2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常考點(diǎn)微專題提分精練（蘇科版）專題12 動(dòng)點(diǎn)中的相似含解析

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練專題12動(dòng)點(diǎn)中的相似1．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，若與相似，則滿足條件的點(diǎn)P有______個(gè)2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(16,0)和B(0,12)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB上，直線CP截△AOB所得的三角形與△AOB相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____.3．如圖所示，在中，，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)；點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果，同時(shí)出發(fā)，用表示時(shí)間，那么當(dāng)______時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．4．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝_____s時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．5．如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿經(jīng)過點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在邊上的處，若恰好和相似，則此時(shí)的長(zhǎng)為______．6．如圖所示，在矩形中，，，兩只小蟲P和Q同時(shí)分別從A，B出發(fā)沿、向終點(diǎn)B，C方向前進(jìn)，小蟲P每秒走，小蟲Q每秒走，它們同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則_____秒．7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點(diǎn)，DQ⊥AP于點(diǎn)Q（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA＝x，DQ＝y(tǒng)，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)以2m/s的速度向終點(diǎn)A勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)以1m/s的速度向終點(diǎn)C勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．（1）經(jīng)過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的？（2）經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ACB相似？9．（2017四川省遂寧市）如圖，直線與雙曲線相交于A（-1，2）和B（2，）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．(1)求m，n的值；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，是△BCP與△OCD相似，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．10．如圖，在中，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著以每秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，；（3）是否存在某一時(shí)刻，使與相似？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說理由．11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AC方向向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著CB方向向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如果M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)M到達(dá)C點(diǎn)處時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形AMNB的面積為S．（1）用含t的代數(shù)式表示：CM＝，CN＝．（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CMN與△ABC相似？（3）求S和t的關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）；當(dāng)t取何值時(shí)，S的最小，并求最小值．12．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），連接．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）若與相似，求的值．13．如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.14．已知：Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），P為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，問：點(diǎn)C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．15．如圖，點(diǎn)A（10，0），B（0，20），連接AB，動(dòng)點(diǎn)M、N分別同時(shí)從點(diǎn)A，O出發(fā)，以1單位長(zhǎng)度/秒和2單位長(zhǎng)度/秒的速度向終點(diǎn)O、B移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)為______，點(diǎn)N的坐標(biāo)為_____；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△MON與△AOB相似．16．如圖，在Rt中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)與相似時(shí)，的值是多少？17．如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出△BPQ的面積為；(2)當(dāng)△BPQ與△COQ相似時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)時(shí)．①求k的值；②點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=的圖象上，若以點(diǎn)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的M的坐標(biāo)．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為C（8，0），B（0，6），CD＝5，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）過B，C兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D開始以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D→A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)后，立即返回，向CO方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)O點(diǎn)后，又立即返回，依此在線段OC上反復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)M，N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以點(diǎn)M，D，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B，O，N為頂點(diǎn)的三角形相似，直接寫出t的值．專題12動(dòng)點(diǎn)中的相似1．