上海市延安實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷

延安實(shí)驗(yàn)初中2022學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24：分）

1.下列圖形中一定是相似形的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形B.兩個(gè)菱形C.兩個(gè)矩形D.兩個(gè)正方形

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形，叫做相似圖形進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、兩個(gè)等腰三角形，三個(gè)角不一定相等，因此不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

B、兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、兩個(gè)矩形的邊不一定成比例，故不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

D、兩個(gè)正方形四個(gè)角相等，各邊一定對(duì)應(yīng)成比例，所以一定相似，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的判定，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形，叫做相似圖形是解題

的關(guān)鍵.

2.在中，ZC=9O°,A8=10,AC=8.下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）

44

A.sinA=—B.cosA=—

55

44

C.tanA=—D.cotA=—

55

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)勾股定理求得8C，進(jìn)而求得/A的三角函數(shù)值，即可求解.

【詳解】解：如圖，在中，NC=90。，AB=10,AC=8,

BC=\IAB2-AC2=V102-82=6，

AB105AB105

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了求銳角的三角函數(shù)值，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，點(diǎn)。、E分別在AABC的邊AB、BC上,下列條件中一定能判定力E〃AC的是（）

ADCEBD_DE

C.----=—

ABBE~BA~~AC

【答案】B

【解析】

【分析】如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.根

據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

AnRF

【詳解】4由——=—,不能得到QE〃3c故本選項(xiàng)不合題意;

DBCE

由處=些能得到OE/BC,故本選項(xiàng)符合題意:

B.

ADEC

AHCE

C.由——=——，不能得至I」。七〃3c故本選項(xiàng)不合題意;

ABBE

由殷=幽，不能得到。EBC故本選項(xiàng)不符合題意;

D.〃,

BAAC

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）

所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

4.下列命題正確的是（）

A.如果。|=歷|,那么〃=3

B.如果〃、都是單位向量，那么〃=

C.如果力（ZWO）,那么Q〃b

D.如果加=0或Q=0，那么團(tuán)〃=0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的定義和要素即可進(jìn)行判斷.

【詳解】解：4向量是既有大小又有方向，|“|=仍|表示有向線段的長度，a=b表示長度相等，方向相

同，所以A選項(xiàng)不正確；

B.長度等于1的向量是單位向量，所以B選項(xiàng)不正確；

C.a=kb（&W0）=a〃b，所以C選項(xiàng)正確；

D.如果機(jī)=0或q=o，那么〃?a=o，不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的定義和要素，準(zhǔn)備理解相關(guān)概念是關(guān)鍵.

5.如圖，AB//CD//EF,AC=2,AE=5,30=1.5,那么下列結(jié)論正確的是（）

A.DF^—B.EF=—C.C￡>=—D.BF^―

4444

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可.

【詳解】?.,AB〃CD〃FF,AC=2,AE=5,BD=1.5,

ACBD

"~CE~~DF

即二—="

5-2DF

9

解得：DF==

4

9315

:.BF^BD+DF=-+-^—

424

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

AZ)1

6.如圖，在正三角形ABC中，點(diǎn)￡>、E分別在AC、ABk,且——=—,AE=BE，那么有()

AC3

A.AAEDsABEDB./XBAD^^BCD

C.AAED^>/\ABDD./\AED^>/\CBD

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可判定△AEDsaCBO.

【詳解】解：；4):AC=1:3,

AD:DC=\:2,

；AA8C是正三角形，

AB-BC-AC,

,/AE=BE，

：.AE:BC^AE:AB=1:2,

：.AD:DC=AE:BC,

ZA=NC=6()。，

AAEDS&CBD,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查

了等邊三角形的性質(zhì).

