2024年初中升學考試真題模擬卷福建省中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023年福建省中考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（4分）如圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．??3．（4分）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．94．（4分）黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學記數(shù)法表示為（）A．104×107 B．10.4×108 C．1.04×109 D．0.104×10105．（4分）下列計算正確的是（）A．（a2）3＝a6 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．a(chǎn)3?a4＝a12 D．a(chǎn)2﹣a＝a6．（4分）根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元．設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.857．（4分）閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；②分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點M；③作射線OM，連接CM，DM，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結論是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM8．（4分）為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間”的要求，學校要求學生每天堅持體育鍛煉．小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的統(tǒng)計圖．?根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（）A．平均數(shù)為70分鐘 B．眾數(shù)為67分鐘 C．中位數(shù)為67分鐘 D．方差為09．（4分）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．310．（4分）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得π的估計值為（）A． B．2 C．3 D．2二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）某倉庫記賬員為方便記賬，將進貨10件記作+10，那么出貨5件應記作．12．（4分）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點，EF過點O且分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．若AE＝10，則CF的長為．13．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，則AC的長為．14．（4分）某公司欲招聘一名職員．對甲、乙、丙三名應聘者進行了綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達等三方面的測試，他們的各項成績?nèi)缦卤硭荆喉椬詰刚呔C合知識工作經(jīng)驗語言表達甲758080乙858070丙707870如果將每位應聘者的綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達的成績按5：2：3的比例計算其總成績，并錄用總成績最高的應聘者，則被錄用的是．15．（4分）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為．16．（4分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值范圍是．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：﹣20+|﹣1|．18．（8分）解不等式組：．19．（8分）如圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求證：AB＝CD．20．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．21．（8分）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，CO的延長線交AB于點D，交⊙O于點E，交⊙O的切線AF于點F，且AF∥BC．（1）求證：AO∥BE；（2）求證：AO平分∠BAC．22．（10分）為促進消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動．活動規(guī)定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會．抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品；若摸得黃球，則不中獎．同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會．（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由．23．（10分）閱讀下列材料，回答問題．任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于AB）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點O處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得∠POQ的大小，如圖3．小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB．其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點C，如圖4，測得AC＝am，BC＝bm；（ⅱ）分別在AC，BC上測得CM＝m，CN＝m；測得MN＝cm．求解過程：由測量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝，又∵①，∴△CMN∽△CAB，∴．又∵MN＝c，∴AB＝②（m）．故小水池的最大寬度為***m．（1）補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；（2）小明求得AB用到的幾何知識是；（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得AB．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出AB，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．24．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，M為拋物線的頂點，C，D為拋物線上不與A，B重合的相異兩點，記AB中點為E，直線AD，BC的交點為P．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求證：C，D，E三點共線；（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論C，D在拋物線上如何運動，只要C，D，E三點共線，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．25．（14分）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個定點．AO⊥BC于點O，交CD于點E．DF是由線段DC繞點D順時針旋轉90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點M．?（1）求證：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度數(shù)；（3）若N是AF的中點，如圖2，求證：ND＝NO．