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，若與相似，則滿足條件的點(diǎn)P有______個(gè)【答案】3【分析】設(shè)AP為x，表示出PB=8-x，然后分AD和PB是對(duì)應(yīng)邊，AD和BC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：設(shè)AP為x，，，和PB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，與相似，，即，整理得，，解得，，和BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，與相似，，即，解得，所以，當(dāng)、4、時(shí)，與相似，滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，難點(diǎn)在于要分情況討論．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(16,0)和B(0,12)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB上，直線CP截△AOB所得的三角形與△AOB相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____.【答案】（0，6）（8，0）（，0）【分析】根據(jù)題意可以分情況進(jìn)行討論：①,②,③,根據(jù)三種情況進(jìn)而求出點(diǎn)P坐標(biāo).【詳解】解：根據(jù)題意可以分情況進(jìn)行討論：①此時(shí)：,因?yàn)?進(jìn)而得出,，②此時(shí)：,因?yàn)?進(jìn)而得出,，③此時(shí)：,因?yàn)?進(jìn)而得出,,故答案為：，，.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似的知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵在于對(duì)不同情況的討論.3．如圖所示，在中，，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)；點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果，同時(shí)出發(fā)，用表示時(shí)間，那么當(dāng)______時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．【答案】或3【分析】分△OPQ∽△OAB與△OPQ∽△OBA兩種情況進(jìn)行分類討論．【詳解】∵在中，，，，∴OB2＝AB2?OA2，∴OB＝6，當(dāng)△OPQ∽△OAB時(shí)，，即，解得x＝3；當(dāng)△OPQ∽△OBA時(shí)，，即，解得x＝綜上所述，當(dāng)x＝3或時(shí)，以P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．故答案為：或3．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝_____s時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．【答案】【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC兩種情況，列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，則AQ＝（9﹣t）cm，∵當(dāng)t=6÷2=3∴0≤t≤3∵∠PAQ＝∠BAC，∴當(dāng)＝時(shí)，△APQ∽△ABC，∴＝，解得：t＝，當(dāng)＝時(shí)，△AQP∽△ABC，∴＝，解得：t＝，∵3，故舍去綜上所述：當(dāng)t＝時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，故答案為：．【點(diǎn)睛】解此類題的關(guān)鍵是在運(yùn)動(dòng)中尋找相似圖形，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t時(shí)，要用t來表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，得出與變量有關(guān)的比例式，從而得到函數(shù)關(guān)系．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，考慮全面，做好分類討論．5．如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿經(jīng)過點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在邊上的處，若恰好和相似，則此時(shí)的長(zhǎng)為______．【答案】或．【分析】先利用30o角直角三角形的性質(zhì)求出斜邊AB=4，再由勾股定理求直角邊BC=2，當(dāng)PA′∥AC和PA′⊥AB時(shí)兩種情況證明三角形相似，利用相似，列出比例構(gòu)造方程，求出AP即可【詳解】解：在中，，，，，，∵將沿經(jīng)過點(diǎn)的直線折疊，使得點(diǎn)落在邊上的處，∴AP=A′P，設(shè)．①如圖1中，當(dāng)PA′∥AC時(shí)，，，，，，，∴；②如圖2中，當(dāng)PA′⊥AB時(shí)，，，∴，，，，∴，綜上所述，滿足條件的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握直角三角形的性質(zhì)，和相似三角形的判定方法，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造方程，利用方程解決問題是關(guān)鍵6．如圖所示，在矩形中，，，兩只小蟲P和Q同時(shí)分別從A，B出發(fā)沿、向終點(diǎn)B，C方向前進(jìn)，小蟲P每秒走，小蟲Q每秒走，它們同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則_____秒．【答案】2或5##5或2【分析】要使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則要分兩種情況進(jìn)行分析．分別是或，從而解得所需的時(shí)間．【詳解】解：①若，則，即，解得；②若，則，即，解得．故答案為：2或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．二、解答題7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點(diǎn)，DQ⊥AP于點(diǎn)Q（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA＝x，DQ＝y(tǒng)，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍．【答案】（1）△DAQ∽△APB，見解析；（2）y＝，2＜x＜2【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B＝90°，∠DAP＝∠APB，根據(jù)DQ⊥AP，得∠B＝∠AQD，即可證出△DAQ∽△APB；（2）根據(jù)△DAQ∽△APB，得，再把AB＝2，DA＝2，PA＝x，DQ＝y(tǒng)代入得出，y＝．根據(jù)點(diǎn)P在BC上移到C點(diǎn)時(shí)，PA最長(zhǎng)，求出此時(shí)PA的長(zhǎng)即可得出x的取值范圍．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAP＝∠APB，∵DQ⊥AP，∴∠AQD＝90°，∴∠B＝∠AQD，∴△DAQ∽△APB；（2）∵△DAQ∽△APB，∴，∵AB＝2，四邊形ABCD是正方形，∴DA＝2，∵PA＝x，DQ＝y(tǒng)，∴，∴y＝．∵點(diǎn)P在BC上移到C點(diǎn)時(shí)，PA最長(zhǎng)，此時(shí)PA＝，又∵P是BC邊上與B、C不重合的任意一點(diǎn)，∴x的取值范圍是；2＜x＜2．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出函數(shù)關(guān)系式．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)以2m/s的速度向終點(diǎn)A勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)以1m/s的速度向終點(diǎn)C勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．（1）經(jīng)過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的？（2）經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ACB相似？