2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)集合

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)集合目錄集合的含義01元素與集合關(guān)系的判斷02集合的表示法03集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用04子集與真子集05集合中元素個(gè)數(shù)的最值06集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題07交集及其運(yùn)算08子集與交集09一．集合的含義

二．元素與集合關(guān)系的判斷2.已知集合A為非空數(shù)集．定義：S=|x=a+b,a,b∈A}T={x|x=|a-b|，a∈S}．(Ⅰ)若集合A={1，3}．直接寫出集合S，T；(Ⅱ)若集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T=A．求證：x4=3x2；(Ⅲ)若集合．A?{x|0≤x≤2024，x∈N}，S∩T=?，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求|A|的最大值．【解析】解：(Ⅰ)∵A={1，3}，S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a-b|，a,b∈A}，∴集合S={2，4，6}，集合T={0，2}．

3.對(duì)非空數(shù)集T，給出如下定義：定義1：若?x,y∈T，當(dāng)x+y≠x-y時(shí)，{x+y,x-y}∩T≠?，則稱T為強(qiáng)和差集；定義2：若?x,y∈T，當(dāng)x+y≠|(zhì)x-y|時(shí)，{x+y,|x-y|}∩T≠?，則稱T為弱和差集．(Ⅰ)分別判斷{0，1}是否為強(qiáng)和差集，{1，2}是否是弱和差集，并說明理由；(Ⅱ)若集合A={1，a,b}是弱和差集，求A；(Ⅲ)若強(qiáng)和差集B的元素個(gè)數(shù)為12，且1∈B，求滿足條件的集合B的個(gè)數(shù)．

但必須滿足1∈B，故滿足條件的集合B只有2個(gè)．4.對(duì)于一個(gè)所有元素均為整數(shù)的非空集合A，和一個(gè)給定的整數(shù)k,定義集合Ak={x|x=|a-k|，a∈A}．(1)若A={1，2，3，4}，直接寫出集合A1，A2和A3；(2)若A={1，2，3，?，n}，其中n∈N*，n≥5，求k的值，使得集合Ak中元素的個(gè)數(shù)最少；(3)寫出所有滿足0≤k＜p的整數(shù)p和k,使得當(dāng)集合A={mp|m∈Z}時(shí)，有N?(A∪Ak)，并說明理由．【解析】解：(1)A1={0，1，2，3}，A2={0，1，2}，A3={0，1，2}，(2)Ak={|1-k|，|2-k|，|3-k|，…|n-k|}，n∈N*，當(dāng)|1-k|=|n-k|時(shí)，Ak中元素個(gè)數(shù)最少，

當(dāng)m≤0時(shí)，|3m-1|=1-3m∈A1，3(1-m)+1∈A1，所以N1?A1，綜上可得，N=N0∪N1∪N2，N0?A，N1∪N2?A1，所以N?(A∪A1)，即p=3，k=1可行；同理可得p=3，k=2也可行．p≥4時(shí)，明顯(A∪Ak)中很多整數(shù)空缺，③p=2時(shí)，A={2m|m∈Z}，要使N?(A∪Ak)且k≥0，則k=1，即Ak={2m-1|m∈Z}．

根據(jù)題意知點(diǎn)(n,k)既是點(diǎn)(2022，m)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)(2023，m+1)的“上位點(diǎn)”對(duì)m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}時(shí)恒成立，根據(jù)上述的結(jié)論知，當(dāng)n=2022+2023=4045，k=2m+1時(shí)，滿足條件，故n=4045．6.設(shè)集合A為非空數(shù)集，定義A+={x|x=a+b,a,b∈A}，A-={x|x=|a-b|，a,b∈A}．(Ⅰ)若集合A={-1，1}，直接寫出集合A+及A-；(Ⅱ)若集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A-=A，求證x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)若集合A?{x|0≤x≤2023，x∈N}，且A+∩A-=?，求A中元素個(gè)數(shù)的最大值．【解析】解：(Ⅰ)根據(jù)題意，由A={-1，1}，A+={-2，0，2}，A-={0，2}；(Ⅱ)證明：∵集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A-=A，∴A-中也有四個(gè)元素，即A-={0，x2-x1，x3-x1，x4-x1}，∴x3-x2=x4-x3=x2-x1，即x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)設(shè)A={a1，a2，?ak}滿足題意，其中a1＜a2＜?＜ak，則2a1＜a1+a2＜a1+a3＜?＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜?＜ak-1+ak＜2ak，∴|A+|≥2k-1，a1-a1＜a2-a1＜a3-a1＜?＜ak-a1，∴|A-|≥k,∵A+∩A-=?，由容斥原得：||A+∪A-|=|A+|+|A-|≥3k-1，而A+∪A-中最小的元素為0，最大的元素為2ak，∴|A+∪A-|≤2ak+1，∴3k-1≤2ak+1≤4047(k∈N*)，所以k≤1349，∴當(dāng)A={675，676，677，…，2023}時(shí)滿足題意，