2023年福建省中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】正數(shù)＞0＞負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而??；據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：2＞1＞0＞﹣1，故選：D．【點評】本題考查有理數(shù)的大小比較，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．2．（4分）如圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．??【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：這個立體圖形的俯視圖是一個矩形，矩形內(nèi)部中間是一個圓形．故選：D．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖是解題關鍵．3．（4分）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【分析】根據(jù)三角形的三邊關系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故選：B．【點評】本題考查了三角形的三邊關系定理，能熟記三角形的三邊關系定理的內(nèi)容是解此題的關鍵．4．（4分）黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學記數(shù)法表示為（）A．104×107 B．10.4×108 C．1.04×109 D．0.104×1010【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：1040000000＝1.04×109．故選：C．【點評】此題考查科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（4分）下列計算正確的是（）A．（a2）3＝a6 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．a(chǎn)3?a4＝a12 D．a(chǎn)2﹣a＝a【分析】根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪乘法及除法法則，合并同類項法則將各項計算后進行判斷即可．【解答】解：A．（a2）3＝a2×3＝a6，則A符合題意；B．a(chǎn)6÷a2＝a6﹣2＝a4，則B不符合題意；C．a(chǎn)3?a4＝a3+4＝a7，則C不符合題意；D．a(chǎn)2與a不是同類項，無法合并，則D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查整式的運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．6．（4分）根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元．設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.85【分析】設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元，據(jù)此列方程．【解答】解：設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列出方程．7．（4分）閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；②分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點M；③作射線OM，連接CM，DM，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結論是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．【解答】解：A、以C，D為圓心畫弧的半徑相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合題意；B、因為OC、CM的長在變化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合題意；C、因為OD、DM的長在變化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合題意；D、CM的位置在變化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題考查作圖—基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是由作圖得到△OCM≌△ODM（SSS）．8．（4分）為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間”的要求，學校要求學生每天堅持體育鍛煉．小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的統(tǒng)計圖．?根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（）A．平均數(shù)為70分鐘 B．眾數(shù)為67分鐘 C．中位數(shù)為67分鐘 D．方差為0【分析】根據(jù)折線圖分別求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差進行判斷即可．【解答】解：根據(jù)折線圖小亮該周每天校外鍛煉時間為：65、67、70、67、75、79、88，A．平均數(shù)是＝73，故選項錯誤，不符合題意；B．這組數(shù)的眾數(shù)是67，故選項正確，符合題意；C．將這組數(shù)由小到大排列為：65、67、67、70、75、79、88，中位數(shù)是70，故選項錯誤，不符合題意；D．這組方差為：S2＝×[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]＝30，故選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了折線圖，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的計算，掌握折線圖的特點，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的計算方法是關鍵．9．（4分）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【分析】如圖，點B在函數(shù)y＝上，證明△AOC≌△OBD，根據(jù)k的幾何意義即可求解．【解答】解：連接正方形的對角線，過點A，B分別作x軸的垂線．垂足分別為C、D，點B在函數(shù)y＝上，如圖：∵邊形ABCD是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴S△AOC＝S△OBD＝＝，∵點A在第二象限，∴n＝﹣3，故選：A．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的k的幾何意義，熟練掌握以上性質(zhì)的解題關鍵．10．（4分）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得π的估計值為（）A． B．2 C．3 D．2【分析】過A作AM⊥OB于M，求得∠AOB＝360°÷12＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM＝OA＝，根據(jù)三角形的面積公式得到S△AOB＝，于是得到正十二邊形的面積為12×＝3，根據(jù)圓的面積公式即可得到結論．