【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或秒【分析】（1）分別表示出線段PC和線段CQ的長(zhǎng)后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，△PCQ與△ACB相似，當(dāng)△PCQ與△ACB相似時(shí)，則有或，分別代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【詳解】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒△PCQ的面積為△ACB的面積的，由題意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，則×2x（6﹣x）=××8×6，解得：x=2或x=4．故經(jīng)過2秒或4秒，△PCQ的面積為△ACB的面積的；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，△PCQ與△ACB相似．當(dāng)△PCQ與△ACB相似時(shí)，則有或，所以，或，解得t=，或t=．因此，經(jīng)過秒或秒，△OCQ與△ACB相似；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．9．（2017四川省遂寧市）如圖，直線與雙曲線相交于A（-1，2）和B（2，）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．(1)求m，n的值；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，是△BCP與△OCD相似，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)P有2個(gè)，即（0，﹣1）和（0，﹣3）．【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式求得k、b的值，然后將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，利用方程組求得它們的值；（2）需要分類討論：，，由坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．（1）解：∵A（﹣1，2）和B（2，b）在雙曲線（k≠0）上，∴k=﹣1×2=2b，解得b=﹣1，∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2）和B（2，﹣1）在直線（m≠0）上，∴，解得：，∴m=-1，n=1；（2）在y軸上存在這樣的點(diǎn)P，理由如下：①如圖，過點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)P，∴△PCB∽△OCD，∵B（2，﹣1），∴P（0，﹣1）；②過點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)P，∴，由（1）知，，∴C（0，1），D（1，0），∴OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴，∴（0，﹣3），∴這樣的點(diǎn)P有2個(gè)，即（0，﹣1）和（0，﹣3）．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用．正確求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題還考查了動(dòng)點(diǎn)問題，根據(jù)題意，找出動(dòng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著以每秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，；（3）是否存在某一時(shí)刻，使與相似？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)x=時(shí)，PQ∥BC；（3）存在，AP的長(zhǎng)為20cm或cm時(shí)，與相似.【分析】（1）當(dāng)CQ=9時(shí)，可求出x，從而求出AP，即可求出BP，然后根據(jù)兩個(gè)三角形兩底上的高相等時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于這兩個(gè)底的比，即可解決問題；（2）由題可得AP=4x，CQ=3x，BP=20-4x，AQ=30-3x，若PQ∥BC，則有△APQ∽△ABC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）題目未指定相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)分兩種情況討論，由BA=BC得∠A=∠C，要使△APQ∽△CQB，只需，列出方程求解即可．同理：要使時(shí)，建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)CQ=9時(shí)，則x=3，則AP=4×3=12cm，PB=20-12=8cm，∴；（2）由題可得AP=4x，CQ=3x，∵BA=BC=20，AC=30，∴BP=20-4x，AQ=30-3x，若PQ∥BC，則有△APQ∽△ABC，∴，∴，解得：x=，∴當(dāng)x=時(shí)，PQ∥BC；（3）存在，理由如下：∵BA=BC，∴∠A=∠C，使與相似，有兩種情況.I.要使△APQ∽△CQB，只需，此時(shí)，解得：x=，∴AP=4x=，II.要使，，，（舍或，，即：的長(zhǎng)為或時(shí)與相似.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)相似三角形的綜合考查，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解方程、兩個(gè)三角形的面積比等于兩個(gè)底的比等知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AC方向向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著CB方向向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如果M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)M到達(dá)C點(diǎn)處時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形AMNB的面積為S．（1）用含t的代數(shù)式表示：CM＝，CN＝．（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CMN與△ABC相似？（3）求S和t的關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）；當(dāng)t取何值時(shí)，S的最小，并求最小值．【答案】（1）CM＝6﹣t，CN＝2t；（2）t為3或1.2；（3）（t-3）2+27（0＜t＜6），t＝3，27【分析】（1）先由運(yùn)動(dòng)得出AM＝t，CN＝2t，繼而得出CM，即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論；（3）利用三角形的面積的差即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，AM＝t，CN＝2t，∵AC＝6，∴CM＝AC﹣AM＝6﹣t，故答案為：6﹣t，2t；（2）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，①當(dāng)△CMN∽△CAB時(shí)，∴，∵AC＝6，BC＝12，∴，∴t＝3，②當(dāng)△CMN∽△CBA，∴，∴，∴t＝1.2，即：t為3或1.2時(shí)，△CMN與△ABC相似；（3）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，∴S四邊形AMNB＝S△ABC﹣S△CMN＝×6×12﹣×2t×（6﹣t）＝（t-3）2+27（0＜t＜6），當(dāng)t＝3時(shí)，S四邊形AMNB最?。?7【點(diǎn)睛】本題是相似三角形綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積的計(jì)算方法，用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），連接．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）若與相似，求的值．【答案】（1）；（2）t的值為或．