2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第7章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積課件

立體幾何考

情

探

究考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，12；2023新課標(biāo)Ⅱ，9空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和表面積正方體、圓柱及圓錐的結(jié)構(gòu)特征與表面積空間想象運(yùn)算求解綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算2023新課標(biāo)Ⅰ，14；2023新課標(biāo)Ⅱ，14空間幾何體的體積棱臺(tái)的體積空間想象運(yùn)算求解綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，18；2023新課標(biāo)Ⅱ，20空間向量及其應(yīng)用線面平行與垂直的證明、求空間角運(yùn)算求解邏輯思維綜合性邏輯推理直觀想象2022新高考Ⅰ，4空間幾何體的體積求棱臺(tái)的體積空間想象應(yīng)用性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅰ，9空間角與距離異面直線所成角與線面角空間想象綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算2022新高考Ⅰ，19空間向量及其應(yīng)用求點(diǎn)到面的距離及二面角的正弦值空間想象綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅱ，7空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和表面積球的表面積空間想象綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算2022新高考Ⅰ，8空間幾何體的體積求四棱錐體積的范圍空間想象綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2021新高考Ⅰ，20直線、平面垂直的判定與性質(zhì)線線垂直的判定、二面角的概念與應(yīng)用、求三棱錐的體積運(yùn)算求解空間想象綜合性直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2021新高考Ⅱ，19直線、平面垂直的判定與性質(zhì)面面垂直的證明、二面角余弦值的求解運(yùn)算求解邏輯思維綜合性邏輯推理直觀想象【命題規(guī)律與備考策略】本章內(nèi)容為高考必考內(nèi)容之一，多考查空間幾何體的表面積與體積，空間中有關(guān)平行或垂直的判定，空間角與距離的求解，空間向量的應(yīng)用等問題．高考對本章內(nèi)容的考查比較穩(wěn)定，針對這一特點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)，首先梳理本章重要定理、公式與常用結(jié)論，掃清基礎(chǔ)知識和公式障礙；然后，分題型重點(diǎn)復(fù)習(xí)，重視向量法求解空間角、距離問題的思路與解題過程．第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積和體積知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點(diǎn)一多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形名稱棱柱棱錐棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征①有兩個(gè)面互相____________，其余各面都是______________.②每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相________有一個(gè)面是__________，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的__________的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，________和________之間的部分平行且全等平行四邊形平行多邊形三角形截面底面名稱棱柱棱錐棱臺(tái)側(cè)棱______________相交于________但不一定相等延長線交于________側(cè)面形狀________________________________平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形知識點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，____于底面相交于________延長線交于________

垂直一點(diǎn)一點(diǎn)名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球軸截面全等的________全等的______________全等的__________________側(cè)面展開圖________________________

矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)知識點(diǎn)三圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝____________S圓錐側(cè)＝__________S圓臺(tái)側(cè)＝__________________2πrlπrlπ(r1＋r2)l知識點(diǎn)四柱體、錐體、臺(tái)體和球體的表面積和體積S底h4πR2知識點(diǎn)五直觀圖直觀圖斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為____________________，z′軸與x′軸和y′軸所在平面________.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍_______________，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度________，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為______________.45°或135°垂直平行于坐標(biāo)軸不變原來的一半歸

納

拓

展1．一個(gè)平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”．三變：坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行線段的長度改變(減半)，圖形改變．三不變：平行性不變，與x軸平行的線段長度不變，相對位置不變．2．柱體、錐體、臺(tái)體體積間的關(guān)系：臺(tái)體的體積常化為兩錐體體積之差求解．3．多面體的外接球與內(nèi)切球常用的結(jié)論：雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)．()×××(4)有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)．()(6)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.()×√×題組二走進(jìn)教材2．(必修2P119T1)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()∴3r2＝12，∴r＝2.BACDB．該半正多面體的外接球的表面積為6π題組三走向高考[解析]

解法一：如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高，A．100π B．128πC．144π D．192πA考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究基本立體圖形——自主練透1.(多選題)若正三棱錐V－ABC和正四棱錐V1－A1B1C1D1的所有棱長均為a，將其中兩個(gè)正三角形側(cè)面△VAB與△V1A1B1按對應(yīng)頂點(diǎn)粘合成一個(gè)正三角形以后，得到新的組合體是()A．五面體

B．七面體C．斜三棱柱

D．正三棱柱AC[解析]

新的組合體如圖所示，故選AC.2．下列結(jié)論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；⑤用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，所得截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是球．其中正確結(jié)論的序號是_______.⑤[解析]

①中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯(cuò)；②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺(tái)，②錯(cuò)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，③錯(cuò)誤；④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，則得到的不是圓錐和圓臺(tái)，④錯(cuò)；只有球滿足任意截面都是圓面，⑤正確．名師點(diǎn)撥：空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧1．緊扣各種空間幾何體的定義及結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．2．說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．【變式訓(xùn)練】(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形B．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C．側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體D．若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱BCD[解析]

