高考數學函數解題技巧方法總結(一)

高中數學函數知識點總結

9.求函數的定義域有哪些常見類型？

例：函數y=竺出的定義域是

（答：（0，2）U（2,3）U（3,4））

lg（x-3）2

函數定義域求法：

?分式中的分母不為零；

?偶次方根下的數（或式）大于或等于零;

?指數式的底數大于零且不等于一；

對數式的底數大于零且不等于一，真數大于零。

JI

?正切函數."=1211%x€7?,且x豐k7C+—,keZ

?余切函數^=85（x￡R,且x工k兀,kGZ）

?反三角函數的定義域

,［二」］一

函數y=arcsinx的定義域是［—1,1］,值域是.22,函數y=arccosx的定義域是［—1,1］,

值域是［0,，函數y=arctgx的定義域是R,值域是2'2'.,函數y=arcctgx的定義域是R,

值域是（0,JT）.

當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他

們的交集，就得到函數的定義域。

10.如何求復合函數的定義域？

復合函數定義域的求法：已知y=/（x）的定義域為何,〃］,求y=/［g（x）］的定義域，可由m4g（x）4"解

出x的范圍，即為歹=/［g（x）］的定義域。

11、函數值域的求法

1、直接觀察法

對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。

例求函數y=，的值域

X

2,配方法

配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。

例、求函數y=--2x+5,xe［-1,2］的值域。

3、判別式法

對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方

法進行化簡，不必拘泥在判別式上面

下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂

y=—I型：直接用不等式性質

a.

k+x2

hx

b.y=一^一型，先化簡，再用均值不等式

x+mx+n

,r,x11

y1+x21-2

x+—

X

yj+m'x+n'型通常用判別式

x+mx+n

x2+mx+n

d.y=---------型

x+n

法一:用判別式

法二:用換元法，把分母替換掉

,,lX2+X+1(x+l)2-(x+l)+l,1c11

例r：y=--------=-----------------=(x+l)+-----1>2-1=1

X+lx+lx+l

13.反函數存在的條件是什么？

求反函數的步驟掌握了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

1+X(X>0)

如：求函數f(x)=,〉J的反函數

-x2(x<0)

[x-1(X>1)

(答：fT(X)=\\)

[-V-X(x<0)

14.反函數的性質有哪些？

反函數性質：

1、反函數的定義域是原函數的值域(可擴展為反函數中的x對應原函數中的y)

2、反函數的值域是原函數的定義域(可擴展為反函數中的y對應原函數中的x)

3、反函數的圖像和原函數關于直線=x對稱(難怪點(x,y)和點(y,x)關于直線y=x對稱

①互為反函數的圖象關于直線y=x對稱；

②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

③設y=f(x)的定義域為A,值域為C,aeA,bsC,則f(a)=b=—(b)=a

r'[f(a)]=r'(b)=a,f[r'(b)]=f(a)=b

15.如何用定義證明函數的單調性？

(取值、作差、判正負)

判斷函數單調性的方法有三種：

(1)定義法：

根據定義，設任意得X“Xz，找出f(X),f(X2)之間的大小關系

可以變形為求的正負號或者與1的關系

X]-*2/(%2)

⑵參照圖象：

①若函數f(x)的圖象關于點(a,b)對稱，函數f(x)在關于點(a,0)的對稱區(qū)間具有相同的單調性；(特

例：奇函數)

②若函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱，則函數f(x)在關于點(a,0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調

性。(特例：偶函數)

⑶利用單調函數的性質：

①函數f(X)與f(x)+c(c是常數)是同向變化的

②函數f(x)與cf(x)(c是常數)，當c>0時，它們是同向變化的；當c<0時，它們是反向變化的。

③如果函數f1(x),f2(x)同向變化,則函數函(x)+f2(x)和它們同向變化;(函數相加)

④如果正值函數f1(x),f2(x)同向變化，則函數正(x)f2(x)和它們同向變化;如果負值函數門(2)與

f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們反向變化；(函數相乘)

⑤函數f(x)與右在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。

/(X)

⑥若函數u=6(x),x［a,B］與函數y=F(u),u@［6(a),6(B)］或u@［6(B),6(a)］同向變

化，則在［a,B］上復合函數y=F［6(x)］是遞增的；若函數u=6(x),x［a,8］與函數y=F(u),u

e［4)(a),6(B)］或u￡(B),@(a)］反向變化，則在［a,B］上復合函數y=F［e(x)］是遞減

的。(同增異減)

⑦若函數y=f(x)是嚴格單調的，則其反函數x=fT(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。

f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g(

)))]x)X)都是

正數

增增增增增

增減減//

減增減//

減減增減減

如：求y=log1-*?+2x)的單調區(qū)間

2

(設u=-x2+2x,由u>0則0<x<2

且log]uJ,u=-(x-1)2+1,如圖：

當x￡(0,1]時，uT,又1.yJ

2

當xw[L2)時,uJ,又log]uJ,AyT

2

…)

17.函數千(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關于原點對稱)

若f(_x)=-f(x)總成立of(x)為奇函數=函數圖象關于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立<=>f(x)為偶函數<=>函數圖象關于y軸對稱

判斷函數奇偶性的方法

一、定義域法

一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的

定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.