7.已知實(shí)數(shù)集A={a1，a2，…，an}(n≥3)，定義φ(A)={aiaj|ai，aj∈A，i≠j}．(Ⅰ)若A={-2，0，1，2}，求φ(A)；(Ⅱ)若φ(A)={0，-6，-8，-12，12，18，24}，求集合A；(Ⅲ)若A中的元素個(gè)數(shù)為9，求φ(A)的元素個(gè)數(shù)的最小值．【解析】解：(Ⅰ)φ(A)={-4，-2，0，2}；(Ⅱ)首先，0∈A；其次A中有4個(gè)非零元素，符號(hào)為一負(fù)三正或者一正三負(fù)，記A={0，a,b,c,d}，不妨設(shè)a＜0＜b＜c＜d或者a＜b＜c＜0＜d,①當(dāng)a＜0＜b＜c＜d時(shí)，{ab,ac,ad}={-6，-8，-12}，{bc,bd,cd}={12，18，24}，相乘可知bcd=72，a3bcd=-576，從而a3=-8?a=-2，從而{b,c,d}={3，4，6}，所以A={0，-2，3，4，6}；②當(dāng)a＜b＜c＜0＜d時(shí)，與上面類似的方法可以得到d3=8?d=2，進(jìn)而{b,c,d}={-3，-4，-6}，從而A={0，2，-3，-4，-6}，所以A={0，-2，3，4，6}或者A={0，2，-3，-4，-6}；(Ⅲ)估值+構(gòu)造，需要分類討論A中非負(fù)元素個(gè)數(shù)，先證明|φ(A)|≥13，考慮到將A中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時(shí)，集合φ(A)不變，故不妨設(shè)A中正數(shù)個(gè)數(shù)不少于負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)，接下來分類討論：情況一：A中沒有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)0≤a1＜a2＜…＜a9，則0≤a1a2＜a2a3＜a2a4＜…＜a2a9＜a3a9＜…＜a8a9，上式從小到大共有1+7+6=14個(gè)數(shù)，它們都是φ(A)的元素，這表明|φ(A)|≥14；情況二：A中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，設(shè)b1，b2，…，bs是A中的全部負(fù)元素，c1，c2，…，ct是A中的全部非負(fù)元素．不妨設(shè)bs＜bs-1＜…＜b1＜0≤c1＜c2＜…＜ct，其中s,t為正整數(shù)，s+t=9，s≤4，t≥5，則0≥b1c1＞b1c2＞…＞b1ct＞b2ct＞…＞bsct，以上是φ(A)中的s+t-1=8個(gè)非正數(shù)元素，另外，注意到c2c3＜c2c4＜c2c5＜c3c5＜c4c5，它們是φ(A)中的5個(gè)正數(shù)，這表明|φ(A)|≥13；綜上可知，總有|φ(A)|≥13，另一方面，當(dāng)A={0，±1，±2，±22，±23}時(shí)，φ(A)={0，-1，±2，±22，±23，±24，±25，-26}中恰有13個(gè)元素，綜上所述，φ(A)中元素個(gè)數(shù)的最小值為13．8.對(duì)非空數(shù)集X，Y，定義X與Y的和集X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}．對(duì)任意有限集A，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)．(Ⅰ)若集合X={0，1，2}，Y={1，3，5，7，9}，寫出集合X+X與X+Y；(Ⅱ)若集合X={x1，x2，?，x1012}滿足x1＜x2＜?＜x1012，且|X+X|＜2024，求|X+X|．【解析】解：(Ⅰ)∵集合X={0，1，2}，Y={1，3，5，7，9}，∴根據(jù)題意可得：X+X={0，1，2，3，4}，X+Y={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}；(Ⅱ)集合X={x1，x2，?，x1012}滿足x1＜x2＜?＜x1012，∴x1+x1＜x1+x2＜x1+x3＜…＜x1+x1012＜x2+x1012＜x3+x1012＜…＜x1012+x1012，∴X+X中至少有2×1012-1=2023個(gè)元素，即|X+X|≥2023，又|X+X|＜2024，∴|X+X|=2023．

【解析】解：(1)不正確，理由如下：A={1，2，3}，B={2，3，4}，A∪B={1，2，3，4}，當(dāng)i=2時(shí)，因?yàn)?∈A，所以f2(A)=1，因?yàn)?∈B，所以f2(B)=1，因?yàn)?∈(A∪B)，所以f2(A∪B)=1，此時(shí)f2(A∪B)≠f2(A)+f2(B)，所以對(duì)任意i∈N*，fi(A∪B)=fi(A)+fi(B)不正確．(2)證明：①若fi(A∩B)=0，此時(shí)有i?(A∩B)，當(dāng)i∈A且i?B時(shí)，fi(A)=1，fi(B)=0，此時(shí)fi(A)?fi(B)=0；當(dāng)i?A且i∈B時(shí)，fi(A)=0，fi(B)=1，此時(shí)fi(A)?fi(B)=0；當(dāng)i?A且i?B時(shí)，fi(A)=0，fi(B)=0，此時(shí)fi(A)?fi(B)=0，因此fi(A∩B)=fi(A)?fi(B)成立．②若fi(A∩B)=1，則i∈(A∩B)，此時(shí)i∈A且i∈B，則fi(A)=1，fi(B)=1，此時(shí)fi(A)?fi(B)=1，因此fi(A∩B)=fi(A)?fi(B)成立，綜合①②可知，fi(A∩B)=fi(A)?fi(B)成立．