二、填空題(本大題共12題，每題4分，滿分48分)

x2%4-V

7.已知一二7,那么一乙二_______.

y31

【答案】-##2.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)x=2《y=3左，代入即可求解.

x2

【詳解】解：???一=彳,

y3

.、幾ci-21x+y2k+3k5

...設(shè)x=2K,y=3左，則-----==--------=—,

x2k2

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.在比例尺為1:800000()地圖上測得甲、乙兩地間的圖上距離為4厘米，那么甲、乙兩地間的實(shí)際距離為

_____________千米

【答案】320

【解析】

圖上距離

【分析】根據(jù)比例尺=代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

實(shí)際距離

【詳解】解：設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離為xcm,

圖上距離

比例尺=

實(shí)際距離

A1：8000000=4：X,

.,.x=32000000,

甲、乙兩地的實(shí)際距離為是320km.

圖上距離

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，熟練掌握比例尺=是解題的關(guān)鍵.

實(shí)際距離

9.計(jì)算：3a-2（。-26）=

【答案】a+4h#^4b+a

【解析】

【分析】先去括號(hào)?，然后計(jì)算加減法.

【詳解】解：原式=3a-2a+4。，

=a+4b>

故答案是：a+4b-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，平面向量的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則相同.

10.已知線段AB=8cm,點(diǎn)C在線段AB上，且AC2=3C.AB，那么線段AC的長

cm.

【答案】475-4

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金比值計(jì)算得到答案.

【詳解】?/AC2=BCAB，

...點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AOBC,

AC=X8=45/5-4

22

故答案為：475-4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為趙二是解題的關(guān)鍵.

2

11.如果兩個(gè)相似三角形的面積比為3:4,那么它們的周長比為.

【答案】＞/3:2##—

2

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，兩個(gè)相似三角形的面積比等于相似比的平方，因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的面積

比為3:4,所以得到兩個(gè)相似三角形的相似比為6：2；再結(jié)合兩個(gè)相似三角形周長的比等于相似比即可得

到答案.

【詳解】解：兩個(gè)相似三角形面積比為3:4,

這兩個(gè)相似三角形的相似比為百：2，

這兩個(gè)相似三角形的周長比等于相似比百：2，

故答案為：6.2.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握形式三角形面積比等于相似比的平方，相似三角形對(duì)

應(yīng)高的比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵.

12.已知向量m與單位向量g方向相反，且同=3,那么m=（用向量々的式子表示）

【答案】-3e.

【解析】

【詳解】試題分析：由向量a與單位向量6方向相反，且|。|=3,根據(jù)單位向量與相反向量的知識(shí)，即可求

得答案...?向量。與單位向量e方向相反，且|。|=3,

：.a=-3e.

故答案為-3e.

考點(diǎn)：平面向量.

13.工廠的傳送帶把物體從地面送到離地面5米高的地方，如果傳送帶與地面所成的斜坡的坡度i=l：

2.4,那么物體所經(jīng)過的路程為米.

【答案】13

【解析】

【分析】依題意建立直角三角形，由勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：如圖：AB為傳送帶，BC1AC,依題意有8C=5,BC:AC=1:2.4

，AC=2AxBC=12

二AB=4AC2+BC2=13

...物體經(jīng)過的路程為13米.

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，AC與8E交于點(diǎn)￡>,ZA=Z￡=90°,若點(diǎn)。是線段AC的中點(diǎn)，且AB=AC=10.則BE的

長等于.

【答案】6石.

【解析】

【分析】利用勾股定理求出BD,再利用相似三角形的性質(zhì)求出OE即可解決問題.

【詳解】解："：AD=DC=5,AB=10,ZA=90°,

:.BD=5后,

■:NADB=2CDE,ZA=Z￡=90°,

：.XABDSXECD,

.ADBD

"~DE~~CD'

.5_5A/5

??---=----,

DE5

：.DE=y/5,

:.BE=BD+DE=6逐,

故答案為6石.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？?/p>

題型.

15.如圖，在RtZ\A8C中，N84C=90°,點(diǎn)G是重心，AC=4,tan/ABG=工，則BG的長是

3

【答案】-Vio.

