與解析中的方法一致．題型64向量共線（平行）的坐標表示--暫無第二節(jié)平面向量的數量積題型65平面向量的數量積1.（2013湖北理6）已知點,，，，則向量在方向上的投影為(）。A．B．C．D．2。（2013福建理7)在四邊形中，，，則該四邊形的面積為（)。A.B。C.D。3。（2013安徽理9)在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點滿足，則點集所表示的區(qū)域的面積是（）。A.B。C。D.4。（2013遼寧理3）已知點，則與向量同方向的單位向量為(）.A.B.C.D.5。(2013湖南理6）已知是單位向量，。若向量滿足則的取值范圍是（).A．B．C．D．6。(2013重慶理10）在平面上，，,。若，則的取值范圍是（）。A。B.C。D.7。(2013浙江理7）設是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點，恒有，則（)。A.B.C。D.12。（2013全國新課標卷理13)已知正方形的邊長為，為的中點，則.8。（2013山東理15）已知向量與的夾角為,且，,若，且,則實數的值為____________。9。（2014安徽理10）在平面直角坐標系中，已知向量，，,點滿足.曲線，區(qū)域.若為兩段分離的曲線，則(）。A.B.C。D.10。（2014遼寧理5）設是非零向量,已知命題：若,，則；命題：若，，則，則下列命題中真命題是（）.A．B．C．D．11。（2014四川理7）平面向量，，，且與的夾角等于與的夾角,則()。A．B．C．D．12.（2014重慶理4）已知向量，且，則實數()。A.B。C.D。13.（2014北京理10）已知向量,滿足，，且,則________。14.(2014湖北理11)設向量，，若，則實數________.在中，內角的對邊，且。已知，，。求：（1）和的值；（2）的值.15．（2015安徽理8)是邊長為的等邊三角形,已知向量,滿足，，則下列結論正確的是（）。A．B．C．D．15．解析解法一：對于選項A，因為，故，所以，選項A錯誤;對于選項Ｂ，因為,，所以與不垂直，選項B錯誤；對于選項C,因為，選項C錯誤；對于選項D，因為，選項D正確．故選D．解法二：對于選項D，過點作于點，則點為的中點，所以．故選D．16．（2015福建理9）．已知，若點是所在平面內一點,且，則的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．2116．解析以點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示,則，,，即，所以，，因此．由題可得,所以，所以的最大值等于13，當，即時，等號成立．故選A．17．（2015全國1理5）已知是雙曲線上的一點，,是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（）。A．B．C．D．17．解析由題可得，，且，即，所以，解得．故選A．18．（2015山東理4）已知菱形的邊長為，，則(）。A． B． C． D．18．解析解法一：如圖所示,在菱形中，，各邊長均為,,，所以．故選D．解法二：由題可求得，與的夾角為,所以．故選D．19．（2015陜西理7）對任意向量，下列關系式中不恒成立的是（）．A．B．C．D．19．解析解法一:，矛盾,B不正確。故選B.解法二：從幾何上考慮.如圖所示，由三角形兩邊之差小于第三邊得，，B不正確。故選B.20．（2015四川理7)設四邊形為平行四邊形，，.若點滿足，，則（)。A.B。C。D。20．解析，，所以。故選C.21．（2015重慶理6）若非零向量，滿足,且，則與的夾角為(）。A。B.C。D。21．解析設與的夾角為，根據題知，得，所以，，在由，得，，即．故選A．22．（2015年湖北理11）．已知向量，,則．22．解析因為,所以即，，故填9。23．(2015天津理14）在等腰梯形中，已知，，，，動點和分別在線段和上，且，，則的最小值為。23．解析因為，，，，，，當且僅當，即時，的最小值為.24．(2015浙江理15）已知是空間單位向量,,若空間向量滿足，且對于任意,,則,,．24。解析由已知可得，,。如圖所示，空間向量在確定的平面內的射影是，則，設，則,在中,由余弦定理得，解得。。25．（2015年廣東理16）在平面直角坐標系中，已知向量，。若，求的值；若與的夾角為，求的值。25．解析（1）因為,，且,所以,所以，所以．（2)由（1)依題知，所以．又因為，所以,即．26。（2016全國丙理3)已知向量，，則（）.A.B.C.D.26.A解析由。又，所以.故選A.27。（2016全國甲理3）已知向量，，且,則（).A。 B。 C.6 D。827.D解析因為，且，所以，解得.故選D．28.（2016山東理8）已知非零向量，滿足，.若，則實數的值為（）。A．B．C．D．–28.B解析因為,由,所以，即，所以—4.故選B.29.（2016天津理7）已知是邊長為1的等邊三角形，點,分別是邊，的中點,連接并延長到點，使得,則的值為（）。A。B。C.D。29。B解析由題意作圖，如圖所示.則。故選B。30.（2016全國乙理13)設向量，，且，則.30.解析因為，故，即.所以，得。31。(2016上海理12）在平面直角坐標系中，已知，，是曲線上一個動點，則的取值范圍是．31.解析表示單位圓的上半圓（包括端點）,不妨設，，，．32。（2016江蘇13）如圖所示，在中，是的中點，是上兩個三等分點，,，則的值是．32.解析解法一（基底法）：令，,則，,，則，,，，，，故，,因此，．故．解法二(建系法）:可以考慮以為原點，所在直線為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系,不妨設,，則，，．則，,,，，，由題意，，因此，。故．評注特別地，可以假定,建立特殊的直角坐標系．這類問題以前也遇到過，比如下面一題．在平面四邊形中,點，分別是邊，的中點，且，,．若，則．解析解法一（配湊）：由題意得,，從而，平方整理得．（或)．故．解法二(建系）:建立如圖所示的平面直角坐標系,不妨設,，從而，,．由題意，從而,即通過，求解,①②得，即④，而③即為⑤，⑤④得，即．可見,強制建系歸根結底轉化為恰當的代數（強烈的目標意識）處理，而合理的建系會對運算起到簡化作用．33。（2016浙江理15）已知向量,，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值是．33.解析由題意可得,由于為任意的單位向量，有①,.當與平行時，①式第一個小于等于號可取等號。當時，有.取與的夾角余弦值的與，與平行時，上述等號都成立,可取到.34。（2017天津理13）在中，，，。若，，且,則的值為___________。34.解析解法一:如圖所示，以向量，為平面向量的基底,則依題意可得。又因為，則，則，解得。解法二：以點為坐標原點，以所在的直線為軸，建立直角坐標系(如圖所示).依題意易得，，，,,.則可得，,于是有,解得.35。（2017北京理6）設，為非零向量,則“存在負數，使得”是“”的（）。A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C。充分必要條件 D.既不充分也不必要條件35.解析若,使,即兩向量方向相反，夾角為,則.若，也可能夾角為，方向并不一定相反，故不一定存在.故選A。36。（2017全國1理13）13.已知向量,的夾角為，,,則。36。解析，所以。37.（2017全國2理12）已知是邊長為2的等邊三角形,為平面內一點,則的最小值是(）。A.B。C。D。37.解析解法一（幾何法）:如圖所示，取的中點,聯結，取的中點,由,則，當且僅當，即點