【解析】解：(1)集合A不具有性質(zhì)P，集合B具有性質(zhì)P．

要使a1+a2+a3取最大，檢驗(yàn)可得a1=2014，∴若集合A具有性質(zhì)P，則a1+a2+a3的最大值為6050．11.對(duì)于任意有限集S，T，定義集合S-T={x|x∈S，x?T}，|S|表示S的元素個(gè)數(shù)．已知集合A，B為實(shí)數(shù)集R的非空有限子集，設(shè)集合C={x|x=a+b,a∈A，b∈B}．(1)若A={1，2，3}，B={-1，1}，求集合C和|C|；(2)已知D為有限集，若D?(0，+∞)，證明：|A-D|+|B-D|+|D-C|≥1．(3)若|C|=3，求|A|?|B|的值．【解析】解：(1)集合C={x|x=a+b,a∈A，b∈B}，而A={1，2，3}，B={-1，1}，∴C={0，1，2，3，4}，|C|=5．(2)證明：依題意，|A-D|≥0，|B-D|≥0，|D-C|≥0，|A-D|+|B-D|≥|(A∪B)-D|，當(dāng)且僅當(dāng)A∩B=?時(shí)，取等號(hào)，若A∪B中至少含有一個(gè)不在D中的元素，則有|A-D|+|B-D|≥|(A∪B)-D|≥1，當(dāng)(A∪B)?D時(shí)，則有|A-D|=|B-D|=0，∵D為有限集，且D?(0，+∞)，令D的最小元素為d,此時(shí)集合A中最小的元素為a≥d,集合B中最小的元素b≥d,∴集合C中最小的元素為a+b≥2d,∴d?C，∴|D-C|≥1，有|A-D|+|B-D|+|D-C|=|D-C|≥1，∴|A-D|+|B-D|+|D-C|≥1．(3)|C|=3，∵集合C={x\x=a+b,a∈A，b∈B}，若|A|≥4或|B|≥4，則|C|≥4，不合題意，∴|A|≤3或|B|≤3，當(dāng)集合A，B中有存在3元素的集合時(shí)，令|A|=3，令A(yù)={a1，a2，a3}，a1＜a2＜a3，若B={b1，b2}，b1＜b2，則有a1+b1＜a2+b1＜a2+b2＜a3+b2，若c2-c1=d2-d1，則c2+d1=c1+d2，滿足|C|=3，此時(shí)|A|?|B|=4．若c2-c1≠d2-d1，則c2+d1≠c1+d2，此時(shí)|C|=4，不合題意，∴|A|?|B|的值為3或4．12.已知正整數(shù)n≥5，集合Sn={X|X=(x1，x2，?，xn)，xi∈{0，1}，i=1，2，?，n}．對(duì)于Sn中的元素A=(a1，a2，?an)，B=(b1，b2，?bn)，定義A?B=a1b1+a2b2+?+anbn．令Tn={X∈Sn|X?X=3}．(Ⅰ)直接寫出T6的兩個(gè)元素及T6的元素個(gè)數(shù)；(Ⅱ)已知A1，A2，?，Am∈T6，滿足對(duì)任意1≤i＜j≤m,都有Ai?Aj=1，求m的最大值；(Ⅲ)證明：對(duì)任意A1，A2，?，An+1∈Tn，總存在1≤i＜j≤n+1，使得Ai?Aj=1．【解析】解：(Ⅰ)A1=(1，1，1，0，0，0)，A2=(1，0，0，1，1，0)，

，1)，A4=(0，0，1，1，0，1)，符合題意，綜上，當(dāng)n=6時(shí)，m的最大值為4．(Ⅲ)證明：{A1，A2，…，An+1}共有2n+1-1個(gè)非空子集，記為Di，i=1，2，…，2n+1-1，則S(Di)在每分量得奇偶性下恰有2種不同的狀態(tài)，由n≥5知2n+1-1≥2n，由抽屜原理，存在兩個(gè)不同的{A1，A2，…，An+1}的非空子集D，E，設(shè)S(D)=(d1，d2，…，dn)，S(E)=(e1，e2，…，en)，有dj與ej奇偶性相同，j=1，2，…，n,令F={X|X∈D∪E，X?D∩E}，由于D≠E，∴F≠?，令S(D∩E)=(s1，s2，…，sn)，則S(F)=(d1+e1-2s1，…，dn+en-2sn)，