3

【解析】

【分析】延長BG交4c于E.易知AH=2,根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算A8的長，由勾股定理可得8H的長，由三角

形重心的性質(zhì)：三角形重心到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)應(yīng)中點(diǎn)距離的二倍，可得結(jié)論.

【詳解】解：延長8G交AC于H.

；G是△ABC的重心，

；.AH=：AC=gX4=2,

VZBAC=90a,tan/ABG=L

3

.AH1

.?—―,

AB3

.\AB=69

由勾股定理得：BkJdS=2加,

?二.,G是△ABC的重心，

BG=2GH,

.?歷=幺2廂=也；

33

故答案為：生叵.

3

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，三角形的重心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常

考題型.

16.如圖，在邊長相同小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)4、8、。都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么

sinZAOB的值為.

10

【解析】

【分析】如圖，過點(diǎn)B向A。作垂線交點(diǎn)為C,勾股定理求出OB,的值，

11

SAQB=—A8x/z=—AOxBC求出8C的長，sinZAOB=一■求出值即可.

22OB

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)8向AO作垂線交點(diǎn)為C,。到48的距離為人

7AB=2,h=2,OA7*+U=2非，OB=也+2?=2近

S.^-ABxh=-AOxBC

AnOBii22

5

275

"rVio

'''sinZAOB^—=

OB2V210

故答案為：叵.

10

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)值，勾股定理.解題的關(guān)鍵是表示出所需線段長.

17.如圖，在矩形ABCD中，NBC。的角平分線CE與邊AO交于點(diǎn)E,/AEC的角平分線與邊CB的延長

線交于點(diǎn)G,與邊A8交于點(diǎn)F,如果A8=3亞'，AF=2BF,那么G8=.

【答案】2-逝##-夜+2

【解析】

【分析】先說明三角形CCE為等腰直角三角形，并求得其斜邊CE的長，然后再說明三角形CEG為等腰

三角形，最后根據(jù)得出比例式，結(jié)合。尸AF=2BF得出CG與。E的倍數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)

BG=BC+CG進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：?矩形ABC。中，乙BCD的角平分線CE與AO交于E；

:.CD=AB=3板，NDCE=NBCEH5°,

:.CD=DE=36,

???直角三角形CDE,

：.CE^yJcD2+DE2=6,

又?；NAEC的角平分線EG與AB交于點(diǎn)F,

：.NAEG=NCEG

\'AD//BC

：.NG=NAEG

：.ZCEG=ZG

:.CG=CE=6,

VZG=ZAEF,NAFE=NBFG,

：.IXAEFS/\BGF

.GB_FG_FB_BF_1

''^E~~EF~^F~2BF~2

設(shè)BG=x,AE=2x,則BC=AD=3&+2X

.；CG=BC+BG

???6=3收+2計(jì)方解得42-0.

故答案為：2-及.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)，證得三角形CEG為

等腰三角形成為解答本題的關(guān)鍵.

18.在中，ZC=90°,BC=3,AC=4,點(diǎn)。是斜邊A8的中點(diǎn)，把Rtz\A8C繞點(diǎn)C旋

轉(zhuǎn)，使得其中一個(gè)銳角的頂點(diǎn)落在射線CO上，如果旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A落在點(diǎn)A,點(diǎn)B落在點(diǎn)玄，那么88'的

長是.

A

【解析】

【分析】當(dāng)8'在射線CD上，過點(diǎn)8'作16c于點(diǎn)E，當(dāng)A在射線CO上時(shí)，如圖，設(shè)BC與A9

交于點(diǎn)尸，分別解Rt_B3ERt_8B'F,即可求解.