【解答】解：如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點O是正十二邊形的中心，過A作AM⊥OB于M，在正十二邊形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，∴S△AOB＝OB?AM＝＝，∴正十二邊形的面積為12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值為3，故選：C．【點評】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）某倉庫記賬員為方便記賬，將進貨10件記作+10，那么出貨5件應記作﹣5．【分析】正數(shù)和負數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：∵進貨10件記作+10，∴出貨5件應記作﹣5，故答案為：﹣5．【點評】本題考查正數(shù)和負數(shù)的意義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．12．（4分）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點，EF過點O且分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．若AE＝10，則CF的長為10．【分析】由平行線四邊形的性質(zhì)得到CD＝AB，CD∥AB，因此∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，又OD＝OB，即可證明△DOF≌△BOE（AAS），得到FD＝BE，于是得出CF＝AE＝10．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵O為BD的中點，∴OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴CD﹣DF＝AB﹣BE，∴CF＝AE＝10．故答案為：10．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是由△DOF≌△BOE推出DF＝BE，由平行線的性質(zhì)得到CD＝AB，推出CF＝AE．13．（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，則AC的長為10．【分析】由菱形的性質(zhì)得到AB＝BC，又∠B＝60°，因此△ABC是等邊三角形，得到AC＝AB＝10．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝10．故答案為：10．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是由菱形的性質(zhì)推出△ABC是等邊三角形．14．（4分）某公司欲招聘一名職員．對甲、乙、丙三名應聘者進行了綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達等三方面的測試，他們的各項成績?nèi)缦卤硭荆喉椬詰刚呔C合知識工作經(jīng)驗語言表達甲758080乙858070丙707870如果將每位應聘者的綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達的成績按5：2：3的比例計算其總成績，并錄用總成績最高的應聘者，則被錄用的是乙．【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和加權平均數(shù)的計算方法，可以分別求出甲、乙、丙的成績，然后比較大小即可．【解答】解：由題意可得，甲的成績?yōu)椋海?7.5，乙的成績?yōu)椋海?9.5，丙的成績?yōu)椋海?1.6，∵79.5＞77.5＞71.6，∴乙將被錄取，故答案為：乙．【點評】本題考查加權平均數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的加權平均數(shù)．15．（4分）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為1．【分析】根據(jù)+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．【解答】解：∵+＝1，∴+＝＝1，∴ab＝2a+b，∴＝＝＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了分式的加減法和分式的值，熟練掌握分式的運算法則是關鍵．16．（4分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值范圍是﹣1＜n＜0．【分析】由題意可知：拋物線的對稱軸為x＝1，開口向上，再分點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側和點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側兩種情況求解即可．【解答】解：拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝1，∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵y1＜y2，∴若點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側，由題意可得：，不等式組無解；若點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側，由題意可得：，解得：﹣1＜n＜0，∴n的取值范圍為：﹣1＜n＜0．故答案為：﹣1＜n＜0．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，能根據(jù)題意正確列出不等式組是解決本題的關鍵．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：﹣20+|﹣1|．【分析】根據(jù)算術平方根的定義，零指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)進行計算即可．【解答】解：原式＝3﹣1+1＝2+1＝3．【點評】本題考查實數(shù)的運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．18．（8分）解不等式組：．【分析】先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“大小小大取中間”原則求出不等式組的解集即可．【解答】解：解不等式①，得x＜1．解不等式②，得x≥﹣3．所以原不等式組的解集為﹣3≤x＜1．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵．19．（8分）如圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求證：AB＝CD．【分析】根據(jù)角的和差求得∠AOB＝∠COD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論．【解答】證明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，即∠AOB＝∠COD．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD．【點評】本題考查了等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．20．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算可得．【解答】解：原式＝?＝﹣?＝﹣，當時，原式＝＝．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．21．（8分）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，CO的延長線交AB于點D，交⊙O于點E，交⊙O的切線AF于點F，且AF∥BC．（1）求證：AO∥BE；（2）求證：AO平分∠BAC．