-3為奇數(shù)，故必存在一個(gè)i∈{2，3，…，n)，使得Ai?Aj為奇數(shù)，又由于Ai?Aj∈{0，1，2}，從而Ai?Aj=1．13.已知集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={1，2，3}，集合C={0，1，2}，且集合D滿足D∩B≠?，D∩C=?．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)對(duì)集合A={a1，a2，…，ak}(k≥2，k∈N*)，其中ai∈Z(i=1，2，…，k)，定義由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相合：S={(a,b)|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={(a,b)|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中(a,b)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n,若對(duì)任意的a∈A，總有-a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P．①請(qǐng)檢驗(yàn)集合B∪C與B∪D是否具有性質(zhì)P，并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；②試判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】解：(1)已知集合B={1，2，3}，集合C={0，1，2}，由D∩B≠?，D∩C=?，可得3∈D，即x=3是方程x2-ax+a2-19=0的一個(gè)根，即32-3a+a2-19=0，即a2-3a-10=0，解得a=5或a=-2．當(dāng)a=5時(shí)，方程為x2-5x+6=0，解得x=2或x=3，此時(shí)D={2，3}(不合題意，舍去)；當(dāng)a=-2時(shí)，方程為x2+2x-15=0，解得x=-5或x=3，此時(shí)D={3，-5}符合題意．綜上，a=-2．(2)①由(1)可知B∪C={0，1，2，3}，B∪D={-5，1，2，3}，易得集合B∪C不滿足性質(zhì)P，集合B∪D滿足性質(zhì)P，則S={(1，1)，(1，2)，(2，1)}，T={(2，1)，(3，1)，(3，2)}．②m與n的大小關(guān)系為m=n.證明如下：對(duì)于(a,b)∈S，根據(jù)定義知a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而(a+b,b)∈T，如果(a,b)與(c,d)是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個(gè)不成立，故(a+b,b)與(c+d,d)也是T的不同元素，可見S中元素的個(gè)數(shù)不多于T中元素的個(gè)數(shù)，即m≤n.對(duì)于(a,b)∈T，根據(jù)定義知a∈A，b∈A，且a-b∈A，從而(a-b,b)∈S，如果(a,b)與(c,d)是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個(gè)不成立，從而a-b=c-d與b=d中也至少有一個(gè)不成立，故(a-b,b)與(c-d,d)也是S的不同元素，可見，T中元素的個(gè)數(shù)不多于S中元素的個(gè)數(shù)，即n≤m.綜上，m=n.14.定義：給定整數(shù)i,如果非空集合A滿足如下3個(gè)條件：①A?N*；②A≠{1}；③?x,y∈N*，若x+y∈A，則xy-i∈A．則稱集合A為“減i集”(Ⅰ)P={1，2}是否為“減0集”？是否為“減1集”？(Ⅱ)證明：不存在“減2集”；(Ⅲ)是否存在“減1集”？如果存在，求出所有的“減1集”；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：(Ⅰ)∵P?N*，P≠{1}，1+1=2∈P，1×1-0∈P，∴P是“減0集”同理，∵P?N*，P≠{1}，1+1=2∈P，1×1-1?P，∴P不是“減1集”．(Ⅱ)假設(shè)存在A是“減2集”，則若x+y∈A，那么xy-2∈A，①當(dāng)x+y=xy-2時(shí)，有(x-1)(y-1)=3，則x,y一個(gè)為2，一個(gè)為4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3-2?A，與A是“減2集”，矛盾；②當(dāng)x+y≠xy-2時(shí)，則x+y=xy-1或者x+y=xy-m(m＞2)，若x+y=xy-1，m=1時(shí)M為除1以外的最小元素，則x=M-1，y=1時(shí)，xy-2=M-3小于M，如果要符合題意必須M=4，此時(shí)取x=2，y=2，xy-2=2不屬于A，故不符合題意．m＞2時(shí)，(x-1)(y-1)=m+1，同樣得出矛盾．綜上可得：不存在A是“減2集”．(Ⅲ)存在“減1集”A．A≠{1}．①假設(shè)1∈A，則A中除了元素1以外，必然還含有其它元素．假設(shè)2∈A，1+1∈A，而1×1-1?A，因此2?A．假設(shè)3∈A，1+2∈A，而1×2-1∈A，因此3∈A．因此可以有A={1，3}．假設(shè)4∈A，1+3∈A，而1×3-1?A，因此4?A．假設(shè)5∈A，1+4∈A，1×4-1∈A，2+3=5，2×3-1∈A，因此5∈A．因此可以有A={1，3，5}．以此類推可得：A={1，3，5，……，2n-1，……}，(n∈N*)，以及A的滿足以下條件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{x|x=2k-1，k∈N*}，15.已知集合An={(x1，x2，…xn)，xi∈{0，1}(i=1，2，…n)}(n≥2)，若x,y∈An，記x=(x1，x2，…xn)，y=(y1，y2，…yn)，定義x?y=(x1+y1)(x2+y2)…(xn+yn)．(Ⅰ)若x=(1，1，1，1)且x?y=4，寫出An中所有滿足條件的元素y；(Ⅱ)令B={x?y|x,y∈An}，若m=card(B)，求證：m+n為偶數(shù)；(card(B)表示集合B中元素的個(gè)數(shù))．(Ⅲ)若集合A?An，且A中的每一個(gè)元素均含有4個(gè)0和4個(gè)1，對(duì)任意x,y∈A，都有x?y=4，求A中最多有多少個(gè)元素？并說明理由．【解析】解：(Ⅰ)由4=1×1×1×4=1×1×2×2(不考慮順序)，而xi+yi只可能為0或1或2，則x?y=4，只可能為2個(gè)yi為0，2個(gè)yi為1，∴y=(1，1，0，0)或(1，0，1，0)或(1，0，0，1)或(0，0，1，1)或(0，1，0，1)或(0，1，1，0)；(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得xi+yi只可能為0或1或2，∴x?y的結(jié)果只能為0，1，2，22，…，2n，∴m=card(B)=n+2，∴m+n=2n+2=2(n+1)為偶數(shù)；(Ⅲ)4=1×1×1×1×1×1×2×2，也就是取y時(shí)，與x中為1的位置恰好只有2個(gè)重合也為1，x中0的位置y中為1，則此時(shí)y中1的元素為4+2=6個(gè)，與4個(gè)0和4個(gè)1不符，無法找出這樣的元素．