【分析】（1）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度求出CN的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB和BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出BM的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定分和兩種情況，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）由題意得：；（2）由題意得：由相似三角形的判定，分以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)在和中，，即解得②當(dāng)時(shí)在和中，，即解得綜上，所求的t的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），依據(jù)相似三角形的判定正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．13．如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.【答案】（1）當(dāng)或時(shí)，與相似；（2）【分析】（1）與相似，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),.分情況進(jìn)行討論即可；（2）通過求出P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后通過作為中間量建立所求的兩個(gè)三角形之間的關(guān)系，從而比值可求.【詳解】（1）由題意得，，①當(dāng)時(shí)

即

解得：.②當(dāng)時(shí)

即

解得：，（舍去）綜上所述，當(dāng)或時(shí)，與相似（2）當(dāng)時(shí)，∵和等高，∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1秒則∵和等高∴∴∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．已知：Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），P為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，問：點(diǎn)C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】作圖見解析，C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【分析】由于點(diǎn)不確定，故分，，三種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，．如圖，當(dāng)時(shí)，，即，，，；當(dāng)時(shí)，，即，解得，，；當(dāng)時(shí)，，即，解得，；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．15．如圖，點(diǎn)A（10，0），B（0，20），連接AB，動(dòng)點(diǎn)M、N分別同時(shí)從點(diǎn)A，O出發(fā)，以1單位長(zhǎng)度/秒和2單位長(zhǎng)度/秒的速度向終點(diǎn)O、B移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)為______，點(diǎn)N的坐標(biāo)為_____；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△MON與△AOB相似．【答案】（1）（10-t，0）；（0，2t）；（2）當(dāng)t=5s或2s時(shí)，△MON與△AOB相似．【分析】（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間可求解；（2）分兩種情形列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10?t）cm，∴N（0，2t），M（10?t，0）；故答案為：（10?t，0）；（0，2t）；（2）因?yàn)椤螹ON=∠AOB=90°當(dāng)=時(shí)，△MON∽△AOB即=，解得t=5當(dāng)=時(shí)，△MON∽△BOA即=，解得t=2所以當(dāng)t=5s或2s時(shí)，△MON與△AOB相似．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．16．如圖，在Rt中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)與相似時(shí)，的值是多少？【答案】的值是或【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)，列出等式，即可求解．【詳解】解：當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，當(dāng)△PBQ∽△CBA時(shí)，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的解，∴的值是或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．17．如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出△BPQ的面積為；(2)當(dāng)△BPQ與△COQ相似時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)時(shí)．①求k的值；②點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=的圖象上，若以點(diǎn)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的M的坐標(biāo)．【答案】(1)3(2)當(dāng)△BPQ與△COQ相似時(shí)，t的值為或(3)①；②當(dāng)以點(diǎn)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）【分析】（1）由點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度，可找出當(dāng)時(shí)點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出，的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可求出此時(shí)的面積；（2）由可知分兩種情況考慮，①當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出值；②當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出值．綜上，此問得解；（3）①由題意可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于，的方程，解之即可得出結(jié)論；②由①可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)，分為邊及為對(duì)角線兩種情況考慮：當(dāng)為邊時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)可求出值，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)，重合可得出此種情況不存在；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，利用對(duì)角線互相平分可求出的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)．綜上，此問得解．（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．故答案為：3；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，．與相似，，分兩種情況考慮：①當(dāng)時(shí)，，即，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，是原分式方程的解，符合題意，；②當(dāng)時(shí)，，即，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意，；綜上所述：當(dāng)與相似時(shí)，的值為或．（3）①依題意，得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，，，．②由①可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．