遼寧省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，故其定義域.故選：C.2.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，為上的減函數(shù)，A不是；對(duì)于B，為上的減函數(shù)，B不是；對(duì)于C，在上不單調(diào)，C不是；對(duì)于D，為上的增函數(shù)，D是.故選：D.3.已知平面向量a，b不共線，，，則（）AA，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線〖答案〗D〖解析〗對(duì)A，與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)B，則與不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，則與不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選：D.4.下列與終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)于AB，因?yàn)?，所以與終邊相同，所以與終邊相同的角為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，顯然與終邊不相同，故CD錯(cuò)誤.故選：A.5.在素?cái)?shù)研究中，華裔數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，孿生素?cái)?shù)是指相差為2的素?cái)?shù)對(duì)，例如3和5，11和13等.從不超過10的正奇數(shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，則這2個(gè)奇數(shù)是孿生素?cái)?shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不超過10的正奇數(shù)有，共5個(gè)，從中隨機(jī)抽取2個(gè)，共有，10種情況，其中孿生素?cái)?shù)有，共2種情況，由古典概型可得這2個(gè)奇數(shù)是孿生素?cái)?shù)的概率為.故選：C.6.某校學(xué)生會(huì)皮爾遜統(tǒng)計(jì)小組聯(lián)合李比希有機(jī)化學(xué)小組對(duì)學(xué)校周邊2000米范圍內(nèi)的19家奶茶店出售的各種標(biāo)注為“半糖”的現(xiàn)制奶茶進(jìn)行含糖量抽樣調(diào)查，他們發(fā)現(xiàn)含糖量數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下面敘述一定錯(cuò)誤的是（）A.這組數(shù)據(jù)中可能有異常值B.這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的C.這組數(shù)據(jù)中可能有極端大的值D.這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能和中位數(shù)相同〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，如果這組數(shù)據(jù)中較小的數(shù)個(gè)數(shù)較多，而大數(shù)很大，且個(gè)數(shù)較少，則中位數(shù)比平均數(shù)小很多，故A可能發(fā)生；對(duì)于B，若這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相同或相近，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，同A分析可得C也可能發(fā)生；對(duì)于D，在A中數(shù)據(jù)分布的情況下，可能眾數(shù)和中位數(shù)相同，故D可能發(fā)生.故選：B.7.已知扇形的半徑為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是1，則扇形的周長為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗C〖解析〗由弧長公式得弧長，所以扇形的周長為.故選：C.8.已知是方程的兩個(gè)解，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖所示：不妨設(shè)，則由圖像知，則，兩式相減得，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，即0，則，因?yàn)?，所以，可得，則，即，因?yàn)?，所?故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.若，則的充要條件是D.的充要條件是〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故充分性不成立；若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以成立；當(dāng)時(shí)，所以成立；當(dāng)時(shí)，也成立，所以的充分不必要條件是，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，等價(jià)于，即，所以，故的充要條件是，故D項(xiàng)正確.故選：BD.10.下列說法中正確的是（）A.若，則B.若與共線，則或C.若為單位向量，則D.是與非零向量共線的單位向量〖答案〗AD〖解析〗依題意，對(duì)于A：若，則，故A正確；對(duì)于B：若與共線，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若為單位向量，則，方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：是與非零向量共線的單位向量，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則（）A. B.是周期函數(shù)C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于AB，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，于是，即，所以是以4為一個(gè)周期的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，則，即，所以為偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，則，即，所以為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，則（）A.若是偶函數(shù)，則B.無論取何值，都不可能是奇函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.的最大值小于1〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，若是偶函數(shù)，則，所以，即可得，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，不過點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，又在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，所以最大值大于等于1，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的值域?yàn)開_________.〖答案〗〖解析〗由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，又易知為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，可得.故〖答案〗為：.14.甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為______．〖答案〗〖解析〗記“該題被甲獨(dú)立解出”為事件A，“該題被乙獨(dú)立解出”為事件B，由題意可知，，，因?yàn)槭录?，相互?dú)立，所以，又，所以.故〖答案〗為：.15.當(dāng)時(shí)，最小值為____________．〖答案〗〖解析〗由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗為：.16.已知關(guān)于的不等式組的解集中存在整數(shù)解且只有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由，得或，所以的解集與或的交集中存在整數(shù)解，且只有一個(gè)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)，即，滿足要求；當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)不滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)，即，滿足要求，綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知，求的值；（2）求值：.解：（1）由于，則，故，因?yàn)?，所?（2）.18.如圖，在中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，為與的交點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)分別是邊的中點(diǎn)時(shí)，用表示.解：（1）證明：因?yàn)槭沁吷系膭?dòng)點(diǎn)，所以存在，使得，所以，令，則，因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，即可得；所以，又，所以.19.已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn).（1）求的〖解析〗式；（2）解不等式.解：（1）由是冪函數(shù)，得，解得或，由的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，得，則，所以的〖解析〗式是.（2）顯然函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，不等式，因此，解得且，所以原不等式的解集為.20.某地方政府為鼓勵(lì)全民創(chuàng)業(yè)，擬對(duì)本地年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金（單位：萬元）隨年產(chǎn)值（單位：萬元）的增加而增加，且要求獎(jiǎng)金不低于7萬元，不超過年產(chǎn)值的.（1）若該地方政府采用函數(shù)作為獎(jiǎng)勵(lì)模型，當(dāng)本地某新增小微企業(yè)年產(chǎn)值為92萬元時(shí)，該企業(yè)可獲得多少獎(jiǎng)金？（2）若該地方政府采用函數(shù)作為獎(jiǎng)勵(lì)模型，試確定滿足題目所述原則的最小正整數(shù).解：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，符合要求，故該企業(yè)可獲得10.5萬元獎(jiǎng)金.（2），因?yàn)闉檎麛?shù)，所以在上單調(diào)遞增，由題意知對(duì)時(shí)恒成立，故，解得，又，即在時(shí)恒成立，即所以正整數(shù)，綜上，故最小正整數(shù)的值為158.21.已知集合.（1）求；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由，得，所以，即，解得，所以，所?（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以當(dāng)時(shí)，則恒成立，即，即，因?yàn)?，所以解得；?dāng)時(shí)，則恒成立，即，因?yàn)?，所以解得，綜上，的取值范圍是.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷的奇偶性，并給出證明