三．集合的表示法17.設(shè)A為非空集合，令A(yù)×A={(x,y)|x,y∈A}，則A×A的任意子集R都叫做從A到A的一個(gè)關(guān)系(Relation)，簡稱A上的關(guān)系．例如A={0，1，2}時(shí)，R1={(0，2)}，R2=A×A，R3=?，R4={(0，0)，(2，1)}等都是A上的關(guān)系．設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系．給出如下定義：①(自反性)若?x∈A，有(x,x)∈R，則稱R在A上是自反的；②(對(duì)稱性)若?(x,y)∈R，有(y,x)∈R，則稱R在A．上是對(duì)稱的；③(傳遞性)若?(x,y)，(y,z)∈R，有(x,z)∈R，則稱R在A．上是傳遞的；如果R同時(shí)滿足這3條性質(zhì)，則稱R為A上的等價(jià)關(guān)系．(Ⅰ)已知A={0，1，2}，按要求填空：(ⅰ)用列舉法寫出A×A=___________________________________________________________________________________；(ⅱ)A上的關(guān)系有_____個(gè)(用數(shù)值作答)；(ⅲ)用列舉法寫出A上的所有等價(jià)關(guān)系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________________________________________，___________________________________________________________________________________共5個(gè)．(Ⅱ)設(shè)R1，和R2是某個(gè)非空集合A上的關(guān)系，證明：{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}512{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)}{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)，(0，2)，(2，0)，(0，1)，(1，0)}(ⅰ)若R1，R2是自反的和對(duì)稱的，則R1∪R2也是自反的和對(duì)稱的：(ⅱ)若R1，R1是傳遞的，則R1∩R2也是傳遞的．(Ⅲ)若給定的集合A有n個(gè)元素(n≥4)A1，A2，?Am(2≤m≤n)為A的非空子集，滿足A1∪A2∪?∪Am=A且兩兩交集為空集．求證：R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪?∪(Am×Am)為A上的等價(jià)關(guān)系．【解析】解：(1)由題意得A×A={(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，∵A×A共有9個(gè)元素，∴A×A共有29個(gè)子集，即A上的關(guān)系有29=512個(gè)，所有等價(jià)關(guān)系有R1={(0，0)，(1，1)，(2，2)}，R2={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，R3={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，R4={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)}，R5={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)，(0，2)，(2，0)，(0，1)，(1，0)}．(2)(i)證明：若任意x,y∈A，R1，R2在A上是自反的，令(x,x)∈R1，(y,y)∈R2，∴{(x,x)，(y,y)}?(R1∪R2)，則R1∪R2是自反的；若R1，R2在A上是對(duì)稱的，則?(x,y)∈R1，有(y,x)∈R1；?(t,s)∈R2，有(t,s)∈R2，∴{(x,y)，(y,x)，(s,t)，(t,s)}?(R1∪R2)，則R1∪R2是對(duì)稱的，綜上所述：若R1，R2是自反的和對(duì)稱的，則R1∪R2也是自反的和對(duì)稱的．(ii)證明：假設(shè)R1∩R2不是傳遞的，則?(x,y)∈(R1∩R2)，(y,z)∈(R1∩R2)，(x,z)?(R1∩R2)，∴(x,z)?R1或(x,z)?R2，此時(shí)R1或R2不是傳遞的，與已知矛盾，∴若R1，R2是傳遞的，則R1∩R2也是傳遞的．(3)證明：令A(yù)={a1，a2，a3，…，an}，∵A1∪A2∪…∪Am=A，且兩兩交集為空集，設(shè)as=As(1≤s≤m≤n)，除As外，其余集合不包含元素as，則{(as，as)}?(As×As)，又(As×As)?(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)，∴(as，as)∈R，則R在A上是自反的，設(shè)as，at∈At(1≤t≤m≤n)，除At外，其余集合不包含元素as，at，則{(as，at)，(at，as)}?(At×At)，又(At×At)?(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)，∴(as，at)∈R，(at，as)∈R，則R在A上是對(duì)稱的，設(shè)as，at，aq∈Aq(1≤q≤m≤n)，則除Aq外，其余集合不包含元素as，at，aq，則{(as，at)，(at，as)，(as，aq)}?(Aq×Aq)，∵(Aq×Aq)?(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)，∴(as，at)∈R，(as，aq)∈R，則R在A上是傳遞的，綜上所述，R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)為A上的等價(jià)關(guān)系．

1093=2017而區(qū)間[170，1093]中的整數(shù)均可用|x1+3x2+9x3+27x4+81x5+243x6+729x7|表示其中x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7∈{-1，0，1}則此時(shí)A={1，3，9，27，81，243，729，924}，B={0，1，2，3，…，2017}所以n的最小值為8．19.設(shè)a,b是正奇數(shù)，數(shù)列{cn}(n∈N*)定義如下：c1=a,c2=b,對(duì)任意n≥3，cn是cn-1+cn-2的最大奇約數(shù)．?dāng)?shù)列{cn}中的所有項(xiàng)構(gòu)成集合A．(Ⅰ)若a=9，b=15，寫出集合A；(Ⅱ)對(duì)k≥1，令dk=max{c2k，c2k-1}(max{p,q}表示p,q中的較大值)，求證：dk+1≤dk；(Ⅲ)證明集合A是有限集，并寫出集合A中的最小數(shù)．

所以cn≤max{cn-1，cn-2}，當(dāng)且僅當(dāng)cn-1=cn-2時(shí)等號(hào)成立．所以，對(duì)k≥1有c2k+1≤max{c2k，c2k-1}=dk，且c2k+2≤max{c2k+1，c2k}≤max{dk，dk}=dk．所以dk+1=max{c2k+2，c2k+1}≤dk，當(dāng)且僅當(dāng)c2k=c2k-1時(shí)等號(hào)成立．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當(dāng)n≥3時(shí)，有cn≤max{cn-1，cn-2}．所以對(duì)n≥3，有cn≤max{c1，c2}=max{a,b}．又cn是正奇數(shù)，且不超過max{a,b}的正奇數(shù)是有限的，所以數(shù)列{cn}中的不同項(xiàng)是有限的．所以集合A是有限集．集合A中的最小數(shù)是a,b的最大公約數(shù)．四．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用20.對(duì)于給定的非空集合A，定義集合A+={|x+y||x∈A，y∈A}，A-={|x-y||x∈A，y∈A}，若A+∩A-=?，則稱集合A滿足性質(zhì)P．(Ⅰ)判斷下列集合是否滿足性質(zhì)P，并說明理由：①S={3，4}，②T={0，1，7}(Ⅱ)集合A={1，2，a}?N，滿足性質(zhì)P，求a的最小值；(Ⅲ)若非空集合A?{x|x∈N，0≤x≤100}，且集合A滿足性質(zhì)P，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值．【解析】解：(Ⅰ)由S={3，4}可知S+={6，7，8}，S-={0，1}，此時(shí)，S+∩S-=?，故S滿足性質(zhì)P；由T={0，1，7}可知T+={0，1，2，7，8，14}，T-={0，1，6，7}，此時(shí)，T+∩T-={0，1，7}≠?，故T不滿足性質(zhì)P．(Ⅱ)由A={1，2，a}可知，A+={2，3，4，a+1，a+2，2a}，A-={0，1，a-2，a-1}，欲使A+∩A-=?，須使a-2＞4，即a＞6，故a的最小值為7．(Ⅲ)根據(jù)題意，要使集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值，則需A中的元素連續(xù)且元素盡可能最大，故，設(shè)A={m,m+1，m+2，…，100}，m∈N，則A+={2m,2m+1，2m+2，…，200}，