分兩種情況考慮：當(dāng)為邊時(shí)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)，重合，不符合題意，此種情況不存在；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積、相似三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出當(dāng)時(shí)點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于的方程；（3）①利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于，的方程組；②分為邊及為對(duì)角線兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)，的坐標(biāo)．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為C（8，0），B（0，6），CD＝5，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）過B，C兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D開始以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D→A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)后，立即返回，向CO方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)O點(diǎn)后，又立即返回，依此在線段OC上反復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)M，N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以點(diǎn)M，D，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B，O，N為頂點(diǎn)的三角形相似，直接寫出t的值．【答案】(1)(2)（11，4）(3)或或【分析】（1）將點(diǎn)C（8，0），B（0，6）代入解析式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）作DE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△BOC∽△CED，可得CE，DE長(zhǎng)度，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）分為點(diǎn)M在AD，BC上兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)M在AD上時(shí)，分為△BON∽△CDM和△BON∽△MDC兩種情況討論；當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，分為△BON∽△MCD和△BON∽△DCM兩種情況討論，即可求解．（1）解：將C（8，0），B（0，6）代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∵C（8，0），B（0，6），∴OC＝8，OB＝6．∴BC＝10．∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，∴△BOC∽△CED．∴．∴CE＝3，DE＝4．∴OE＝OC+CE＝11．∴D（11，4）．（3）若點(diǎn)M在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)△BON∽△CDM，則，即不成立，舍去；當(dāng)△BON∽△MDC，則，即解得：（負(fù)值舍去）若點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CM=25-5t．當(dāng)△BON∽△MCD，則，即∴，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，ON=16-4t．∴解得（舍去），當(dāng)4＜t≤5時(shí)，ON=4t-16，無解；當(dāng)△BON∽△DCM，則，即∴ON=30-6t；當(dāng)3＜t≤4時(shí)，ON=16-4t，∴30-6t=16-4t，解得t=7（舍去）；當(dāng)4＜t≤5時(shí)，ON=4t-16，∴30-6t=4t-16，解得，綜上所述，以點(diǎn)M，D，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B，O，N為頂點(diǎn)的三角形相似，t的值為；或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知以上知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．專題13二次函數(shù)中的相似1．在直角坐標(biāo)系中，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、，與軸的正半軸相交于點(diǎn)，若（相似比不為．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求的外接圓半徑；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓與線段交于點(diǎn)，且以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求的值；（2）拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、在軸上，點(diǎn)、在軸上，，，，直線與經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線交于、兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于．點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），軸與拋物線交于點(diǎn)．（1）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過點(diǎn)，又與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．（1）拋物線的表達(dá)式是；（2）四邊形的面積等于；（3）問：與相似嗎？并說明你的理由；（4）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．另一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)與不重合），且頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，并且以、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等，求、的值．（只需寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．5．如圖，已知拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式．（2）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求四邊形的面積．（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，，且，．（1）分別過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足是、．求證：；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)過、、三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線，在直線上求點(diǎn)，使得．7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）請(qǐng)說明、、的乘積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)；（2）若，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．8．已知，如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，直線交拋物線于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若是線段的中點(diǎn)，連接，猜想線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．如圖，拋物線與軸相交于、，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線點(diǎn)．（1）求梯形的面積；（2）若梯形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且與相似，求符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)．