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根據(jù)平行線的判定定理即可得到AO∥BE；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACE＝∠OAC，等量代換得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結論．【解答】證明：（1）∵AF是⊙O的切線，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直徑，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；（2）∵∠ABE與∠ACE都是所對的圓周角，∴∠ABE＝∠ACE，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵．22．（10分）為促進消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動．活動規(guī)定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會．抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品；若摸得黃球，則不中獎．同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會．（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由．【分析】（1）用概率公式直接可得答案；（2）記往袋中加入的球為“新”，列表求出所有等可能的情況，分別求出新球為紅色，黃色時獲得精美禮品的概率，比較概率大小即可得到答案．【解答】解：（1）顧客首次摸球的所有可能結果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結果，記“首次摸得紅球”為事件A，則事件A發(fā)生的結果只有1種，∴，∴顧客首次摸球中獎的概率為；（2）他應往袋中加入黃球；理由如下：記往袋中加入的球為“新”，摸得的兩球所有可能的結果列表如下：紅黃①黃②黃③新紅紅，黃①紅，黃②紅，黃③紅，新黃①黃①，紅黃①，黃②黃①，黃③黃①，新黃②黃②，紅黃②，黃①黃②，黃③黃②，新黃③黃③，紅黃③，黃①黃③，黃②黃③，新新新，紅新，黃①新，黃②新，黃③共有20種等可能結果，（i）若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結果共有8種，此時該顧客獲得精美禮品的概率；（i）若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結果共有12種，此時該顧客獲得精美禮品的概率；∵，∴P1＜P2，∴他應往袋中加入黃球．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．（10分）閱讀下列材料，回答問題．任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于AB）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點O處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得∠POQ的大小，如圖3．小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB．其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點C，如圖4，測得AC＝am，BC＝bm；（ⅱ）分別在AC，BC上測得CM＝m，CN＝m；測得MN＝cm．求解過程：由測量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝，又∵①∠C＝∠C，∴△CMN∽△CAB，∴．又∵MN＝c，∴AB＝②3c（m）．故小水池的最大寬度為***m．（1）補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；（2）小明求得AB用到的幾何知識是相似三角形的判定和性質(zhì)；（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得AB．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出AB，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【分析】（1）利用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問題即可；（2）利用相似三角形的判定和性質(zhì)；（3）（i）在小水池外選點C，如圖，用測角儀在點B處測得∠ABC＝α，在點A處測得∠BAC＝β；（ii）用皮尺測得BC＝am．由此求解即可，【解答】解：（1）①由測量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝，又∵∠C＝∠C，∴△CMN∽△CAB，∴．又∵MN＝c，∴AB＝3c（m）．故答案為：∠C＝∠C；②3c；（2）求得AB用到的幾何知識是：相似三角形的判定和性質(zhì)．故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì)；（3）測量過程：（i）在小水池外選點C，如圖，用測角儀在點B處測得∠ABC＝α，在點A處測得∠BAC＝β；（ii）用皮尺測得BC＝am．求解過程：由測量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a．過點C作CD⊥AB，垂足為D．在Rt△CBD中，，即，所以BD＝acosα．同理，CD＝asinα．在Rt△ACD中，，即，所以，所以．故小水池的最大寬度為．【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，M為拋物線的頂點，C，D為拋物線上不與A，B重合的相異兩點，記AB中點為E，直線AD，BC的交點為P．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求證：C，D，E三點共線；（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論C，D在拋物線上如何運動，只要C，D，E三點共線，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法嗎，構建方程組求解；（2）求出直線CE都是解析式，再判斷出點D的坐標，可得結論；（3）取特殊位置，判斷出△AMP，△MEP的面積不為定值，可得結論．【解答】（1）解：因為拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），所以，解得，所以拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣4x+3；（2）證明：設直線CE對應的函數(shù)表達式為y＝kx+n（k≠0），因為E為AB中點，所以E（2，0）．又因為C（4，3），所以，解得，所以直線CE對應的函數(shù)表達式為．因為點在拋物線上，所以．解得，或．又因為m＜2，所以，所以．因為，即滿足直線CE對應的函數(shù)表達式，所以點D在直線CE上，即C，D，E三點共線；（3）△ABP的面積為定值，其面積為2．理由如下：（考生不必寫出下列理由）如圖1，當C，D分別運動到點C'D'的位置時，C，D'與D，C'分別關于直線EM對稱，此時仍有C'D'，E三點共線．設AD'與BC'的交點為P′，則P，P′關于直線EM對稱，即PP'∥x軸．此時，PP'與AM不平行，且AM不平分線段PP'，故P，P'到直線AM的距離不相等，即在此情形下△AMP與△AMP'的面積不相等，所以△AMP的面積不為定值．如圖2，當C，D分別運動到點C1D1的位置，且保持C1D1，E三點共線．此時AD1與BC1的交點P1到直線EM的距離小于P到直線EM的距離，所以△MEP1的面積小于△MEP的面積，故△MEP的面積不為定值．又因為△AMP，△MEP，△ABP中存在面積為定值的三角形，故△ABP的面積為定值．在（2）的條件下，