五．子集與真子集21.定義兩個(gè)非空數(shù)集A，B的“和集”為A+B={a+b|a∈A，b∈B}，對(duì)有限集合X，記card(X)=|X|．(1)已知A={1，2，3}，B={-a|a∈A}，求出A+B與|A+B|；(2)任取非空有限數(shù)集A，B，證明：|A+B|≥|A|+|B|-1；(3)S={-2022，-2021，…，2021，2022}的非空子集T滿足：?a,b,c∈T，都有a+b+c≠0，求|T|max．【解析】解：(1)∵B={-a|a∈A}={-3，-2，-1}，∴A+B={-2，-1，0，1，2}，∴|A+B|=5．(2)證明：設(shè)A={a1，a2，a3，…，an}，B={b1，b2，b3，…，bm}，則當(dāng)|A+B|最小時(shí)，A+B={a1+b1，a1+b2，a1+b3，…，a1+bm，a2+bm，a3+bm，…，an+bm}，∴|A+B|min=m+n-1，又|A|=n,|B|=m,∴|A+B|≥m+n-1=|A|+|B|-1．(3)∵?a,b,c∈T，都有a+b+c≠0，若0∈T，則a≠-b,若|T|最大，則T={-2022，-2021，…，-1，0}或T={0，1，2，…，2021，2022}，∴|T|max=2023；若0?T，若a∈[-2022，-1]且a∈Z，則-(b+c)?T，∴|T|≤2022，綜上所述：|T|max=2023．

23.已知集合A={1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k個(gè)元素的子集分別記為Ak,1，Ak,2，Ak,3，…，Ak,m，其中1≤k≤n,k∈N*，m∈N*．當(dāng)1≤j≤m,j∈N*時(shí)，設(shè)Ak,j={x1，x2，……，xk}，且x1＜x2＜x3＜…＜xk．定義：S(Ak,j)=xk-xk-1+xk-2-…+(-1)k+1x1；T[k]=S(Ak,1)+S(Ak,2)+S(Ak,3)+…+S(Ak,m)．(Ⅰ)若n=5，(ⅰ)寫出滿足S(A4，j)=2的一個(gè)集合A4，j，并寫出j的最大值；(ⅱ)求T[1]+T[2]+T[3]的值；(Ⅱ)若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]=1024，求n的值．【解析】解：(Ⅰ)若n=5，(i)取A4，j={1，2，3，4}，S(A4，j)=4-3+2-1=2．j的最大值為3．(ii)枚舉法：集合A含有1個(gè)元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，則T[1]=15；集合A含有2個(gè)元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，則T[2]=20；集合A含有3個(gè)元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，則T[3]=30；∴T[1]+T[2]+T[3]=65．(Ⅱ)對(duì)于集合A的子集，可以分兩類，一類含n,一類不含n；

六．集合中元素個(gè)數(shù)的最值

}．證明如下：對(duì)集合A分類：A1={a|a∈A，a＜1}，A2={a|a∈A，a=1}，A3={a|a∈A，a＞1}，設(shè)|A1|=x,|A2|=y,|A3|=z?x+y+z=7，y≤1?x+z≥6．設(shè)B=Ω(A)，再對(duì)集合B分類：B1={b|b∈B，b＜1}，B2={b|b∈B，b=1}，B3={b|b∈BA，b＞1}，