11．如圖，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，能使的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），則是否存在這樣的直線，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．已知二次函數(shù)的圖象與軸分別交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），以為直徑作，與軸正半軸交于，點(diǎn)為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接、兩弦相交于點(diǎn)，連接，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若的半徑為3時(shí)，求的值；（3）請(qǐng)?zhí)剿鳟?dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使得與相似，并給予證明．13．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求出拋物線的解析式；（2）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線上方的拋物線上有一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．14．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)且與軸平行的直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，作的角平分線，交拋物線于點(diǎn)．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②在直線上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．如圖，已知拋物線（且與軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左邊，與軸交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，；（2）若，連接，①求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②在軸上找點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若在直線上存在唯一的一點(diǎn)，連接、，使，求的值．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，二次函數(shù)的圖象為．（1）向上平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式；（2）平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，記中點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、、為常數(shù)且經(jīng)過原點(diǎn)和，且對(duì)稱軸為直線（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使中邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，設(shè)拋物線與軸的另一交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，滿足，若是直線下方的拋物線上且到的距離最大的點(diǎn)，試求出所有滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)（點(diǎn)、、分別與點(diǎn)、、對(duì)應(yīng)）．18．如圖，設(shè)拋物線與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)記為點(diǎn)．且．（1）求的值和拋物線的解析式；（2）已知過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)．若點(diǎn)在軸上，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，的外接圓半徑等于．（直接寫答案）19．已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于，與軸交于點(diǎn)，（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷的形狀，說明理由；（3）點(diǎn)是該拋物線軸上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，是否存在，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．如圖，已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過，，，兩點(diǎn)，且、是方程兩根，拋物線頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，與軸的交點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式；（2）若，，是（1）中拋物線上的點(diǎn)，，垂足為，．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②試判定以為直徑的圓與軸有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．專題13二次函數(shù)中的相似1．在直角坐標(biāo)系中，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、，與軸的正半軸相交于點(diǎn)，若（相似比不為．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求的外接圓半徑；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓與線段交于點(diǎn)，且以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）（相似比不為，，又，，，點(diǎn)，，設(shè)圖象經(jīng)過、、三點(diǎn)的函數(shù)解析式是，則：，解得，，，這個(gè)函數(shù)的解析式是；（2）（相似比不為，．又，是外接圓的直徑．；（3）點(diǎn)在以為直徑的圓上，，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的中垂線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．，點(diǎn)，，即；②當(dāng)時(shí)，△，，點(diǎn)，即．③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)顯然不能在線段上．綜上，符合題意的點(diǎn)存在，有兩解：，或1．2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求的值；（2）拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；【解答】解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，．．（2）拋物線的解析式為．可求拋物線與軸的交點(diǎn)，．可求點(diǎn)的坐標(biāo)．由圖知，點(diǎn)在軸下方的直線上時(shí)，是鈍角三角形，不可能與相似，所以點(diǎn)一定在軸上方．此時(shí)與有一個(gè)公共角，兩個(gè)三角形相似存在兩種情況：①當(dāng)時(shí)，由于為的中點(diǎn)，此時(shí)為的中點(diǎn)，可求點(diǎn)坐標(biāo)為．②當(dāng)時(shí)，，解得：．如圖（2）過點(diǎn)作軸，垂足為，．是的中點(diǎn)，，由勾股定理得：，，，由勾股定理得：的坐標(biāo)為，3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、在軸上，點(diǎn)、在軸上，，，，直線與經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線交于、兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于．點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），軸與拋物線交于點(diǎn)．