【詳解】解：如圖，當(dāng)8'在射線C。上，過點(diǎn)B'作B'E工BC于點(diǎn)E，

VZC=90°,BC=3,AC=4,

AB=5

'：。為AB的中點(diǎn)，

/.DB=DC

：.』DCB=4DBC

4

sinZDCB=sinZABC=-,

5

.B'E4

..——

B'C5

4412

B'E=-xB'C=-BC=—

555

B'E4

tanZDCB=tanZABC=tanNB'CE=——=-

EC3

33I?9

EC=-B'E=-x—=

4455

96

，BE=BC-EC=?>--=-

55

當(dāng)A在射線CD上時(shí)，如圖，設(shè)BC與A'5'交于點(diǎn)尸,

,/。為AB的中點(diǎn),

/.DB=DC

：.ZDCB=ZDBC

,?ZDCB+NBCB'=ZA'CB'=90°

ZFCB'=ZA'

ZCFB'=90°

FB334

/.tanZ.FCB'-------=tanNA=—,sinZFCBr=sinA=—,cosZFCBr-cosA=—

FB'455

3Q412

???FB,=-xB,C=-FC=—CB'=—,

55i55

123

：.BF=BC-CF=3--=-

???BB'=y/BF2+FB'2

綜上所述，88'的長為：述或士叵.

55

故答案為：述或回L

55

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，掌握以上知識(shí)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.計(jì)算：3tan30-------~r+&cos450+J(。\2

l-tan60J.

cos60、'

【答案】20-1?

【解析】

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求值即可.

2

—A/3—2+2+\/3—1

=2百-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值、熟練掌握實(shí)數(shù)

的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在平行四邊形48C。中，E為。C上一點(diǎn)，AE與8。交于點(diǎn)F,DE：EC=2：3.(1)求BF：力尸

的值；

(2)如果AO=a，AB=b，試用a、b表示向量

52

【答案】(1)5：2；(2)AF=-a+-b

77

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)，即可求得答案；

(2)首先根據(jù)已知條件，求得BF=3BD,再根據(jù)向量的性質(zhì)即可求得答案.

7

【詳解】:四邊形A3。是平行四邊形,

：.DC//ABfDC二AB,

.BFAB

??而一麗?

?:DE：EC=2：3,

：.DC\DE=5:2,

：.AB：DE=5：2,

：.BF:DF=5：2.

(2)；BF：DF=5：2,：.BF^-BD,

7

,-,BD=AD-AB':?BD=a-b，

■555

BF--BD^-a--b,

777

AF^AB+BF'

5552

AF=b+=a—二b=±a+士b.

7777

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、比例的性質(zhì)以及平面向量的知識(shí)，根據(jù)

比例的性質(zhì)進(jìn)行靈活變形是解題的關(guān)鍵.解題時(shí)要注意向量是有方向的.

21.如圖，在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)A。，AB=A。，BD=4,tanC=-.

(2)求點(diǎn)C到直線A8的距離.

524

【答案】(I)];(2)-^-

【解析】

【分析】⑴過點(diǎn)A作A”，B。，垂足為點(diǎn)H.根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出。凡再根據(jù)tanC=L求出A”,

4

利用勾股定理即可求出AB；

(2)過點(diǎn)C作CGLBA,交BA的延長線于點(diǎn)G,根據(jù)sin8=理=空即可求出答案.

ABBC

【詳解】解：(1),/過點(diǎn)A作AHLBD,垂足為點(diǎn)H.

'：AB=AD,

:.BH=HD=^BA2.

???點(diǎn)。是8c的中點(diǎn),

:.BD=CD.

VBD=4,

：.CD=4.

：.HC=HD+CD=6.

*.*tanC=—,

4

AB=yjBH2+AH2，

（2）過點(diǎn)C作CGL8A,交BA的延長線于點(diǎn)G.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及銳角的三角比,熟練掌握銳角的三角比是解題的關(guān)

鍵.

22.圖（1）是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖（2）是它的示意圖，折線3—A—O表示固定支架，A0垂直水平桌

面0E于點(diǎn)。，點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，可移動(dòng)，當(dāng)5c繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，投影探頭CO始終垂直于桌面

OE,經(jīng)測量：AO-6.4cm,CD=8cm,AB-40cm,BC=45cm.

圖(1)圖⑵圖(3)

(1)如圖(2),ZABC=70°,BC//OE.