25.對(duì)非空整數(shù)集合M及k∈N，定義M⊕k={m+t|m∈M，t=-k,-k+1，…，k}，對(duì)于非空整數(shù)集合A，B，定義d(A，B)=min{k∈N|A?B⊕k,B?A⊕k)．(1)設(shè)M={2，4，6}，請(qǐng)直接寫出集合M⊕1；(2)設(shè)A={1，2，3，4，…，100}，d(A，B)=1，求出非空整數(shù)集合B的元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)對(duì)三個(gè)非空整數(shù)集合A，B，C，若d(A，B)=4且d(B，C)=1，求d(A，C)所有可能取值．【解析】解：(1)M⊕1={1，2，3，4，5，6，7}；(2)設(shè)B有|B|個(gè)元素，下證|B|min=34，一方面，B={2，5，8，…，98，101}，則A?B⊕0=B，∴d(A，B)≠0，∴d(A，B)≥1，而B?A⊕1={0，1，2，…，101}，A?B⊕1={1，2，3，…，102}，可得d(A，B)=1，符合題意，此時(shí)|B|=34，故|B|min≤34，另一方面，假設(shè)|B|=j≤33，則令B={b1，b2，?，bj}且b1＜b2＜?＜bj，可知A?B⊕1={b1-1，b1，b1+1}∪{b2-1，b2，b2+1}∪…∪{bj-1，bj，bj+1}，右邊最多含有3j≤99個(gè)元素，矛盾，因此|B|≥34，綜上B至少含34個(gè)元素；(3)先證明(M⊕k)⊕l?M⊕(k+l)，易見，M⊕k={n∈Z|?m∈M，|n-m|≤k}，因此只要M1?M2，就有M1⊕k?M2⊕k,?x∈(M⊕k)⊕l,?p∈M⊕k,|x-p|≤l,∴?m∈M，|m-p|≤k,因此相加得|m-x|≤k+l,即x∈M⊕(k+l)，(M⊕k)⊕l?M⊕(k+l)，得證，注：其實(shí)(M⊕k)⊕l?M⊕(k+l)，?x∈M⊕(k+l)，?m∈M，|x-m|≤k+l,因此可得{m-k,m-k+1，…，m+k}∩{x-l,x-l+1，…，x+l-1，x+l}≠?，即?p∈Z，|x-p|≤l,|p-m|≤k.于是p∈M⊕k,而x∈(M⊕k)⊕l,即得M⊕(k+l)?(M⊕k)⊕l,再證明：對(duì)于任意三個(gè)非空整數(shù)集合A，B，C，總有d(A，B)+d(B，C)≥d(A，C)，令d1=d(A，B)，d2=d(B，C)，則C?B⊕d2?(A⊕d1)⊕d2=A⊕(d1+d2)，同理A?B⊕d1?(C⊕d2)⊕d1=C⊕(d1+d2)，因此由定義可得，d(A，C)≤d1+d2=d(A，B)+d(B，C)，即d滿足距離的三角不等式，因此本題中，d(A，C)≤d(A，B)+d(B，C)=5，且d(A，C)+d(B，C)≥d(A，B)=4，得出d(A，C)≥3，即d(A，C)=3，4，5，取A={0}，B={4}，C={5}可知d(A，C)=5可能成立，取A={0}，B={4}，C={3}可知d(A，C)=3可能成立，取A={0}，B={4}，C={3，4}，可知d(A，C)=4可能成立，綜上，d(A，C)的所有可能取值為3，4，5．

且對(duì)于集合M中任意兩個(gè)不相同的元素A=(a1，a2，…，an)，B=(b1，b2，…，bn)，都有A?B=n-k,試求集合M中元素個(gè)數(shù)的所有可能值．

a11a12…a1ma21a22…a2m…………an1an2…anm(Ⅰ)當(dāng)n=4時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)P，如果是請(qǐng)畫出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說明理由；集合組1：A1={1，4}，A2={2，4}，A3={3}；集合組2：A1={1，2，3}，A2={1，2}，A3={3，4}．(Ⅱ)當(dāng)n=7時(shí)，若集合組A1，A2，A3具有性質(zhì)P，請(qǐng)先畫出所對(duì)應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫出集合A1，A2，A3；(Ⅲ)當(dāng)n=58時(shí)，集合組A1，A2，…，At是具有性質(zhì)P且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值．(其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個(gè)數(shù))【解析】解：(Ⅰ)集合組1具有性質(zhì)P．所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為：100010110001集合組2不具有性質(zhì)P，因?yàn)榇嬖趝2，3}?{1，2，3，4}，有{2，3}∩A1={2，3}，{2，3}∩A2={2，3}，{2，3}∩A3=?，與對(duì)任意的{x,y}?A，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3}，有Ai∩{x,y}={x}或{y}矛盾，所以集合組A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}不具有性質(zhì)P．(Ⅱ)001010100110101011111A1={3，4，5，7}，A2={2，4，6，7}，A3={1，5，6，7}．(注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同)(Ⅲ)設(shè)A1，A2，…，At所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表M，因?yàn)榧辖MA1，A2，…，At為具有性質(zhì)P的集合組，所以集合組A1，A2，…，At滿足條件①和②，由條件①：A1∪A2∪…∪At=A，可得對(duì)任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈A，所以axi=1，即第x行不全為0，所以由條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0．由條件②知，對(duì)任意的{x,y}?A，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，t}，Ai∩{x,y}={x}或{y}，所以axi，ayi一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第x行與第y行的第i列的兩個(gè)數(shù)一定不同．所以由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同．因?yàn)?，1所構(gòu)成的t元有序數(shù)組共有2t個(gè)，去掉全是0的t元有序數(shù)組，共有2t-1個(gè)，又因數(shù)表M中任意兩行都不完全相同，所以100≤2t-1，所以t≥7．又t=7時(shí)，由0，1所構(gòu)成的7元有序數(shù)組共有128個(gè)，去掉全是0的數(shù)組，共127個(gè)，選擇其中的100個(gè)數(shù)組構(gòu)造100行7列數(shù)表，

28.對(duì)于給定的正整數(shù)n,Sn={(x1，x2，x3，…，xn)|xi∈{0，1}，i∈N*，i≤n}．對(duì)于X=(x1，x2，x3，…，xn)，Y=(y1，y2，y3，…，yn)，有：(1)當(dāng)且僅當(dāng)(x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3)2+…+(xn-yn)2=0，稱X=Y．(2)定義X?Y=x1y1+x2y2+x3y3+…+xnyn．(Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí)，X=(1，1，0)，請(qǐng)直接寫出所有的Y∈S3，滿足X?Y=1．(Ⅱ)若非空集合A?Sn，且滿足對(duì)于任意的X，Y∈A，X≠Y，均有X?Y=0，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值．(Ⅲ)若非空集合B?Sn，且滿足對(duì)于任意的X，Y∈A，X≠Y，均有X?Y≠0，求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值．【解析】解：(Ⅰ)∵當(dāng)n=3時(shí)，X=(1，1，0)，