（1）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1），，，，，，，設(shè)函數(shù)解析式為，，解得，經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為：（2），；所以直線；聯(lián)立，解得，，，；設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則；；由條件容易求得，，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，則為等腰直角三角形；①以為直角頂點(diǎn)，為斜邊；，即：，解得，（不合題意舍去），；②以為直角頂點(diǎn)，為斜邊；，即：，解得，（不合題意舍去），故存在符合條件的點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．4．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過點(diǎn)，又與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．（1）拋物線的表達(dá)式是；（2）四邊形的面積等于；（3）問：與相似嗎？并說明你的理由；（4）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．另一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)與不重合），且頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，并且以、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等，求、的值．（只需寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．【解答】解：（1）設(shè)的解析式為，由圖象可知：過，，三點(diǎn)．解得：拋物線的解析式為．（2）．拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；過作軸于，由圖象可知：，，，；令，則，解得，，則．；；．（平方單位）．（3）如圖，過作于，則．．，又；，；在和中，，，；，，．．（4）①當(dāng)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)可能為，，．②當(dāng)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)可能是，，，，綜上所述可得出、的值．，，，，，，．5．如圖，已知拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式．（2）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求四邊形的面積．（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線過和，解得（2）令，，解得，，，，，過點(diǎn)作軸于，則為等腰直角三角形令，則，點(diǎn)在拋物線上，解得，（不符合題意）四邊形的面積；（3）假設(shè)存在，．軸于點(diǎn)，．在中，．在中，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則①點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，則（?。┊?dāng)時(shí)，有，即解得（舍去）（舍去）（ⅱ）當(dāng)時(shí)有即解得：（舍去），②點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，則（?。┊?dāng)時(shí)有，解得（舍去），（ⅱ）當(dāng)時(shí)有即解得：（舍去），，，存在點(diǎn)，使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，，且，．（1）分別過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足是、．求證：；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)過、、三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線，在直線上求點(diǎn)，使得．【解答】（1）證明：，且，，，，，；（2）解：分別作軸，軸，垂足分別是、；，，而，；又，；，則，，所以點(diǎn)（3）解：，縱坐標(biāo)相同，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)點(diǎn)在直線上且距距離為2時(shí)，與面積相等，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）請(qǐng)說明、、的乘積是正數(shù)還是負(fù)數(shù)；（2）若，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）由于拋物線過，因此．根據(jù)圖形有：，，因此，．，即、、的乘積是負(fù)數(shù)．（2），，，，即，即點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)拋物線的解析式為．由于拋物線過點(diǎn)，因此，．因此拋物線的解析式為．8．已知，如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，直線交拋物線于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題可得：，解得：，二次函數(shù)的解析式為．點(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，．令得，解得：，，點(diǎn)為，．①若，則，，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②若，則，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．9．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若是線段的中點(diǎn)，連接，猜想線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式是：，把代入得：，解得：，，，答：拋物線的解析式是，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系是．證明：過作軸于，過作軸于，，，為的中點(diǎn)，，，，，由勾股定理得：，過作軸于，則，，由勾股定理得：，，（已求出），．（3）坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，．10．如圖，拋物線與軸相交于、，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線點(diǎn)．（1）求梯形的面積；（2）若梯形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且與相似，求符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，解得：，，當(dāng)時(shí)，，，，，軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是，把代入得：，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)是：，，．所以梯形的面積是8．（2）由拋物線的對(duì)稱性有，過作于，，，，，設(shè)：經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為：，把代入解得：，所以經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式是：，即．（3）當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)，當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)，，由勾股定理得：，（此時(shí)舍去），，，；當(dāng)時(shí)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)，由題意有鈍角鈍角，此時(shí)不存在．所以符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)是和，．11．如圖，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，能使的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），則是否存在這樣的直線，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】（1）解：直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，把代入得：，，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，答：拋物線的解析式是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．