①填空：NBAO=度；

②投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為cm.

(2)如圖(3),將圖(2)中的8C向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NA3C=30°時(shí)，求投影探頭的端點(diǎn)O到桌面OE的距

離.(參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,sin40。?0.64,cos4()°?0.77,結(jié)果精確到1

cm)

【答案】⑴①160；②36；

(2)7.2cm

【解析】

【分析】(1)①延長交于H,由三角形的外角定理即可求解；②先解直角三角形AB”求出A”，

進(jìn)而計(jì)算8即可求解；

(2)過B作BM〃OE,過。作CG_LBM于G,先求出CG的長，然后再由(1)中②的結(jié)果即可求

解.

【小問1詳解】

①如下圖所示：

如圖，延長04交8c于”，

=90°,BC//OE

ZAHB=90°,且NB=7()。，

在，A8”中，由三角形的外角定理可知：

Z.OAB=ZAHB+々=90°+70。=160°,

故答案為：160

AB=4(),

AH=ABsm70°=40x0.94=37.6,OH=AH+OA=44,

,：CD=8,

：.。到OE的距離為44—8=36cm.

故答案為：36

【小問2詳解】

如圖，過B作過。作CG_L3M于G,

由題意得：NC5G=40°,

，CG=BC-sin40°=45x0.64=28.8,

由(1)中②知，8點(diǎn)至OE的距離為44cm,

D至OE的距離為：44—28.8-8=7.2cm.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.

23.已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在邊8C上，AE//BC,BE與AD、4C分別相交于點(diǎn)尸、G,

AF2=FGFE.

(1)求證：△CAOsaCBG；

(2)聯(lián)結(jié)。G,求證：DGAE=ABAG.

【答案】(1)見解析；(2)見解析;

【解析】

【分析】（1）由4尸2=內(nèi).在及乙4/6=/￡7%,證得△用Gs/\FE4,結(jié)合AE〃BC,證得/E8C

=ZFAG,從證得結(jié)論；

ChCDAGGC

（2）由（1）的結(jié)論得到一=——，證得△CDGsaCAB,結(jié)合AE〃BC,證得——=—,繼而證得

CBCGAECB

結(jié)論.

【詳解】（1）,:AF?=FG-FE，

.AFFE

''~FG~~AF'

又":ZAFG=ZEFA,

△加Gs"EA.

，ZFAG^ZE.

'."AE//BC,

：.NE=NEBC.

：.ZEBC=ZFAG.

XVNACD=NBCG,

、△CADs/^CBG.

（2）,:XCADs^CBG,

.CACD

''~CB~~CG'

又；NDCG=NACB,

：./\CDGs^CAB,

.DG_CG

'."AE//BC,

.AEAG

"~CB~~GC'

.AGGC

??-，

AECB

.DGAG

??=,

ABAE

，DGAE=ABAG.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用比例的性質(zhì)以及中間

比是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在等腰直角「ABC中，ZBAC=90°,已知41,0)、8(0,3),M為中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(2)求NMOA的大小；

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得以。、P、M為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)C(4,l)

(2)ZMOL4=45°

(3)存在,6(3,0),曙,0)

【解析】

【分析】(1)作8_Lx軸于￡).證明ABO^CAZXAAS),利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；

(2)過點(diǎn)M作軸，垂足為點(diǎn)根據(jù)平行線等分線段定理證得〃是。。中點(diǎn)，再求出M坐標(biāo)

即可解決問題；

(3)在RjOMH中，MH=OH=2,得4WO〃=45。，證得平分/BOD,再由△OMB與

相似，根據(jù)相似的性質(zhì)求出尸點(diǎn)坐標(biāo)即可；

【小問1詳解】

過點(diǎn)。作COJ_x軸，垂足為點(diǎn)。.

?；,ABC是等腰直角三角形，

：.AB=CA,NB4c=90°,

...ZOAB+ZCAD=90°,

又NaiB+NABO=9()°

ZABO^ZCAD,

,：ZAOB=ZCDA,

,ABO"：CAD.