在如圖所示的平行六面體中，側(cè)面ADD1A1及側(cè)面BCC1B1都是矩形，且平面ABB1A1及平面DCC1D1都與底面ABCD垂直，故D錯(cuò)誤；截面BDD1B1可能為矩形，故A正確；將菱形沿一條對角線折起所得三棱錐各面都是等腰三角形，但該棱錐不一定是正棱錐，故B錯(cuò)誤；側(cè)面都是矩形但底面為梯形的直四棱柱不是長方體，故C錯(cuò)誤．故選BCD.空間幾何體的直觀圖——師生共研

已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()D[解析]

如圖①、②所示的實(shí)際圖形和直觀圖．[引申]若已知△ABC的平面直觀圖△A1B1C1是邊長為a的正三角形，則原△ABC的面積為__________.[解析]

在△A1D1C1中，名師點(diǎn)撥：2．在原圖形中與x軸或y軸平行的線段，在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出．【變式訓(xùn)練】(2023·四川成都階段統(tǒng)測)用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊A′B′與C′D′平行于x′軸．已知四邊形A′B′C′D′的面積為1cm2，則原平面圖形ABCD的面積為_________cm2.幾何體的表面積與側(cè)面積——師生共研C[解析]

結(jié)合題目邊長關(guān)系，三棱錐如圖所示，則表面積為：S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD2．(2024·湖北部分學(xué)校聯(lián)考)陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中A是圓錐的頂點(diǎn)，B，C分別是圓柱的上、下底面圓的圓心，且AB＝1，AC＝3，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是______________.名師點(diǎn)撥：空間幾何體表面積的求法1．旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用．2．多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．3．既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略．【變式訓(xùn)練】1.(2022·河南洛陽一模)如圖已知正三棱錐S－ABC的高為3，底面正三角形的高為3，則該正三棱錐的表面積為()A[解析]

如圖，SH為正三棱錐的高，則D為AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，SD⊥AB.A．12πR2

B．10πR2C．8πR2

D．6πR2C幾何體的體積——多維探究角度1直接利用公式求體積(2024·遼寧遼東十一所重點(diǎn)高中聯(lián)合教研體摸底)底面半徑為3，表面積為24π的圓錐的體積為()A角度2割補(bǔ)法求體積A．225 B．250C．325 D．375C[思考]本節(jié)考點(diǎn)3例2中陀螺的體積為________.角度3等體積法求體積(2024·浙江浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考)生活中有很多常見的工具有獨(dú)特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體ADE－BCF，其中四邊形ABFE與CDEF都為等腰梯形，ABCD為平行四邊形，若AD⊥平面ABFE，且EF＝2AB＝2AE＝2BF，記三棱錐D－ABF的體積為V1，則該五面體的體積為()A．8V1 B．5V1

C．4V1 D．3V1C[解析]

因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以S△ABD＝S△BCD，所以VF－BCD＝VF－ABD＝V1.取EF的中點(diǎn)G，連接AG，DG，由題意知VD－AEG＝VD－AGF＝VD－ABF＝V1，所以該五面體的體積V＝VD－AEG＋VD－AGF＋VD－ABF＋

VF－BCD＝4V1.故選C.名師點(diǎn)撥：求空間幾何體的體積的常用方法【變式訓(xùn)練】1．(2024·湖南長沙質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，現(xiàn)將△ABD沿BD折起成△A1BD，折起過程中，當(dāng)A1B⊥CD時(shí)，四面體A1BCD體積為()BA3.(2024·江西九校聯(lián)考改編)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的體積V＝__________________cm3.26000π球與幾何體的切、接問題——師生共研1.(2024·云南紅河州、文山州模擬)在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，△PAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，則該三棱錐外接球的表面積為_________2．(2023·福建龍巖質(zhì)檢)如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為()C名師點(diǎn)撥：幾何體外接球問題的處理解題關(guān)鍵是確定球心和半徑，其解題思維流程是：(R—球半徑，r—截面圓的半徑，h—球心到截面圓心的距離)．注：若截面為非特殊三角形可用正弦定理求其外接圓半徑r.特別的：1．若四面體的兩個(gè)面是有公共斜邊的直角三角形，則其外接球球心為斜邊中點(diǎn)，半徑為斜邊的一半．2．有三條棱兩兩垂直或相對的棱相等的四面體可補(bǔ)成長方體或正方體，其外接球半徑為體對角線長的一半．3．有一側(cè)棱垂直底面的錐體可補(bǔ)成直棱柱，其球心為棱柱上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，可利用球心到各頂點(diǎn)距離相等求得半徑．注意：不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)球面．幾何體內(nèi)切球問題的處理1．解題時(shí)常用以下結(jié)論確定球心和半徑：①球心在過切點(diǎn)且與切面垂直的直線上；②球心到各面距離相等．特別提醒：正多面體的中心為其內(nèi)切球、外接球的球心，并非所有的多面體都有內(nèi)切球(或外接球)．【變式訓(xùn)練】A．32π B．28πC．26π D．24πA2．(2022·安徽蚌埠質(zhì)檢)如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB，AD的中點(diǎn)，把△AEF，△CBE，△CFD折起構(gòu)成一個(gè)三棱錐P－CEF(A，B，D重合于P點(diǎn))，則三棱錐P－CEF

的外接球與內(nèi)切