（2）解：根據(jù)對(duì)稱由，得到的坐標(biāo)是，作關(guān)于對(duì)稱軸（直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，則為符合條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式是，把、的坐標(biāo)代入得：，解得：，，，把代入得：，答：的坐標(biāo)是．（3）解：存在，分兩種情況：①，此時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為：，；②當(dāng)與不平行時(shí)，，可求得，此時(shí)直線的解析式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，答：存在，當(dāng)時(shí)，直線的函數(shù)表達(dá)式是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，；當(dāng)與不平行時(shí)，直線的函數(shù)表達(dá)式是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．12．已知二次函數(shù)的圖象與軸分別交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），以為直徑作，與軸正半軸交于，點(diǎn)為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接、兩弦相交于點(diǎn)，連接，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若的半徑為3時(shí)，求的值；（3）請(qǐng)?zhí)剿鳟?dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使得與相似，并給予證明．【解答】解：（1）由拋物線的解析式可得對(duì)稱軸為：；由于、是拋物線與軸的交點(diǎn)，且是的直徑，由拋物線和圓的對(duì)稱性知：．（2）若的半徑為3，則，；則拋物線的解析式為：；故．（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到劣弧的中點(diǎn)時(shí)，與相似；證明：如圖；是劣弧的中點(diǎn)，；又是的直徑，，．13．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求出拋物線的解析式；（2）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線上方的拋物線上有一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）該拋物線過點(diǎn)，可設(shè)該拋物線的解析式為．將，代入，得，解得，此拋物線的解析式為；（2）存在．如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，．又，①當(dāng)，在拋物線上，，，，，即．解得，（舍去），．②當(dāng)時(shí)，，即．解得，（均不合題意，舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，①或②，把代入得：，，解得：第一個(gè)方程的解是（舍去）（舍去），第二個(gè)方程的解是，（舍去）求出，，則，當(dāng)時(shí)，，．①或，則：，，解得：第一個(gè)方程的解是（舍去），（舍去），第二個(gè)方程的解是（舍去），，時(shí)，，則，綜上所述，符合條件的點(diǎn)為或或，（3）如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．過作軸的平行線交于．由題意可求得直線的解析式為．點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，，當(dāng)時(shí)，面積最大，．14．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)且與軸平行的直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，作的角平分線，交拋物線于點(diǎn)．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②在直線上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，，解得，拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）由拋物線可得，，，直線為：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，四邊形的面積面積面積，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）①過點(diǎn)作軸于，，，，，，平分，，，即軸，當(dāng)時(shí)，，解得，，，，，直線為：，當(dāng)時(shí)，解得，，當(dāng)時(shí)，，；②直線，直線，，，在直線上存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)，由題可得，，，（ⅰ）如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即，解得，；（ⅱ）如圖所示，當(dāng)時(shí)，，即，解得，．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．15．如圖，已知拋物線（且與軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)左邊，與軸交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，；（2）若，連接，①求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②在軸上找點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若在直線上存在唯一的一點(diǎn)，連接、，使，求的值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：；（2）①，拋物線的解析式為．當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)，點(diǎn)，，．，，，，即．設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②過點(diǎn)作軸于，如圖1，則，，，．，．Ⅰ．若，則．，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，；Ⅱ．若，則，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，；綜上所述：滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，或，；（3）直線上存在唯一的一點(diǎn)，使得，以為直徑的圓與直線相切于點(diǎn)，圓心記為，連接，如圖2，則有，．當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，，則點(diǎn)，，，，，，，．，，，，，，解得：．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，二次函數(shù)的圖象為．（1）向上平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式；（2）平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，記中點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，拋物線的解析式為；（2）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，，解得：，拋物線的解析式為．當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則有，，．的坐標(biāo)為，．點(diǎn)為中點(diǎn)，．在中，，，，，，．若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，則，由與相似可得或?yàn)?，與三角形內(nèi)角和矛盾，該情況不存在．點(diǎn)必在點(diǎn)的上方．①若，如圖1，則，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②若，如圖2，則，，點(diǎn)的坐