AO=CD=1,OB-AD=3>

C(4,l)

【小問2詳解】

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a，b),

過點(diǎn)M作軸，垂足為點(diǎn)，.

VBO//MH//CD,MB=MC.

：.a=HO=HD=2,

；.b=MH=2,

??a=b,

/\OMH是等腰直角三角形，

ZMOA=45°

【小問3詳解】

存在點(diǎn)P,分兩種情況:

'：MH=OH=2,

：.ZMOH=45°

當(dāng)點(diǎn)P在x軸時(shí),

ZMOP=45°=ZBOM,

?WAJex,cxrt一士OMOMfOMOB

.?.當(dāng)△3?與,。知尸相似.有m=而或定=而

Q

...O尸=3或OP=2

3

.?.《(3,0),喏,0、

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.

25.已知：如圖，正方形的邊長為1,在射線AB上取一點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)OE,將ADE繞點(diǎn)。針旋轉(zhuǎn)90°,E點(diǎn)

落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)EF,與對(duì)角線8。所在的直線交于點(diǎn)與射線QC交于點(diǎn)N.求證:

（備用圖）（備用圖）

,時(shí)，求tanZET出的值;

(1)當(dāng)/公

3

當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，如果AE=x,FM^y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域:

聯(lián)結(jié)AM,直線AM與直線BC交于點(diǎn)G,當(dāng)3G=g時(shí)，求AE的值.

(3)

【答案】（1）

(2)y=5(l+x)+2d,o<x<1；

(3)AE的值為與或日

【解析】

1I?

【分析】(1)過點(diǎn)E作與”，根據(jù)正方形的邊長為1,AE=求出EB=1-AE=1-上

333

根據(jù)正方形性質(zhì)可求乙48。=45。，根據(jù)得出NBEH=1800-NEBH-NEHB=180°-45°-90°=45°,求

出E”=B”=BEsin45=2x42=YZ,以及?！?。8-8，=后一也=2也，利用三角函數(shù)定義求解即可;

32333

(2)解：根據(jù)AE=x,求出BE=l-x,根據(jù)旋轉(zhuǎn)將"OE繞點(diǎn)￡)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DCF,CF=AE=x,根據(jù)

勾股定理ED=FD=y/AD2+AE2=Jl+x2,EF=y/BE2+BF2=^/(1-x)2+(l+x)2=42+2/,可證

l-xBM

△OEF為等腰直角三角形，先證△BEMSAFQM,得出］————,再證△EMOsaBMF,得出

VI+Xy

,1+*2=業(yè)+2”上匕兩式相乘得出上w=92+2三二2,整理即可；

1+xBM1+xy

11

(3)當(dāng)點(diǎn)G在8c上，BG=—,先證△8GMS/\D4M,得出6GBM31，由(2)知

3---=----=-=—

DADMI3

亞

△BEMS/\FDM,得出=生，得出彳1-X，結(jié)合y=1(l+x)，2+2x2,消去y,當(dāng)點(diǎn)G

yJi+f

在CB延長線上，BG=-,過M作MLLBC,交直線BC于L,證明△BGMS^DAM,得出

3

BM=-BD,根據(jù)/LBA^=/CB￡>=45。，MLLBC,證出△MLB為等腰直角三角形，再證

2

ABMML11人人AZB,LMLFan

△MLBSADCB,——=——=一，CD=1,ML=~,ML〃BE,結(jié)合ALMFSABEF,得出——=—即

BDDC22BEBF

13

5二己+“解方程即可.

x-\1+x

【小問1詳解】

解：過點(diǎn)E作EHLBD與H,

?.?正方形的邊長為1,AE

3

—,12

??EB=1-AE—1—=—9

33

??,8。為正方形對(duì)角線，

.??3。平分N45C,

???ZABD=45°t

?：EH_LBD,

：.ZBEH=180°-ZEBH