二、奇偶函數定義法

在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算/(-X)，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶

性.

這種方法可以做如下變形

f(x)+f(-x)=0奇函數

f(x)-f(-x)=0偶函數

f(x)

偶函數

f(x)

f(x)

奇函數

f(-X)

三、復合函數奇偶性

f(g)g(x)f[g(Xf(x)+g(f(x)*g(

)]x)x)

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非奇

偶

偶奇偶非奇非奇

偶

偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函數的定義嗎？

(若存在實數T(TwO),在定義域內總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數，T是一個周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),貝ij

(答:f(x)是周期函數,T=2a為f(x)的一個周期)

我們在做題的時候，經常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=O,我們要馬上反應過來，這時說這

/(x)+f(x+r)=01,,

個函數周期2t推導：/(x+,)+〃x+2f)=o[=>"x)="x+2')，

同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說

f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數f(x)關于直

線對稱，對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。

比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數關于

直線x=a對稱。

y=sinx

如：

,.

7r

-37-1

22

又如：若/(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b

即/'(a+x)=/(a—x),/(b+x)=f(b-x)

/(x)=/(2a-x)'

>=>f(.2a-x)=f(2b-x)

/(x)=/(2b—x).

令f=2a-x,則2b-x=t+2b-2a,f(t)=f(t+2b-2a)

^f(x)=f(x+2b-2a)

所以,函數/G)以2\b-a\為周期(因不知道凡b的大小關系

為保守起見，我加了一個絕對值

19.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關于包機對稱聯想點(x,y),(-X,y)

f(x)與-f(x)的圖象關于四對稱聯想點(x,y),(x,-y)

f(x)與-f(-x)的圖象關于遮良對稱聯想點(x,y),(-x,-y)

f(x)與fT(x)的圖象關于直線y=x對稱聯想點(x,y),(y,x)

f(x)與f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱聯想點(x,y),(2a-x,y)

f(x)與-f(2a-x)的圖象關于點(a,0)對稱聯想點(x,y),(2a-x,0)

將y=f(x)圖象左移a(a>0)個單位:y=f(x+a)上移b(b>0)個單位:y=f(x+a)+b

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

(這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實

根本不用這么麻煩。你要判斷函數y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的

坐標?？袋c和原點的關系，就可以很直觀的看出函數平移的軌跡了。)

注意如下“翻折”變換：

/(X)—>|/(x)|把x軸下方的圖像翻到上面

/(%)——>/(|x|)把y軸右方的圖像翻到上面

如：f(x)=log2(x+1)

作出y=1og2(x+l)|&y=Iog2|x+l|的圖象

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

(k<0)Ay

。'(碼/一

(1)一次函數：y=kx+b(kwO)(k為斜率，b為直線與y軸的交點)

kV

(2)反比例函數：y=—(k70)推廣為y=b+----(kw0)是中心O，(a,b)

的雙曲線。

(3)二次函數丫=2*2+bx+c(a70)=a(x+2)+――J圖象為拋物線

頂點坐標為-?4ac-b

，對稱軸x=-■—

向上，函數Ymin=與"

開口方向：a>0,

X%2=一，

1次函數的幾種表達形式：

/(x)=ax2+bx+c(一般式)

/(x)=a(x-加/+〃(頂點式，(m,n)為頂點

/(x)=a(x-X1)(x-%,0是方程的2個根)

/(x)=a(x-X1)(x-X2)+'(函數經過點5㈤(馬㈤

應用：①“三個二次”(二次函數、二次方程、二次不等式)的關系——二次方程

ax2+bx+c=0,A〉0時，兩根x「x2為二次函數y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個交點，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端點值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

區(qū)間在對稱軸左邊(〃<---)fmax=f(m),fmin=/(〃)

2a

h

區(qū)間在對稱軸右邊(m>-----)fmax=min=f(/w)

2a

區(qū)間在對稱軸2邊(〃<-2〈加)

2a

4ac—b~

/min=-----,/max=max(/(加),/(〃))

4a

也可以比較m,n和對稱軸的關系，距離越遠，值越大

(只討論?！?的情況)

③求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

A>0

b.

如：二次方程ax?+bx+c=O的兩根都大于ko.----->k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于k=f(k)<0

A>0

b

在區(qū)間(m,n)內有2根=2a

/(⑼>0

./(〃)>0

在區(qū)間(m,n)內有1根=/(〃z)/(〃)<0

(4)指數函數：y=ax(a>0,awl)

(5)對數函數y=logax(a>0,awl)

由圖象記性質！(注意底數的限定！)

k

(6)“對勾函數"y=x+-(k>0)

X

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？(均值不等式一定要注意等號成

立的條件)

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

指數運算：a°=l(a*0),a-P=；(a*0)

a

m____m[

a"=Va^(a>0),a-"=-=(a>0)

nam

對數運算：log。(MxN)=log4M+logwN(M>0,N>0)

log=logM-logN,logVM=-logM

aNaaana

對數恒等式：a'0&x=x

對數換底公式：log"b==>log,?bn=—logb

"g"a

log(,a"m

,1

log“x="；----

?og.va

21.如何解抽象函數問題？

(賦值法、結構變換法)

如:(1)xeR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數。

(先令x=y=0=>f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數。

(先令x=y=-1=f[<-t)(-t)]=f(t?t)

.\f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

???f(-t)=f(t)……)

(3)證明單調性:f(x2)=f[(x2-X])+x2]=...