七．集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題29.已知集合A={α|α=(x1，x2，x3，x4)，xi∈N，i=1，2，3，4}．對(duì)集合A中的任意元素α=(x1，x2，x3，x4)，定義T(α)=(|x1-x2|，|x2-x3|，|x3-x4|，|x4-x1|)，當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí)，定義Tn(α)=T(Tn-1(α))(約定T1(α)=T(α))．(Ⅰ)若α=(2，0，2，1)，β=(2，0，2，2)，求T4(α)和T4(β)；(Ⅱ)若α=(x1，x2，x3，x4)滿足xi∈{0，1}(i=1，2，3，4)且T2(α)=(1，1，1，1)，求α的所有可能結(jié)果；(Ⅲ)是否存在正整數(shù)n使得對(duì)任意α=(x1，x2，x3，x4)∈A(x1≥x2≥x4≥x3)都有Tn(α)=(0，0，0，0)？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由．【解析】解：(I)由題意T(α)=(2，2，1，1)，T2(α)=(0，1，0，1)，T3(α)=(1，1，1，1)，T4(α)=(0，0，0，0)，T(β)=(2，2，0，0)，T2(β)=(0，2，0，2)，T3(β)=(2，2，2，2)，T4(β)=(0，0，0，0)，(Ⅱ)由T2(α)=(1，1，1，1)且xi∈{0，1}(i=1，2，3，4)，|x1-x2|-|x2-x3||=1，同理，x2=0或1時(shí)，||x1-x2|-|x2-x3||=|x1-x3|=1，x3=0或1時(shí)，||x2-x3|-|x3-x4||=|x2-x4|=1，x4=0或1時(shí)，||x3-x4|-|x4-x1||=|x1-x3|=1，

，x1-x4)，所以T2(α)=(|x1+x3-2x2|，x2-x4，|x1+x3-2x4|，x2-x4)，若a=|x1+x3-2x2|，b=|x1+x3-2x4|，所以T3(α)=(|x2-x4-a|，|x2-x4-b|，|x2-x4-b|，|x2-x4-a|)，若c=|x2-x4-a|-|x2-x4-b||，則T4(α)=(c,0，c,0)，T5(α)=(c,c,c,c)，T6(α)=(0，0，0，0)，所以，對(duì)α=(x1，x2，x3，x4)∈A(x1≥x2≥x4≥x3)都有T6(α)=(0，0，0，0)，當(dāng)n≥7時(shí)，Tn(α)=(0，0，0，0)恒成立，綜上，n所有取值為{，n∈N*|n≥6使Tn(α)=(0，0，0，0)成立．

求n的最小值．

所以card(A*B)=1010+1010=2020個(gè)．(Ⅲ)作圖如下：___n=card(M*A)+card(M*B)=(a1+a2+a6+a7)+(a2+a3+a4+a7)=a1+a2+a3+a4+a6+a2+2a7又a1+a2+a3+a4+a5+a6=card(A∪B)=3030，所以n=3030-a5+a2+2a7，又a2+a5=card(A∩B)=1010，且0≤a2≤1010，0≤a5≤1010，a7≥0，所以當(dāng)a5=1010，a2=0，a7=0時(shí)，n取最小值，n=3030-1010=2020，n=card(M*A)+card(M*B)的值最小，最小值為2020．八．交集及其運(yùn)算31.已知集合A為非空數(shù)集，定義：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a-b|，a,b∈A}．(Ⅰ)若集合A={1，3}，直接寫出集合S，T；(Ⅱ)若集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T=A，求證：x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)若集合A?{x|0≤x≤2020，x∈N}，S∩T=?，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求|A|的最大值．【解析】解：(Ⅰ)根據(jù)題意，由集合A={1，3}，計(jì)算集合S={2，4，6}，T={0，2}；(Ⅱ)由于集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T=A，所以T中也只包含四個(gè)元素，即T={0，x2-x1，x3-x1，x4-x1}，剩下的x3-x2=x4-x3=x2-x1，所以x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)設(shè)A={a1，a2，…ak}滿足題意，其中a1＜a2＜…＜ak，則2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜…＜ak-1+ak＜2ak，∴|S|?2k-1，a1-a1＜a2-a1＜a3-a1＜…＜ak-a1，∴|T|?k,∵S∩T=?，由容斥原理|S∪T|=|S|+|T|?3k-1，S∪T中最小的元素為0，最大的元素為2ak，∴|S∪T|?2ak+1，∴3k-1?2ak+1?4041(k∈N*)，∴k≤1347，實(shí)際上當(dāng)A={674，675，676，…，2020}時(shí)滿足題意，

九．子集與交集32.對(duì)非空數(shù)集A，B，定義A-B={x-y|x∈A，y∈B}，記有限集T的元素個(gè)數(shù)為|T|．(1)若A={1，3，5}，B={1，2，4}，求|A-A|，|B-B|，|A-B|；(2)若|A|=4，A?N*，B={1，2，3，4}，當(dāng)|A-B|最大時(shí)，求A中最大元素的最小值；(3)若|A|=|B|=5，|A-A|=|B-B|=21，求|A-B|的最小值．【解析】解：(1