(對于這種抽象函數的題目，其實簡單得都可以直接用死記了

1>代丫=*,

2、令x=0或1來求出f(0)或f⑴

3、求奇偶性，令丫=—x；求單調性：令x+y=X]

幾類常見的抽象函數

1.正比例函數型的抽象函數

5(x)—kx(A#0)----------------f(x±y)—fCx)±f(y)

2.鬲函數型的抽象函數

fQx)=x-----------------f(xy)-fix)f(y)；f(-)=

yf(y)

3.指數函數型的抽象函數

f(x)—a--------------------f(x+y)=f(x)f(y)；f(x-y)=

f(y)

4.對數函數型的抽象函數

Y

f(x)—IogaX(a>0且a#1)-----f(x?y)=f(x)+f(y)；f(—)=f(x)—f(y)

y

5.三角函數型的抽象函數

f(x)=tgxf(x+y)

■/WQO-i

f(x)=cotxf(x+y)=

〃x)+/(y)

例1已知函數尸(x)對任意實數x、y均有f(x+y)=f(x)+尸(v),且當x>0時，Hx)>0,

H—1)=-2求Hx)在區(qū)間[—2,1]上的值域.

分析：先證明函數/(x)在R上是增函數(注意到"X2)=丹(%—為)+x,]=f(x2-x.)+f

(X));再根據區(qū)間求其值域.

例2已知函數尸(x)對任意實數x、y均有f(x+y)+2=F(x)+f(y),且當x>0時，f(x)>2,

f(3)=5,求不等式f(a-2a-2)<3的解.

分析：先證明函數尸(x)在R上是增函數(仿例1)；再求出f(1)=3；最后脫去函數符號.

例3已知函數fQx)對任意實數x、y都有fCxy)="x)f(y),且"-1)=1,f(27)=9,

當0WxV1時，f(x)e[0,1].

(1)判斷f(x)的奇偶性;

(2)判斷大(x)在［0,+8］上的單調性，并給出證明；

(3)若a20且f(a+1)求a的取值范圍.

分析：(1)令y=-1；

(2)利用f(%,)=尸(五?木)=尸(遼)f(x2)；

x2x2

(3)0WaW2.

例4設函數”x)的定義域是(-8,H-co),滿足條件：存在xHxz，使得/(%)WA(xz);

對任何x和y,f(x+y)="x)尸(V)成立.求：

(1)f(0)；

(2)對任意值x,判斷f(x)值的符號.

分析：(1)令x=y=0；(2)令y=xW0.

例5是否存在函數五(x),使下列三個條件：①式(x)>0,xW/V；②"a+b)=f(a)尸(b),a、

be/V；③汽(2)=4.同時成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不存在，說明理由.

分析：先猜出尸(x)=2'；再用數學歸納法證明.

例6設fix)是定義在(0,+°°)上的單調增函數，滿足f(x,y)=f(%)+f(y),f(3)

=1,求：

(1)f(1)；

(2)若尸(x)+尸(x—8)W2,求x的取值范圍.

分析：(1)利用3=1X3；

(2)利用函數的單調性和已知關系式.

例7設函數y=尸(x)的反函數是y=g(x).如果尸(ab)="a)+f(b),那么g(a+b)=

g(a)?g(b)是否正確，試說明理由.

分析：設尸(a)—m,f(b)=n,則g(m)—a,g(〃)=b,

進而m+n—/(a)+f(b)=f(ab)=f\_g(m)gCri')］

例8已知函數/(x)的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件：

①%、%是定義域中的數時，有六(%一%)=夕)［(2+1；

/(X2)-/(X1)

②尸(a)=-1(a>0,a是定義域中的一個數)；

③當0<x<2a時，f(.X)<0.

試問：

(1)尸(x)的奇偶性如何？說明理由；

(2)在(0,4a)上，f(x)的單調性如何？說明理由.

分析：(1)利用f［―(%—%)］二一尸［(%—%)］，判定f(X)是奇函數；

(3)先證明f(x)在(0,2a)上是增函數，再證明其在(2a,4a)上也是增函數.

對于抽象函數的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數

問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數.因此，針對不同的函數要進行適當變通，去尋求

特殊模型，從而更好地解決抽象函數問題.

例9已知函數f(%)(xWO)滿足f(xy)=f(x)+f(y),

(1)求證：f(1)(-1)=0；

(2)求證：f(x)為偶函數；

(3)若大(x)在(0,+8)上是增函數，解不等式大(x)+f(x-1)<0.

2

分析：函數模型為：f(x)=log」x|(a>0)

(1)先令x=y=1,再令x=y=—1；

(2)令y——1；

(3)由大(x)為偶函數，則尸(x)=F(|x|).

例10已知函數